Просмотр кода страницы Подмножество

{{нет ссылок|дата=20 июня 2018}}
{{Falseredirect|Подкласс (теория множеств)}}
[[Файл:Venn A subset B.svg|150px|thumb|right|На диаграмме [[Круги Эйлера|кругов Эйлера]] видно, что <math>A</math> является подмножеством <math>B</math>, а <math>B</math> является надмножеством <math>A.</math>]]
В математике говорят, что [[множество]] <math>A</math> есть '''подмно́жество''' множества <math>B</math>, если все [[Элемент множества|элементы]] первого множества являются и элементами второго множества.

== Определение ==
[[Множество]] <math>A</math> называется подмножеством множества <math>B</math>, если все [[Элемент множества|элементы]], принадлежащие <math>A</math>, также принадлежат <math>B</math>{{sfn|Биркгоф|с=10|1976}}. Формальное определение:
: <math>(A \subset B) \Leftrightarrow \left ( \forall x (x \in A \Rightarrow x \in B )\right)\,</math>

Существует две системы символических обозначений для подмножеств:
{| class="wikitable"
! «<math>A</math> является подмножеством <math>B</math> (нестрогим)» обозначается
! «<math>A</math> является строгим подмножеством <math>B</math>» обозначается
! Примечание
|-
| <math>A \subseteq B</math>
| <math>A \subset B</math>
| Символ <math>\subseteq</math> является аналогом <math>\leq</math>, то есть в случае <math>A\subseteq B</math> допускается равенство <math>A=B</math> множеств;
символ <math>\subset</math> является аналогом <math> < </math>, то есть в случае <math>A \subset B</math> в <math>B</math> есть элементы, которых нет в <math>A</math>.
|-
| <math>A \subset B</math>
| <math>A \subsetneq B</math>
| Для понятия «(нестрогое) подмножество» используется более простой символ, так как оно считается более «фундаментальным».
|}
Обе системы обозначений предусмотрены стандартом [[ISO 31-11]], но используют символ <math>\subset</math> в разных смыслах, что может привести к путанице. В данной статье мы будем использовать последнюю систему обозначений.

Множество <math>B</math> называется {{видимый якорь|надмножество|текст='''надмно́жеством'''}} множества <math>A</math>, если <math>A</math> является подмножеством множества <math>B</math>.

То, что <math>B</math> является надмножеством множества <math>A</math>, записывают <math>B \supset A</math>, то есть
<math>(A \subset B) \Leftrightarrow (B \supset A)\, .</math>

[[Множество всех подмножеств]] множества <math>A</math> обозначается <math>\mathcal{P}(A)</math>.

Множества <math>A</math> и <math>B</math> называются '''равными''' <math>A = B</math>, [[Тогда и только тогда|только когда]] они состоят из одних и тех же элементов, то есть <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>.<ref name="Mel">''Мельников О. В., Ремеслеников В. Н., Романьков В. А.'' Общая алгебра. Том 1. — М., Наука, 1990. — с. 11</ref>

=== Собственное и несобственное подмножество ===
Любое множество <math>B</math> среди своих подмножеств содержит само себя и [[пустое множество]]. Само множество <math>B</math> и пустое множество называют '''несобственными подмножествами''', остальные подмножества называют '''собственными'''<ref>Подмножество. // Математический энциклопедический словарь. / ред. [[Прохоров, Юрий Васильевич|Ю. В. Прохоров]]. — М., Советская энциклопедия, 1988. — с. 465</ref>.

То есть, если мы хотим исключить само <math>B</math> и пустое множество из рассмотрения, мы пользуемся понятием '''со́бственного''' подмножества, которое определяется так:
: множество <math>A</math> является собственным подмножеством множества <math>B</math>, только если <math>A \subset B</math> и <math>A \ne B</math>, <math>A \ne \varnothing</math>.

==== Зарубежная литература ====
В зарубежной литературе несобственные подмножества в вышеуказанном смысле (само множество B и пустое множество) называют '''тривиальными''', а собственные — '''нетривиальными''', а термин «'''собственное подмножество'''» (proper subset) применяется в значении «строгое включение ''A'' в ''B''» или «подмножество ''A'', строго входящее в множество ''B'', то есть такое, которому не принадлежит как минимум один элемент множества ''B''», то есть здесь понятие «'''собственное подмножество'''» уже, наоборот, включает пустое множество.

В этом случае, если вдобавок нужно исключить из рассмотрения пустое множество, нужно использовать понятие '''нетривиа́льного''' подмножества, которое определяется так:

: множество <math>A</math> является нетривиальным подмножеством множества <math>B</math>, если <math>A</math> является собственным подмножеством (proper subset) <math>B</math> и <math>A \ne \varnothing</math>.

== Примеры ==
* Множества <math>\varnothing,~ \{0\},~ \{1,3,4\},~ \{0,1,2,3,4,5\}</math> являются подмножествами множества <math>\{ 0,1,2,3,4,5\}.</math>
* Множества <math>\varnothing,~ \{0,1,2,3,4,5\}</math> являются тривиальными (несобственными) подмножествами множества <math>\{ 0,1,2,3,4,5\},</math> все остальные подмножества из элементов множества — нетривиальными или собственными.
* Множества <math>\{ \varnothing, \uparrow, \mbox{oca} \},~ \{ \$,\%,*,\uparrow \},~ \{\varnothing\},~ \varnothing</math> являются подмножествами множества <math>\{ \$, \%, \varnothing, \uparrow, *, \mbox{oca} \}.</math>
* Пусть <math>A = \{a,b\}.</math> Тогда <math>\mathcal{P}(A) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a,b\} \}.</math>
* Пусть <math>A = \{1,2,3,4,5\},\; B = \{1,2,3\},\; C = \{4,5,6,7\}</math>. Тогда <math>B \subset A,\; C \not\subset A,</math> а также <math>\neg(C\subsetneq A)</math> (то есть ''C'' [[Отрицание|не]] является ни строгим, ни нестрогим подмножеством ''A'').

== Свойства ==
Отношение подмножества обладает целым рядом свойств<ref name="ilyin">{{книга
|автор = [[Ильин, Владимир Александрович (математик)|{{nobr|В. А. Ильин}}]], [[Садовничий, Виктор Антонович|{{nobr|В. А. Садовничий}}]], [[Сендов, Благовест|{{nobr|Бл. Х. Сендов}}]].
|часть = Глава 2. Вещественные числа
|заглавие = Математический анализ
|ссылка = http://sci-lib.com/book000401.html
|ответственный = {{nobr|Под ред. [[Тихонов, Андрей Николаевич|А. Н. Тихонова]]}}
|издание = {{nobr|3-е изд.}}, перераб. и доп
|место = М.
|издательство = Проспект
|год = 2006
|том = 1
|страницы = 65
|страниц = 672
|isbn = 5-482-00445-7
|archive-date = 2015-06-23
|archive-url = https://web.archive.org/web/20150623071551/http://sci-lib.com/book000401.html
}}</ref>.
* Отношение подмножества является [[Частично упорядоченное множество|отношением частичного порядка]]:
** Отношение подмножества [[Рефлексивность|рефлексивно]]:
**: <math>B \subset B</math>
** Отношение подмножества [[Антисимметричное отношение|антисимметрично]]:
**: <math>(A \subset B \; \land \; B \subset A) \Leftrightarrow (A = B)</math>
** Отношение подмножества [[Транзитивность|транзитивно]]:
**: <math>(A \subset B \;\land \; B \subset C ) \Rightarrow ( A \subset C )</math>
* [[Пустое множество]] является подмножеством любого другого, поэтому оно является наименьшим множеством относительно отношения подмножества:
*: <math>\varnothing \subset B</math>
* Для любых трёх множеств <math>A</math>, <math>B</math> и <math>X</math> таких, что <math>A,B\subset X</math>, равносильны все следующие утверждения:<ref>{{книга|автор=Келли Дж.|заглавие=Общая топология|ответственный=пер. с англ. [[Архангельский, Александр Владимирович|А.В.&nbsp;Архангельского]]|издание=2-е изд|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1981|страницы=16|страниц=432|оригинал=General topology — 1957}}</ref>
** <math>A \subset B;</math>
** <math>A \cap B = A;</math>
** <math>A \cup B = B;</math>
** <math>X \setminus B \subset X \setminus A;</math>
** <math>(A \cap X) \setminus B = \varnothing;</math>
**<math>A\cap(X\setminus B) = \varnothing;</math>
** <math>(X \setminus A) \cup B = X;</math>
** <math>B^{\complement} \subset A^{\complement}</math>

== Подмножества конечных множеств ==
Если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подмножеств. А именно, у <math>n</math>-элементного множества существует <math>2^n</math> подмножеств (включая [[пустое множество|пустое]]). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а значит, общее количество подмножеств будет <math>n</math>-кратным произведением двоек. Если же рассматривать только подмножества <math>n</math>-элементного множества из <math>k\le n</math> элементов, то их количество выражается [[биномиальный коэффициент|биномиальным коэффициентом]] <math>\textstyle\binom{n}{k}</math>. Для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. Первый элемент можно выбрать <math>n</math> способами, второй <math>n-1</math> способом, и так далее, и, наконец, <math>k</math>-й элемент можно выбрать <math>n-k+1</math> способом. Таким образом мы получим последовательность из <math>k</math> элементов, и ровно <math>k!</math> таким последовательностям соответствует одно подмножество. Значит, всего найдётся <math>\textstyle\frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{k!}=\binom{n}{k}</math> таких подмножеств.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
{{wiktionary|подмножество}}
* {{книга
 | автор         = [[Верещагин, Николай Константинович|Н. К. Верещагин]], [[Шень, Александр Ханиевич|А. Шень]]
 | заглавие      = Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств. 
 | издание       = 3-е изд., стереотип
 | место         = М.
 | издательство  = МЦНМО
 | год           = 2008
 | страниц       = 128
 | isbn          = 978-5-94057-321-0
}}
* {{книга
 | автор         = [[Биркгоф, Гаррет|Биркгоф Г.]], Барти Т.
 | заглавие      = Современная прикладная алгебра 
 | издание       = 
 | место         = М.
 | издательство  = Мир
 | год           = 1976
 | страниц       = 400
 | isbn          = 
 | ref           = Биркгоф
}}

== Ссылки ==
* {{MathWorld |title=Subset |id=Subset }}
{{BC}}{{Логика}}

{{Теория множеств}}
[[Категория:Теория множеств]]