Просмотр кода страницы Пи (число)

{{другие значения|Пи}}
[[Файл:Pi-unrolled-720.gif|thumb|300px|Если [[диаметр]] окружности равен единице, то длина окружности — это число «пи»]]
[[Файл:Sinusoid-phi.gif|thumb|300px|Полупериод [[синус]]а в «пи» раз больше его амплитуды]]
{| class="infobox"
|colspan="2" align="center"| [[Иррациональное число|Иррациональные числа]] <br> {{Вещественные константы|inline=1}}
|-style="background:#f0f0f0"
|nowrap| '''Система счисления''' || '''Оценка числа <math>\pi</math>'''
|-
|align="right"| [[Десятичная система счисления|Десятичная]] || 3,1415926535897932384626433832795…
|-style="background:#f0f0f0"
|align="right"| [[Двоичная система счисления|Двоичная]] || 11,00100100001111110110…
|-
|align="right"| [[Шестнадцатеричная система счисления|Шестнадцатеричная]] || 3,243F6A8885A308D31319…
|-style="background:#f0f0f0"
|align="right"| [[Шестидесятеричная система счисления|Шестидесятеричная]] || 3; 08 29 44 00 47 25 53 07 …
|-
|align="right"| [[Рациональные приближения]]|| {{frac|22|7}}, {{frac|179|57}}, {{frac|223|71}}, {{frac|333|106}}, {{frac|355|113}}, {{frac|103993|33102}} <small>(перечислено в порядке увеличения точности)</small>
|-style="background:#f0f0f0"
|align="right"| [[Непрерывная дробь]] ||{{nowrap|[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, … ]}}
<small>(Эта непрерывная дробь не [[Периодическая функция|периодическая]]. Записана в линейной нотации)</small>
|-
|align="right" nowrap| [[Тригонометрия]] ||<math>\pi</math> [[радиан]] = 180°
|}
{{Врезка | Выравнивание = right | Ширина = 34em | Содержание =
<div style="text-align:right; font-weight: bold; font-family:'Courier New';">
3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872
1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960
5187072113 4[[Точка Фейнмана|999999]]837 2978049951 0597317328 1609631859
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881
7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778
1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989<br>
…
</div>
 | Подпись = <hr>
Число <math>\pi</math> с первой тысячей высших разрядов десятичной дроби<ref>{{Cite web |url=http://www.math.com/tables/constants/pi.htm |title=PI |access-date=2010-09-13 |archive-date=2010-09-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100903212242/http://www.math.com/tables/constants/pi.htm |url-status=live }}</ref>
}}

<math>\boldsymbol\pi</math>, '''π''' (произносится «'''пи'''») — [[математическая константа|математическая постоянная]], равная отношению длины [[окружность|окружности]] к её [[диаметр]]у<ref group="K">Это определение пригодно только для [[Евклидова геометрия|евклидовой геометрии]]. В других геометриях отношение длины окружности к длине её диаметра может быть произвольным. Например, в [[Геометрия Лобачевского|геометрии Лобачевского]] это отношение меньше, чем <math>\pi</math>.</ref>. Числу «пи» также можно дать множество других определений, например это отношение [[Периодическая функция|полупериода]] функции <math>y = \sin(x)</math> к её максимальному значению. Обозначается буквой [[греческий алфавит|греческого алфавита]] «[[пи (буква)|π]]». На июнь 2022 года известны первые 100 триллионов знаков числа «пи» после запятой<ref name="ддд">{{cite web|author=Павел Котов|title=Сотрудница Google Cloud рассчитала число Пи до 100-триллионного знака после запятой — это новый рекорд|url=https://3dnews.ru/1067622/sotrudnitsa-google-rasschitala-chislo-pi-do-100trillionnogo-znaka|publisher=[[3DNews Daily Digital Digest]]|date=9.06.2022|access-date=2022-06-10|archive-date=2022-06-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20220610110129/https://3dnews.ru/1067622/sotrudnitsa-google-rasschitala-chislo-pi-do-100trillionnogo-znaka|url-status=live}}</ref>.

== Свойства ==

=== Трансцендентность и иррациональность ===
Число <math>\pi</math> [[иррациональное число|иррационально]], то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби <math>\frac{m}{n}</math>, где <math>m</math> — целое число, а <math>n</math> — натуральное. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является [[Периодическая дробь|периодическим]]. Иррациональность числа <math>\pi</math> была впервые доказана [[Ламберт, Иоганн Генрих|Иоганном Ламбертом]] в 1761 году<ref>{{Cite news
 | last = Lambert
 | first = Johann Heinrich
 | title = Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques
 | publication-date = 1768
 | year = 1761
 | periodical = Histoire de l'Académie
 | publication-place = Berlin
 | volume = XVII
 | pages = 265–322
 | postscript = 
}}</ref> путём разложения [[тангенс]]а в [[непрерывная дробь|непрерывную дробь]]. В 1794 году [[Лежандр, Адриен Мари|Лежандр]] привёл более строгое доказательство иррациональности чисел <math>\pi</math> и <math>\pi^2</math>. Несколько доказательств подробно приведено в статье [[Доказательства иррациональности π]].

<math>\pi</math> — [[трансцендентное число]], то есть оно не может быть [[Корень многочлена|корнем]] какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Трансцендентность числа <math>\pi</math> была доказана в [[1882 год]]у профессором [[Кёнигсбергский университет|Кёнигсбергского]], а позже [[Мюнхенский университет|Мюнхенского университета]] [[Линдеман, Фердинанд фон|Линдеманом]]. Доказательство упростил [[Клейн, Феликс|Феликс Клейн]] в 1894 году<ref>Доказательство Клейна приложено к работе «Вопросы элементарной и высшей математики», ч. 1, вышедшей в [[Гёттинген]]е в 1908 году.</ref>. Поскольку в [[Евклидова геометрия|евклидовой геометрии]] [[площадь фигуры|площадь]] [[круг]]а и [[длина окружности]] являются функциями числа <math>\pi</math>, то доказательство трансцендентности <math>\pi</math> положило конец попыткам построить [[Квадратура круга|квадратуру круга]], длившимся более 2,5 тысяч лет.

В 1934 году [[Гельфонд, Александр Осипович|Гельфонд]] доказал<ref>{{MathWorld|GelfondsConstant|Постоянная Гельфонда}}</ref> трансцендентность числа <math>e^\pi</math>. В 1996 году [[Нестеренко, Юрий Валентинович|Юрий Нестеренко]] доказал, что для любого натурального <math>n</math> числа <math>\pi</math> и <math>e^{\pi\sqrt n}</math> [[Алгебраическая независимость|алгебраически независимы]], откуда, в частности, следует<ref name="autogenerated1"/><ref>[http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=sm&paperid=158&volume=187&year=1996&issue=9&fpage=65&what=fullt&option_lang=eng Модулярные функции и вопросы трансцендентности]</ref> трансцендентность чисел <math>\pi+e^\pi,\pi e^\pi</math> и <math>e^{\pi\sqrt n}</math>.

<math>\pi</math> является элементом [[Кольцо периодов|кольца периодов]] (а значит, [[Вычислимое число|вычислимым]] и [[Арифметическое число|арифметическим числом]]). Но неизвестно, принадлежит ли <math>1/\pi</math> к кольцу периодов.

=== Соотношения ===
Известно много формул для вычисления числа <math>\pi</math>:
{{anchor|Формула Виета}}
* [[Формула Виета для приближения числа π]]:
:: <math>\dfrac2\pi=
\dfrac{\sqrt{2}}2\cdot
\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot
\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \ldots</math>
: Это первое известное явное представление <math>\pi</math> с бесконечным числом операций. Доказать его можно следующим образом. Применив тождество <math>\sin2 \varphi=2 \sin \varphi \cos \varphi</math> рекурсивно и перейдя к пределу, получим
:: <math>\varphi \cos\dfrac\varphi2\cos \dfrac\varphi4\cdots = \sin \varphi .</math>
: Остаётся подставить <math>\varphi=\dfrac\pi2</math> и воспользоваться [[Тригонометрические тождества#Формулы двойного угла и половинного угла|формулой косинуса двойного угла]]: <math>\cos 2 \varphi=\cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi .</math>

* [[Формула Валлиса]]:
:: <math>\dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{8}{7} \cdot \dfrac{8}{9} \cdots = \dfrac{\pi}{2}</math>
* [[Ряд Лейбница]]:
:: <math>\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{9} - \cdots = \dfrac{\pi}{4}</math>
* Ряд с использованием двойного факториала:
:: <math>2+{1\over 3}\left(2+{2 \over 5}\left(2+{3 \over 7}\left(2+{4 \over 9}(\dots )\right)\right)\right)=2\sum_{k=0}^\infty \dfrac{k!}{(2k+1)!!}=\pi</math>
:: <math>1+{2\over 2}\left(1+{1 \over 3}\left(1+{4 \over 4}\left(1+{2 \over 5}\left(1+{6 \over 6}(\dots )\right)\right)\right)\right)=\pi</math>

* Формула, найденная [[Сриниваса Рамануджан Айенгор|Сринивасой Рамануджаном]]:

:: <math>1 - 5\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 9\left(\frac{1\times3}{2\times4}\right)^3 - 13\left(\frac{1\times3\times5}{2\times4\times6}\right)^3 + \ldots = \frac{2}{\pi}</math>

* Ряд [[Нилаканта Сомаяджи|Нилаканты]]:

:: <math>3 + \dfrac{4}{2\times3\times4} - \dfrac{4}{4\times5\times6} + \dfrac{4}{6\times7\times8} - \dfrac{4}{8\times9\times10} + \dfrac{4}{10\times11\times12} - \cdots = {\pi}</math>

* Другие ряды:
:: <math>\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6}</math> ([[ряд обратных квадратов]])
:: <math>\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} - \dots = {\pi^2 \over 12}</math> 
:: <math>\frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \dots = {\pi^2 \over 8} </math> (следует из предыдущих формул)
:: <math>\frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{6^2} - \dots = {\pi^2 \over 24} </math>
:: <math>\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \frac{1}{5^4} + \dots = \frac{\pi^4}{90}</math>
:: <math>\frac{1}{1^6} + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} + \frac{1}{4^6} + \frac{1}{5^6} + \dots = \frac{\pi^6}{945}</math>
::
:: <math> \pi=2 \sqrt{3} \sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\, 3^k \, (2k+1)}</math>
:: <math> \pi = \;\;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{4^k}\left(\frac2{4k+1} + \frac2{4k+2} + \frac1{4k+3}\right)</math>
: Следующие ряды позволяют вычислять знаки в шестнадцатеричной записи числа пи без вычисления предыдущих знаков:
:: <math>\begin{align}
\pi &= \frac12\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{16^k}\left(\frac8{8k+2} + \frac4{8k+3} + \frac4{8k+4} - \frac1{8k+7}\right)=
 \\ &= \frac14\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{16^k}\left(\frac8{8k+1} + \frac8{8k+2} + \frac4{8k+3} - \frac2{8k+5} - \frac2{8k+6} - \frac1{8k+7}\right)
\end{align}</math>
* Кратные ряды:
:: <math>\pi=8\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(4m-2)^{2k}}=4\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{m^2-k^2}{(m^2+k^2)^2}=\sqrt[4\,\,]{360 \sum \limits_{k=1}^{\infty}\sum \limits_{m=1}^k\frac{1}{m(k+1)^3}}</math>
* [[Предел (математика)|Пределы]]:

:: <math>\pi=\lim \limits_{m\rightarrow \infty }{\frac { (m!)^{4}\,{2}^{4m}}{\left[ (2m )! \right] ^{2}\,m}}</math>
:: <math>\pi= \sqrt{\frac{6}{\lim \limits_{n\to\infty}\prod \limits_{k=1 \atop p_k \in \mathbf{P}}^{n}\,\left ( 1-\frac{1}{p_{k}^2}\right ) }}\quad \to </math> здесь <math> p_k </math> — простые числа
:: <math>\pi=\lim_{n\to\infty} 2^n\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}},</math> где <math>n</math> равно числу корней в выражении<ref>{{статья|автор= [[Ромер, Павел Эмилиевич|Ромер П.]]|заглавие= Новое выражение для π|ссылка= http://vofem.ru/ru/articles/9702/|язык= ru|издание= [[В.О.Ф.Э.М.]]|год= 1890|номер= 97|страницы= 2—4|archivedate= 2016-05-09|archiveurl= https://web.archive.org/web/20160509040605/http://vofem.ru/ru/articles/9702}}</ref>.

* [[Тождество Эйлера (комплексный анализ)|Тождество Эйлера]]:
:: <math>e^{i \pi} + 1 = 0\;</math>
* Другие связи между [[Математическая константа|константами]]:
:: <math>\frac{\pi}{e}=2 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left (\frac{2k+1}{2k-1} \right )^{2k-1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k} </math>
:: <math>\pi \cdot e = 6 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left ( \frac{2k+3}{2k+1}\right )^{2k+1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k}</math>
:: <math>\frac{e}{\sqrt{2 \pi}} = \prod_{n=1}^\infty \frac{(1 + \frac{1}{n})^{n + \frac{1}{2}}}{e}</math>
:: Формула, найденная [[Сриниваса Рамануджан Айенгор|Сринивасой Рамануджаном]]:
:: <math>1+\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9} + \ldots +
\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{2}{1+\displaystyle\frac{3}{1+\displaystyle\frac{4}{1+\displaystyle\frac{5}{1+\ldots}}}}}} = \sqrt{\frac{e\cdot\pi}{2}}</math>
* Т. н. интеграл [[Пуассон, Симеон Дени|Пуассона]] или интеграл [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусса]]:

:: <math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}</math>
:: <math>\int\limits_{0}^{\infty} \frac{Br(x)}{\displaystyle e^{Br^4(x)}}dx=\sqrt{\pi},</math> где <math>Br(x)</math> — [[корень Бринга]].

* [[Интегральный синус]]:
:: <math>\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\sin x}{x}dx}=\pi </math>

* Выражение через [[дилогарифм]]<ref>{{MathWorld|PiSquared|Pi Squared}}</ref>:
:: <math>\pi=\sqrt{6\ln^2 2+12\ \operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)}</math>

* Через [[несобственный интеграл]]:
:: <math>\int\limits_{0}^{+\infty}{\frac{dx}{(x+1)\sqrt x}}=\pi</math>;
:: <math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty}{\frac{dx}{(x^2+1)}}=\pi</math>

== История ==
[[Файл:Pi-symbol.svg|thumb|130px|Символ константы]]

Впервые обозначением этого числа греческой буквой <math>\pi</math> воспользовался британский математик [[Джонс, Уильям (математик)|Уильям Джонс]] в 1706 году<ref>{{книга |автор=''Гнездовский Ю. Ю.'' |часть=Введение |заглавие=Справочник по тригонометрии |издательство=Экоперспектива |год= 2006 |страницы=3 |isbn=985-469-141-1}}</ref>, а общепринятым оно стало после работ [[Эйлер, Леонард|Леонарда Эйлера]] в 1737 году. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов {{lang-el2|περιφέρεια}} — окружность, периферия и {{lang-el2|περίμετρος}} — периметр{{sfn |Вездесущее число «пи»|2007|с=10—11|name=ZZ10}}.

Исследование числа <math>\pi</math> и уточнение его значения шли параллельно с развитием всей математики и занимают несколько тысячелетий. Сначала <math>\pi</math> изучалось с позиции [[Геометрия|геометрии]], затем развитие [[Математический анализ|математического анализа]] в XVII веке показало универсальность этого числа.

=== Геометрический период ===
То, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для любой окружности, и то, что это отношение немногим более 3, было известно ещё [[Математика в Древнем Египте|древнеегипетским]], [[Вавилонская математика|вавилонским]], [[История математики в Индии|древнеиндийским]] и [[Математика в Древней Греции|древнегреческим]] геометрам, древнейшие приближения относятся к третьему тысячелетию до н. э.

В Древнем Вавилоне принимали <math>\pi</math> равным трём, что соответствовало замене [[Длина окружности|длины окружности]] на [[периметр]] вписанного в неё [[шестиугольник]]а. [[Площадь круга]] определялась{{sfn|Кымпан|1971}} как [[Квадрат (алгебра)|квадрат]] длины окружности, делённый на 12, что также соответствует допущению <math>\pi=3.</math> Самые ранние из известных более точных приближений датируются примерно 1900-ми годами до н. э.: это <sup>25</sup>/<sub>8</sub> = 3,125 (глиняная табличка из [[Сузы|Суз]] периода [[Старовавилонский период|Старовавилонского царства]])<ref>''E. M. Bruins''. ''[http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00018846.pdf Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse] {{Wayback|url=http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00018846.pdf |date=20160303181445 }}'', 1950.</ref> и <sup>256</sup>/<sub>81</sub> ≈ 3,16 (египетский [[папирус Ахмеса]] периода [[Среднее царство|Среднего царства]]); оба значения отличаются от истинного не более, чем на 1 %. Ведийский текст «[[Шатапатха-брахмана]]» даёт в качестве приближения <math>\pi</math> дробь <sup>339</sup>/<sub>108</sub> ≈ 3,139.

Китайский философ и учёный [[Чжан Хэн]] во II веке предложил для числа <math>\pi</math> два эквивалента: 92/29 ≈ 3,1724 и <math>\sqrt{10}</math> ≈ 3,1622. В священных книгах [[джайнизм]]а, написанных в V—VI веках до н. э., обнаружено, что тогда и в Индии <math>\pi</math> принимали равным <math>\sqrt{10}</math><ref>{{книга
 | автор         = Стройк Д. Я.
 | часть         = 
 | заглавие      = Краткий очерк истории математики
 | оригинал      = Abriss der Geschichte der Mathematik
 | язык          = ru
 | ссылка        = 
 | издание       = 4-е изд., испр
 | ответственный = Пер. с нем.; Гл. ред. физ.-мат. литературы
 | место         = М.
 | издательство  = [[Наука (издательство)|Наука]]
 | год           = 1984
 | том           = 
 | страниц       = 285
 | страницы      = 47—48
 | isbn          = 5-02-014329-4
}}</ref>

[[Файл:Archimedes pi.svg|350px|right]]
[[Файл:Cutcircle2.svg|thumb|Алгоритм Лю Хуэя для вычисления <math>\pi</math>]]

[[Архимед]], возможно, первым предложил математический способ вычисления <math>\pi</math>. Для этого он вписывал в [[окружность]] и описывал около неё правильные [[многоугольник]]и. Принимая [[диаметр]] окружности за единицу, Архимед рассматривал [[периметр]] вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника — как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку <math>3\frac{10}{71} < \pi <3\frac{1}{7}</math> и предложил для приближённого вычисления <math>\pi</math> верхнюю из найденных им границ: — 22/7 ≈ 3,142857142857143.

Следующее приближение в европейской культуре связано с астрономом [[Клавдий Птолемей|Клавдием Птолемеем]] (ок. 100 — ок. 170), который создал таблицу хорд, дав значение хорды для углов в диапазоне от 1/2 градуса до 180 градусов с шагом в полградуса, что позволило ему получить для <math>\pi</math> приближение <sup>377</sup>/<sub>120</sub>, равное приближённо вычисленной им половине периметра 720-угольника, вписанного в единичную окружность{{sfn|Вездесущее число «пи»|2007|с=29}}. Леонардо Пизанский ([[Фибоначчи]]) в книге «''Practica Geometriae''» (около 1220 г.), видимо, принимая приближение Птолемея за нижнюю границу для <math>\pi</math>, приводит своё приближение{{sfn|Кымпан|1971|с=81}} — <sup>864</sup>/<sub>275</sub>. Но оно оказалось хуже, чем у Птолемея, поскольку последний ошибся при определении длины хорды в полградуса в большую сторону, в результате чего приближение <sup>377</sup>/<sub>120</sub> оказалось верхней границей для <math>\pi</math>.

В Индии [[Ариабхата]] и [[Бхаскара I]] использовали приближение 3,1416. [[Варахамихира]] в VI веке пользуется в «Панча-сиддхантике» приближением <math>\sqrt{10}</math>.

Около 265 года н. э. математик [[Лю Хуэй]] из царства [[Вэй (царство)|Вэй]] предоставил простой и точный {{iw|Алгоритм Лю Хуэя|итеративный алгоритм||Liu Hui's π algorithm}} для вычисления <math>\pi</math> с любой степенью точности. Он самостоятельно провёл вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение для <math>\pi</math> по следующему принципу:

: <math>\pi\approx A_{3072} = {3 \cdot 2^8\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}}}}}}} \approx 3,14159.</math>

Позднее Лю Хуэй придумал быстрый метод вычисления <math>\pi</math> и получил приближённое значение 3,1416 только лишь с 96-угольником, используя преимущества того факта, что разница в площади следующих друг за другом многоугольников формирует [[Геометрическая прогрессия|геометрическую прогрессию]] со знаменателем 4.

В 480-х годах китайский математик [[Чунчжи, Цзу|Цзу Чунчжи]] продемонстрировал, что <math>\pi</math> ≈ <sup>355</sup>/<sub>113</sub>, и показал, что 3,1415926 < <math>\pi</math> < 3,1415927, используя алгоритм Лю Хуэя применительно к 12288-угольнику. Это значение оставалось самым точным приближением числа <math>\pi</math> в течение последующих 900 лет.

=== Классический период ===
До II тысячелетия было известно не более 10 цифр <math>\pi</math>. Дальнейшие крупные достижения в изучении <math>\pi</math> связаны с развитием [[Математический анализ|математического анализа]], в особенности с открытием [[Сумма ряда|рядов]], позволяющих вычислить <math>\pi</math> с любой точностью, суммируя подходящее количество членов ряда.

;Ряд Мадхавы — Лейбница

В 1400-х годах [[Мадхава из Сангамаграмы]] нашёл первый из таких рядов:

: <math>{\pi} = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \cdots</math>

Этот результат известен как [[Ряд Лейбница|ряд Мадхавы — Лейбница]], или ряд Грегори — Лейбница (после того, как он был заново обнаружен [[Грегори, Джеймс|Джеймсом Грегори]] и [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Готфридом Лейбницем]] в XVII веке). Однако этот ряд сходится к <math>\pi</math> очень медленно, что приводит к сложности вычисления многих цифр числа на практике — необходимо сложить около 4000 членов ряда, чтобы улучшить оценку Архимеда. Однако преобразованием этого ряда в

: <math>\pi = \sqrt{12} \, \left(1-\frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdots\right)</math>

Мадхава смог вычислить <math>\pi</math> как 3,14159265359, верно определив 11 цифр в записи числа. Этот рекорд был побит в 1424 году [[Математика исламского средневековья|персидским математиком]] [[ал-Каши|Джамшидом ал-Каши]], который в своём труде под названием «Трактат об окружности» привёл 17 цифр числа <math>\pi</math>, из которых 16 верные.

;Лудольфово число

Первым крупным европейским вкладом со времён Архимеда был вклад голландского математика [[Цейлен, Людольф|Людольфа ван Цейлена]], затратившего десять лет на вычисление числа <math>\pi</math> с 20 десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до ''n''-угольника, где ''n'' = 60·2<sup>29</sup>. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («Van den Circkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа <math>\pi</math>. Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число <math>\pi</math> иногда называли «лудольфовым числом» или «константой Лудольфа».

''Лудольфово число'' — приближённое значение для числа <math>\pi</math> с 35 верными десятичными знаками<ref>{{Cite web |url=https://books.google.ru/books?id=QhbrBwAAQBAJ&q=Ludolph+van+Ceulen&pg=PA291&redir_esc=y#v=snippet&q=Ludolph%20van%20Ceulen&f=false |title=Pi: A Source Book |access-date=2021-11-19 |archive-date=2021-11-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211119232406/https://books.google.ru/books?id=QhbrBwAAQBAJ&q=Ludolph+van+Ceulen&pg=PA291&redir_esc=y#v=snippet&q=Ludolph%20van%20Ceulen&f=false |url-status=live }}</ref>.

;Формула Виета для приближения π

Примерно в это же время в Европе начали развиваться методы анализа и определения бесконечных рядов. Первым таким представлением была [[формула Виета для приближения числа π]]:
: <math>\frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots</math>,

найденная [[Виет, Франсуа|Франсуа Виетом]] в 1593 году.

;Формула Валлиса

Другим известным результатом стала [[формула Валлиса]]:

: <math>\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots</math>,

выведенная [[Валлис, Джон|Джоном Валлисом]] в 1655 году.

Аналогичные произведения:

{{кол|3}}
<math>\pi=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{1}{3}\right )^2}</math>

<math>\pi=\frac{3}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{2}{3}\right )^2}</math>

<math>\pi=4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{1}{4}\right )^2}</math>

<math>\pi=\frac{4}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{3}{4}\right )^2}</math>

<math>\pi=6\cdot \frac{1}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{1}{6}\right )^2}</math>

<math>\pi=\frac{6}{5}\cdot \frac{1}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{5}{6}\right )^2}</math>

<math>\pi=4\cdot\prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2+k}{k^2+k+\frac{1}{4}}</math>

<math>\pi=\frac{9}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2+k}{k^2+k+ \frac{2}{9}}</math>

<math>\pi=\frac{16}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2+k}{k^2+k+ \frac{3}{16}}</math>

<math>\pi=\frac{36}{5}\cdot\frac{1}{2}\prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2+k}{k^2+k+ \frac{5}{36}}</math>
{{конец кол}}

;Произведение, доказывающее родственную связь с [[e (число)#связь с пи|числом e]]

<math>\pi= 2\sqrt{3}\prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{\left ( 2k+3 \right )^{k+\frac 12}\left ( 2k-1 \right )^{\frac 12 -k}}{2k+1}\left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k}</math>

==== Методы, основанные на тождествах ====
В Новое время для вычисления <math>\pi</math> используются аналитические методы, основанные на тождествах. Перечисленные выше формулы малопригодны для вычислительных целей, поскольку либо используют медленно сходящиеся ряды, либо требуют сложной операции извлечения квадратного корня.

;Формулы Мэчина

Первый эффективный и современный способ нахождения числа <math>\pi</math> (а также натуральных логарифмов и других функций), основанный на развитой им теории рядов и математического анализа, дал в 1676 году [[Ньютон, Исаак|Исаак Ньютон]] во втором письме к Ольденбургу<ref>{{Книга|автор=Исаак Ньютон|заглавие=Математические работы (в переводе и переработке Мордухай-Болтовского)|оригинал=|ответственный=Мордухай-Болтовской (также перевод и комментарии)|издание=|место=Москва, Ленинград|издательство=Главное изд-во технико-теоретической литературы|год=1937|страницы=|страниц=|isbn=|isbn2=}}</ref>, разлагая в ряд <math>\mathrm{arctg}\frac{1}{2}</math>. На основе этого метода наиболее эффективную формулу нашёл в 1706 году [[Мэчин, Джон|Джон Мэчин]]

: <math>\frac{\pi}{4} = 4\,\mathrm{arctg}\frac{1}{5} - \mathrm{arctg}\frac{1}{239}</math>

Разложив арктангенс в [[ряд Тейлора]]

: <math>\mathrm{arctg}\ x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots</math>,

можно получить быстро сходящийся ряд, пригодный для вычисления числа <math>\pi</math> с большой точностью.

Формулы такого типа, в настоящее время известные как {{iw|формулы Мэчина||en|Machin-like formula}}, использовались для установки нескольких последовательных рекордов и остались наилучшими из известных методов для быстрого вычисления <math>\pi</math> компьютерами. Выдающийся рекорд был поставлен феноменальным счётчиком [[Дазе, Иоганн Мартин|Иоганном Дазе]], который в 1844 году по распоряжению [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусса]] применил формулу Мэчина для вычисления 200 цифр <math>\pi</math>. Наилучший результат к концу XIX века был получен англичанином [[Шенкс, Уильям|Уильямом Шенксом]], у которого ушло 15 лет для того, чтобы вычислить 707 цифр. Однако он допустил ошибку в 528-й цифре, в результате чего все последующие цифры оказались неверными<ref>{{Книга|автор=Arndt, Jörg; Haenel, Christoph|заглавие=Pi Unleashed|ответственный=|год=2006|язык=en|издание=|место=|издательство=[[Springer-Verlag]]|страницы=194–196|страниц=270|isbn=978-3-540-66572-4}}</ref>. Чтобы избежать подобных ошибок, современные вычисления подобного рода проводятся дважды. Если результаты совпадают, то они с высокой вероятностью верные. Ошибку Шенкса обнаружил один из первых компьютеров в 1948 году; он же за несколько часов подсчитал 808 знаков <math>\pi</math>.

;Пи — трансцендентное число

Теоретические достижения в XVIII веке привели к постижению природы числа <math>\pi</math>, чего нельзя было достичь лишь только с помощью одного численного вычисления. [[Ламберт, Иоганн Генрих|Иоганн Ламберт]] доказал иррациональность <math>\pi</math> в 1761 году, а [[Лежандр, Адриен Мари|Адриен Лежандр]] в 1774 году доказал иррациональность <math>\pi^2</math>. В 1735 году была установлена связь между [[Простое число|простыми числами]] и <math>\pi</math>, когда Леонард Эйлер решил знаменитую [[Базельская проблема|Базельскую проблему]] — проблему нахождения точного значения

: <math>\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots</math>,

которое оказалось равно <math>\frac{\pi^2}{6}</math>. И Лежандр, и Эйлер предполагали, что <math>\pi</math> может быть [[Трансцендентное число|трансцендентным]], что было в конечном итоге доказано в 1882 году [[Линдеман, Фердинанд фон|Фердинандом фон Линдеманом]].

В [[1945 год]]у [[Картрайт, Мэри|Картрайт]] упростила элементарное доказательство [[Эрмит, Шарль|Шарля Эрмита]] иррациональности числа <math>\pi</math>.

;Символ «<math>\pi</math>»
{{main|История математических обозначений}}
Считается, что книга [[Джонс, Уильям (математик)|Уильяма Джонса]] «Обозрение достижений математики» (''Synopsis Palmoriorum Mathesios'', 1706 год) первая ввела в использование греческую букву [[Пи (буква)|<math>\pi</math>]] для обозначения этой константы, но эта запись стала общепринятой после того, как [[Леонард Эйлер]] принял её (или пришёл к ней независимо) в 1737 году<ref name="ZZ10"/>. Эйлер писал: «''Существует множество других способов отыскания длин или площадей соответствующей кривой или плоской фигуры, что может существенно облегчить практику; например, в круге диаметр относится к длине окружности как 1 к <math>\left(\frac{16}{5}-\frac{4}{239}\right)-\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{16}{5^3}-\frac{4}{239^3}\right)+\cdots = 3{,}14159 \cdots = \pi</math>''».

=== Эра компьютерных вычислений ===
[[Файл:Record pi approximations-ru.svg|thumb|400px|{{нп3|Хронология вычисления числа пи|История точности вычисления числа <math>\pi</math>|en|Chronology of computation of π}}]]
Эпоха цифровой техники в [[XX век]]е привела к увеличению скорости появления вычислительных рекордов. [[Нейман, Джон фон|Джон фон Нейман]] и другие использовали в 1949 году [[ЭНИАК]] для вычисления 2037 цифр <math>\pi</math>, которое заняло 70 часов. В 1961 году [[Дэниел Шенкс]] на [[IBM 7090]] рассчитал {{num|100000|знаков}}, а отметка в миллион была пройдена в 1973 году<ref group="K">В наши дни с помощью ЭВМ число <math>\pi</math> вычислено с точностью до триллионов знаков, что представляет скорее технический, чем научный интерес, потому что такая точность практической пользы не представляет.

Точность вычисления ограничивается обычно наличными ресурсами компьютера, — чаще всего временем, несколько реже — объёмом памяти.</ref>. Такой прогресс имел место не только благодаря более быстрому аппаратному обеспечению, но и благодаря новым алгоритмам.

Голландский математик [[Брауэр, Лёйтзен Эгберт Ян|Лёйтзен Брауэр]] в первой половине XX века привёл в качестве примера бессмысленной задачи поиск в десятичном разложении <math>\pi</math> последовательности <math>0123456789</math> — по его мнению, нужная для этого точность никогда не будет достигнута. В конце XX века эта последовательность была обнаружена, она начинается с {{число|17387594880}}-го знака после запятой{{sfn|Хоакин Наварро|2014|с=11.}}.

В начале XX века индийский математик [[Рамануджан, Сриниваса Айенгор|Сриниваса Рамануджан]] обнаружил множество новых формул для <math>\pi</math>, некоторые из которых стали знаменитыми из-за своей элегантности и математической глубины. Одна из этих формул — это ряд:

: <math>\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}</math>.

[[Братья Чудновские|Братьями Чудновскими]] в 1987 году найдена похожая на неё:

: <math>\frac{1}{\pi} = \frac{1}{426880 \sqrt{10005}} \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}</math>,

которая даёт примерно по 14 цифр на каждый член ряда. Чудновские использовали эту формулу для того, чтобы установить несколько рекордов в вычислении <math>\pi</math> в конце 1980-х, включая тот, в результате которого в 1989 году была получена {{num|1011196691}} цифра десятичного разложения.

Эта формула используется в программах, вычисляющих <math>\pi</math> на персональных компьютерах, в отличие от [[суперкомпьютер]]ов, которые устанавливают современные рекорды.

В то время как последовательность обычно повышает точность на фиксированную величину с каждым следующим членом, существуют итеративные алгоритмы, которые на каждом шагу «умножают» количество правильных цифр, однако требуя высоких вычислительных затрат на каждом из таких шагов.

Прорыв в этом отношении был сделан в 1975 году, когда [[Ричард Брент]] и {{iw|Юджин Саламин (математик)|Юджин Саламин||Eugene Salamin (mathematician)}} независимо друг от друга открыли {{iw|Алгоритм Гаусса — Лежандра|алгоритм Брента — Саламина||Gauss–Legendre algorithm}}, который, используя лишь арифметику, на каждом шагу удваивает количество известных знаков<ref>{{Citation | last = Brent | first = Richard | year = 1975 | title = Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation | periodical = Analytic Computational Complexity | publication-place = New York | publisher = Academic Press | editor-last = Traub | editor-first = J F | pages = 151–176 | url = http://wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pub/pub028.html | access-date = 2009-06-14 | archive-date = 2008-07-23 | archive-url = https://web.archive.org/web/20080723170157/http://wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pub/pub028.html | url-status = dead }}{{ref-en}}</ref>. Алгоритм состоит из установки начальных значений

: <math>a_0 = 1 \quad \quad \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad \quad \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad \quad \quad p_0 = 1</math>

и итераций:

: <math>a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}</math>
: <math>t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n</math>,

пока ''a<sub>n</sub>'' и ''b<sub>n</sub>'' не станут достаточно близки.
Тогда оценка <math>\pi</math> даётся формулой

: <math>\pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}.</math>

При использовании этой схемы 25 итераций достаточно для получения 45 миллионов десятичных знаков. Похожий алгоритм, увеличивающий на каждом шаге точность в четыре раза, был найден {{iw|Боруэйн, Джонатан|Джонатаном Боруэйном||Jonathan Borwein}} {{iw|Боруэйн, Питер|Питером Боруэйном||Peter Borwein}}<ref>{{книга|автор=Jonathan M Borwein.|заглавие=Pi: A Source Book|издательство=Springer|год=2004|isbn=0387205713}}{{ref-en}}</ref>. При помощи этих методов [[Канада, Ясумаса|Ясумаса Канада]] и его группа, начиная с 1980 года, установили большинство рекордов вычисления <math>\pi</math> вплоть до {{num|206158430000|знаков}} в 1999 году. В 2002 году Канада и его группа установили новый рекорд — {{num|1241100000000|десятичных знаков}}. Хотя большинство предыдущих рекордов Канады было установлено при помощи алгоритма Брента — Саламина, вычисление 2002 года использовало две формулы типа мэчиновских, которые работали медленнее, но радикально снижали использование памяти. Вычисление было выполнено на суперкомпьютере [[Hitachi]] из 64 узлов с 1 [[терабайт]]ом оперативной памяти, способном выполнять 2 триллиона операций в секунду.

<!-- В en: 1996, на сайте Plouffe 1995 в других статьях 1997-->
Важным развитием недавнего времени стала [[формула Бэйли — Боруэйна — Плаффа]], открытая в 1997 году {{iw|Плафф, Саймон|Саймоном Плаффом||Simon Plouffe}} и названная по авторам статьи, в которой она впервые была опубликована<ref name="bbpf">{{статья|автор=David H. Bailey, Peter B. Borwein, Simon Plouffe.|заглавие=On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants|ссылка=http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf|издание=Mathematics of Computation|год=1997|выпуск=218|том=66|страницы=903—913|archivedate=2011-06-10|archiveurl=https://web.archive.org/web/20110610051436/http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf}}{{ref-en}}</ref>.
Эта формула,

: <math>\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right),</math>

примечательна тем, что она позволяет извлечь любую конкретную шестнадцатеричную или двоичную цифру числа <math>\pi</math> без вычисления предыдущих<ref name="bbpf"/>. С 1998 до 2000 года проект [[Распределённые вычисления|распределённых вычислений]] {{iw|PiHex}} использовал видоизменённую [[Формула Беллара|формулу Беллара]] для вычисления [[квадриллион]]ного бита числа <math>\pi</math>, который оказался нулём<ref>{{cite web|author=[[Фабрис Беллар|Fabrice Bellard]].|url=http://bellard.org/pi/pi_bin/pi_bin.html|title=A new formula to compute the n<sup>th</sup> binary digit of pi|access-date=2010-01-11|lang=en|archive-url=https://www.webcitation.org/617AsLjCD?url=http://bellard.org/pi/pi_bin/pi_bin.html|archive-date=2011-08-21|url-status=live}}</ref>.

В 2006 году Саймон Плафф, используя алгоритм PSLQ, нашёл ряд красивых формул<ref>{{cite web|author=Simon Plouffe.|url=http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf|title=Indentities inspired by Ramanujan’s Notebooks (part 2)|access-date=2010-01-11|lang=en|archive-url=https://www.webcitation.org/617AtFW4Y?url=http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf|archive-date=2011-08-21|url-status=dead}}</ref>. Пусть ''q'' = [[Постоянная Гельфонда|e<sup>π</sup>]], тогда

: <math>\frac{\pi}{24} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \left(\frac{3}{q^n-1} - \frac{4}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) </math>

: <math>\frac{\pi^3}{180} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \left(\frac{4}{q^n-1} - \frac{5}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) </math>

и другие вида

: <math>\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right) </math>,

где ''q'' = [[Постоянная Гельфонда|''e''<sup>π</sup>]], ''k'' — [[нечётное число]], и ''a'', ''b'', ''c'' — [[рациональное число|рациональные числа]]. Если ''k'' — вида 4''m'' + 3, то эта формула имеет особенно простой вид:

: <math>p\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{2^{k-1}}{q^n-1} - \frac{2^{k-1}+1}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) </math>

для рационального ''p'', у которого [[Дробь (математика)|знаменатель]] — число, хорошо разложимое на множители, хотя строгое доказательство ещё не предоставлено.

В августе 2009 года учёные из японского университета Цукубы рассчитали последовательность из {{num|2576980377524|десятичных разрядов}}<ref>{{Cite web |url=http://science.compulenta.ru/451031/ |title=Установлен новый рекорд точности вычисления числа π |access-date=2009-08-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090822131356/http://science.compulenta.ru/451031/ |archive-date=2009-08-22 |url-status=dead }}</ref>.

19 октября 2011 года [[Йи, Александр|Александр Йи]] и {{iw|Кондо, Сигэру|Сигэру Кондо|ja|近藤茂}} рассчитали последовательность с точностью в 10 триллионов цифр после запятой<ref>{{Cite web|url=http://iscience.ru/2011/10/20/opredeleno-10-trillionov-cifr-desyatichnogo-razlozheniya-dlya-%CF%80/|title=Определено 10 триллионов цифр десятичного разложения для π|url-status=dead|access-date=2019-10-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20180725122041/http://iscience.ru/2011/10/20/opredeleno-10-trillionov-cifr-desyatichnogo-razlozheniya-dlya-%CF%80/|archive-date=2018-07-25}}</ref><ref name="pi-10t">{{Cite web |url=http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html |title=Round 2… 10 Trillion Digits of Pi |access-date=2011-10-22 |archive-date=2018-10-01 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181001042017/http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html |url-status=live }}</ref>. 28 декабря 2013 года они же рассчитали последовательность с точностью до 12,1 триллиона цифр после запятой<ref>{{Cite web|url=http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-12t/|title=Pi - 12.1 Trillion Digits|publisher=www.numberworld.org|access-date=2019-10-29|archive-date=2018-10-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20181001165945/http://numberworld.org/misc_runs/pi-12t/|url-status=live}}</ref>.

14 марта 2019 года, когда отмечался неофициальный праздник числа пи, компания [[Google (компания)|Google]] представила данное число с 31,4 триллиона знаков после запятой. Вычислить его с такой точностью сумела сотрудница Google в Японии Эмма Харука-Ивао<ref>{{Cite web|url=https://www.mk.ru/science/2019/03/14/znachenie-chisla-pi-vychislili-do-314-trln-znakov-posle-zapyatoy.html|title=Значение числа «пи» вычислили до 31,4 трлн знаков после запятой|publisher=www.mk.ru|lang=ru|access-date=2019-03-14|archive-date=2019-03-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20190314211018/https://www.mk.ru/science/2019/03/14/znachenie-chisla-pi-vychislili-do-314-trln-znakov-posle-zapyatoy.html|url-status=live}}</ref>.

В августе 2021 года швейцарские учёные Университета прикладных наук Граубюндена смогли вычислить число <math>\pi</math> с точностью до 62,8 триллиона знаков после запятой, обновив прошлые рекорды. Расчёты производились на суперкомпьютере 108 дней и девять часов. Скорость вычислений в два раза превысила рекорд, установленный Google в 2019 году, и в 3,5 раза — рекорд 2020 года, когда в числе <math>\pi</math> было рассчитано более 50 триллионов цифр после запятой<ref>{{Cite web|url=https://phys.org/news/2021-08-swiss-declare-exact-pi-figure.html|title=Swiss researchers declare new record for exact pi figure|website=phys.org|date=2021-08-17|lang=en|access-date=2021-08-17|archive-date=2021-08-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20210817164730/https://phys.org/news/2021-08-swiss-declare-exact-pi-figure.html|url-status=live}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.fhgr.ch/en/specialist-areas/applied-future-technologies/davis-centre/pi-challenge/|title=World record attempt by UAS Grisons|website=fhgr.ch|date=2021-08-17|lang=en|access-date=2021-08-17|archive-date=2021-08-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20210817040515/https://www.fhgr.ch/en/specialist-areas/applied-future-technologies/davis-centre/pi-challenge/|url-status=live}}</ref>.

9 июня 2022 года команда Google под руководством Эммы Харука-Ивао рассчитала первые 100 триллионов знаков числа «пи» после запятой, потратив на это почти 158 дней<ref name="ддд" /><ref>{{cite web|author=Роман Кильдюшкин|title=Google установила мировой рекорд по вычислению числа Пи Google рассчитала число Пи до 100 триллионов знаков после запятой|url=https://www.gazeta.ru/tech/news/2022/06/09/17904722.shtml|publisher=[[Газета.ru]]|date=9.06.2022|access-date=2022-06-10|archive-date=2022-06-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20220610110129/https://www.gazeta.ru/tech/news/2022/06/09/17904722.shtml|url-status=live}}</ref>.

В июне 2024 года команда лаборатории StorageReview Lab вычислила число пи с точностью до 202 триллионов знаков после запятой, а если быть более точным, до 202 112 290 000 000 цифр после запятой<ref>{{Cite web|url=https://www.storagereview.com/news/storagereview-lab-breaks-pi-calculation-world-record-with-over-202-trillion-digits|author=Jordan Ranous|title=StorageReview Lab Breaks Pi Calculation World Record with Over 202 Trillion Digits|lang=en|date=28.06.2024}}</ref>.

Программа «{{нп5|Супер Пи|||Super PI}}», фиксирующая время, за которое вычисляется заданное количество знаков (до 32 миллионов) числа пи, может быть использована для [[Тест производительности|тестирования производительности]] компьютеров.

== Рациональные приближения ==
<!-- Пустые строки между пунктами этого списка добавлены чтобы дроби не налезали друг на друга-->
* <math>\frac{22}{7}</math> — [[Архимед]] (III век до н. э.) — древнегреческий математик, физик и инженер;
* <math>\frac{377}{120}</math> — Клавдий [[Клавдий Птолемей|Птолемей]] (II век н. э.) — древнегреческий астроном и географ, и [[Ариабхата]] (V век н. э.) — индийский астроном и математик;
* <math>\frac{355}{113}</math> — [[Цзу Чунчжи]] (V век н. э.) — китайский астроном и математик.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ Сравнение точности приближений
|-
! scope="col" | Число
! scope="col" | [[Округление|Округлённое значение]]
! scope="col" | Точность (совпадения [[Числовой разряд|разрядов]])
|-
! scope="row" style="font-size: 1.5em" | <math>\pi</math>
| 3,14159265…
|
|-
! scope="row" | <math>\frac{22}{7}</math>
| {{blue|'''3,14'''}}285714…
| 2 разряда после запятой
|-
! scope="row" | <math>\frac{377}{120}</math>
| {{blue|'''3,141'''}}66667…
| 3 разряда после запятой
|-
! scope="row" | <math>\frac{355}{113}</math>
| {{blue|'''3,141592'''}}92…
| 6 разрядов после запятой
|}

== Открытые проблемы ==
* Неизвестна точная [[мера иррациональности]] для чисел <math>\pi</math> и <math>\pi^2</math> (но известно, что для <math>\pi</math> она не превышает 7.103205334137)<ref>{{MathWorld|IrrationalityMeasure|Мера иррациональности}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://arxiv.org/abs/1912.06345|title=The Irrationality Measure of Pi is at most 7.103205334137|author=Doron Zeilberger, Wadim Zudilin|website=arxiv.org|date=2019|publisher=|access-date=|archive-date=2020-10-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20201017182841/https://arxiv.org/abs/1912.06345|url-status=live}}</ref>.
* Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: <math>\pi + e, \pi - e, \pi \cdot e, \frac{\pi}{e}, \pi ^ e, \pi ^{\sqrt 2}, \ln \pi, \pi ^ \pi, e^{\pi^2}.</math> Ни для одного из них неизвестно даже, является ли оно [[Рациональное число|рациональным]] числом, [[Алгебраическое число|алгебраическим]] [[Иррациональное число|иррациональным]] или [[Трансцендентное число|трансцендентным]] числом. Следовательно, неизвестно, являются ли числа <math>\pi</math> и <math>e</math> [[Алгебраическая независимость|алгебраически независимыми]]<ref name="autogenerated1">{{MathWorld|IrrationalNumber|Иррациональное число}}</ref><ref>{{MathWorld|Pi|Pi}}</ref><ref>{{Cite web |url=http://www.math.ou.edu/~jalbert/courses/openprob2.pdf |title=Some unsolved problems in number theory |access-date=2010-09-27 |archive-date=2010-07-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100719030203/http://www.math.ou.edu/~jalbert/courses/openprob2.pdf |url-status=live }}</ref><ref>{{MathWorld|TranscendentalNumber|Трансцендентное число}}</ref><ref>{{Cite web |url=http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/AWSLecture5.pdf |title=An introduction to irrationality and transcendence methods |access-date=2010-09-27 |archive-date=2013-05-17 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130517183134/http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/AWSLecture5.pdf |url-status=live }}</ref>.
* Неизвестно, является ли <math>{^n\pi}</math> [[целые числа|целым числом]] при каком-либо положительном целом <math>n</math> (см. [[тетрация]]).
* До сих пор ничего неизвестно о [[Нормальное число|нормальности]] числа <math>\pi</math>; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа <math>\pi</math> бесконечное количество раз. Компьютерная проверка 200 млрд десятичных знаков <math>\pi</math> показала, что все 10 цифр встречаются в этой записи практически одинаково часто{{sfn |Вездесущее число «пи»|2007|с=67—69}}:
{| class="wikitable"
|-
! Цифра !! Сколько раз<br>появляется
|-
! 0 !! 20 000 030 841
|-
! 1 !! 19 999 914 711
|-
! 2 !! 20 000 013 697
|-
! 3 !! 20 000 069 393
|-
! 4 !! 19 999 921 691
|-
! 5 !! 19 999 917 053
|-
! 6 !! 19 999 881 515
|-
! 7 !! 19 999 967 594
|-
! 8 !! 20 000 291 044
|-
! 9 !! 19 999 869 180
|}

Однако строгое доказательство отсутствует.
* Неизвестно, принадлежит ли <math>\frac{1}{\pi}</math> к [[Кольцо периодов|кольцу периодов]].

== Метод иглы Бюффона ==
{{main|Задача Бюффона о бросании иглы}}
На разлинованную равноудалёнными прямыми плоскость произвольно бросается игла, длина которой равна расстоянию между соседними прямыми, так что при каждом бросании игла либо не пересекает прямые, либо пересекает ровно одну. Можно доказать, что отношение числа пересечений иглы с какой-нибудь линией к общему числу бросков стремится к <math>\frac2\pi</math> при увеличении числа бросков до бесконечности<ref>[http://kvant.mirror1.mccme.ru/1983/05/obman_ili_zabluzhdenie.htm Обман или заблуждение?] {{Wayback|url=http://kvant.mirror1.mccme.ru/1983/05/obman_ili_zabluzhdenie.htm |date=20120130192306 }} // Квант. — 1983. — № 5.</ref>. Данный метод иглы базируется на [[теория вероятностей|теории вероятностей]] и лежит в основе [[метод Монте-Карло|метода Монте-Карло]]<ref>''Гальперин Г. А.'' [http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1161679&uri=node2.html Биллиардная динамическая система для числа пи] {{Wayback|url=http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1161679&uri=node2.html |date=20140613060835 }}.</ref>.

== [[Мнемоника|Мнемонические]] правила и рекорды запоминания ==
Стихотворения для запоминания 8—11 знаков числа <math>\pi</math>:
{| width="100%"
|-valign="top"
|
{{начало цитаты}}
<poem>
Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.

Надо только постараться
И запомнить всё как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
</poem>
{{конец цитаты}}
|
{{начало цитаты}}
<poem>
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать.

Можно просто постараться
И почаще повторять:
«Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, двадцать шесть и пять».
</poem>
{{конец цитаты}}
|}
Запоминанию может помогать соблюдение стихотворного размера:
{{начало цитаты}}
<poem>
Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пять
Восемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шесть
Два шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль два
Восемь восемь и четыре, девятнадцать, семь, один
</poem>
{{конец цитаты}}
Существуют стихи, в которых первые цифры числа <math>\pi</math> зашифрованы в виде количества букв в словах:
{| width="100%"
|-valign="top"
|
{{начало цитаты}}
<poem>
Это я знаю и помню прекрасно:
Пи многие знаки мне лишни, напрасны.
Доверимся знаньям громадным
Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду.
</poem>
{{конец цитаты}}
{{начало цитаты}}
<poem>
Учи и знай в числе известном
За цифрой цифру, как удачу примечать.
</poem>
{{конец цитаты}}
|
{{начало цитаты}}
<poem>
Раз у Коли и Арины
Распороли мы перины.
Белый пух летал, кружился,
Куражился, замирал,
Ублажился,
Нам же дал
Головную боль старух.
Ух, опасен пуха дух!
</poem>
{{конец цитаты|источник=Георгий Александров}}
|}

Подобные стихи существовали и в [[Реформа русской орфографии 1918 года|дореформенной орфографии]], поэтому во всех словах, заканчивающихся на согласную, в конце стоит «ъ».
Например, следующее стихотворение, сочинённое преподавателем Нижегородской гимназии Шенроком<ref>[[Элементарная геометрия (Киселёв)|«Элементарная геометрия» Киселёва]][[s:Индекс:А. П. Киселёв. Элементарная геометрия (1914).djvu|стр. 225]]</ref>:
{{начало цитаты}}<poem>
Кто и шутя и скоро пожелаетъ
Пи узнать число, ужъ знаетъ.</poem>{{конец цитаты}}

Мировой рекорд по запоминанию знаков числа <math>\pi</math> после запятой принадлежит 21-летнему индийскому студенту Раджвиру Мина (Rajveer Meena), который в марте 2015 года воспроизвёл {{num|70000|знаков}} после запятой за 9 часов 27 минут<ref>{{Cite web |url=http://www.ndtv.com/india-news/21-year-old-memorises-70-000-pi-digits-sets-guinness-record-1226747 |title=21-Year-Old Memorises 70,000 Pi Digits, Sets Guinness Record |access-date=2016-04-03 |archive-date=2016-04-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160418213317/http://www.ndtv.com/india-news/21-year-old-memorises-70-000-pi-digits-sets-guinness-record-1226747 |url-status=live }}</ref>. До этого, на протяжении почти 10 лет, рекорд держался за китайцем Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл {{num|67890|знаков}} после запятой без ошибки<ref>{{Cite web |url=http://www.newsgd.com/culture/peopleandlife/200611280032.htm |title=Chinese student breaks Guiness record by reciting 67,890 digits of pi |access-date=2010-09-26 |archive-date=2011-05-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110507153650/http://www.newsgd.com/culture/peopleandlife/200611280032.htm |url-status=live }}</ref><ref>{{Cite web |url=http://www.pi-world-ranking-list.com/lists/details/luchaointerview.html |title=Interview with Mr. Chao Lu |access-date=2010-09-26 |archive-date=2010-09-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100924054052/http://www.pi-world-ranking-list.com/lists/details/luchaointerview.html |url-status=live }}</ref>. В том же 2006 году японец Акира Харагути заявил, что запомнил число <math>\pi</math> до 100-тысячного знака после запятой<ref>[https://archive.today/20120714174124/search.japantimes.co.jp/print/fl20061217x1.html How can anyone remember 100,000 numbers?] — The Japan Times, 17.12.2006.</ref>, однако проверить это официально не удалось<ref>{{Cite web |url=http://www.pi-world-ranking-list.com/news/index.html |title=Pi World Ranking List |access-date=2010-09-26 |archive-date=2010-09-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100930184318/http://www.pi-world-ranking-list.com/news/index.html |url-status=live }}</ref>.

В России рекорд по запоминанию был установлен в 2019 году Денисом Бабушкиным ({{num|13202|знака}})<ref>{{cite web|author=Юлия Сталина|title=«Помогли мысли о Джонни Деппе»: школьник из Екатеринбурга запомнил 13202 знака числа Пи|url=https://www.ural.kp.ru/daily/27047/4113249/|publisher=[[Комсомольская правда (сайт)|KP.RU]]|date=2019-10-28|access-date=2022-06-10|archive-date=2022-05-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20220515182739/https://www.ural.kp.ru/daily/27047/4113249/|url-status=live}}</ref>.

== В культуре ==
* В штате [[Индиана]] (США) в 1897 году была предпринята попытка принять [[Законопроект о числе пи]], устанавливающий его значение равным 3,2<ref>[http://www.agecon.purdue.edu/crd/Localgov/Second%20Level%20pages/indiana_pi_bill.htm The Indiana Pi Bill, 1897] {{Wayback|url=http://www.agecon.purdue.edu/crd/Localgov/Second%20Level%20pages/indiana_pi_bill.htm |date=20160617215249 }}{{ref-en}}</ref>. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора [[Университет Пердью|Университета Пердью]], присутствовавшего в законодательном собрании штата во время рассмотрения данного закона;
* Существует [[Пи (фильм)|художественный фильм]], названный в честь числа пи;
* Неофициальный праздник «[[День числа пи]]» ежегодно отмечается [[14 марта]], которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14 , что соответствует приближённому значению числа <math>\pi</math>. Считается<ref>[http://latimesblogs.latimes.com/thehomeroom/2008/03/a-slice-of-pi-p.html Статья в Los Angeles Times «Желаете кусочек <math>\pi</math>»? (название обыгрывает сходство в написании числа <math>\pi</math> и слова pie (англ. пирог))] {{Wayback|url=http://latimesblogs.latimes.com/thehomeroom/2008/03/a-slice-of-pi-p.html |date=20090219220744 }} {{недоступная ссылка|число=22|месяц=05|год=2013|url=http://latimesblogs.latimes.com/thehomeroom/2008/03/a-slice-of-pi-p.html|id=20100516}}{{ref-en}}.</ref>, что праздник придумал в [[1987 год]]у физик из [[Сан-Франциско]] [[Ларри Шоу]], обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа пи = 3,14159;
** Ещё одной датой, связанной с числом <math>\pi</math>, является [[22 июля]], которое называется «Днём приближённого числа пи» ({{lang-en|Pi Approximation Day}}), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является рациональным приближённым значением числа <math>\pi</math>.
* Американская [[прогрессив-метал]]-группа [[After the Burial|After The Burial]] записала песню Pi — The Mercury God of Infinity, в которой партия [[Ритм-гитара|ритм-гитары]] и [[Большой барабан#Бас-барабан|бас-бочки]] основана на высших разрядах десятичной дроби числа <math>\pi</math>.
* Французская [[спейс-рок]]-группа [[Rockets]] в 1981 году выпустила [[музыкальный альбом]] «Pi 3,14».
* [[Араго, Франсуа Жан Доминик|Франсуа Араго]] в «Общепонятной астрономии» писал<ref>Цитируется со страниц 16-17 книги: {{книга|автор=[[Перельман, Яков Исидорович|Перельман Я. И.]]|заглавие=Квадратура круга
 |место = Л.|издательство=Дом занимательной науки|год=1941
}}</ref>:
{{Начало цитаты}}Посмотрим, с какою точностью возможно, пользуясь цифрами пи (числа пи), вычислить длину окружности, радиус которой равен среднему расстоянию Земли от Солнца ({{num|150000000|км}}). Если для пи взять 18 цифр, то ошибка на одну единицу в последней цифре повлечет за собой в длине вычисляемой окружности погрешность в 0,0003 миллиметра; это гораздо меньше толщины волоса.

Мы взяли 18 цифр пи. Легко представить себе, какую невообразимо малую погрешность сделали бы, при огромности вычисляемой окружности, если бы воспользовались для пи всеми известными его цифрами. Из сказанного ясно, как заблуждаются те, которые думают, будто науки изменили бы свой вид, и их применения много выиграли бы от нахождения точного пи, если бы оно существовало.

Итак, даже для астрономии‚ — науки, прибегающей к наиболее точным вычислениям‚ — не требуется вполне точного решения…{{конец цитаты}}

== См. также ==
* [[Точка Фейнмана]]
* [[Число τ]]
* [[e (число)]]

== Примечания ==
;Комментарии
{{Примечания|group=K}}

;Источники
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Жуков А. В.|ссылка=http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.18.pdf|заглавие=О числе π|язык=ru|место=М.|издательство=МЦМНО|год=2002|страниц=32|isbn=5-94057-030-5}}
* {{книга|автор=Жуков А. В.|заглавие=Вездесущее число «пи»|издание=2-е изд |ref=Вездесущее число «пи»
 |место = М.|издательство=Издательство ЛКИ|год=2007|страниц=216|isbn=978-5-382-00174-6
}}
* {{Книга|автор=Кымпан, Флорика. |заглавие=История числа пи |ref=Кымпан
 |ответственный = |издание=|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1971|страницы=|страниц=217|isbn= 
}}
* {{книга |автор=Наварро, Хоакин. |серия=Мир математики: в 45 томах, том 7 |ref=Хоакин Наварро
 |заглавие=Секреты числа <math>\pi.</math> Почему неразрешима задача о квадратуре круга
 |место=М. |издательство=Де Агостини |год=2014 |страниц=143 |isbn=978-5-9774-0629-1
}}
* {{книга|автор=[[Перельман, Яков Исидорович|Перельман Я. И.]]|заглавие=Квадратура круга
 |место = Л.|издательство=Дом занимательной науки|год=1941
}} Переиздание: ЁЁ Медиа, ISBN 978-5-458-62773-3.
* {{книга|автор=Шумихин С., Шумихина А.|заглавие=Число Пи. История длиною в 4000 лет
 |место = М.|издательство=Эксмо |год=2011 |страниц=192 |isbn=978-5-699-51331-4 |isbn2=5-4574041-9-6 |isbn3=978-5-4574041-9-9 |серия=Тайны мироздания
}}
* {{Книга|автор=David H. Bailey, Jonathan M. Borwein
 |заглавие=Pi: The Next Generation A Sourcebook on the Recent History of Pi and Its Computation
 |ответственный=|место=|издательство=Springer|год=2016|страницы=|страниц=507|isbn=978-3-319-32375-6
}}
* {{Книга|автор=Arndt, Jörg; Haenel, Christoph|заглавие=Pi Unleashed|ответственный=|год=2006|язык=en|издание=|место=|издательство=[[Springer-Verlag]]|страницы=194–196|страниц=270|isbn=978-3-540-66572-4}}

== Ссылки ==
{{Навигация}}
* [https://pi.delivery/ pi.delivery] {{Wayback|url=https://pi.delivery/ |date=20201110120401 }} 50 трлн знаков числа пи (мировой рекорд).
* {{MathWorld |urlname=PiFormulas |title=Pi Formulas}}
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=Representations+of+Pi Различные представления числа Пи] {{Wayback|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=Representations+of+Pi |date=20110812163917 }} на [[WolframAlpha]]{{ref-en}}
* https://functions.wolfram.com/Constants/Pi/ {{Wayback|url=https://functions.wolfram.com/Constants/Pi/ |date=20210112052703 }}
* {{OEIS|A000796}}
* [https://pi2e.ch/ 22,4 трлн знаков числа пи] {{Wayback|url=https://pi2e.ch/ |date=20201110092716 }}{{ref-en}}

{{внешние ссылки}}
{{Числа с собственными именами}}
{{Иррациональные числа|nocat=1}}

[[Категория:Пи (число)| ]]
[[Категория:Положительные числа]]
[[Категория:Трансцендентные числа]]