Просмотр кода страницы Показатели центра распределения

<noinclude>{{к объединению|2022-12-12|Меры центральной тенденции}}
</noinclude>Для определения средних или наиболее типичных значений совокупности используются '''показатели центра распределения'''. Основные из них — [[математическое ожидание]], [[среднее арифметическое]], [[среднее геометрическое]], [[среднее гармоническое]], [[среднее степенное]], [[взвешенное среднее|взвешенные средние]], [[центр сгиба]], [[Медиана (статистика)|медиана]], [[Мода (статистика)|мода]].

Расчёт средних величин производится разными способами, и, соответственно, применение их тоже зависит от исследуемой совокупности.

У симметричного одномерного унимодального распределения математическое ожидание, медиана и мода одинаковы.

== Математическое ожидание ==
{{main|Математическое ожидание}}
<math>\operatorname M \xi = \int x f_\xi(x)\, dx</math>.

В зарубежной литературе применяется обозначение <math>\mathbb E \,\xi</math>.

В случае дискретной величины <math>x</math> и постоянной плотности <math>f_\xi(x)</math> применяется [[выборочное среднее]]:

<math>\bar{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i</math>.

Преимущества: если эксперимент повторяется многократно, а результаты суммируются (например, в [[страхование|страховании]], [[азартные игры|азартных играх]]), математическое ожидание — естественный выбор.

Недостатки: не соответствует интуитивному пониманию «среднего»; [[выброс (статистика)|меньшинство с аномальными значениями]] (долгожители, миллиардеры, бракованные изделия и т. д.) серьёзно смещают матожидание. В статистических расчётах рекомендуется отбрасывать такой [[Хвост распределения|«хвост»]].

== Медиана ==
{{main|Медиана (статистика)}}
У одномерного распределения медиана — [[квантиль]] уровня 0,5. Иными словами, медиана — это такое число <math>m</math>, что <math>\operatorname P \{ \xi < m \} = 0{,}5</math> или <math>\operatorname P \{ \xi < = m \} = 0{,}5</math>.

Преимущества: Медиана согласуется с интуитивным пониманием «среднего». К тому же, даже очень «дикие» [[Выброс (статистика)|выбросы]] изменяют медиану незначительно. Например, если к сотне бедняков (доходы [[равномерное распределение|равномерно]] распределены от 0 до 1 $) добавить одного миллиардера (1 млрд $), среднее сместится от 0,5 $ до 10 млн $, в то время как медиана — от 0,5 $ до 0,505. [[Монотонная функция]] не изменяет медиану — для любой монотонной <math>f(x)</math> будет выполняться <math>\operatorname {Med} \, f(\xi) = f ( \operatorname {Med} \, \xi)</math>.

Недостатки: плохо работает для многомерных распределений со сложной взаимосвязью компонентов. Сложна в расчёте.

== Мода ==
{{main|Мода (статистика)}}
Мода — точка, в которой [[плотность распределения]] имеет локальный максимум. Распределение может иметь несколько мод.

Преимущества: позволяет работать с данными нечисловой природы.

Недостаток: не учитывает поведение распределения в других точках.

{{statistics-stub}}
{{нет ссылок|дата=2023-03-03}}
{{Среднее}}

[[Категория:Средние величины]]