Просмотр кода страницы Поворот

{{Значения|Вращение (значения)}}
{{Другие значения|Поворот (значения)}}
[[Файл:Rotation illustration2.svg|right|thumb|Поворот фигуры в плоскости относительно точки O против часовой стрелки на угол <big>α</big>]]
'''Поворо́т'''<ref>{{ВТ-ТСД2|Поворачивать}}</ref><ref>{{ВТ-ЭСБЕ|Поворот}}</ref> ('''враще́ние''') — [[Изометрия (математика)|движение]] [[Плоскость (геометрия)|плоскости]] или [[Нормированное пространство|пространства]], при котором по крайней мере одна точка остаётся неподвижной.

== Связанные определения ==
* Неподвижная точка при повороте [[Плоскость (геометрия)|плоскости]] называется '''центром вращения'''.
* Неподвижная прямая при повороте [[Трёхмерное пространство|трёхмерного пространства]] называется '''осью вращения'''.

== Собственное и несобственное вращения ==

=== Определения ===
* Вращение называется '''собственным''', если оно сохраняет [[Ориентация|ориентацию]] пространства.

* Возможно ещё одно определение '''собственного вращения''' для плоскости: собственное вращение плоскости — это [[Изометрия (математика)|движение]], при котором все лучи, исходящие из данной точки, поворачиваются на один и тот же угол в одном и том же направлении (по или против часовой стрелки).

* Вращение называется '''несобственным''', если оно не является собственным.

Часто под термином ''вращение'' подразумевается только ''собственное вращение''.

=== Свойства ===
* Несобственное вращение является композицией некоторого собственного вращения и [[Отражение (геометрия)|зеркального отражения]] (на плоскости — [[Осевая симметрия|осевой симметрии]], в пространстве нечётной размерности — [[Центральная симметрия|центральной]]).

* Для любой ограниченной области пространства его собственное вращение относительно любой точки можно сделать таким, чтобы все точки области сместились не более, чем на некоторое заранее фиксированное расстояние, однако для несобственного вращения данное утверждение перестаёт быть верным.

== Поворот в [[Плоскость (геометрия)|двумерном пространстве]] ==
В аналитической геометрии на плоскости собственное вращение в прямоугольных декартовых координатах выражается формулами:
: <math>x'=x\cos\varphi-y\sin\varphi,</math>
: <math>y'=x\sin\varphi+y\cos\varphi,</math>
где <math>\varphi</math> — угол поворота, а центр вращения выбран в начале координат.<br /> При тех же условиях несобственное вращение плоскости выражается формулой
: <math>x'=x\cos\varphi+y\sin\varphi,</math>
: <math>y'=x\sin\varphi-y\cos\varphi.</math>

В [[Планиметрия|планиметрии]] поворот около точки [центра] <math>O</math> на угол поворота <math>\alpha</math> обозначается также <math> R^{\alpha}_{O} </math>, где <math> \alpha \in ( -\pi; \pi ]. </math><br /> Поворот на угол <math>\beta' = \alpha + 2 \pi \cdot n ,</math> где <math>n \in \Z</math> и <math> \alpha \in ( -\pi; \pi ] </math> отождествляется с поворотом <math> R^{\alpha}_{O} </math> (угол поворота на полный угол <math> 2 \pi ~ (360^\circ) </math> зачастую также называется [[Оборот (единица измерения)|оборотом]]).<br />
Если углы поворотов <math>\alpha, \beta</math> и их сумма <math>\alpha + \beta</math> заключены в пределах от <math> - \pi </math> до <math> \pi ,</math> то при последовательном выполнении ([[Композиция функций|композиции]]) поворотов их углы складываются (см. также [[#Композиция поворотов на плоскости (комплексный вид)]]):
: <math> R^{\beta}_{O} \circ R^{\alpha}_{O} = R^{\alpha+\beta}_{O} ,</math>
причём композиция двух поворотов обладает свойством коммутативности:
: <math> R^{\beta}_{O} \circ R^{\alpha}_{O} = R^{\alpha}_{O} \circ R^{\beta}_{O}.</math>

См. также [[Изометрия (математика)]]

=== Матричный вид ===
При использовании матричного подхода точку <math> (x, y) </math> записывают в виде [[Вектор (математика)|вектора]], затем умножают на матрицу:
: <math> \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =
 \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}</math>.

<math>(x ', y')</math> координаты точки, полученные вращением точки <math> (x , y)</math>.

Векторы <math> \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} </math> и <math> \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} </math> имеют одинаковую размерность.

=== Комплексный вид ===
Вращение плоскости можно представить с помощью [[Комплексное число|комплексных чисел]]. Множество всех этих чисел геометрически представляет собой двумерную [[Комплексная плоскость|комплексную плоскость]]. Точка <math> (x, y) </math> на плоскости представлена комплексным числом <math>z = x + iy </math>.

Вращение точки на угол <math> \theta </math> можно осуществить умножением <math> e ^ {i \theta} </math>, используя [[Формула Эйлера|формулу Эйлера]]

: <math>\begin{align}
e^{i \theta} z &= (\cos \theta + i \sin \theta) (x + i y) \\
               &= (x \cos \theta + i y \cos \theta + i x \sin \theta - y \sin \theta) \\
               &= (x \cos \theta - y \sin \theta) + i (x \sin \theta + y \cos \theta) \\
               &= x' + i y' ,
\end{align}</math>

что дает такой же результат,

: <math>\begin{align}
x'&=x\cos\theta-y\sin\theta\\
y'&=x\sin\theta+y\cos\theta.
\end{align}</math>

=== Композиция поворотов на плоскости (комплексный вид) ===
Пусть совершается вначале поворот вокруг точки <math>a</math> на угол <math>\alpha</math>, затем поворот вокруг точки <math>b</math> на угол <math>\beta</math>. И пусть точки <math>a</math> и <math>b</math> представлены в виде комплексных чисел вида <math>x + i y</math>. Положительным считается поворот против часовой стрелки.
Такая композиция поворотов эквивалентна повороту на угол <math> \gamma~= \alpha + \beta </math> вокруг точки <math>c</math>, которая вычисляется по формуле <math>c = a + (b-a) e^{i {\alpha'}}\frac {\sin \alpha'}{\sin \gamma'}</math>,

где <math>\alpha' = \frac \alpha 2</math>, а <math>\gamma' = \frac \gamma 2</math>

Если <math>\alpha + \beta = 0</math>, то композиция поворотов эквивалентна параллельному сдвигу плоскости на вектор <math>r = (b - a)(e^{i \alpha} - 1)</math>

== Свойства ==
* Если [[Репер (аффинная геометрия)|репер]] привязан к центру вращения, то оно реализуется [[ортогональная матрица|ортогональной матрицей]].
** Вращения трёхмерного [[евклидово пространство|евклидова пространства]] (с фиксированным центром) образуют [[группа (математика)|группу]] O(3) (собственные — группу [[SO(3)]]).
** Вращения двумерного пространства ([[плоскость (математика)|плоскости]]) образуют соответственно группы O(2) и [[SO(2)]] (изоморфную [[U(1)]]).

== См. также ==
{{кол|2}}
* [[Вращательное движение]] — процесс непрерывного поворота в механике.
* [[Группа вращений]]
* [[Матрица поворота]]
* [[Ортогональная группа]]
* [[Ортогональное преобразование]]
* [[Специальная ортогональная группа]]
* [[Угловая скорость]]
{{конец кол}}

== Примечания ==
{{примечания}}
{{Викисловарь|поворот}}

== Литература ==
* ''Уайт'', «Руководство по теории кораблестроения» (перевод с англ.), {{СПб}}, 1885
* ''Березин'', «Морская практика», {{СПб}}, 1880
* {{ВТ-ЭСБЕ|Поворот}}
* {{ВТ-ВЭС|Повороты парусного корабля}}
* {{ВТ-ТСД2|Поворачивать}}

== Ссылки ==
{{внешние ссылки}}{{Высший пилотаж}}
{{нет ссылок|дата=7 июня 2019}}

[[Категория:Движения пространства]]