Просмотр кода страницы Позиционная система счисления

{{falseredirect|Позиционная нотация}}
{{Короткая преамбула|дата=2022-07-06}}
'''Позиционная систе́ма счисле́ния''' ('''позиционная, поме́стная нумерация''') — [[система счисления]], в которой значение каждого [[Число|числового]] [[Символ|знака]] ([[цифры]]) в [[Обозначение|записи]] числа зависит от его позиции ([[Числовой разряд|разряда]]) относительно [[Десятичный разделитель|десятичного разделителя]]. Позиционные системы по сравнению с другими позволяют существенно упростить [[алгоритм]]ы выполнения арифметических операций и ускорить вычисления. Их создание и распространение сыграли большую роль в развитии точных наук — [[математика|математики]], [[Астрономия|астрономии]] и [[физика|физики]].

__TOC__
{{Системы счисления}}

== История ==

{{также|Системы счисления разных народов}}

Исторически первое изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается [[шумер]]ам и [[вавилон]]янам. Они использовали [[Шестидесятеричная система счисления|60-ричную позиционную систему счисления]].

Независимо от евразийских цивилизаций [[Двадцатеричная система счисления | двадцатеричную]] [[Цифры майя |позиционную систему счисления]] изобрели индейцы [[Майя (цивилизация)|майя]]. 

Древнейшая известная запись позиционной [[десятичная система счисления|десятичной системы]] обнаружена в Индии в 595 году. Индийская нумерация пришла сначала в арабские страны, затем и в [[Западная Европа|Западную Европу]]. О ней рассказал среднеазиатский математик [[аль-Хорезми]]. Простые и удобные правила сложения и вычитания чисел, записанных в позиционной системе, сделали её особенно популярной. А поскольку труд аль-Хорезми был написан на арабском, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось иное название — «арабская» ([[арабские цифры]]).

== Определения ==

{{anchor|Основание системы счисления}}Позиционная система счисления определяется целым числом <math>b > 1</math>, называемым '''основанием''' системы счисления. Система счисления с основанием <math>b</math> также называется <math>b</math>'''-ичной''' (в частности, ''двоичной'', ''троичной'', ''десятичной'' и т.п.).

[[Целое число]] без знака <math>x</math> в <math>b</math>-ичной системе счисления представляется в виде конечной [[Линейное пространство|линейной комбинации]] степеней числа <math>b</math><ref name="Fomin"/>:
: <math>x = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k</math>, где <math>\ a_k</math> — это целые числа, называемые '''цифрами''', удовлетворяющие неравенству <math>0 \leq a_k \le b-1.</math>
Каждый [[Линейное пространство#Базис. Размерность|базисный элемент]] <math>\ b^k</math> в таком представлении называется '''[[Числовой разряд|разрядом]]''' ('''позицией'''), старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется номером разряда (позиции) <math>\ k</math> (значением показателя степени).

С помощью <math>n</math> позиций в <math>b</math>-ичной системе счисления можно записать целые числа в диапазоне от <math>0</math> до <math>b^n-1</math>, т.е. всего <math>b^n</math> различных чисел.

== Запись чисел ==
Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число <math>x</math> записывают в виде последовательности его <math>b</math>-ичных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо<ref name="Fomin"/>:
: <math>x = a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0.</math>
В ненулевых числах <math>x</math> начальные нули обычно опускаются.

Для записи чисел в системах счисления с основанием до 36 включительно в качестве цифр (знаков) используются арабские цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и, затем, буквы латинского алфавита (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z). При этом, a = 10, b = 11 и т. д., [[ISBN|иногда]] x = 10.

При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе:
: <math>123_{10}</math> — это число 123 в [[Десятичная система счисления|десятичной системе счисления]];
: <math>173_8</math> — то же число в [[Восьмеричная система счисления|восьмеричной системе счисления]];
: <math>1111011_2</math> — то же число, но в [[Двоичная система счисления|двоичной системе счисления]];
: <math>0001\ 0010\ 0011_{10} = 000100100011_{BCD}</math> — то же число, но в [[Десятичная система счисления|десятичной системе счисления]] с [[Двоичный код|двоичным кодированием]] десятичных цифр ([[BCD]]);
: <math>11120_{3N}</math> — то же число, но в несимметричной [[Троичная система счисления|троичной системе счисления]];
: <math>1iiii0_{3S} = 177770_{3S} = 122220_{3S} = +----0_{3S}</math> — то же число, но в симметричной [[Троичная система счисления|троичной системе счисления]], знаки «i», «7», «2» и «−» обозначают «−1», знаки «1» и «+» обозначают «+1».

В некоторых специальных областях применяются особые правила указания основания. Например, в программировании шестнадцатеричная система обозначается:
* в [[язык ассемблера|ассемблере]] и записях общего рода, не привязанных к конкретному языку, буквой h (от '''h'''exadecimal) в конце числа (синтаксис Intel);
* в [[Паскаль (язык программирования)|Паскале]] знаком «$» в начале числа;
* в [[Си (язык программирования)|Си]] и многих других языках комбинацией 0x или 0X (от he'''x'''adecimal) в начале.

В некоторых диалектах языка Си по аналогии с «0x» используется префикс «0b» для обозначения двоичных чисел (обозначение «0b» не входит в стандарт [[ANSI C]]).

В русских [[счёты|счётах]] для записи чисел в десятичной показательной позиционной системе счисления применяется унарнодесятичная система записи (представления) десятичных цифр с одной избыточной унарнодесятичной цифрой «1111111111» = 10_<sub>10</sub> на каждый разряд.

== Примеры ==

* '''2''' — [[двоичная система счисления|двоичная]] (в [[дискретная математика|дискретной математике]], [[информатика|информатике]], [[программирование|программировании]])
* '''3''' — [[троичная система счисления]]
* '''4''' — четверичная система счисления
*'''7''' — семеричная (в [[Музыкальная нотация|музыке]] для обозначения названий нот)<ref>{{Cite web|lang=русский|url=https://habr.com/ru/post/571710/|title=13 звуков и интервалов. Их восприятие и обозначение. Лады отклонения и модуляции|author=Битюков Сергей|website=Хабр|date=2021-08-07|access-date=2021-08-26|archive-date=2021-08-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20210812154750/https://habr.com/ru/post/571710/|deadlink=no}}</ref>
* '''8''' — [[восьмеричная система счисления|восьмеричная]] (в [[программирование|программировании]])
* '''10''' — [[десятичная система счисления]]
* '''12''' — [[двенадцатеричная система счисления|двенадцатеричная]] (широко использовалась в древности, в некоторых частных областях используется и сейчас)
* '''16''' — [[шестнадцатеричная система счисления|шестнадцатеричная]] (наиболее распространена в [[программирование|программировании]], а также в [[шрифт]]ах)
* '''20''' — [[Двадцатеричная система счисления|двадцатеричная]] (использовалась у [[Цифры майя|майя]] и [[Ацтеки|ацтеков]])
* '''40''' — сороковичная система счисления (применялась в древности: в частности, ''«сорок сороков»'' = 1600)
* '''60''' — [[шестидесятеричная система счисления|шестидесятеричная]] (использовалась в древнем Вавилоне, а впоследствии древнегреческими астрономами для измерения угловых координат звёзд ([[долгота|долготы]] и [[широта|широты]]) и для измерения времени). И сегодня используется в измерении времени суток.<!-- 
* '''100''' — сотенная система счисления (используется в языке [[Ифкуиль]]){{Нет АИ|9|10|2020}}.-->

== Свойства ==
Позиционная система счисления обладает рядом свойств:

<!-- Из-за нескольких абзацев в последнем пункте -->
* Основание системы счисления в ней самой всегда записывается как 10; например, в двоичной системе счисления 10 означает число 2. Данное утверждение неприменимо к [[унарная система счисления|унарной системе счисления]], в которой используется только одна цифра.
* Для записи числа ''x'' в ''b''-ичной системе счисления требуется <math>\lfloor\log_b x\rfloor + 1</math> цифр, где <math>\lfloor\cdot\rfloor</math> означает взятие [[целая часть|целой части]] числа.
* Сравнивать числа, записанные в позиционной системе счисления, можно поразрядно, предварительно дополнив их ведущими нулями до одинаковой длины. При этом сравнение идёт от старшего разряда к младшему до тех пор, пока цифра в одном числе не будет больше соответствующей цифры в другом. Например, для сравнения чисел 321 и 312 в десятичной системе счисления сравниваются цифры в одинаковых разрядах слева направо:
** 3 = 3 — результат сравнения чисел на данном шаге не определён;
** 2 &gt; 1 — первое число больше (независимо от оставшихся цифр).
: Таким образом, естественный порядок на числах соответствует [[лексикографический порядок|лексикографическому порядку]] на их записях в позиционной системе счисления при условии, что эти записи дополнены ведущими нулями до одинаковой длины.
* Арифметические операции над числами. Позиционная система счисления позволяет без труда выполнять сложение, вычитание, умножение, деление и деление с остатком чисел, зная только [[таблица умножения|таблицу сложения]] однозначных чисел, а для трёх последних операций ещё и [[таблица умножения|таблицу умножения]] в соответствующей системе (см., например, [[деление столбиком]]).

=== Экономичность ===
{{перевести|en|Radix economy}}
В [[цифровая техника|цифровой технике]] система счисления с основанием <math>b</math> реализуется [[регистр (цифровая техника)|регистрами]], состоящими из наборов [[триггер]]ов, каждый из которых может принимать <math>b</math> различных состояний, кодирующих цифры числа. При этом особое значение приобретает ''экономичность системы счисления'' — возможность представления как можно большего количества чисел с использованием как можно меньшего общего количества знаков.<ref name="Fomin"/> Если количество триггеров равно <math>r</math>, то общее количество знаков равно <math>m=r\cdot b</math>, а количество представимых ими чисел соответственно — <math>b^r=b^{\frac{m}{b}}</math>. Как функция от <math>b</math>, это выражение достигает [[Глобальный максимум|максимума]] при <math>b</math> равном числу [[число е|''e'' = 2,718281828…]].<ref>{{статья |заглавие=Third base |издание={{Нп3|American Scientist}} |ссылка=http://www.americanscientist.org/issues/pub/third-base/2 |том=89 |номер=6 |страницы=490—494 |doi=10.1511/2001.40.3268 |язык=en |автор=Hayes, Brian |год=2001 |тип=magazine |archivedate=2016-03-24 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160324100419/http://www.americanscientist.org/issues/pub/2001/11/third-base/2 }}</ref> При целых значениях <math>b</math> максимум достигается для <math>b = 3</math>. Таким образом, наиболее экономичной является [[троичная система счисления]] (используемая в [[Троичный компьютер|троичных ЭВМ]]), следом за которой идут [[двоичная система счисления|двоичная система]] (традиционно используемая в большинстве распространённых ЭВМ) и четверичная.

{{цитата|автор=[[Фомин, Сергей Васильевич|С. В. Фомин]]|Экономичность системы счисления — немаловажное обстоятельство с точки зрения её использования в вычислительной машине. Поэтому, хотя применение в вычислительной машине троичной системы вместо двоичной влечёт некоторые конструктивные трудности (при этом нужно пользоваться элементами, каждый из которых может находиться не в двух, а в трёх устойчивых состояниях), эта система уже была использована<ref>См. [[Троичный компьютер]].</ref> в некоторых реально существующих вычислительных устройствах.<ref name="Fomin">{{книга |автор=[[Фомин, Сергей Васильевич|С. В. Фомин]] |заглавие=Системы счисления |серия=[[Популярные лекции по математике]] |год=1987 |место=М. |издательство=Наука |страниц=48 |ссылка=http://plm.mccme.ru/ann/a40.htm |archive-date=2004-10-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20041016004801/http://plm.mccme.ru/ann/a40.htm }} ([http://www.math.ru/lib/files/plm/v40.djvu альтернативная ссылка] {{Wayback|url=http://www.math.ru/lib/files/plm/v40.djvu |date=20130602025214 }})</ref>}}

Эквивалентное описание экономичности системы счисления можно получить, используя понятие [[информационная энтропия|информационной энтропии]]. При условии [[Дискретное равномерное распределение|равновероятности]] появления каждой из цифр в записи числа информационная энтропия записи ''n''-разрядного числа в системе счисления с основанием ''b'' принимает значение <math>n\tfrac{\ln b}{b}</math> (с точностью до постоянного коэффициента). Поэтому ''плотность записи'' (то есть, количество информации на один разряд) чисел в системе счисления с основанием ''b'' равна <math>\tfrac{\ln b}{b}</math>, которая также принимает максимальное значение при ''b'' = ''e'', а для целых значений ''b'' — при ''b'' = 3.

== Переход к другому основанию ==

=== Перевод в десятичную систему счисления ===
Если '''целое''' число в <math>b</math>-ичной системе счисления равно

: <math>a_n\;a_{n-1}\ldots \;a_1\;a_0,</math>

то для перевода в десятичную систему вычисляем следующую [[Сумма (математика)#Алгебраическая сумма|сумму]]:<ref name=":0">{{Cite web|url=https://matworld.ru/calculator/perevod-chisel.php|title=Перевод чисел из одной системы счисления в другую онлайн|website=matworld.ru|access-date=2021-05-08|archive-date=2021-05-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20210509062036/https://matworld.ru/calculator/perevod-chisel.php|deadlink=no}}</ref>
: <math>\sum_{k=0}^n a_k\cdot b^k=a_n\cdot b^n + a_{n-1} \cdot b^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot b^1 + a_0 \cdot b^0,</math>

или в виде [[схема Горнера|схемы Горнера]]:
: <math>((\ldots(a_n \cdot b + a_{n-1}) \cdot b + a_{n-2}) \ldots ) \cdot b + a_0.</math>

Например:

:<math>\begin{alignat}{2} 101100_2 &=1\cdot2^5+0\cdot2^4+1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+0\cdot2^0= \\
& = 32+8+4=44. \\ \end{alignat}</math>
Аналогичные действия имеют место также для '''дробной''' части:<math> 0{,}011_2 = 0 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3} = 0 + 0{,}25 + 0{,}125 = 0{,}375.</math>

=== Перевод из десятичной системы счисления ===
; Целая часть
# Последовательно ([[Итерация (математика)|итеративно]]) [[Деление с остатком|делить с остатком]] целую часть десятичного числа на основание, пока десятичное число (частное) не станет равно нулю.
# Полученные при делении остатки являются цифрами нужного числа. Число в новой системе записывают, начиная с последнего остатка.<ref name=":0" /><ref>{{Cite web|url=http://mif.vspu.ru/books/informaticsshau/theory/chapter4/1_4_6.html|title=Глава 4 — Арифметические основы компьютеров|website=mif.vspu.ru|access-date=2021-05-08|archive-date=2020-02-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20200219035316/http://mif.vspu.ru/books/informaticsshau/theory/chapter4/1_4_6.html|deadlink=no}}</ref>

; Дробная часть
# Дробную часть десятичного числа умножаем на основание системы, в которую требуется перевести, и отделяем целую часть. Продолжаем умножать дробную часть на основание новой системы и отделять целую часть, пока число не станет равным 0 точно.
# Цифры дробной части в новой системе счисления — это целые части, полученные в первом шаге, которые, убывая по старшинству с самого старшего разряда дробной части, идут в порядке, в каком были они и были получены.
'''Примечание'''. Иногда при переводе дробного [[Рациональное число|рационального числа]] из десятичной системы по таким алгоритмам может получиться бесконечная [[Десятичная дробь#Периодические десятичные дроби|периодическая]] дробь: например, <math>0{,}36=0{,}(2343)_7</math>. Чтобы обнаружить период, нужно провести итерации, описанные в первом пункте, и понять, не встретится ли та же дробная часть, что и была несколько итераций назад'''<ref>{{Cite web|lang=ru|url=https://www.yaklass.ru/p/informatika/11-klass/kodirovanie-informatcii-predstavlenie-informatcii-v-kompiutere-18699/perevod-drobnoi-chasti-chisla-iz-odnoi-sistemy-schisleniia-v-druguiu-18700/re-c387b19c-2d8f-4cd7-a86f-e4891740d3be|title=Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую — урок. Информатика, 11 класс.|website=www.yaklass.ru|access-date=2021-05-08|archive-date=2021-05-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20210508182553/https://www.yaklass.ru/p/informatika/11-klass/kodirovanie-informatcii-predstavlenie-informatcii-v-kompiutere-18699/perevod-drobnoi-chasti-chisla-iz-odnoi-sistemy-schisleniia-v-druguiu-18700/re-c387b19c-2d8f-4cd7-a86f-e4891740d3be|deadlink=no}}</ref>'''. (О периодических дробях в разных системах счисления написано [[Позиционная система счисления#Запись рациональных чисел|ниже]].)
;Примеры
<math>44_{10}</math> переведём в двоичную систему:
 44 делим на 2. частное 22, остаток 0
 22 делим на 2. частное 11, остаток 0
 11 делим на 2. частное  5, остаток 1
  5 делим на 2. частное  2, остаток 1
  2 делим на 2. частное  1, остаток 0
  1 делим на 2. частное  0, остаток 1
Частное равно нулю — деление закончено. Теперь, записав все остатки снизу вверх, получим число <math>101100_2.</math>

Для дробной части алгоритм выглядит так:
 0,625 умножаем на 2. Дробная часть 0,250. Целая часть 1.
 0,250 умножаем на 2. Дробная часть 0,500. Целая часть 0.
 0,500 умножаем на 2. Дробная часть 0,000. Целая часть 1.
Таким образом, <math> 0{,}625=0{,}101_2.</math>

=== Перевод из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы ===
Для этого типа операций существует упрощённый алгоритм.<ref name=":1">{{Cite web|url=http://www.5byte.ru/11/0006.php|title=Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно|website=www.5byte.ru|access-date=2021-05-08|archive-date=2021-05-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20210515163507/http://5byte.ru/11/0006.php|deadlink=no}}</ref>

==== Целая часть ====
Для восьмеричной — разбиваем переводимое число на количество цифр, равное степени 2 (2 возводится в ту степень, которая требуется, чтобы получить основание системы, в которую требуется перевести (2³=8), в данном случае 3, то есть триад). Преобразуем триады по таблице триад:
 000 — 0; 100 — 4;
 001 — 1; 101 — 5;
 010 — 2; 110 — 6;
 011 — 3; 111 — 7.

Для шестнадцатеричной — разбиваем переводимое число на количество цифр, равное степени 2 (2 возводится в ту степень, которая требуется, чтобы получить основание системы, в которую требуется перевести (2<sup>4</sup>=16), в данном случае 4, то есть тетрад). Преобразуем тетрады по таблице тетрад:
 0000 — 0; 0100 — 4; 1000 — 8; 1100 — C;
 0001 — 1; 0101 — 5; 1001 — 9; 1101 — D;
 0010 — 2; 0110 — 6; 1010 — A; 1110 — E;
 0011 — 3; 0111 — 7; 1011 — B; 1111 — F.

Пример:
 преобразуем 101100<sub>2</sub>
 восьмеричная — 101 100 → 54<sub>8</sub>
 шестнадцатеричная — 0010 1100 → 2C<sub>16</sub>

==== Дробная часть ====
Перевод дробной части из двоичной системы счисления в системы счисления с основаниями 8 и 16 осуществляется точно так же, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на октавы и тетрады идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа. Например, рассмотренное выше число 1100,011<sub>2</sub> будет выглядеть как 14,3<sub>8</sub> или C,6<sub>16</sub>.

=== Перевод из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную<ref name=":1" /> ===
Для этого типа операций также существует упрощённый алгоритм, обратный [[Позиционная система счисления#Перевод из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы|вышенаписанному]] алгоритму.

Для восьмеричной — преобразуем по таблице в триплеты:
 0 000 4 100
 1 001 5 101
 2 010 6 110
 3 011 7 111

Для шестнадцатеричной — преобразуем по таблице в квартеты:
 0 0000 4 0100 8 1000 C 1100 
 1 0001 5 0101 9 1001 D 1101
 2 0010 6 0110 A 1010 E 1110
 3 0011 7 0111 B 1011 F 1111

Пример:
 преобразуем
 54<sub>8</sub> → 101 100<sub>2</sub>
 2C<sub>16</sub> → 0010 1100<sub>2</sub>

== Вариации и обобщения ==

=== Запись рациональных чисел ===

[[Рациональное число]] <math>x</math> в <math>b</math>-ичной системе счисления представляется в виде линейной комбинации (вообще говоря, бесконечной) степеней числа <math>b</math>:
: <math>x = (a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0 , c_1 c_2 \ldots)_b = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k + \sum_{k=1}^{\infty} c_k b^{-k}</math>
где <math>a_k</math> — цифры [[целая часть|целой части]] (до [[Десятичный разделитель|разделителя]]), <math>c_k</math> — цифры [[дробная часть|дробной части]] (после разделителя), <math>n</math> — число разрядов целой части.

Конечной записью в <math>b</math>-ичной системе счисления обладают только рациональные числа, представимые в виде <math>\frac{q}{b^m}</math>, где <math>m</math> и <math>q</math> — целые числа, то есть такие, после умножения которых на основание <math>b</math> за конечное число итераций возможно получить целое число:
: <math>\frac{q}{b^m} = (a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0 , c_1 c_2 \ldots c_{-m})_b = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k + \sum_{k=1}^{m} c_k b^{-k},</math>
где <math>(a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0)_b</math> и <math>(c_1 c_2 \ldots c_{-m})_b</math> представляют собой <math>b</math>-ичные записи соответственно [[деление с остатком|частного и остатка от деления]] <math>q</math> на <math>b^m</math>.

Рациональные числа, не представимые в виде <math>\frac{q}{b^m}</math>, записываются в виде [[периодическая дробь|периодических дробей]].

=== Симметричные системы счисления ===

'''Симметричные (уравновешенные, знакоразрядные) системы счисления''' по основанию <math>b</math> отличаются тем, что используют цифры не из множества <math>\{0, 1, \ldots, b-1\}</math>, а из множества <math>\left\{0-\left(\tfrac{b-1}{2}\right),1 -\left(\tfrac{b-1}{2}\right), \ldots,(b-1)-\left(\tfrac{b-1}{2}\right)\right\},</math> где, грубо говоря, все <math>b</math> цифр «отражаются» относительно нуля. Чтобы цифры были целыми, нужно, чтобы <math>b</math> было нечётным. В симметричных системах счисления не требуется дополнительных обозначений для знака числа.<ref>{{книга |автор=С. Б. Гашков |заглавие=Системы счисления и их применение |серия=[[Библиотека «Математическое просвещение»]] |выпуск=29 |год=2004 |isbn=5-94057-146-8 |страниц=52 |ссылка=http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php#book-29 |archive-date=2014-01-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140112045039/http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php#book-29 }} {{Cite web |url=http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php |title=Архивированная копия |accessdate=2008-03-08 |archive-date=2014-01-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140112045039/http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php |dead-url=yes }}</ref> Кроме того, вычисления в симметричных системах удобны тем, что не требуется [[Округление#Методы|особых правил округления]] — округление к ближайшему целому сводится к простому отбрасыванию лишних разрядов, что резко уменьшает систематические ошибки вычислений.

Чаще всего используется симметричная [[троичная система счисления]] с цифрами <math>\{-1,0,1\}</math>. Она применяется в [[троичная логика|троичной логике]] и была технически реализована в вычислительной машине «[[Сетунь (компьютер)|Сетунь]]».

=== Отрицательные основания ===
{{main|Нега-позиционная система счисления}}

Существуют позиционные системы с отрицательными основаниями, называемые [[Нега-позиционная система счисления|нега-позиционными]]:
* '''−2''' — [[нега-двоичная система счисления]];
* '''−3''' — нега-троичная система счисления;
* '''−10''' — нега-десятичная система счисления.

=== Нецелочисленные основания ===
Иногда также рассматривают позиционные системы счисления с нецелочисленными основаниями: [[рациональное число|рациональными]], [[иррациональное число|иррациональными]], [[трансцендентное число|трансцендентными]].

Примерами таких систем счисления являются:<!-- 
* при ''b'' = ⅓ — система счисления с рациональным дробным основанием, позволяет на троичных реверсивных [[регистр сдвига|регистрах сдвига]] производить операции умножения и деления на целые числа {{нет АИ|18|01|2010}},
* при ''b'' = ½ — система счисления с рациональным дробным основанием{{нет АИ|18|01|2010}},-->
* при ''b'' = [[золотое сечение|φ = 1,61…]] — система счисления [[Бергман, Джордж|Бергмана]] с иррациональным основанием, равным «[[золотое сечение|золотому сечению]]».<ref>А. В. Никитин [http://andrejnikitin.narod.ru/matematika2.htm Система Бергмана] {{Wayback|url=http://andrejnikitin.narod.ru/matematika2.htm |date=20090505013346 }}.</ref>

=== Комплексные основания ===

Основаниями позиционных систем счисления могут быть также [[Комплексное число|комплексные]]<ref name="Khmelnik1">{{статья |автор=Хмельник С. И. |заглавие=Специализированная ЦВМ для операций с комплексными числами |издание=Вопросы радиоэлектроники |том=XII |выпуск=2 |год=1964 |ссылка=http://lib.izdatelstwo.com/Papers2/s4.zip }}{{Недоступная ссылка|date=Май 2019 |bot=InternetArchiveBot }}</ref><ref name="Knuth">{{статья |заглавие=An Imaginary Number System |издание=Communication of the ACM |том=3 |номер=4 |страницы=245—247 |doi=10.1145/367177.367233 |автор=Knuth D. E. |год=1960 }}</ref> числа. При этом цифры в них принимают значения из некоторого [[конечное множество|конечного множества]], удовлетворяющего условиям, которые позволяют выполнять арифметические операции непосредственно с представлениями чисел в этих системах счисления.

В частности, среди позиционных систем счисления с комплексными основаниями можно выделить двоичные, в которых используются лишь две цифры 0 и 1.

; Примеры

Далее будем записывать позиционную систему счисления в следующем виде <math>\langle \rho,A \rangle</math>, где <math>\rho</math> — основание системы счисления, а ''A'' — множество цифр. В частности, множество ''A'' может иметь вид:
* <math>B_R = \{ 0, 1, 2,\dots, R-1 \},</math>
* <math>D_R = \{-r_1,-r_1+1,\dots, -1,0,1,\dots,r_2-1,r_2 \},</math> где <math>r_1, r_2\geq 0</math> и <math>R =r_1+r_2+1</math>. При <math>r_1=0</math> множество <math>D_R</math> превращается в множество <math>B_R</math>.

Примерами систем счисления с комплексными основаниями являются (далее ''j'' — [[мнимая единица]]):
* <math>\langle \rho=j\sqrt{R},B_R \rangle.</math><ref name="Knuth"/>
** Пример: <math>\langle \rho=\pm j\sqrt{2},\{0,1\} \rangle;</math>
* <math>\langle \rho=\sqrt{2}e^{\pm j \pi / 2},B_2 \rangle.</math><ref name="Khmelnik1"/>
** Пример: <math>\langle \rho=-1\pm j,\{0,1\} \rangle;</math>
* <math>\langle \rho=2e^{j \pi / 3}, \{0,1,e^{2j \pi / 3},e^{-2j \pi / 3}\} \rangle;</math><ref name="Khmelnik2"/>
* <math>\langle \rho=\sqrt{R},B_R \rangle,</math> где <math>\varphi=\pm \arccos{(-\beta/2\sqrt{R})}</math>, <math>\beta<\min\{ R, 2\sqrt{R}\}</math> — целое положительное число, которое может принимать несколько значений при данном ''R'';<ref name="Khmelnik3">{{статья |автор=Хмельник С. И. |заглавие=Позиционное кодирование комплексных чисел |издание=Вопросы радиоэлектроники |том=XII |выпуск=9 |год=1966 |ссылка=http://lib.izdatelstwo.com/Papers2/s5.zip }}{{Недоступная ссылка|date=Май 2019 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>
* <math>\langle\rho=-R, A_R^2 \rangle,</math> где множество <math>A_R^2</math> состоит из комплексных чисел вида <math>r_m=\alpha_m^1 + j\alpha_m^2</math>, а числа <math>\alpha_m \in B_R.</math> Например: <math>\langle -2, \{0,1,j,1+j\} \rangle;</math><ref name="Khmelnik2">{{книга|автор=Хмельник С. И.|заглавие=Кодирование комплексных чисел и векторов|издание=Mathematics in Computers|место=Израиль|isbn=978-0-557-74692-7|год=2004|ссылка=http://www.lulu.com/content/94846|archive-date=2008-06-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20080617202512/http://www.lulu.com/content/94846}}</ref>
* <math>\langle \rho=\rho_2^{ },\{0,1\} \rangle,</math> где <math>\rho_2=\begin{cases}(-2)^{1/2} & \mbox{if}\ m\ \mbox{even},\\ j(-2)^{(m-1)/2m} & \mbox{if}\ m\ \mbox{odd}.\end{cases}</math> .<ref name="Khmelnik4">{{книга |автор=Khmelnik S.I. |заглавие=Method and system for processing complex numbers |издание=Patent USA, US2003154226 (A1) |год=2001 |ссылка=http://worldwide.espacenet.com/publicationDetails/biblio?DB=EPODOC&adjacent=true&locale=en_EP&FT=D&date=20030814&CC=US&NR=2003154226A1&KC=A1 |archive-date=2023-01-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230109170033/https://worldwide.espacenet.com/publicationDetails/biblio?DB=EPODOC&adjacent=true&locale=en_EP&FT=D&date=20030814&CC=US&NR=2003154226A1&KC=A1 }}</ref>

; Двоичные комплексные системы счисления

Ниже перечислены основания двоичных позиционных систем счисления и представления чисел 2, −2 и −1 в них:
* <math>\rho=2</math>: <math>2=(10)_{\rho}</math> (система счисления с натуральным основанием);
* <math>\rho=-2</math>: <math>2=(110)_{\rho}</math>, <math>-2=(10)_{\rho}</math>, <math>-1=11_{\rho}</math> (нега-позиционная система счисления);
* <math>\rho=-\rho_2</math>: <math>2=(10100)_{\rho}</math>, <math>-2=(100)_{\rho}</math>, <math>-1=101_{\rho}</math> (система счисления с комплексным основанием);
* <math>\rho=j\sqrt{2}</math>: <math>2=(10100)_{\rho}</math>, <math>-2=(100)_{\rho}</math>, <math>-1=(101)_{\rho}</math> (система счисления с комплексным основанием);
* <math>\rho=-1+j</math>: <math>2=(1100)_{\rho}</math>, <math>-2=(11100)_{\rho}</math>, <math>-1=(11101)_{\rho}</math> (система счисления с комплексным основанием);
* <math>\rho=\frac{-1+j\sqrt{7}}2</math>: <math>2=(1010)_{\rho}</math>, <math>-2=(110)_{\rho}</math>, <math>-1=(111)_{\rho}</math> (система счисления с комплексным основанием).

=== Непоказательные системы счисления ===
[[Показательная функция|Показательные]] системы счисления являются частным случаем позиционных систем счисления с [[показательная функция|показательной зависимостью]]. Вместо показательной зависимости могут быть другие зависимости. Например, [[гипероператор]]ная позиционная система счисления<br />
:<math>{\operatorname{hyper4} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 4, b) = a ^ {(4)} b = a \uparrow\uparrow b = \atop {\ }} \quad {\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}  \atop {b\mbox{ раз}}} \quad {=a\to b\to 2 \atop {\ } }</math>
позволяет записывать бо́льшие диапазоны чисел тем же числом знаков.

== Примечания ==
{{примечания|colwidth=30em}}

== Ссылки ==
{{викиучебник|Системы счисления}}
* {{статья |автор=И. Яглом |заглавие=Системы счисления |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |номер=6 |год=1970 |страницы=2—10 |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1970/06/sistemy_schisleniya.htm}}
* {{книга |часть=Позиционные системы счисления. Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую. Арифметические операции с числами в позиционных системах счисления |заглавие=Введение в информатику. Лабораторные работы |ответственный=Авт.-сост. А. П. Шестаков |издательство=Перм. ун-т. |место=Пермь |год=1999|ссылка часть=http://comp-science.narod.ru/Progr/Syst_Sch.html }}
* {{книга |автор=Поспелов Д. А.|заглавие=Арифметические основы вычислительных машин дискретного действия |издание=Высшая школа |год=1970}}

{{внешние ссылки}}

[[Категория:Числа]]
[[Категория:Системы счисления]]