Просмотр кода страницы Показатель преломления

{{Физическая величина
| Название    = Показатель преломления
| Символ      = <math>n</math>
| Размерность = безразмерная
| СИ          = 
| СГС         = 
| Примечания  = [[скаляр]] или [[тензор]]
}}
[[Файл:Refraction_photo.png|мини|[[Преломление|Преломления]] [[Световой луч|луча]] света на границе пластикового материала с воздухом]]
'''Показа́тель преломле́ния''' ('''и́ндекс преломле́ния''', '''и́ндекс рефра́кции''') — [[Безразмерная величина|безразмерная физическая величина]], характеризующая различие [[Фазовая скорость|фазовых скоростей]] света в двух средах. Для прозрачных [[Изотропия|изотропных]] сред, таких как [[газ]]ы{{переход|Воздух}}, большинства [[Жидкость|жидкостей]]{{переход|Вода}}, [[Аморфные тела|аморфных веществ]] (например, [[стекло]]{{переход|Оптическое стекло}}), употребляют термин '''абсолютный показатель преломления''', который обозначают латинской буквой <math>n</math> и определяют как отношение [[Скорость света|скорости света]] в [[вакуум]]е <math>c</math> к [[фазовая скорость|фазовой скорости]] света <math>v</math> в данной среде{{sfn|Борисенко и др.|2014|с=11}}:
: <math>n = \frac{c}{v}\,.</math>
Например, для воды показатель преломления составляет 1,333, что означает, что в ней свет движется в 1,333 раза медленнее, чем в вакууме (примерно 225 000 км/с). В случае двух прозрачных изотропных сред говорят об '''относительном показателе преломления''' одной среды по отношению к другой{{переход|Основные понятия}}. Если не указано иное, то обычно имеется в виду абсолютный показатель преломления. Абсолютный показатель преломления часто превышает единицу, поскольку скорость распространения света в любой среде меньше скорости света в вакууме. Однако ''фазовая скорость света'' при некоторых условиях может превышать скорость его распространения, и тогда показатель преломления может принимать значения меньше единицы{{переход|Показатель преломления меньше единицы}}.

Значение абсолютного показателя преломления зависит от состава и строения вещества, его [[Агрегатное состояние|агрегатного состояния]], [[Температура|температуры]], [[Давление|давления]] и так далее{{переход|Воздух}}. Для веществ показатель преломления изменяется под действием внешнего [[Электрическое поле|электрического поля]] (в жидкостях и газах{{переход|Эффект Керра}}, в [[Кристаллы|кристаллах]]{{переход|Эффект Поккельса}}) или [[Магнитное поле|магнитного поля]]{{переход|Эффект Коттона — Мутона}}. Для измерения показателя преломления применяют [[гониометр]]ы, [[рефрактометр]]ы{{переход|Измерение}} или эллипсометры{{переход|Эллипсометрия}}.

Показатель преломления изменяется в зависимости от длины волны, это приводит к расщеплению белого света на составляющие цвета при преломлении. Это называется [[Дисперсия света|дисперсией]]{{переход|Дисперсия}}. Её можно наблюдать в [[Призма (оптика)|призмах]] и [[радуга]]х, а также в виде [[Хроматическая аберрация|хроматической аберрации]] в линзах. Распространение света в [[Поглощение электромагнитного излучения|поглощающих]] материалах можно описать с помощью [[Комплексное число|комплексного]] показателя преломления<ref name="Attwood">{{cite book|title=Soft X-rays and extreme ultraviolet radiation: principles and applications|author=Attwood D. |page=60|isbn=978-0-521-02997-1|year=1999}}</ref>{{sfn|Zajac & Hecht|2003|p=128}}:
: <math>\underline{n}=n+i \kappa</math>,
где <math>i</math> — [[мнимая единица]], <math>\kappa</math> — [[Коэффициент поглощения (оптика)|показатель поглощения]]. [[Чисто мнимое число|Мнимая]] часть ответственна за [[Экстинкция|затухание]], а [[Вещественное число|действительная]] часть учитывает преломление{{переход|Комплексный показатель преломления}}.

== Основные понятия ==
[[Файл:Interne_Reflexion_(Schema).svg|мини|Зависимость траектории луча света от угла падения при переходе из воды в воздух]]
Когда свет проходит границу раздела двух сред, то для вычисления угла преломления используют '''относительный показатель преломления''', равный отношению абсолютных показателей преломления первой и второй сред. Относительный показатель преломления может быть больше единицы, если луч переходит в более оптически плотную среду, и меньше единицы — в противном случае{{Sfn|Прохоров|1994|loc=Преломления показатель}}{{sfn|Борисенко и др.|2014|с=11}}.

Если луч света переходит из среды с меньшим показателем преломления в среду с бо́льшим показателем преломления (например, из воздуха в воду), то угол между лучом и [[нормаль]]ю к границе раздела уменьшается после преломления. И наоборот, в случае перехода в менее оптически плотную среду угол увеличивается. Во втором случае угол преломления может превышать 90°, так что преломления не происходит вообще и весь свет отражается; это явление называется [[Внутреннее отражение|полным внутренним отражением]]{{Sfn|Прохоров|1994|loc=Полное внутреннее отражение}}.

Частота света не меняется при преломлении. Поэтому [[длина волны]] света в среде уменьшается по сравнению с длиной волны в вакууме пропорционально уменьшению скорости света{{Sfn|Фейнман, Лейтон|1967|p=86}}.

=== Типичные значения ===
Для видимого света большинство прозрачных сред имеют показатели преломления от 1 до 2. Несколько примеров приведены в таблице внизу{{переход|Примеры}}. Эти значения обычно измеряются на длине волны 589 нм, соответствующей [[Жёлтый дублет натрия|дублетной D-линии]] натрия в жёлтой части спектра<ref name=schott />. Газы при атмосферном давлении имеют показатель преломления, близкий к 1, из-за их низкой плотности. Почти все твёрдые тела и жидкости имеют показатель преломления выше 1,3, за исключением [[Аэрогель|аэрогеля]]. Аэрогель — это твёрдое вещество очень низкой плотности, которое может демонстрировать показатель преломления в диапазоне от 1,002 до 1,265<ref>{{cite journal| author=Tabata M.| title=Development of Silica Aerogel with Any Density| journal=2005 IEEE Nuclear Science Symposium Conference Record| volume=2| pages=816–818| year=2005| url=http://www.ppl.phys.chiba-u.jp/~makoto/publication/N14-191.pdf| display-authors=etal| archive-url=https://web.archive.org/web/20130518075319/http://www.ppl.phys.chiba-u.jp/~makoto/publication/N14-191.pdf| archive-date=2013-05-18| doi=10.1109/NSSMIC.2005.1596380| isbn=978-0-7803-9221-2}}</ref>. [[Муассанит]] находится на другом конце диапазона с показателем преломления до 2,65. Большинство [[пластик]]ов имеют показатели преломления в диапазоне от 1,3 до 1,7, но некоторые полимеры с высоким показателем преломления могут иметь значения до 1,76<ref>Sadayori, Naoki; Hotta, Yuji «Polycarbodiimide having high index of refraction and production method thereof» [https://patents.google.com/patent/US20040158021A1 US patent 2004/0158021 A1] {{Wayback|url=https://patents.google.com/patent/US20040158021A1 |date=20210709185114 }} (2004)</ref>.

Для инфракрасного света показатели преломления могут быть значительно выше. [[Германий]] прозрачен в диапазоне длин волн от 2 до 14 мкм и имеет показатель преломления около 4<ref>Tosi, Jeffrey L., article on [http://www.photonics.com/EDU/Handbook.aspx?AID=25495 Common Infrared Optical Materials] {{Wayback|url=http://www.photonics.com/EDU/Handbook.aspx?AID=25495 |date=20210521063704 }} in the Photonics Handbook, accessed on 2014-09-10</ref>. Во второй половине 2000-х годов был обнаружен тип новых материалов, получивших название [[Топологический изолятор|топологических изоляторов]], которые имеют очень высокий показатель преломления — до 6 в ближней и средней зонах инфракрасного диапазона частот. Более того, топологические изоляторы прозрачны при наноразмерных толщинах. Эти свойства потенциально важны для приложений в инфракрасной оптике<ref>{{Cite journal|last=Yue|first=Zengji|last2=Cai|first2=Boyuan|last3=Wang|first3=Lan|last4=Wang|first4=Xiaolin|last5=Gu|first5=Min|date=2016-03-01|title=Intrinsically core-shell plasmonic dielectric nanostructures with ultrahigh refractive index|journal=Science Advances|language=en|volume=2|issue=3|pages=e1501536|doi=10.1126/sciadv.1501536|issn=2375-2548|pmc=4820380|pmid=27051869|bibcode=2016SciA....2E1536Y}}</ref>.

=== Связь между скоростью и углом преломления света ===
{{Main|Закон Снеллиуса}}
[[Файл:Refraction ru.png|thumb|308x308px|Падение и преломление лучей (волн) света]]
[[Файл:Преломление света.webm|thumb|Преломление света]]
Свет, распространяющийся в неоднородной среде, проходит из одной точки в другую за минимальное время. Из этого [[Принцип Ферма|принципа]] можно вывести закон преломления света на границе раздела между средами с разными показателями преломления, который называется законом Снеллиуса{{sfn|Ландсберг|2003|с=252}}.
Он выражается в виде дроби{{sfn|Борисенко и др.|2014|с=11}}

{{NumBlk|:|<math>\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2}\,,</math>|{{EquationRef|1.1|Ур. 1.1}}}}

где {{math|θ<sub>1</sub>}} и {{math|θ<sub>2</sub>}} — углы падения и преломления луча света соответственно, которые отсчитываются от нормали к границе между средами, проведённой через точку падения луча, {{math|''v''<sub>1</sub>}} и {{math|''v''<sub>2</sub>}} — фазовые скорости в первой среде (из которой падает свет, на рисунке сверху) и второй среде (в которую свет проникает, на рисунке нижняя){{Sfn|Прохоров|1998|loc=Снелля закон}}.
Этот закон можно записать через показатели преломления двух сред, зная, что {{math|''v''<sub>1</sub> {{=}} ''c''/''n''<sub>1</sub>}} и {{math|''v''<sub>2</sub> {{=}} ''c''/''n''<sub>2</sub>}} ({{math|''c''}} — скорость света в вакууме){{sfn|Ландсберг|2003|с=252}}:
{{NumBlk|:|<math>\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{n_2}{n_1}\,.</math>|{{EquationRef|1.2|Ур. 1.2}}}}
Закон Снеллиуса выполняется только для неподвижных сред. Для релятивистских скоростей поперечного движения прозрачной среды вследствие аберрации эффективный показатель преломления будет зависеть от скорости среды, что позволяет определять скорость движения среды{{sfn|Brown|2020}}.

=== Коэффициент отражения ===
{{main|Формулы Френеля}}
[[Файл:Partial_transmittance.gif|мини|Часть волны проходит через границу, а часть отражается]]
При падении на границу раздела двух сред только часть света проходит из среды с меньшим показателем преломления в среду с бо́льшим, а часть — отражается обратно. Чем сильнее отличаются показатели преломления сред, тем бо́льшая часть света отражается. В случае падения света по нормали к поверхности [[Коэффициент отражения (оптика)|коэффициент отражения]] выражается как<ref>{{Cite web|url=http://www1.udel.edu/chem/sneal/sln_tchng/CHEM620/CHEM620/Chi_4._Light_at_Interfaces.html|title=Light at Interfaces|website=University of Delaware|date=2010|access-date=2021-05-14|archive-date=2021-05-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20210514115501/http://www1.udel.edu/chem/sneal/sln_tchng/CHEM620/CHEM620/Chi_4._Light_at_Interfaces.html|url-status=live}}</ref>:

{{NumBlk|:|<math>R=\left(\frac{n_2-n_1}{n_2+n_1}\right)^2\,.</math>|{{EquationRef|1.3|Ур. 1.3}}}}

В этом случае при переходе луча света из воздуха в стекло (показатель преломления 1,5) отражается 4 % падающего света{{sfn|Ландсберг|2003|с=434}}, а в случае алмаза (показатель преломления 2,42<ref name="diamond">{{Cite web|url=https://refractiveindex.info/?shelf=main&book=C&page=Phillip|title=Optical constants of C (Carbon, diamond, graphite, graphene, carbon nanotubes)|website=Refractive index database|access-date=2021-05-14|archive-date=2021-04-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20210428125404/https://refractiveindex.info/?shelf=main&book=C&page=Phillip|url-status=live}}</ref>) — более 17 %<ref>{{cite book | last = Harlow | first = George | title = The nature of diamonds | publisher = Cambridge University Press in association with the American Museum of Natural History | location = Cambridge, U.K. New York, NY, USA | year = 1998|page=14 | isbn = 9780521629355 }}</ref>.

Рассчитать коэффициент отражения света для произвольных углов падения и поляризации можно с помощью [[Формулы Френеля|формул Френеля]]{{sfn|Ландсберг|2003|с=432}}.

=== Дисперсия ===
{{main|Дисперсия (оптика)}}
[[Файл:WhereRainbowRises.jpg|thumb|150px|alt=Радуга|Свет разных цветов имеет немного разные показатели преломления в воде, что приводит к появлению [[Радуга|радуги]]]]

Показатель преломления зависит от частоты света. Это явление называется [[Дисперсия света|дисперсией]]. В тех диапазонах частот, где вещество прозрачно, преломление увеличивается с частотой<ref>{{Cite book|author=Кузнецов С. И.|url=http://ens.tpu.ru/POSOBIE_FIS_KUSN/Колебания%20и%20волны.%20Геометрическая%20и%20волновая%20оптика/10-2.htm|title=Нормальная и аномальная дисперсия}} {{Wayback|url=http://ens.tpu.ru/POSOBIE_FIS_KUSN/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%B8%20%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B.%20%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D0%B8%20%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F%20%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/10-2.htm |date=20200812050155 }}</ref>. Например, вода и бесцветное стекло преломляют голубой свет сильнее, чем красный{{sfn|Борисенко и др.|2014|с=11}}.

В природе этот эффект приводит к возникновению такого явления как [[радуга]]. Разложение света стеклянной призмой заложило основы [[Спектральный анализ|спектрального анализа]], который широко применяется в науке и технике. В то же время дисперсия приводит к трудностям в изготовлении оптических систем. Когда на стеклянную [[Линза|линзу]] падает пучок немонохроматического света, то лучи разных цветов [[Фокусное расстояние|фокусируются на разном расстоянии]] и вокруг контрастных деталей изображения образуется радужная кайма. Это явление получило название [[Хроматическая аберрация|хроматической аберрации]]. Её компенсируют путём изготовления линз из разных сортов [[Оптическое стекло|оптического стекла]], имеющих разные показатели преломления{{Sfn|Вакуленко|2008|loc=c.&nbsp;30&nbsp;(Апохромат)}}.

Из-за зависимости показателя преломления от длины волны в таблицах указывают частоту, на которой производились измерения. Обычно применяется частота [[Жёлтый дублет натрия|жёлтой линии натрия]] (точнее, поскольку эта [[спектральная линия]] является двойной, применяется среднее арифметическое от длин линий дублета, {{nobr|5893 [[Ангстрем|Å]]}}); в этом случае показатель преломления обозначается через <math>n_D</math>{{Sfn|Барковский, Горелик, Городенцева|1963|p=105}}.

Для оценки дисперсии в оптическом диапазоне применяют ''среднюю дисперсию'' или ''главную дисперсию'' (<math>n_F-n_C</math>), которая равна разнице показателей преломления на длинах волн красной (λ<sub>C</sub> = 6563 Å) и синей [[Серия Бальмера|линий водорода]] (λ<sub>F</sub> = 4861 Å){{Sfn|Барковский, Горелик, Городенцева|1963|p=105}}. Индексы F и C обозначают соответствующие [[фраунгоферовы линии]]<ref>{{Cite web|url=https://home.uni-leipzig.de/prakphys/pdf/VersucheIPSP/Optics/O-05e-AUF.pdf|title=Index of Refraction of Liquids (Refractometry)|website=Universität Leipzig|access-date=2021-05-14|archive-date=2021-06-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20210617050320/https://home.uni-leipzig.de/prakphys/pdf/VersucheIPSP/Optics/O-05e-AUF.pdf|url-status=live}}</ref>.

<gallery mode="packed" heights="140px" caption="Дисперсия электромагнитных волн">
Файл:Dispersive_Prism_Illustration.jpg|Дисперсия в стеклянной призме
Файл:Refractive index from the infrared to the x-ray-ru.svg|Типичный вид графика зависимости показателя преломления от частоты в широком диапазоне. Резкие падения связаны с инфракрасной, ультрафиолетовой и рентгеновской зонами поглощения{{sfn|Fox|2010|p=40}}
File:Refractive index of silicon (300 K)-ru.svg|Зависимость показателя преломления (красный) и [[Коэффициент поглощения (оптика)|коэффициента поглощения]] (зелёный) кремния от длины волны при температуре 300 К
</gallery>

Другой характеристикой является [[число Аббе]], равное:

{{NumBlk|:|<math>V_D=\frac{n_D-1}{n_F-n_C}\,.</math>|{{EquationRef|1.4|Ур. 1.4}}}}

Большее число Аббе соответствует меньшей средней дисперсии<ref>{{Cite web|url=https://www.rp-photonics.com/chromatic_dispersion.html|title=Chromatic Dispersion|website=RP Photonics Encyclopedia|author=Paschotta, Rüdiger|access-date=2021-05-14|archive-date=2015-06-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20150629012047/http://www.rp-photonics.com/chromatic_dispersion.html|url-status=live}}</ref>.

В широком диапазоне длин волн электромагнитного излучения зависимость показателя преломления от частоты является нелинейной и состоит из участков, где показатель преломления возрастает с частотой — этот случай называется ''нормальной дисперсией'' (поскольку такая ситуация типична), — и небольших участков, где показатель преломления стремительно падает, что называется ''[[Аномальная дисперсия света|аномальной дисперсией]]''. Участки аномальной дисперсии обычно расположены вблизи линий поглощения вещества{{Sfn|Прохоров|1988|p=211}}.

=== Поляризация при преломлении ===
{{main|Поляризация волн}}
[[Файл:Brewsters-angle-ru.svg|мини|Отражение и преломление света, падающего под углом Брюстера на границу раздела двух сред]]
Интенсивности преломлённой и отражённой волн зависят от [[Поляризация электромагнитной волны|поляризации падающего света]]: [[S-поляризация|s-поляризованный]] свет имеет более высокий коэффициент отражения, тогда как [[P-поляризация|p-поляризованный]] лучше проникает в среду. Поэтому даже если на границу раздела сред падает неполяризованный свет, и преломлённый, и отражённый лучи становятся частично поляризованными (если угол падения не равен нулю). Если угол между отражённым и преломлённым лучами составляет 90°, отражённый свет становится полностью поляризованным. Угол падения, при котором это происходит, называется [[Закон Брюстера|углом Брюстера]]. Его значение зависит от относительного показателя преломления сред{{Sfn|Савельев|1988|p=432}}:

{{NumBlk|:|<math> \operatorname{tg}\theta_B = n_{12}\,.</math>|{{EquationRef|1.5|Ур. 1.5}}}}

В случае падения под таким углом преломлённый луч не становится полностью поляризованным, но степень его поляризации является максимальной{{Sfn|Савельев|1988|p=432}}.

=== Общее выражение ===
Существует другое определение показателя преломления, связывающее его с [[Диэлектрическая проницаемость|диэлектрической проницаемостью]] среды {{math|''ε''}}:
{{NumBlk|:|<math>\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}=n^2\,,</math>|{{EquationRef|1.6|Ур. 1.6}}}}
где <math>\varepsilon_0</math> — [[Электрическая постоянная|диэлектрическая проницаемость вакуума]]<ref name="Taillet p216">{{Harvard citation no brackets|Taillet|2006|p=216}}</ref>. Диэлектрическая проницаемость представляется в виде <math>\varepsilon=\varepsilon_0 (1+\chi (\omega))</math>. Она зависит от частоты и может приводить к комплексному коэффициенту преломления, так как <math>n^2=1+\chi (\omega)</math><ref>{{Harvard citation no brackets|Chartier|1997|p=431}}</ref>. Здесь <math>\chi (\omega)</math> — [[диэлектрическая восприимчивость]], характеристика, специфичная для каждой среды, которая может принимать как действительные, так и комплексные значения. Она связывает поляризацию материала <math>\vec P</math> и электрическое поле по формуле<ref>{{Harvard citation no brackets|Chartier|1997|p=429}}</ref>
{{NumBlk|:|<math>\vec P = \varepsilon_0 \chi(\omega) \vec E\,.</math>|{{EquationRef|1.7|Ур. 1.7}}}}
Это определение приводит к действительным значениям для немагнитных сред<ref>{{Harvard citation no brackets| Born & Wolf|2019|p=14}}</ref> и описывает внутреннюю характеристику среды, которая позволяет установить, как падающая световая волна поляризует среду. И [[диэлектрическая проницаемость]], и [[диэлектрическая восприимчивость]] являются [[Вещественное число|действительными]] или [[Комплексное число|комплексными]] величинами, поэтому показатель преломления также может иметь комплексные значения. Мнимая часть показателя преломления связана с [[Поглощение электромагнитного излучения|поглощением]] среды, так что существует определённая зависимость между поляризацией материала и ослаблением световой волны в среде<ref name="Taillet p216" />. Фактически размерный [[Коэффициент поглощения (оптика)|коэффициент поглощения]] вычисляется из мнимой части безразмерного показателя преломления по следующей формуле
{{NumBlk|:|<math>\alpha(\omega) = \frac{2\kappa(\omega)\omega}{c}=\frac{4 \pi \kappa(\omega)}{\lambda}\,,</math>|{{EquationRef|1.8|Ур. 1.8}}}}
где <math>\alpha</math> описывает затухание, <math>\lambda</math> — длина волны и <math>\kappa(\omega)</math> — мнимая часть показателя преломления{{sfn|Ефимов|2008|с=37, 63}}.

== Механизм замедления света в среде ==
Причины замедления света в веществе могут быть (с упрощениями) объяснены с позиций [[Электродинамика|классической электродинамики]]. Любая заряженная частица в поле электромагнитной волны испытывает действия периодических сил, которые вызывают её колебания. Обычно важнее действие периодического [[Электрическое поле|электрического поля]], а не магнитного, поскольку скорости частиц в среде относительно невысокие. Под действием периодического электрического поля носители электрического заряда также начинают колебаться с определённой частотой, а следовательно сами становятся источниками электромагнитных волн{{Sfn|Фейнман, Лейтон|1967|p=84}}. Атомы всех веществ содержат [[электрон]]ы — лёгкие заряженные частицы, которые легко колеблются в электрическом поле волны. В случае волн оптического диапазона (частотой порядка 10<sup>15</sup> Гц) поле, создаваемое электронами, обычно почти полностью описывает наведённое поле. Для волн меньшей частоты (инфракрасного или микроволнового излучения) заметными становятся и эффекты, вызванные перераспределением электронов между атомами в молекуле, колебания ионов в ионных кристаллах или вращение полярных молекул{{Sfn|Прохоров|1983|p=344}}. Волны, создаваемые каждым электроном, интерферируют между собой, создавая волну, которая распространяется в том же направлении, что и падающая волна (а также в обратном — что воспринимается как отражение от границы сред){{Sfn|Фейнман, Лейтон|1967|p=85}}. [[Интерференция света|Интерференция]] падающей и наведённой волн создаёт эффект замедления электромагнитной волны (хотя на самом деле обе волны движутся с одинаковой скоростью — [[Скорость света|скоростью света]]){{Sfn|Фейнман, Лейтон|1967|p=83}}. В общем случае вычисление поля, создаваемого колебаниями электронов, является сложной задачей, поскольку каждый электрон испытывает действие не только падающей волны, но и волны, созданной колебаниями всех остальных электронов{{Sfn|Фейнман, Лейтон|1967|p=85}}. Простейшая модель выводится из предположения, что электроны друг на друга не действуют, что справедливо для очень разреженных сред с низким показателем преломления, таких как [[газ]]ы{{Sfn|Фейнман, Лейтон|1967|p=85}}.

Пусть на тонкий слой вещества толщиной <math>\Delta z</math> падает [[Монохроматическая волна|плоская волна]] с [[Угловая частота|циклической частотой]] <math>\omega</math>, распространяющаяся вдоль направления <math>z</math>. Электрическое поле ({{math|''x''}}-компонента) в ней меняется по закону{{Sfn|Фейнман, Лейтон|1977|p=89}}:

{{NumBlk|:|<math>E_s=E_0e^{i\omega (t-z/c)}\,.</math>|{{EquationRef|2.1|Ур. 2.1}}}}

Интенсивность [[лазер]]ных источников света сравнительно невелика, так что напряжённость электрического поля световой волны значительно меньше напряжённости электрического поля в атоме. При таких условиях электрон в атоме можно рассматривать как [[гармонический осциллятор]]{{Sfn|Прохоров|1994|loc=Преломления показатель}} (это допустимо с позиций квантовой механики) с [[резонансная частота|резонансной частотой]] <math>\omega_0</math> (для большинства веществ эта частота лежит в [[Ультрафиолетовый диапазон|ультрафиолетовом диапазоне]]). Движение электрона, находящегося у поверхности слоя вещества (в точке <math>z = 0</math>), под действием внешней периодической силы будет описываться обычным для такой системы уравнением колебаний:

{{NumBlk|:|<math>m_e\left(\frac{d^2x}{dt^2}+\omega_0^2x\right) = q_eE_0e^{i\omega t}\,,</math>|{{EquationRef|2.2|Ур. 2.2}}}}

где <math>m_e</math> и <math>q_e</math> — масса и заряд электрона соответственно{{Sfn|Фейнман, Лейтон|1967|p=90}}.

Решение такого уравнения имеет вид{{Sfn|Фейнман, Лейтон|1967|p=90}}:

{{NumBlk|:|<math>x=\frac{q_eE_0}{m_e(\omega_0^2-\omega^2)}e^{i\omega t}\,.</math>|{{EquationRef|2.3|Ур. 2.3}}}}

Если источник излучения находится достаточно далеко и [[Волновой фронт|фронт падающей волны]] плоский, то все электроны, которые находятся в этой плоскости, движутся одинаково. Поле, создаваемое такой заряженной плоскостью, равно:

{{NumBlk|:|<math>E_e=-\frac{\eta q_e}{2\varepsilon_0c}\left(i\omega\frac{q_eE_0}{m_e(\omega_0^2-\omega^2)}e^{i\omega (t-z/c)}\right)\,,</math>|{{EquationRef|2.4|Ур. 2.4}}}}

где <math>\eta</math> — число заряженных частиц на единицу площади (поверхностная плотность заряда){{Sfn|Фейнман, Лейтон|1967|p=90}}.

С другой стороны, если в пластинке волна замедляется в <math>n</math> раз, то уравнение волны {{EquationNote|2.1|ур. 2.1}} после прохождения через пластинку будет иметь вид{{Sfn|Фейнман, Лейтон|1967|p=90}}:

{{NumBlk|:|<math>E_s+E_e=E_0e^{i\omega (t-(n-1)\Delta z/c-z/c)}=e^{-i\omega (n-1)\Delta z/c}E_0e^{i\omega (t-z/c)}\,.</math>|{{EquationRef|2.5|Ур. 2.5}}}}

Это уравнение описывает волну, идентичную падающей, но с задержкой по фазе, которую выражает первая экспонента. В случае малой толщины пластинки можно разложить первую экспоненту в [[ряд Тейлора]]{{Sfn|Фейнман, Лейтон|1967|p=88}}:

{{NumBlk|:|<math>E_s+E_e=(1-i\omega (n-1)\Delta z/c)E_0e^{i\omega (t-z/c)}\,.</math>|{{EquationRef|2.6|Ур. 2.6}}}}

Таким образом, поле, создаваемое веществом, описывается формулой{{Sfn|Фейнман, Лейтон|1967|p=88}}:

{{NumBlk|:|<math>E_e=-\frac{i\omega (n-1)\Delta z}{c}E_0e^{i\omega (t-z/c)}\,.</math>|{{EquationRef|2.7|Ур. 2.7}}}}

Сравнивая это выражение с выражением, полученным для поля {{EquationNote|2.4|ур. 2.4}}, созданного колебаниями электронов плоскости, можно получить{{Sfn|Фейнман, Лейтон|1967|p=88}}:

{{NumBlk|:|<math>(n-1)\Delta z=\frac{\eta q_e^2}{2\varepsilon_0m_e(\omega_0^2-\omega^2)}\,.</math>|{{EquationRef|2.8|Ур. 2.8}}}}

Поскольку число зарядов на единицу площади равно концентрации электронов <math>N</math>, умноженной на толщину пластинки, величина показателя преломления равна:

{{NumBlk|:|<math>n=1+\frac{N q_e^2}{2\varepsilon_0m_e(\omega_0^2-\omega^2)}\,,</math>|{{EquationRef|2.9|Ур. 2.9}}}}

где <math>\varepsilon_0</math> — [[электрическая постоянная]]{{Sfn|Фейнман, Лейтон|1967|p=91}}.

Эта формула также описывает зависимость показателя преломления от частоты падающей волны, то есть [[Дисперсия света|дисперсию]]{{Sfn|Фейнман, Лейтон|1967|p=91}}. В общем случае необходимо учитывать, что каждый атом содержит много электронов, имеющих различные резонансные частоты. Их вклады должны суммироваться в правой части уравнения{{Sfn|Фейнман, Лейтон|1967|p=94}}. В интенсивных световых потоках напряжённость электрического поля волны может быть соразмерна с внутриатомной. В таких условиях модель гармонического осциллятора становится неприменимой{{Sfn|Прохоров|1994|loc=Преломления показатель}}.

=== Эффект Поккельса ===
{{main|Эффект Поккельса}}
Модель [[Квантовый гармонический осциллятор|ангармонического осциллятора]] с затуханием оказывается полезной для качественного рассмотрения зависимости показателя преломления в кристаллах без [[Центральная симметрия|центра инверсии]] от постоянного электрического поля. Уравнение Ньютона для ангармонического осциллятора записывается в виде{{sfn|Сивухин|1980|с=562}}

{{NumBlk|:|<math>\ddot{r}+2\gamma\dot{r}+\omega_0^2r+\beta r^2=-\frac{e}{m_e}E_0\,,</math>|{{EquationRef|2.10|Ур. 2.10}}}}

где <math>r</math> — координата, <math>\omega_0</math> — резонансная частота, <math>\beta</math> — постоянная ангармоничности, <math>\gamma</math> — описывает затухание, <math>E_0</math> — постоянное электрическое поле, <math>m_e</math> — масса электрона, а точки над координатой обозначают полную производную по времени. Для ангармонического осциллятора положение равновесия <math>r_0</math> определяется уравнением{{sfn|Сивухин|1980|с=562}}

{{NumBlk|:|<math>\omega_0^2r_0+\beta r_0^2=-eE_0/m_e\,.</math>|{{EquationRef|2.11|Ур. 2.11}}}}

При отсутствии ангармонического вклада гармонический осциллятор совершает колебания с резонансной частотой около нового положения равновесия из-за наличия электрического поля. В присутствии малого ангармонического вклада можно принять новое положение равновесия за начало координат, подставив в уравнение движения <math>r=r_0+q</math>. Ввиду малости ангармонического вклада колебание осциллятора в новых координатах примет вид{{sfn|Сивухин|1980|с=563}}

{{NumBlk|:|<math>\ddot{q}+2\gamma\dot{q}+(\omega_0^2+2\beta r_0)q=0\,.</math>|{{EquationRef|2.12|Ур. 2.12}}}}

Новое уравнение описывает колебания со сдвинутой резонансной частотой, то есть при наличии ангармонизма внешнее постоянное поле не только сдвигает положение равновесия осциллятора, но и изменяет квадрат резонансной частоты на величину <math>2\beta r_0</math>. В результате сдвига резонансной частоты изменяется и закон дисперсии и, соответственно, показатель преломления на величину

{{NumBlk|:|<math>\Delta n=\frac{\partial n}{\partial \omega}\frac{e\beta}{m_e\omega\omega_0^2}E_0\,.</math>|{{EquationRef|2.13|Ур. 2.13}}}}

Электрическое поле — это выделенное направление в кристалле, поэтому в среде возникает зависимость дисперсии от направления распространения света — [[Двойное лучепреломление|двулучепреломление]]. Это явление называется эффектом Поккельса. Как видно из качественной модели, это линейный по электрическому полю эффект{{sfn|Сивухин|1980|с=563}}. Этот эффект находит применение в [[Пространственный модулятор света|модуляторах света]]{{sfn|Сивухин|1980|с=564}}.

== Связь с другими показателями ==

=== Диэлектрическая проницаемость ===
{{main|Диэлектрическая проницаемость}}
Из [[Уравнения Максвелла|уравнений Максвелла]] можно получить формулу, связывающую скорость света в веществе с [[Относительная диэлектрическая проницаемость|диэлектрической]] и [[Магнитная проницаемость|магнитной проницаемостями]] вещества (обозначаются буквами <math>\varepsilon</math> и <math>\mu</math> соответственно){{Sfn|Сивухин|1977|p=358}}

{{NumBlk|:|<math>v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\,.</math>|{{EquationRef|3.1|Ур. 3.1}}}}

Таким образом, показатель преломления определяется характеристиками среды{{Sfn|Прохоров|1994}}:

{{NumBlk|:|<math>n=\frac{c}{v}=\sqrt{\varepsilon\mu}\,.</math>|{{EquationRef|3.2|Ур. 3.2}}}}

Магнитная проницаемость очень близка к единице в большинстве реальных прозрачных веществ, поэтому последнюю формулу иногда упрощают до <math>n=\sqrt{\varepsilon}</math>. В данном случае, если относительная диэлектрическая проницаемость <math>\underline{\varepsilon}</math> имеет комплексную форму с вещественной и мнимой частями <math>\varepsilon</math> and <math>\tilde{\varepsilon}</math>, то комплексный показатель преломления связан с вещественной и мнимой частями по формуле
{{NumBlk|:|<math>\underline{\varepsilon} = \varepsilon + i\tilde{\varepsilon} = \underline{n}^2 = (n + i\kappa)^2\,,</math>|{{EquationRef|3.3|Ур. 3.3}}}}
где
{{NumBlk|:|<math>\varepsilon = n^2 - \kappa^2,\qquad \tilde{\varepsilon} = 2n\kappa\,</math>|{{EquationRef|3.4|Ур. 3.4}}}}
или наоборот
{{NumBlk|:|<math>n = \sqrt{\frac{|\underline{\varepsilon}| + \varepsilon}{2}},\qquad \kappa = \sqrt{\frac{|\underline{\varepsilon}| - \varepsilon}{2}}\,,</math>|{{EquationRef|3.5|Ур. 3.5}}}}
где <math>|\underline{\varepsilon}| = \sqrt{\varepsilon^2 + \tilde{\varepsilon}^2}</math> — абсолютное значение<ref>{{cite book|first=Frederick|last=Wooten|title=Optical Properties of Solids|url=https://archive.org/details/opticalpropertie0000woot/page/49|page=49|publisher=[[Academic Press]]|location=New York City|year= 1972|isbn=978-0-12-763450-0}}[http://www.lrsm.upenn.edu/~frenchrh/download/0208fwootenopticalpropertiesofsolids.pdf (online pdf)] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20111003034948/http://www.lrsm.upenn.edu/~frenchrh/download/0208fwootenopticalpropertiesofsolids.pdf |date=2011-10-03 }}</ref>.

Диэлектрическая проницаемость в этой формуле может значительно отличаться от табличных значений, поскольку в таблицах обычно приведены значения проницаемости в постоянном электрическом поле. В быстро меняющемся поле (именно такое поле создаёт электромагнитная волна) молекулы не успевают поляризоваться, что приводит к уменьшению диэлектрической проницаемости. Особенно это касается [[Полярные вещества|полярных]] молекул, таких как вода: диэлектрическая проницаемость воды в постоянном электрическом поле <math>\varepsilon = 81</math>, однако для полей, изменяющихся с частотой 10<sup>14</sup>—10<sup>15</sup> Гц (оптический диапазон), она падает до 1,78<ref name="water">{{Cite web|url=https://refractiveindex.info/?shelf=main&book=H2O&page=Kedenburg|title=Optical constants of H2O, D2O (Water, heavy water, ice)|website=Refractive index database|access-date=2021-05-14|archive-date=2021-04-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20210428125411/https://refractiveindex.info/?shelf=main&book=H2O&page=Kedenburg|url-status=live}}</ref>.

Для комплексного показателя преломления, зависящего от энергии <math>E</math>, реальная и мнимая части показателя преломления являются зависящими друг от друга величинами — они связаны [[Соотношения Крамерса — Кронига|соотношениями Крамерса — Кронига]]{{sfn|The Handbook on Optical Constants of Metals|2012|p=12—13}}
{{NumBlk|:|<math>n(E)=1+\frac{2}{\pi}\mathcal{P}\int_0^{\infty}\frac{x\kappa(E)}{x^2-E^2}dx\,,</math>|{{EquationRef|3.6|Ур. 3.6}}}}
{{NumBlk|:|<math>\kappa(E)=-\frac{2E}{\pi}\mathcal{P}\int_0^{\infty}\frac{n(x)-1}{x^2-E^2}dx\,,</math>|{{EquationRef|3.7|Ур. 3.7}}}}
где символ <math>\mathcal{P}</math> обозначает [[Главное значение интеграла по Коши|главное значение в смысле Коши]]{{sfn|Palik|1991|p=41—42}}.

В случае кристаллов и других [[Анизотропия|анизотропных]] сред диэлектрическая проницаемость зависит от кристаллографического направления и описывается [[тензор]]ом, поэтому показатель преломления является тензорной величиной{{Sfn|Шен|1980|p=67}}.

=== Поляризуемость ===
{{Основная статья|Формула Лоренца — Лоренца}}
Важным соотношением, связывающим показатель преломления с микроскопическими свойствами вещества, является формула Лоренца — Лоренца:

{{NumBlk|:|<math>\frac{n^2-1}{n^2+2}=\frac{4\pi\alpha N}{3}\,,</math>|{{EquationRef|3.8|Ур. 3.8}}}}

где <math>\alpha</math> — электронная [[поляризуемость]] молекул, которая зависит от частоты, а <math>N</math> — их концентрация. Если преломляющая среда является смесью нескольких веществ, в правой части уравнения будет стоять несколько слагаемых, каждое из которых соответствует отдельной компоненте{{Sfn|Прохоров|1983|p=352}}. В анализе атмосферы ''коэффициент преломления'' принимается равным {{math|''N'' {{=}} ''n'' − 1}}. Атмосферная рефракция часто выражается как {{math|''N'' {{=}} {{Val|e=6}} (''n'' − 1)}} или {{math|''N'' {{=}} {{Val|e=8}} (''n'' − 1)}}. Коэффициенты умножения используются потому, что показатель преломления для воздуха, {{nobr|''n''}}, отклоняется от единицы не более чем на несколько частей на десять тысяч<ref>{{Cite journal|author=Aparicio|first=Josep M.|date=2011-06-02|title=An evaluation of the expression of the atmospheric refractivity for GPS signals|journal=Journal of Geophysical Research|volume=116|issue=D11|pages=D11104|doi=10.1029/2010JD015214|bibcode=2011JGRD..11611104A}}</ref>.

С другой стороны, [[Молекулярная рефракция|молярная рефракция]] является мерой общей [[Поляризуемость|поляризуемости]] одного [[Моль (единица измерения)|моля]] вещества и может быть рассчитана на основе показателя преломления как:

{{NumBlk|:|<math>K = \frac{4}{3}\pi N_A \alpha=\frac{n^2-1}{n^2+2}\cdot\frac{M}{\rho}\,,</math>|{{EquationRef|3.9|Ур. 3.9}}}}

где <math>M</math> — [[молекулярная масса]], <math>N_A</math> — [[постоянная Авогадро]], <math>\rho</math> — плотность вещества{{sfn|Born & Wolf|2019|p=93}}. Она почти не зависит от давления, температуры и даже агрегатного состояния и является характеристикой поляризуемости молекул конкретного вещества{{Sfn|Прохоров|1992|p=195}}.

В простом случае газа при небольшом давлении показатель преломления выражается как{{Sfn|Прохоров|1994|p=107}}

{{NumBlk|:|<math>n=\sqrt{1 + 2\pi N\alpha}\,.</math>|{{EquationRef|3.10|Ур. 3.10}}}}

Формула Лоренца — Лоренца ({{EquationNote|3.8|ур. 3.8}}) выведена в предположении изотропности среды, поэтому справедлива для газов, жидкостей, аморфных тел. Однако и для многих других веществ она часто выполняется с хорошей точностью (погрешность не превышает нескольких процентов). Пригодность формулы для конкретного вещества определяется экспериментально. Для некоторых классов веществ, например, [[Пористость|пористых материалов]], погрешность может достигать десятков процентов<ref>{{cite journal|last1=Schwarz|first1=Daniel|last2=Wormeester|first2=Herbert|last3=Poelsema|first3=Bene|date=2011|title=Validity of Lorentz–Lorenz equation in porosimetry studies|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0040609010016834/490822BAE13BFBCB18F9434546677361|journal=Thin Solid Films|volume=519|issue=9|pages=2994—2997|doi=10.1016/j.tsf.2010.12.053}}{{Недоступная ссылка}}</ref>. Область применения формулы ограничивается видимым и ультрафиолетовым диапазонами спектра и исключает диапазоны поглощения в веществе. Для низших частот необходимо учитывать не только электронную поляризацию, но и атомную (поскольку ионы в ионных кристаллах и атомы в молекулах успевают сместиться в поле низкой частоты){{Sfn|Прохоров|1983|p=352}}.

Для полярных диэлектриков в случае волн большой длины также необходимо учитывать ''ориентационную поляризуемость,'' природа которой заключается в изменении ориентации дипольных молекул вдоль силовых линий поля. Для газов, состоящих из полярных молекул, или сильно разбавленных растворов полярных веществ в неполярных растворителях вместо формулы Лоренца — Лоренца необходимо использовать [[формула Ланжевена — Дебая|формулу Ланжевена — Дебая]]:

{{NumBlk|:|<math>\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon+2}\frac{M}{\rho}=\frac{4\pi N_A}{3\varepsilon_0}\left (\alpha_0+\frac{p^2}{3k_BT}\right)\,,</math>|{{EquationRef|3.11|Ур. 3.11}}}}

где <math>\alpha_0</math> — сумма ионной и электронной [[Поляризуемость|поляризуемости]], <math>p</math> — дипольный момент молекул (атомов), <math>k_B</math> — [[постоянная Больцмана]], <math>T</math> — температура{{Sfn|Прохоров|1983|p=344}}<ref>{{БРЭ |статья= Ланжевена-Дебая формула|id= |автор=Булыгин, В. С. |том= |страницы= |ref= }}</ref>.

=== Плотность ===
Как правило, вещества с большей [[плотность]]ю имеют более высокий показатель преломления. Для жидкостей показатель преломления обычно больше, чем для газов, а для твёрдых тел — больше, чем для жидкостей{{Sfn|Иоффе|1983|p=23}}. Однако количественная связь между показателем преломления и плотностью может быть разной для разных классов веществ. Существует несколько эмпирических формул, позволяющих оценить эту связь численно<ref name="cambridge">{{Cite journal|author=Burnett|first=D.|date=1927|title=The Relation between Refractive Index and Density|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-proceedings-of-the-cambridge-philosophical-society/article/abs/relation-between-refractive-index-and-density/490822BAE13BFBCB18F9434546677361|journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|volume=23|issue=8|pages=907–911|doi=10.1017/S0305004100013773|access-date=2021-05-14|archive-date=2021-05-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20210514115501/https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-proceedings-of-the-cambridge-philosophical-society/article/abs/relation-between-refractive-index-and-density/490822BAE13BFBCB18F9434546677361|url-status=live}}</ref>. Наиболее известное соотношение следует из [[Формула Лоренца — Лоренца|формулы Лоренца — Лоренца]] ({{EquationNote|3.9|ур. 3.9}}):

{{NumBlk|:|<math>\frac{n^2-1}{n^2+2}\cdot\frac{1}{\rho}=r\,,</math>|{{EquationRef|3.12|Ур. 3.12}}}}

которое хорошо описывает газы, а также удовлетворительно выполняется в случае изменения агрегатного состояния вещества<ref name="cambridge" />. Величину <math>r</math> иногда называют ''удельной рефракцией''{{Sfn|Прохоров|1998|p=211}}.

В случае газов при низком давлении это выражение сводится к ещё более простому, известному как {{iw|формула Гладстона — Дейла|формула Гладстона — Дейла|en|Gladstone–Dale relation}}{{Sfn|Куинн|1985|p=133}}:

{{NumBlk|:|<math>\frac{n - 1}{\rho}=const\,.</math>|{{EquationRef|3.13|Ур. 3.13}}}}
[[Файл:Superior and inferior mirage ru.svg|мини|300px|Миражи образуются в неравномерно нагретом воздухе вследствие изменения показателя преломления в зависимости от плотности]]

Уменьшение плотности [[воздух]]а с высотой (соответственно, уменьшение показателя преломления) вызывает [[Астрономическая рефракция|рефракцию света в атмосфере]], что приводит к смещению видимого положения [[Астрономический объект|небесных светил]]. Вблизи [[горизонт]]а такое смещение достигает 30 [[Минута дуги|угловых минут]] (то есть размера диска Солнца или Луны)<ref>{{Cite web|url=http://www.astrosvit.in.ua/astroslovnyk/refraktsiia-svitla-v-atmosferi|title=Рефракція світла в атмосфері|author=|website=Український астрономічний портал|date=|access-date=2021-04-07|archive-date=2021-05-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20210514115501/http://www.astrosvit.in.ua/astroslovnyk/refraktsiia-svitla-v-atmosferi|url-status=live}}</ref>. Неоднородный показатель преломления атмосферы может приводить к более раннему [[Эффект Новой Земли|восходу Солнца]], что наблюдается в северных широтах<ref>{{статья|автор = Хотимский Д.|заглавие = Эффект Новой земли, или История одного миража|оригинал = |ссылка = https://www.nkj.ru/archive/articles/38893/|издание = Наука и жизнь|год = 2020|том = 6|страницы = 28—39|doi = |pmid = |bibcode = |arxiv = |ref = |archivedate = 2020-06-12|archiveurl = https://web.archive.org/web/20200612122712/https://www.nkj.ru/archive/articles/38893/}}</ref>.

Для некоторых немагнитных сред точную оценку можно получить с помощью формулы, полученной [[Макдональд, Гектор Манро|Макдональдом]]:

{{NumBlk|:|<math>\frac{n^2-1}{n\cdot\rho}=const\,.</math>|{{EquationRef|3.14|Ур. 3.14}}}}

Она лучше описывает показатель преломления для воды, [[бензол]]а и других жидкостей<ref name="cambridge" />.

Также существует зависимость показателя преломления от других связанных с плотностью величин, в частности она уменьшается при увеличении температуры (из-за уменьшения концентрации частиц вследствие термического расширения){{Sfn|Иоффе|1983|p=23}}. По тем же причинам при увеличении давления показатель преломления возрастает{{Sfn|Иоффе|1983|p=25}}.
[[Файл:Dichte brechzah-ru.svg|мини|300px|Связь между показателем преломления и плотностью [[Стекло|силикатных]] и [[Боросиликатное стекло|боросиликатных стёкол]]]]

Как правило, показатель преломления стекла увеличивается с увеличением его плотности. Однако не существует общей линейной зависимости между показателем преломления и плотностью для всех силикатных и боросиликатных стёкол. Относительно высокий показатель преломления и низкая плотность могут быть получены для стёкол, содержащих оксиды лёгких металлов, таких как [[Оксид лития|Li<sub>2</sub>O]] и [[Оксид магния|MgO]], тогда как противоположная тенденция наблюдается для стёкол, содержащих [[Оксид свинца(II)|PbO]] и [[Оксид бария|BaO]], как показано на диаграмме справа<ref>{{Cite web|url=http://www.glassproperties.com/refractive_index/|title=Calculation of the Refractive Index of Glasses|website=Statistical Calculation and Development of Glass Properties|archive-url=https://web.archive.org/web/20071015124852/http://glassproperties.com/refractive_index/|archive-date=2007-10-15}}</ref>.

Многие масла (например, [[оливковое масло]]) и [[этанол]] являются примерами жидкостей, которые обладают более высокими коэффициентами преломления, но менее плотны, чем вода, вопреки общей корреляции между плотностью и показателем преломления<ref name="ВЕЛИЧИНЫ" />.

Для воздуха <math>n-1</math> пропорционально плотности газа до тех пор, пока химический состав не меняется. Это означает, что оно также пропорционально давлению и обратно пропорционально температуре для [[Уравнение состояния идеального газа|идеальных газов]]<ref>{{Cite web|url=http://emtoolbox.nist.gov/Wavelength/Documentation.asp|title=Index of refraction of air|last=Stone|first=Jack A.|website=Engineering metrology toolbox|date=2011-12-28|publisher=National Institute of Standards and Technology (NIST)|archive-url=https://web.archive.org/web/20140111155252/http://emtoolbox.nist.gov/Wavelength/Documentation.asp|archive-date=2014-01-11|access-date=2014-01-11}}</ref>.

В неравномерно нагретом воздухе вследствие изменения показателя преломления траектория лучей света искривляется и наблюдаются [[мираж]]и. Для «нижнего» миража приповерхностный слой нагрет, поэтому показатель преломления меньше, чем у более холодного воздуха выше. Траектория световых лучей будет искривляться так, что выпуклость траектории обращена вниз и часть голубого неба будет видеться наблюдателю ниже уровня горизонта, что похоже на воду. Для «верхних» миражей выпуклость траектории обращена вверх из-за более плотного и холодного приповерхностного слоя. В этом случае возможно заглянуть за горизонт и увидеть предметы, скрытые от прямого наблюдения<ref>{{книга | автор = Тарасов Л. В.| часть = | заглавие = Физика в природе: книга для учащихся| оригинал = | ссылка =https://archive.org/details/isbn_5090015163| издание = | ответственный = | место = М.| издательство = Просвещение| год = 1988| том = | страницы = [https://archive.org/details/isbn_5090015163/page/n39 40]—41 | страниц = 351| isbn = 5-09-001516-3}}</ref>.

==== Производные величины ====
В [[Нефтехимия|нефтехимии]] применяется производный от плотности показатель — ''рефрактометрическая разница'' или ''[[интерцепт]] рефракции:''

{{NumBlk|:|<math>RI=n-\frac{\rho}{2}\,.</math>|{{EquationRef|3.15|Ур. 3.15}}}}

Эта величина одинакова для углеводородов одного [[Гомологический ряд|гомологического ряда]]{{Sfn|Проскуряков, Драбкин|1981|p=57}}.

=== Оптическая длина пути ===
{{main|Оптическая длина пути}}
[[Файл:Soap_bubble_sky.jpg|альт=Soap bubble|мини|Цвет [[Мыльный пузырь|мыльного пузыря]] определяется [[Оптическая длина пути|оптической длиной пути]] при прохождении света через тонкую мыльную плёнку в явлении, называемом [[Интерференция в тонких плёнках|интерференцией тонких плёнок]]]]
[[Оптическая длина пути]] (OPL) — это произведение геометрической длины <math>d</math> пути света, проходящего через систему, и показателя преломления среды, через которую он распространяется<ref>''Paschotta R.'', article on [https://www.rp-photonics.com/optical_thickness.html optical thickness] {{Архивировано|url=https://web.archive.org/web/20150322115346/http://www.rp-photonics.com/optical_thickness.html|date=2015-03-22}} in the [https://www.rp-photonics.com/encyclopedia.html Encyclopedia of Laser Physics and Technology] {{Архивировано|url=https://web.archive.org/web/20150813044135/http://www.rp-photonics.com/encyclopedia.html|date=2015-08-13}}, accessed on 2014-09-08</ref>,

{{NumBlk|:|<math>\text{OPL} = nd\,.</math>|{{EquationRef|3.16|Ур. 3.16}}}}

Это понятие определяет [[Фаза колебаний|фазу]] света и управляет [[Интерференция волн|интерференцией]] и [[Дифракция|дифракцией]] света при его распространении. Согласно [[Принцип Ферма|принципу Ферма]], световые лучи можно охарактеризовать как кривые, [[Оптимизация (математика)|оптимизирующие]] длину оптического пути{{sfn|Zajac & Hecht|2003|p=68–69}}.

[[Фокусное расстояние]] [[Линза|линзы]] определяется её показателем преломления <math>n</math> и [[Радиус кривизны (оптика)|радиусами кривизны]] <math>R_1</math> и <math>R_2</math> образующих её поверхности. Сила [[Тонкая линза|тонкой линзы]] в воздухе определяется [[Линза|формулой линзы]]:

{{NumBlk|:|<math>\frac{1}{f} = (n - 1)\!\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)\,,</math>|{{EquationRef|3.17|Ур. 3.17}}}}

где <math>f</math> — фокусное расстояние линзы<ref>Nave, Carl R. page on the [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/geoopt/lenmak.html Lens-Maker’s Formula] {{Архивировано|url=https://web.archive.org/web/20140926153405/http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/geoopt/lenmak.html|date=2014-09-26}} in [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.html HyperPhysics] {{Архивировано|url=https://web.archive.org/web/20071028155517/http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.html|date=2007-10-28}}, Department of Physics and Astronomy, Georgia State University, accessed on 2014-09-08</ref>.

=== Разрешение микроскопа ===
{{main|Микроскоп}}
[[Разрешающая сила объектива|Разрешение]] хорошего оптического [[микроскоп]]а в основном определяется [[Относительное отверстие|числовой апертурой]] (NA) его [[объектив]]а. Числовая апертура, в свою очередь, определяется показателем преломления <math>n</math> среды, заполняющей пространство между образцом и линзой, и половинным углом сбора света <math>\theta</math> согласно{{sfn|Carlsson|2007|p=6}}

{{NumBlk|:|<math>\mathrm{NA} = n\sin \theta\,.</math>|{{EquationRef|3.18|Ур. 3.18}}}}

По этой причине для получения высокого разрешения в микроскопии часто используется [[Иммерсия (микроскопия)|масляная иммерсия]]. В этом методе для исследования образцов объектив погружается в каплю жидкости с высоким показателем преломления (иммерсионного масла, глицерина или воды){{sfn|Carlsson|2007|p=14}}.

=== Волновое сопротивление ===
{{main|Волновое сопротивление}}
Волновое сопротивление плоской электромагнитной волны в непроводящей среде (без затухания) определяется выражением

{{NumBlk|:|<math>Z = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} = \sqrt{\frac{\mu_\mathrm{0}\mu_\mathrm{r}}{\varepsilon_\mathrm{0}\varepsilon_\mathrm{r}}} = \sqrt{\frac{\mu_\mathrm{0}}{\varepsilon_\mathrm{0}}}\sqrt{\frac{\mu_\mathrm{r}}{\varepsilon_\mathrm{r}}} = Z_0\sqrt{\frac{\mu_\mathrm{r}}{\varepsilon_\mathrm{r}}} = Z_0\frac{\mu_\mathrm{r}}{n}\,,</math>|{{EquationRef|3.19|Ур. 3.19}}}}

где <math>Z_0</math> — волновое сопротивление вакуума, <math>\mu</math> и <math>\varepsilon</math> — абсолютная магнитная и диэлектрическая проницаемости среды, <math>\varepsilon_\mathrm{r}</math> — [[Относительная диэлектрическая проницаемость|относительная диэлектрическая проницаемость материала]], а <math>\mu_\mathrm{r}</math> — его [[Магнитная проницаемость|относительная магнитная проницаемость]]<ref>{{книга | автор = [[Сена, Лев Аронович|Сена Л. А.]]| часть = | заглавие = Единицы физических величин и их размерности| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный = | место = М.| издательство = Наука| год = 1977| том = | страницы = 226—227| страниц = 336| isbn = }}</ref>.

Для немагнитных сред <math>\mu_\mathrm{r}=1</math>,

{{NumBlk|:|<math>Z = \frac{Z_0}{n}\,,</math>|{{EquationRef|3.20|Ур. 3.20}}}}

{{NumBlk|:|<math>n = \frac{Z_0}{Z}\,.</math>|{{EquationRef|3.21|Ур. 3.21}}}}

Таким образом, показатель преломления в немагнитной среде определяется как отношение волнового сопротивления вакуума к волновому сопротивлению среды. Отражательную способность <math>R_0</math> границы раздела двух сред, таким образом, можно выразить как через волновые сопротивления, так и через показатели преломления как

{{NumBlk|:|<math>R_0 = \left|\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right|^2\! = \left|\frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1}\right|^2\,.</math>|{{EquationRef|3.22|Ур. 3.22}}}}
Это выражение совпадает с коэффициентом отражения света при нормальном падении ({{EquationNote|1.3|ур. 1.3}})<ref>{{ФЭ|1 | автор = Миллер М. А. | статья = Волновое сопротивление | ссылка = http://femto.com.ua/articles/part_1/0559.html | страницы = }}</ref>.

=== Волноводы ===
{{main|Волновод}}
Электромагнитные волны могут распространяться внутри волноводов. Их [[закон дисперсии|дисперсионные соотношения]] устанавливаются из решения уравнений Максвелла с соответствующими граничными условиями. Если рассматривать волноводы с металлическими стенками, то электрическое поле не проникает в них и волна, распространяющаяся в них, может быть описана как плоская волна вдоль оси волновода, а поперечные колебания электромагнитного поля задаются свойствами такого резонатора. Если предполагать, что поперечное сечение не меняется, то существует ограничение снизу на частоту этих колебаний. Если обозначить соответствующие частоты [[Нормальные волны|мод]], связанных с поперечными колебаниями, которые представляют собой поперечные стоячие волны, как <math>\omega_{\lambda}\,,</math> то фазовая скорость для волны, распространяющейся в волноводе, описывается формулой
{{NumBlk|:|<math>v=\frac{c}{n}=\frac{c}{\sqrt{\mu\varepsilon}}\frac{1}{\sqrt{1-(\omega_\lambda/\omega)^2}}\,.</math>|{{EquationRef|3.23|Ур. 3.23}}}}
Она всегда больше, чем в неограниченном пространстве <math>c/\sqrt{\mu\varepsilon}</math>, и стремится к бесконечности при приближении показателя преломления к нулю{{sfn|Джексон|1965|с=273—274}}.

=== Групповой индекс ===
{{main|Групповая скорость}}
Иногда определяется «показатель преломления групповой скорости», обычно называемый ''групповым индексом'' ({{lang-en|group index}}):
{{NumBlk|:|<math>n_\mathrm{g} = \frac{\mathrm{c}}{v_\mathrm{g}}\,,</math>|{{EquationRef|3.24|Ур. 3.24}}}}
где ''v''<sub>g</sub> — групповая скорость<ref>{{cite web|author = Paschotta, Rüdiger|url = https://www.rp-photonics.com/group_index.html|title = Group Index|lang = en|website = https://www.rp-photonics.com//|publisher = |date = |access-date = 2021-05-19|archive-date = 2021-05-19|archive-url = https://web.archive.org/web/20210519062219/https://www.rp-photonics.com/group_index.html|url-status = live}}</ref>. Это значение не следует путать с показателем преломления {{math|''n''}}, который всегда определяется относительно ''фазовой скорости'' — они совпадают только для сред без дисперсии. Когда дисперсия мала, групповая скорость может быть связана с фазовой скоростью соотношением
{{NumBlk|:|<math>v_\mathrm{g} = v - \lambda\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}\lambda}\,,</math>|{{EquationRef|3.25|Ур. 3.25}}}}
где ''λ'' — [[длина волны]] в среде{{sfn|Born & Wolf|2019|p=22}}. Таким образом, в этом случае групповой показатель может быть записан в терминах зависимости показателя преломления от длины волны как
{{NumBlk|:|<math>n_\mathrm{g} = \frac{n}{1 + \frac{\lambda}{n}\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\lambda}}\,.</math>|{{EquationRef|3.26|Ур. 3.26}}}}
Когда показатель преломления среды известен как функция длины волны в вакууме, соответствующие выражения для групповой скорости и индекса имеют вид (для всех значений дисперсии)
{{NumBlk|:|<math>v_\mathrm{g} = \mathrm{c}\,\left(n - \lambda_0 \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\lambda_0}\right)^{-1},</math>|{{EquationRef|3.27|Ур. 3.27}}}}
{{NumBlk|:|<math>n_\mathrm{g} = n - \lambda_0 \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\lambda_0}\,,</math>|{{EquationRef|3.28|Ур. 3.28}}}}
где ''λ''<sub>0</sub> — длина волны в вакууме<ref>{{Cite journal | doi = 10.1016/0030-4018(90)90104-2 | title = Group refractive index measurement by Michelson interferometer
 | url = https://archive.org/details/sim_optics-communications_1990-08-15_78_2/page/n2 | year = 1990 | journal = Optics Communications | pages = 109–112 | volume = 78 | last1 = Bor | first1 = Z. | last2 = Osvay | first2 = K. | last3 = Rácz | first3 = B. | last4 = Szabó | first4 = G. |bibcode = 1990OptCo..78..109B
 | issue = 2 }}</ref>.

== Воздух ==
{{main|Воздух}}
Показатель преломления воздуха был предметом многочисленных исследований. Он имеет первостепенное значение для любого исследования и измерения, происходящего в атмосфере. Его значение зависит от многих параметров и было предметом измерений и теорий, точность которых очень варьируется. Первое грубое измерение было выполнено с помощью рефрактометра в начале XVIII века [[Ньютон, Исаак|Исааком Ньютоном]], который в 1700 году<ref>{{Harvard citation no brackets|Gjertsen|1986}}</ref> замерил изменение видимых высот звёзд из-за преломления в атмосфере<ref name="minkata" />, что привело [[Галлей, Эдмунд|Эдмунда Галлея]] к публикации этих результатов в 1721 году для иллюстрации преломления в воздухе<ref>{{Harvard citation no brackets|Halley|1720}}</ref>. В 1806 году [[Араго, Франсуа Жан Доминик|Франсуа Араго]] и [[Био, Жан-Батист|Жан-Батист Био]] оценили значение индекса для воздуха<ref name="minkata">{{Cite web|lang=en|url=http://mintaka.sdsu.edu/GF/explain/atmos_refr/air_refr.html|title=Refractivity of air|access-date=2013-02-18|archive-date=2015-01-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20150110053602/http://mintaka.sdsu.edu/GF/explain/atmos_refr/air_refr.html|url-status=live}}</ref>.

Первая формула, устанавливающая показатель преломления воздуха, была составлена Х. Барреллом и Дж. Э. Сирсом в 1938 году. Названная формулой Баррелла — Сирса, она имеет вид [[уравнение Коши|формулы Коши]] с двумя членами, зависящими от длины волны света (в вакууме) как <math>\lambda^{-2}</math> и <math>\lambda^{-4}</math> для материалов, абсорбционные полосы которых находятся в ультрафиолетовой области спектра:

{{NumBlk|:|<math> n(\lambda) = A + \frac {B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4} + \cdots\,,</math>|{{EquationRef|4.1|Ур. 4.1}}}}

где {{math|''A''}}, {{math|''B''}}, {{math|''C''}} — коэффициенты. Сейчас она устарела, но продолжает использоваться<ref name="minkata" /><ref>{{Harvard citation no brackets| Barrell & Sears|1939}}</ref>. Для материалов с полосой поглощения в инфракрасном диапазоне и некоторых других материалов с полосой поглощения в ультрафиолетовом диапазоне (например, воды) используется [[Аппроксимация диэлектрической функции|формула Скотта — Бриота]]<ref name="chartier p437">{{Harvard citation no brackets|Chartier|1997|p=437}}</ref>

{{NumBlk|:|<math>n=-A' \lambda^2 + A + \frac{B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4}</math>|{{EquationRef|4.2|Ур. 4.2}}}}
и более точная [[формула Зельмейера]]
{{NumBlk|:|<math>n^2=1 + \frac{B_1 \lambda^2}{\lambda^2 - C_1}+ \frac{B_2 \lambda^2}{\lambda^2 - C_2}+ \frac{B_3 \lambda^2}{\lambda^2 - C_3}\,.</math>|{{EquationRef|4.3|Ур. 4.3}}}}

Эти эмпирические законы, определяемые очень точными измерениями длины волны, применяются к прозрачным средам в видимом диапазоне электромагнитного спектра. В моделях учитывают, что, находясь далеко от полос поглощения (обычно расположенных в ультрафиолетовой и инфракрасных областях спектра), можно рассматривать индекс как вещественное число и определить зависимость показателя преломления от длины волны. Эти формулы, как правило, точны до пятого знака после запятой<ref name="chartier p437" />.

Две более свежие формулы, которые сейчас широко используются, дают лучшее приближение к показателю преломления воздуха: это формулы Филипа Э. Сиддора<ref>{{Harvard citation no brackets|Ciddór|1996|p=1566—1573}}</ref> и Эдлена<ref>{{Harvard citation no brackets|Edlén|1966}}</ref>. Эти формулы учитывают большее или меньшее количество факторов, в частности наличие водяного пара и диоксида углерода, и действительны для того или иного диапазона длин волн.<ref name="minkata" />

Показатель преломления воздуха можно очень точно измерить с помощью [[Интерферометрия|интерферометрических]] методов, вплоть до порядка 10<sup>−7</sup> или меньше<ref name="BachNeuroth p97">{{Harvard citation no brackets|Bach & Neuroth|1998}}</ref>. Он примерно равен {{nobr|1,000 293}} при температуре 0&nbsp;°C и давлении {{Число|1|бар}}{{sfn|Zajac & Hecht|2003}}. Эта величина очень близка к единице, поэтому в технической оптике используют другое определение для показателя преломления через отношение скорости света в воздухе к скорости света в среде{{sfn|Шрёдер & Трайбер|2006|с=29}}.

=== Видимый и инфракрасный спектр ===
Значение показателя преломления воздуха, одобренное ''{{Lang|en|Joint Commission for Spectroscopy}}'' в Риме в сентябре 1952 года, записывается следующим образом:

{{NumBlk|:|<math>n_{\text{air}}(15^\circ {\rm C},p_0)=1+10^{-8} \left( 6432.8 + \frac{2949810\;{\rm \text{мкм}}^{-2}\lambda^2}{146\;{\rm\text{мкм}}^{-2}\lambda^2 -1} + \frac{25540\;{\rm\text{мкм}}^{-2}\lambda^2}{41\;{\rm\text{мкм}}^{-2}\lambda^2 -1}\right)\,.</math>|{{EquationRef|4.4|Ур. 4.4}}}}

Эта формула справедлива для длин волн от {{Число|0.2|мкм}} до {{Число|1.35|мкм}} ([[Видимое излучение|видимого]] и [[Инфракрасное излучение|инфракрасного]] диапазонов) и сухого воздуха, содержащего 0,03 % углекислого газа по объёму, при 15&nbsp;°C и давлении {{Число|101.325|кПа}}<ref name="BachNeuroth p97" />.

=== Радарные исследования ===
{{main|Метеорологическая радиолокационная станция}}
Свойства воздуха в зависимости от высоты сильно меняются, что сказывается на точности действия [[Спутниковая система навигации|систем глобального позиционирования]]. В частности, для [[Сантиметровые волны|микроволн]] и [[Радиоволны|радиоволн]] очень важен состав воздуха, поскольку наличие водяного пара в [[Тропосфера|тропосфере]] замедляет сигналы радаров из-за изменения показателя преломления воздуха, что приводит к ошибкам в позиционировании. На большой высоте в [[Ионосфера|ионосфере]] дисперсию волн обуславливают свободные электроны. На показатель преломления воздуха также влияют температура и давление. В простейшем виде время задержки для сигнала радара определяется из уравнения <math>t=2rn/c\,,</math> где <math>r</math> — расстояние до цели, <math>n</math> — показатель преломления среды, <math>c</math> — скорость света. В реальных измерениях используют разницу времени между отражениями от различных предметов и вычисляют разницу фаз <math>\Delta \phi</math>, которая связана с ''изменением индекса'' по формуле <math>\Delta \phi=2\pi f\Delta t=4\pi fr\Delta n/c\,,</math> где <math>f</math> — частота радара. На дистанциях между 20 и 40 км этот метод хорошо работает. Изменение показателя преломления в реальной атмосфере составляет около 0,03 %, но если расстояние известно, то можно с высокой точностью (~1 %) определять изменение показателя преломления при знании соответствующей модели атмосферы<ref name="Fabry Frush">{{Harvard citation no brackets|Fabry, Frush & Kilambi|1997}}</ref>.

В метеорологии и радарных исследованиях используют другое определение ''изменения индекса'' <math>\Delta n</math>, для данной частоты. Оно выражается через величину <math>N = (n-1) \times 10^6</math>, которая соответствует порядку изменения коэффициента преломления <math>n</math> между вакуумом и воздухом у земной поверхности<ref name="Fabry Frush" />.

<math>N</math> связано с параметрами окружающей среды по следующей экспериментально установленной формуле:
{{NumBlk|:|<math>N = 77{,}5 \frac {P} {T} - 12{,}5 \frac {e}{T} + 3{,}7 \times 10^5 \frac {e}{T^2} \,,</math>|{{EquationRef|4.5|Ур. 4.5}}}}
где <math>P</math> — давление в [[Гекто-|г]]Па, <math>T</math> — температура в кельвинах, <math>e</math> — парциальное давление водяного пара, содержащегося в воздухе, в гПа<ref name="Fabry Frush" /><ref name="Bevis">{{Harvard citation no brackets|Bevis et al.|1994}}</ref>{{sfn|Hartmann & Leitinger|1984|p=114}}. Первый член применяется во всей толще атмосферы, связан с дипольным моментом из-за поляризации нейтральных молекул и описывает сухую атмосферу. Второй и третий члены важны в тропосфере, относятся к постоянному дипольному моменту воды и важны только в нижней тропосфере{{sfn|Fukao|2013|p=26}}. Первое слагаемое преобладает при низких температурах, где давление паров водяного пара низкое. Следовательно, можно измерить изменение <math>N</math>, если известны <math>P</math>, <math>e</math> и <math>T</math>, и наоборот. Эта формула широко используется при расчёте влияния водяного пара на распространение волн в атмосфере. Диапазон частот, где применима эта формула, ограничивается микроволновой областью (1 ГГц — 300 ГГц), поскольку для более высоких частот существует вклад вращательных резонансов молекул кислорода и воды{{sfn|Hartmann & Leitinger|1984|p=114}}.

В ионосфере, однако, вклад электронной плазмы в коэффициент преломления существенен, а водяного пара — отсутствует, поэтому используют другую форму уравнения для показателя преломления:
{{NumBlk|:|<math>N = 77{,}6 \frac {P} {T} + 3{,}73 \times 10^5 \frac {e}{T^2} - 40{,}3\times 10^{6}\frac{n_e}{f^2}\,,</math>|{{EquationRef|4.6|Ур. 4.6}}}}
где <math>n_e</math> — концентрация электронов, <math>f</math> — частота радара. Вклад [[Плазменная частота|плазменной частоты]] (последнее слагаемое) важен на высотах более 50 км{{sfn|Fukao|2013|p=26}}.

Вклад холодной плазмы в ионосфере может изменить знак показателя преломления на больших высотах в микроволновом диапазоне. В общем случае ионосфера демонстрирует двулучепреломление{{sfn|Hartmann & Leitinger|1984}}.
 
Радарные технологии используются в [[Метеорология|метеорологии]] для определения количества капель и их распределения над территорией США и Западной Европы, поскольку эти территории практически полностью покрыты сетью радаров. Мощность отражённого сигнала пропорциональна [[Радиолокационная отражаемость|радиолокационной отражаемости]] водяных капель и величине, зависящей от комплексного показателя преломления, <math>|(n^2(\lambda)-1)/(n^2(\lambda)+1)|^2</math>{{sfn|Fabry|2015|p=5, 32—33}}.

== Вода ==
{{main|Вода}}
Чистая вода прозрачна для света видимого, ультрафиолетового и инфракрасного диапазона спектра. В области длин волн от 0,2 мкм до 1,2 мкм и температур от −12&nbsp;°C до 500&nbsp;°C действительную часть показателя преломления воды можно получить из следующего эмпирического выражения:

{{NumBlk|:|<math>\frac{n^{2}-1}{n^{2}+2}(1/\overline{\rho })=a_{0}+a_{1}\overline{\rho}+a_{2}\overline{T}+a_{3}{\overline{\lambda}}^{2}\overline{T}+\frac{a_{4}}{{\overline{\lambda}}^{2}}+\frac{a_{5}}{{\overline{\lambda }}^{2} -{\overline{\lambda}}_{\mathit{UV}}^{2}}+\frac{a_{6}}{{\overline{\lambda}}^{2}-{\overline{\lambda }}_{\mathit{IR}}^{2}}+a_{7}{\overline{\rho}}^{2}\,,</math>|{{EquationRef|5.1|Ур. 5.1}}}}
[[Файл:complex refractive index water.svg|thumb|300px|right|Показатель преломления воды (действительная и мнимая части) в зависимости от длины волны при 30 °C. Синие и голубые точки относятся к показателю преломления (ось слева), а красные и зелёные — к коэффициенту поглощения (ось справа)<ref>{{книга | автор = Palik E. D.| часть = | заглавие =Handbook of Optical Constants of Solids| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный = | место =| издательство =Academic Press| год = 1991| том = 2| страницы = 1059—1077| страниц = 1096| isbn =978-0-12-544422-4}}</ref>]]
где безразмерные переменные параметры для температуры, плотности и длины волны заданы выражениями <math>\overline T = T/273.15</math> (в кельвинах), <math>\overline \rho = \rho/1000</math> (в кг/м<sup>3</sup>), <math>\overline \lambda = \lambda/0,589</math> (длина волны задана в микрометрах), постоянные <math>a_0</math> = 0.244257733, <math>a_1</math> = 0.00974634476, <math>a_2</math> = −0.00373234996, <math>a_3</math> = 0.000268678472, <math>a_4</math> = 0.0015892057, <math>a_5</math> = 0.00245934259, <math>a_6</math> = 0.90070492, <math>a_7</math> = −0.0166626219, <math>\overline\lambda_{\text{IR}}</math> = 5.432937 и <math>\overline\lambda_{\text{UV}}</math> = 0.229202. Погрешность этой формулы составляет 6⋅10<sup>−5</sup> при нормальном давлении в диапазоне температур от −12&nbsp;°C ([[переохлаждённая жидкость]]) до 60&nbsp;°C<ref name="Refractive Index of Ordinary Water">{{cite web| author = The International Association for the Properties of Water and Steam| title = Release on the Refractive Index of Ordinary Water Substance as a Function of Wavelength, Temperature, and Pressure (IAPWS R9-97)| date = 1997-09| url = http://www.iapws.org/relguide/rindex.pdf| access-date = 2008-10-08| archive-date = 2009-11-23| archive-url = https://web.archive.org/web/20091123082157/http://www.iapws.org/relguide/rindex.pdf| url-status = live}}</ref>. Дополнительная неопределённость появляется при попытке вычислить показатель преломления при высоких давлениях или при переходе воды в паровую фазу<ref name="Refractive Index of Ordinary Water" />. Дополнительно улучшить точность в области температур <math>t</math> от 0&nbsp;°C до 40&nbsp;°C можно используя выражение для плотности воды

{{NumBlk|:|<math>\rho(t) = a_5 \left( 1-\frac{(t+a_1)^2(t+a_2)}{a_3(t+a_4)} \right)\,,</math>|{{EquationRef|5.2|Ур. 5.2}}}}

где <math>a_1</math> = −3,983 035&nbsp;°C, 
:<math>a_2</math> = 301,797 °C, 
:<math>a_3</math> = 522 528,9 °C<sup>2</sup>, 
:<math>a_4</math> = 69,34881 °C, 
:<math>a_5</math> = 999,974 950 кг/м<sup>3</sup><ref>{{cite web|author = |url = https://metgen.pagesperso-orange.fr/metrologieen19.htm|title = METROLOGY ATICLE N°18: Calculation of the density of water|lang = en|website = https://metgen.pagesperso-orange.fr/|publisher = MetGen|date = |access-date = 2021-05-17|archive-date = 2021-05-17|archive-url = https://web.archive.org/web/20210517065550/https://metgen.pagesperso-orange.fr/metrologieen19.htm|url-status = live}}</ref>.

В то же время [[Коэффициент поглощения (оптика)|коэффициент поглощения]] в воде для видимого спектра (в диапазоне от 300 нм до 700 нм) очень мал: в максимуме около 6⋅10<sup>−8</sup>, а в минимуме (418 нм) ещё на два порядка меньше<ref>{{cite journal|author1=Pope R. M.|author2=Fry E. S.|year=1997|title=Absorption spectrum (380–700 nm) of pure water. II. Integrating cavity measurements|journal=Applied Optics|volume=36|issue=33|pages=8710–8723|doi=10.1364/AO.36.008710|bibcode=1997ApOpt..36.8710P|pmid=18264420}}</ref>.

=== Рефрактометрия растворов ===
На основе закона Снеллиуса строятся количественные методы рефрактометрии растворов. Среди растворителей наиболее часто используются вода с показателем преломления 1,3330, метанол — 1,3286, этанол — 1,3613, ацетон — 1,3591, хлороформ — 1,4456. Эти величины измерены на длине волны [[Жёлтый дублет натрия|D-линии натрия]] (589,3 нм) при 20 °С и обозначаются <math>n_D^{20}</math>{{sfn|Блинникова|2004|с=5}}. Сравнивая индекс раствора <math>n</math> с индексом растворителя <math>n_0</math>, можно получить концентрацию раствора в процентах
{{NumBlk|:|<math>C=\frac{n-n_0}{F}\,,</math>|{{EquationRef|5.3|Ур. 5.3}}}}
где <math>F</math> — параметр, показывающий прирост показателя преломления на один процент для растворённого вещества. Формулы расчёта несколько сложнее в случае нескольких растворённых веществ{{sfn|Блинникова|2004|с=7}}.

=== Морская вода ===
Океанская вода представляет собой сложную смесь мутного раствора, солей и органических останков{{sfn|Показеев, Чаплина и Чашечкин|2010|с=54}}. В диэлектрическую проницаемость дают вклад три источника, связанные с электронной, дипольно-релаксационной и ионной восприимчивостями. Магнитная проницаемость воды меньше единицы ([[диамагнетик]]){{sfn|Показеев, Чаплина и Чашечкин|2010|с=19}}. Солёность мирового океана зависит в основном от количества хлористого натрия{{sfn|Показеев, Чаплина и Чашечкин|2010|с=20}}. Показатель преломления морской воды в видимой части спектра зависит в основном от трёх параметров: температуры, солёности и гидростатического давления. В простейшей модели для показателя преломления используют формулу Лоренца — Лоренца. Удельная рефракция уменьшается с ростом длины волны, солёности и температуры. При длине волны 480 нм, температуре 20&nbsp;°C, атмосферном давлении и солёности 35 ‰ <math>n=1{,}34509</math> (для чистой воды <math>n=1{,}337</math>){{sfn|Показеев, Чаплина и Чашечкин|2010|с=49—50}}. Коэффициент преломления морской воды измеряют методами рефрактометрии{{sfn|Показеев, Чаплина и Чашечкин|2010|с=105}}.

== Оптическое стекло ==
{{main|Оптическое стекло}}
[[Файл:Abbe-diagram 2-ru.svg|thumb|300px|Зависимость показателя преломления от числа Аббе для ряда различных оптических стёкол (красные кружки). Стёкла классифицируются с использованием буквенно-цифрового кода, указывающего их состав и положение на диаграмме, низкодисперсные стёкла находятся в левой нижней части диаграммы. Данные взяты из каталога Schott Glass]]
[[Файл:Mplwp dispersion curves-ru.svg|right|thumb|320px|alt=График, показывающий уменьшение показателя преломления с увеличением длины волны для разных типов стекла|Изменение показателя преломления в зависимости от длины волны для различных стёкол. Заштрихованная зона указывает диапазон видимого света. Зависимости построены с использованием {{EquationNote|4.3|формулы Зельмейера}} для конкретного типа стекла]]
Широкое применение стёкол в оптике предполагает детальное знание показателя преломления конкретного типа материала. Наиболее свежие данные по свойствам различных стёкол можно найти в каталогах фирм-изготовителей, поскольку они составлены с использованием международных стандартов типа [[ISO]] 7944—84 (в России [[ГОСТ]] 23136—93 и ГОСТ 3514—94<ref name="ГОСТ 3514—94">{{Cite web |url=http://gostrf.com/normadata/1/4294824/4294824498.pdf |title=ГОСТ 3514—94 Стекло оптическое бесцветное. Технические условия. |access-date=2022-08-11 |archive-date=2022-05-27 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220527005107/http://gostrf.com/normadata/1/4294824/4294824498.pdf |url-status=live }}</ref>, в Германии [[Немецкий институт по стандартизации|DIN]] 58925 и DIN 58927){{sfn|Шрёдер & Трайбер|2006|с=44}}. Главные характеристики стёкол показаны в коде стекла. Например, для N-SF6 код стекла несёт информацию о показателе преломлении {{math|''n''<sub>d</sub>}}, [[Число Аббе|числе Аббе]] {{math|''V''<sub>d</sub>}} и плотности {{math|ρ}}. Из кода 805254.337 следует, что {{nobr|{{math|''n''<sub>d</sub>}} {{=}} 1,805}}, {{nobr|{{math|''V''<sub>d</sub>}} {{=}} 25,4}} и {{nobr|{{math|ρ}} {{=}} 3,37 г/см<sup>3</sup>}}<ref name=schott>{{cite web|author = |url = https://www.schott.com/d/advanced_optics/19d7d774-51a6-427b-8fe9-b7d52a608938/1.29/schott-optical-glass-pocket-catalog-rus.pdf|title = Оптическое стекло 2020|lang = ru|website = www.schott.com|publisher = Schott AG|date = 2020|access-date = 2021-05-16|archive-date = 2021-05-16|archive-url = https://web.archive.org/web/20210516155010/https://www.schott.com/d/advanced_optics/19d7d774-51a6-427b-8fe9-b7d52a608938/1.29/schott-optical-glass-pocket-catalog-rus.pdf|url-status = live}}</ref>. Индекс {{math|''d''}} обозначает длину волны жёлтой линии гелия при длине волны 587,5618 нм. Типы оптических стёкол можно разделить на группы, представленные на графике в координатах ({{math|''n''<sub>d</sub>}}, {{math|''V''<sub>d</sub>}}). Часто используются и другие линии в зависимости от возможных применений. Например, индекс {{math|''t''}} используется для инфракрасной линии ртути {{nobr|(1013,98 нм),}} {{math|''e''}} — зелёной линии ртути (546,0740 нм), {{math|''C''}} — красной линии водорода {{nobr|(656,2725 нм),}} {{math|''D''}} — жёлтой линии натрия {{nobr|(589,2938 нм),}} {{math|''i''}} — ультрафиолетовой линии ртути {{nobr|(365,0146 нм),}} и так далее<ref name=schott/>. Типичными требованиями для оптических стёкол являются требования точности для показателя преломления ±2⋅10<sup>−5</sup> и дисперсии ±1⋅10<sup>−5</sup>. В сертификатах указывают также температуру {{nobr|(22 °C)}} и давление {{nobr|(101,325 кПа).}} Высокие требования накладываются на однородность показателя преломления и коэффициент внутреннего пропускания. Стекло в высшей степени однородно, но допускает наличие дефектов макроструктуры, называемые ''свилями'', пузырей и микровключений, если они не искажают фронт волны при учёте соотношения суммарной поперечной площади дефектов к объёму стекла. Для стандарта ISO3/IN010 площадь дефектов не превышает {{nobr|0,03 мм<sup>2</sup>}} в объёме {{nobr|100 см<sup>3</sup>}} и не более 10 включений<ref name=schott/>. Двойное лучепреломление — это нежелательное явление, которое также характеризуется по стандарту ISO 11455 [[метод Сенармона — Фриделя|методом Сенармона — Фриделя]], который ограничивает разность хода {{nobr|6 нм/см}} (на сантиметр толщины) для оптических стёкол. Для избавления от внутренних напряжений применяют [[отжиг стекла]]. Оптические стёкла также характеризуют климатической стойкостью, стойкостью к травлению, кислотостойкостью, щёлочестойкостью и стойкостью к фосфатам, поскольку все эти нежелательные внешние факторы приводят к дефектам и изменениям поверхности<ref name=schott/>{{sfn|Шрёдер & Трайбер|2006|с=47}}.

Для обозначения оптического стекла используют сокращения. Например для [[Крон (стекло)|крона]] и [[Флинт (стекло)|флинта]] используют заглавные буквы: ЛК — лёгкий крон; ФК — фосфатный крон; ТФК — тяжёлый фосфатный крон; К — крон; БК — баритовый крон; ТК — тяжёлый крон; СТК — сверхтяжёлый крон; ОК — особый крон; КФ — крон-флинт; БФ — баритовый флинт; ТБФ — тяжёлый баритовый флинт; ЛФ — лёгкий флинт; Ф — флинт; ТФ — тяжёлый флинт; ОФ — особый флинт{{sfn|Шрёдер & Трайбер|2006|с=46}}.

== Нескалярная, нелинейная или неоднородная рефракция ==
До сих пор предполагалось, что преломление задаётся линейными уравнениями, включающими пространственно постоянный скалярный показатель преломления. Эти предположения могут нарушаться по-разному, что включает следующие возможности.

=== Анизотропия ===
{{main|Кристаллооптика}}
Распространение света в кристалле зависит от направления оптических осей. Для кристаллов диэлектрическая проницаемость имеет вид тензора второго ранга, и при действии электрического поля световой волны смещение электрических зарядов в общем случае не совпадает с направлением электрического поля. Вектора [[Электрическая индукция|электрической индукции]] {{math|'''''D'''''}} и электрического поля {{math|'''''E'''''}} не совпадают ни по направлению, ни по величине{{sfn|Бебчук и др.|1988|с=21}}. Есть, однако, возможность выбора прямоугольной системы координат, в которой оси координат направлены вдоль оптических осей. В этой системе координат записывается уравнение для характеристической поверхности, называемой [[эллипсоид Френеля|эллипсоидом Френеля]]{{sfn|Бебчук и др.|1988|с=22}}
{{NumBlk|:|<math>n_x^2x^2+n_y^2y^2+n_z^2z^2=const\,.</math>|{{EquationRef|7.1|Ур. 7.1}}}}
Здесь индексы у коэффициента преломления отвечают за величину коэффициента преломления в определённом направлении в кристалле, то есть указывают на [[Анизотропия|анизотропию]] скорости света. Если электрическое поле {{math|'''''E'''''}} направлено по одной из оптических осей, то индукция {{math|'''''D'''''}} имеет то же направление. Скорости распространения света в этих направлениях равны
{{NumBlk|:|<math>v_x=\frac{c}{n_x}\,,\qquad v_y=\frac{c}{n_y}\,,\qquad v_z=\frac{c}{n_z}\,.</math>|{{EquationRef|7.2|Ур. 7.2}}}}
Эллипсоид Френеля имеет смысл поверхности постоянной фазы для излучения точечного источника<ref>{{БРЭ|Френеля эллипсоид}}</ref>. Существуют как минимум два круговых сечения для эллипсоида Френеля, перпендикулярные направления к которым называются [[Оптическая ось|оптическими осями]] кристалла. Для ''одноосного кристалла'' <math>n_x=n_y\neq n_z</math>{{sfn|Бебчук и др.|1988|с=22}}.

=== Двулучепреломление ===
{{main|Двулучепреломление}}
[[Файл:Birewiki1.svg|thumb|370px|Иллюстрация нахождения направления распространения обыкновенной и необыкновенной волн в одноосном кристалле]]
[[Файл:Calcite.jpg|альт=A crystal giving a double image of the text behind it|мини|[[Кальцит|Кристалл кальцита]] расположен на бумаге с несколькими буквами для демонстрации [[Двойное лучепреломление|двойного лучепреломления]]]]
[[Файл:Plastic_Protractor_Polarized_05375.jpg|альт=A transparent plastic protractor with smoothly varying bright colors|мини|Двулучепреломляющие материалы могут изменять цвет при помещении между скрещёнными поляризаторами. Это основа такого метода исследований как [[фотоупругость]]]]
В материалах, где показатель преломления зависит от [[Поляризация волн|поляризации]] и направления в кристалле, наблюдается явление [[Двойное лучепреломление|двойного лучепреломления]], которое также называют оптической анизотропией в общем случае<ref>Paschotta R., article on [https://www.rp-photonics.com/birefringence.html birefringence] {{Архивировано|url=https://web.archive.org/web/20150703221334/http://www.rp-photonics.com/birefringence.html|date=2015-07-03}} in the [https://www.rp-photonics.com/encyclopedia.html Encyclopedia of Laser Physics and Technology] {{Архивировано|url=https://web.archive.org/web/20150813044135/http://www.rp-photonics.com/encyclopedia.html|date=2015-08-13}}, accessed on 2014-09-09</ref>.

В простейшем случае, одноосном двулучепреломлении, материал имеет только одно особое направление — [[Оптическая ось кристалла|оптическую ось]] материала{{sfn|Zajac & Hecht|2003|p=230}}. Распространение света с линейной поляризацией, перпендикулярной этой оси, описывается с помощью показателя преломления для ''обыкновенной'' волны <math>n_o</math>, в то время как распространение света с параллельной поляризацией описывается с помощью показателя преломления для ''необыкновенной'' волны <math>n_e</math>{{sfn|Zajac & Hecht|2003|p=236}}. Двулучепреломление материала возникает из-за разности между этими показателями преломления <math>\Delta n=n_e-n_o</math>{{sfn|Zajac & Hecht|2003|p=237}}. Свет, распространяющийся в направлении оптической оси, не будет испытывать двойного лучепреломления, поскольку показатель преломления <math>n_o</math> не будет зависеть от поляризации. Для других направлений распространения свет разделяется на два линейно поляризованных луча. Для света, движущегося перпендикулярно оптической оси, лучи будут распространяться в одном и том же направлении{{sfn|Zajac & Hecht|2003|p=233}}. Это можно использовать для изменения направления поляризации линейно поляризованного света или для преобразования линейной, круговой и эллиптической поляризации при работе с [[волновая пластина|волновыми пластинами]]{{sfn|Zajac & Hecht|2003|p=237}}.

Многие [[кристаллы]] обладают естественным двойным лучепреломлением, но [[Изотропия|изотропные]] материалы, такие как [[пластмассы]] и [[стекло]], также могут часто обладать двойным лучепреломлением вследствие возникновения предпочтительного направления, например, при действии внешней силы или электрического поля. Этот эффект называется [[фотоупругость]]ю и может использоваться для выявления напряжений в конструкциях. Для этого двулучепреломляющий материал помещается между скрещёнными [[поляризатор]]ами. Напряжения в кристалле приводят к возникновению эффекта двойного лучепреломления и свет, проходящий через кристалл, изменяет поляризацию и, следовательно, долю света, которая проходит через второй поляризатор{{sfn|Ландсберг|2003|с=479—480}}. Разность между показателями преломления для обыкновенной и необыкновенной волн пропорциональна давлению {{math|''P''}}
{{NumBlk|:|<math>n_o-n_e=\kappa P\,,</math>|{{EquationRef|7.3|Ур. 7.3}}}}
где <math>\kappa</math> — постоянная, характеризующая вещество{{sfn|Ландсберг|2003|с=480}}.

Некоторые данные для широко используемых одноосных кристаллов приведены в таблице{{sfn|Fox|2010|p=51}}.
<center>
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|+Показатели преломления некоторых одноосных кристаллов для длины волны 589,3 нм{{sfn|Fox|2010|p=51}}
!Кристалл!!Химическая формула!![[Сингония]]!!Знак <math>n_e-n_o</math>!!<math>n_o</math>!!<math>n_e</math>
|-
||[[Лёд]]||H<sub>2</sub>O||[[Тригональная сингония|Тригональная]]||+||1,309||1,313
|-
||[[Кварц]]||SiO<sub>2</sub>||Тригональная||+||1,544||1,553
|-
||[[Берилл]]||Be<sub>3</sub>Al<sub>2</sub>(SiO<sub>3</sub>)<sub>6</sub>||[[Гексагональная сингония|Гексагональная]]||-||1,581||1,575
|-
||[[Нитрат натрия]]||NaNO<sub>3</sub>||Тригональная||-||1,584||1,336
|-
||[[Кальцит]]||CaCO<sub>3</sub>||Тригональная||-||1,658||1,486
|-
||[[Турмалин]]||Сложный силикат||Тригональная||-||1,669||1,638
|-
||[[Сапфир]]||Al<sub>2</sub>O<sub>3</sub>||Тригональная||-||1,768||1,760
|-
||[[Циркон]]||ZrSiO<sub>4</sub>||[[Тетрагональная сингония|Тетрагональная]]||+||1,923||1,968
|-
||[[Рутил]]||TiO<sub>2</sub>||Тетрагональная||+||2,616||2,903
|}</center>
Более общий случай трипреломляющих материалов описывается [[Кристаллооптика|кристаллооптикой]], а ''диэлектрическая проницаемость'' является [[тензор]]ом второго ранга (матрица 3 на 3). В этом случае распространение света невозможно просто описать показателями преломления, за исключением поляризаций вдоль главных осей. Кристаллы с [[Ромбическая сингония|орторомбической]], [[Моноклинная сингония|моноклинной]] и [[Триклинная сингония|триклинной]] сингонией принадлежат к этому классу материалов. Слюды являются типичными представителями трипреломляющих кристаллов{{sfn|Fox|2010|p=49}}.

==== Эффект Керра ====
{{main|Эффект Керра}}
Двулучепреломление возникает при приложении постоянного или переменного электрического поля к изотропной среде. Впервые этот эффект наблюдался Керром (в 1875 году) для диэлектрических жидкостей, но встречается в твёрдых телах и в гораздо более простых системах: он наблюдался в газах в 1930 году{{sfn|Ландсберг|2003|с=481}}, что позволило объяснить происхождение эффекта{{sfn|Ландсберг|2003|с=485}}. При приложении сильного электрического поля к жидкости она становится аналогом одноосного кристалла с оптической осью, совпадающей с направлением электрического поля{{sfn|Ландсберг|2003|с=481}}. Разность между показателями преломления для необыкновенной и обыкновенной волн не зависит от ориентации электрического поля <math>E</math>, поскольку она пропорциональна его квадрату:
{{NumBlk|:|<math>n_e-n_o=\kappa E^2\,,</math>|{{EquationRef|7.4|Ур. 7.4}}}}
где <math>\kappa</math> — постоянная для среды. Эта величина обычно положительна для многих жидкостей, но может принимать отрицательные значения для этилового эфира, многих масел и спиртов. Если выразить сдвиг фаз через длину волны, то <math>\phi=2\pi BlE^2\,,</math> где <math>l</math> — толщина образца, <math>B=\kappa/\lambda</math> — постоянная Керра{{sfn|Ландсберг|2003|с=482}}. Постоянная Керра принимает очень малые значения: на длине волны 546,0 нм для газов порядка 10<sup>−15</sup> В/м<sup>2</sup> и для жидкостей порядка 10<sup>−12</sup> В/м<sup>2</sup><ref>{{книга | автор = | часть = | заглавие = Таблицы физических величин| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный = Под ред. акад. И. К. Кикоина| место =М.| издательство = Атомиздат| год = 1976| том = | страницы = 775| страниц = 1008| isbn = |doi= }}</ref>.

==== Эффект Коттона — Мутона ====
{{main|Эффект Коттона — Мутона}}
По аналогии с эффектом Керра можно наблюдать двулучепреломление в изотропных средах в сильном магнитном поле<ref name=Коттон>{{БСЭ3|Коттона — Мутона эффект}}</ref>. При распространении света перпендикулярно этому полю разность показателей преломления оказывается пропорциональной квадрату напряжённости магнитного поля ''H'':
{{NumBlk|:|<math>n_e-n_o=B H^2\,,</math>|{{EquationRef|7.5|Ур. 7.5}}}}
где <math>B</math> — постоянная для среды. Если выразить разность хода лучей через длину волны, то <math>\Delta_{\lambda}=l(n_e-n_o)/\lambda= ClH^2\,,</math> где <math>l</math> — толщина образца, <math>C=B/\lambda</math> — постоянная Коттона — Мутона<ref name=Коттон />.

=== Неоднородность ===
[[Файл:Grin-lens.png|альт=Illustration with gradually bending rays of light in a thick slab of glass|мини|Линза с градиентным показателем преломления, который по параболическому закону зависит от радиального расстояния ({{math|''x''}}). Объектив фокусирует свет так же, как и обычный объектив]]
Если показатель преломления среды не постоянен, а постепенно изменяется в пространстве, такой материал известен как среда с градиентным показателем, или GRIN-среда, и рассматривается в [[Градиентная оптика|градиентной оптике]]{{sfn|Zajac & Hecht|2003|p=273}}. Свет, проходящий через такую среду, преломляется или фокусируется, что можно использовать для создания [[Линза|линз]], [[Оптическое волокно|оптических волокон]] и других устройств. Внедрение GRIN-элементов в конструкцию оптической системы может значительно упростить систему, уменьшив количество элементов на треть при сохранении общей производительности{{sfn|Zajac & Hecht|2003|p=276}}. [[Хрусталик]] человеческого [[глаз]]а является примером GRIN-линзы с показателем преломления, изменяющимся от примерно 1,406 во внутреннем ядре до примерно 1,386 в менее плотной коре{{sfn|Zajac & Hecht|2003|p=203}}.

=== Вариации показателя преломления ===
{{main|Фазово-контрастная микроскопия}}
[[Файл:S_cerevisiae_under_DIC_microscopy.jpg|альт=Yeast cells with dark borders to the upper left and bright borders to lower right|мини|Изображение дрожжевых клеток при дифференциальной интерференционной контрастной микроскопии]]
Неокрашенные биологические структуры в основном кажутся прозрачными при {{iw|Светлопольная микроскопия|микроскопии в светлом поле|en|Bright-field microscopy}}, поскольку большинство клеточных структур не приводят к заметному ослаблению света<ref>{{cite book|first1=Bruce|last1=Alberts|display-authors=etal|title=Molecular biology of the cell|url=https://archive.org/details/molecularbiology0004albe|date=2002|publisher=Garland Science|location=New York|isbn=0-8153-3218-1|edition=4th ed.}}</ref>. Тем не менее изменение материалов, из которых состоят эти структуры, также сопровождается изменением показателя преломления. Следующие методы преобразуют такие вариации в измеримые разности амплитуд: фазово-контрастная микроскопия{{sfn|Carlsson|2007|p=28}}, фазово-контрастная рентгеновская визуализация, количественная фазово-контрастная микроскопия{{sfn|Fitzgerald|2000}}.

Для измерения пространственного изменения показателя преломления в образце используются методы фазово-контрастной визуализации. Эти методы позволяют детектировать изменения [[Фаза колебаний|фазы]] световой волны, выходящей из образца. Фаза пропорциональна [[Оптическая длина пути|оптической длине пути]], пройденной световым лучом, и, таким образом, даёт меру [[интеграл]]а от показателя преломления вдоль пути луча<ref>{{cite web|author = |url = https://stormoff.ru/mediacenter/articles/article_90/|title = Принципы фазово-контрастной микроскопии (I)|lang = ru|website = https://stormoff.ru|publisher = Stormoff|date = 2020-09-24|access-date = 2021-06-12|archive-date = 2019-12-13|archive-url = https://web.archive.org/web/20191213170449/http://www.stormoff.ru/mediacenter/articles/article_90/|url-status = live}}</ref>. Фазу нельзя измерить непосредственно на оптических или более высоких частотах, поэтому её необходимо преобразовать в [[Интенсивность (физика)|интенсивность]] путём [[Интерференция волн|интерференции]] с опорным лучом. В видимом диапазоне спектра это делается с помощью [[Фазово-контрастная микроскопия|фазово-контрастной микроскопии]] [[Цернике, Фриц|Цернике]], [[Дифференциальный интерференционно-контрастный микроскоп|дифференциальной интерференционно-контрастной микроскопии]] (ДИК) или [[Интерферометрия|интерферометрии]]<ref>{{cite journal|last1=Lang|first1=Walter|title=Nomarski differential interference-contrast microscopy|journal=ZEISS Information|date=1968|volume=70|pages=114–120|url=http://zeiss-campus.magnet.fsu.edu/referencelibrary/pdfs/Lang_Zeiss_Information_70_114-120_1968.pdf|access-date=2016-08-31|archive-date=2022-06-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20220616133844/https://zeiss-campus.magnet.fsu.edu/referencelibrary/pdfs/Lang_Zeiss_Information_70_114-120_1968.pdf|url-status=live}}</ref>.

Фазово-контрастная микроскопия Цернике добавляет фазовый сдвиг в низкочастотные [[пространственная частота|пространственные компоненты]] [[Действительное изображение|изображения]] с помощью фазовращательного [[Кольцо (геометрия)|кольца]] в {{iw|Фурье-оптика|плоскости Фурье|en|Fourier optics}} образца, так что высокочастотные части пространственного изображения могут интерферировать с низкочастотными компонентами опорного луча<ref>{{cite web|author = |url = https://stormoff.ru/mediacenter/articles/article_91/|title = Принципы фазово-контрастной микроскопии (II)|lang = ru|website = https://stormoff.ru|publisher = Stormoff|date = 2020-09-24|access-date = 2021-06-12|archive-date = 2019-09-17|archive-url = https://web.archive.org/web/20190917190223/http://www.stormoff.ru/mediacenter/articles/article_91/|url-status = live}}</ref>. В ДИК освещение разделяется на два луча, которые имеют разную поляризацию, по-разному сдвинуты по фазе и смещены в поперечном направлении относительно друг друга. После прохождения образца два пучка интерферируют, давая изображение производной оптической длины пути по разнице поперечного смещения{{sfn|Carlsson|2007|p=28}}. В интерферометрии освещение разделяется на два луча {{iw|делитель луча|частично отражающим зеркалом|en|Beam splitter}}. Один из лучей пропускается через образец, а затем они объединяются для интерференции и создания прямого изображения фазовых сдвигов. Если вариации оптической длины пути превышают длину волны, изображение будет содержать полосы<ref name="ZernikeI">{{cite journal | author=Zernike, Frits | title=Phase contrast, a new method for the microscopic observation of transparent objects part I | journal=Physica | volume=9 | issue=7 | pages=686–698 | year=1942 | doi=10.1016/S0031-8914(42)80035-X|bibcode = 1942Phy.....9..686Z }}</ref><ref name="ZernikeII">{{cite journal | author=Zernike, Frits | title=Phase contrast, a new method for the microscopic observation of transparent objects part II | journal=Physica | volume=9 | issue=10 | pages=974–980 | year=1942 | doi=10.1016/S0031-8914(42)80079-8|bibcode = 1942Phy.....9..974Z }}</ref><ref name="Richards">{{cite journal | author=Richards, Oscar | title=Phase Microscopy 1954-56 | url=https://archive.org/details/sim_science_1956-10-26_124_3226/page/n68 | journal=Science | volume=124 | issue=3226 | pages=810–814 | year=1956 | doi=10.1126/science.124.3226.810|bibcode = 1956Sci...124..810R }}</ref>.

Существует несколько {{iw|Фазово-контрастная рентгеновская визуализация|методов фазово-контрастной рентгеновской визуализации|en|Phase-contrast X-ray imaging}} для определения двумерного или трёхмерного пространственного распределения показателя преломления образцов в рентгеновском спектре<ref>{{Cite journal|first=Richard|author=Fitzgerald|title=Phase-Sensitive X-Ray Imaging|journal=Physics Today|volume=53|date=2000|doi=10.1063/1.1292471|bibcode=2000PhT....53g..23F|issue=7|ref=Fitzgerald}}</ref>.

=== Эйконал ===
{{main|Эйконал|Уравнение эйконала}}
Электромагнитные волны являются решениями [[Уравнения Максвелла|уравнений Максвелла]], из которых можно получить [[волновое уравнение]]. Для пространства, заполненного веществом с неоднородным показателем преломления, решение во всём пространстве в виде плоских волн больше не существует, но, используя приближение [[Геометрическая оптика|геометрической оптики]] (коротковолновое приближение), можно получить приближённое решение уравнений Максвелла. Пусть электрическое поле представлено в виде плоской волны в малой области пространства как
{{NumBlk|:|<math>\textbf{E}(\textbf{r},t)=\textbf{E}_0(\textbf{r})\exp(-ik_0S(\textbf{r})+i\omega t)\,,</math>|{{EquationRef|7.6|Ур. 7.6}}}}
где {{math|'''E'''<sub>0</sub>('''r''')}} — медленно меняющаяся функция радиус-вектора {{math|'''r'''}}, {{math|''S''('''r''')}} — неизвестная функция координат{{sfn|Солимено, Крозиньяни & Порто|1989|с=61}}. Подставляя в уравнения Максвелла это выражение при условии, что волновое число {{math|''k''<sub>0</sub>}} стремится к бесконечности, можно найти уравнение для неизвестной функции
{{NumBlk|:|<math>(\nabla S)^2=n^2(\textbf{r})\,,</math>|{{EquationRef|7.7|Ур. 7.7}}}}
где <math>\nabla</math> — [[оператор набла]]. Функция {{math|''S''('''''r''''')}} называется [[эйконал]]ом{{sfn|Солимено, Крозиньяни & Порто|1989|с=62}}. Это равенство, впервые полученное [[Брунс, Генрих|Г. Брунсом]] в 1895 году, имеет вид [[Уравнение Гамильтона — Якоби|уравнения Гамильтона — Якоби]], известного из механики. Это уравнение описывает траекторию лучей в геометрической оптике в соответствии с [[Принцип Ферма|принципом Ферма]]. Он гласит, что свет распространяется по пути, на прохождение которого ему надо затратить экстремальное время. В интегральном виде этот принцип записывает как
{{NumBlk|:|<math>t=\int_{\Gamma}\frac{dl}{v}=\int_{\Gamma}\frac{n(\textbf{r})dl}{c}=\frac{L}{c}\,,</math>|{{EquationRef|7.8|Ур. 7.8}}}}
где {{math|Γ}} — траектория луча, {{math|''v''}} — фазовая скорость луча, {{math|''L''}} — оптическая длина пути{{sfn|Борисенко и др.|2014|с=12}}.

=== Нелинейная оптика ===
{{main|Нелинейная оптика}}
Известно, что показатель преломления может изменяться в электрическом поле — это [[эффект Керра]] в жидкостях и газах или [[эффект Поккельса]] в кристаллах. Поскольку сама электромагнитная волна также несёт переменное электрическое поле, возникает зависимость показателя преломления от интенсивности света. Зависимость имеет вид <math>n=n_0+n_2\cdot I</math>, где <math>I</math> — интенсивность падающей волны, <math>n_2</math> — ''нелинейный индекс рефракции'', который имеет значение 10<sup>−14</sup> — 10<sup>−16</sup> см<sup>2</sup>/Вт<ref>{{Cite web|url=https://www.rp-photonics.com/nonlinear_index.html|title=Nonlinear Index|website=RP Photonics Encyclopedia|date=2008|author=Paschotta, Rüdiger|access-date=2021-05-14|archive-date=2021-03-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20210307032219/https://www.rp-photonics.com/nonlinear_index.html|url-status=live}}</ref>, поэтому эффект становится заметным только при высокой интенсивности света и экспериментально наблюдался только после появления [[лазер]]а. Нелинейность показателя преломления возникает в результате взаимодействия света со средой, в результате которого в среде возникает [[локальная поляризация]], отклоняющаяся от линейной зависимости от поля при высокой его интенсивности. В результате возникает отмеченная выше зависимость показателя преломления от интенсивности волны<ref name="barton">{{Harvard citation no brackets|Barton & Guillemet|2005|p=117}}</ref>.

Зависимость показателя преломления от напряжённости переменного электрического поля часто называют [[Оптический эффект Керра|оптическим эффектом Керра]] по аналогии с [[Эффект Керра|электрооптическим эффектом Керра]], где изменение показателя пропорционально напряжённости электростатического поля, приложенного к среде. Можно найти выражение для нелинейного показателя преломления, исходя из поляризуемости материала и соотношения <math>n = n_0 + \gamma \langle \textbf{E}^2(\omega,t) \rangle = n_0 + 2\gamma |\textbf{E}(\omega)|^2</math>, где коэффициент нелинейности <math>\gamma = n_2\,,</math> а угловые скобки <math>\langle\dots \rangle </math> обозначают усреднение по времени<ref name="автоссылка1">{{Harvard citation no brackets|Boyd|2008|p=208}}</ref>. Полная поляризация среды, содержащая линейный и нелинейный вклады, описывается следующим образом:

{{NumBlk|:|<math>\textbf{P}(\omega) = \varepsilon_0 \chi^{(1)}\textbf{E}(\omega) + 3\varepsilon_0 \chi^{(3)}|\textbf{E}(\omega)|^2\textbf{E}(\omega) \equiv \varepsilon_0 \chi_\text{eff}\textbf{E}(\omega)\,,</math>|{{EquationRef|7.9|Ур. 7.9}}}}

где <math>\textbf{P}</math> — поляризация, <math>\chi_\text{eff}</math> — тензор диэлектрической восприимчивости, нелинейной частью которого является [[тензор]] <math>\chi^{(3)}</math>, <math>\textbf{E}</math> — электрическое поле, <math>\varepsilon_0</math> — диэлектрическая проницаемость вакуума. Зная, что <math>\chi_\text{eff} = \chi^{(1)} + 3\chi^{(3)}|\textbf{E}(\omega)|^2</math>, а также <math>n^2 = 1 + \chi_\text{eff}</math>, получаем<ref name="автоссылка1" />:

{{NumBlk|:|<math>\left(n_0 + 2\gamma |\textbf{E}(\omega)|^2\right)^2 = 1 + \chi^{(1)} + 3\chi^{(3)}|\textbf{E}(\omega)|^2\,.</math>|{{EquationRef|7.10|Ур. 7.10}}}}

Для линейной части показателя преломления можно записать <math>n = \sqrt{1+\chi_\text{eff}}</math>, либо <math>n_0^2 = 1+\chi^{(1)}</math>. Тогда
{{NumBlk|:|<math>4n_0 \gamma |\textbf{E}(\omega)|^2 + 4\gamma^2 |\textbf{E}(\omega)|^4 \approx 4n_0 \gamma |\textbf{E}(\omega)|^2 = 3\chi^{(3)}|\textbf{E}(\omega)|^2,
</math>|{{EquationRef|7.11|Ур. 7.11}}}}
так что<ref>{{Harvard citation no brackets|Boyd|2008|p=207—208}}</ref>
{{NumBlk|:|<math> \gamma = \frac{ 3\chi^{(3)} }{4n_0}</math>.|{{EquationRef|7.12|Ур. 7.12}}}}

Явления, возникающие вследствие зависимости показателя преломления от интенсивности света, включают такие эффекты, как [[самофокусировка]]<ref>{{Harvard citation no brackets|Boyd|2008|p=329}}</ref>, [[фазовая самомодуляция]]<ref name="автоссылка2">{{Harvard citation no brackets|Boyd|2008|p=375}}</ref>, [[обращение волнового фронта]]<ref name="PhysEnc">{{Книга:Физическая энциклопедия|3 |автор=Зельдович Б. Я.|статья=Обращение волнового фронта|ссылка=|страницы=389—391}}</ref> и генерация оптических [[солитон]]ов<ref name="автоссылка2" />. Однако эти очень сложные проблемы нелинейной оптики возникают лишь в определённых условиях — при воздействии света очень высокой интенсивности и в средах, обладающих достаточно высокими коэффициентами нелинейности<ref>{{Harvard citation no brackets|Boyd|2008|p=329—375}}</ref>.

== Особые случаи ==

=== Показатель преломления меньше единицы ===
[[Фазовая скорость]] света в веществе может быть больше скорости света в вакууме. Это не противоречит [[Специальная теория относительности|специальной теории относительности]], так как передача энергии и информации связаны с [[Групповая скорость|групповой скоростью]], не превышающей скорости света в вакууме. В таких случаях показатель преломления может быть меньше единицы. В оптическом диапазоне показатель преломления практически всегда больше единицы, однако в ультрафиолетовом и особенно в [[Рентгеновское излучение|рентгеновском диапазонах]] показатели преломления меньше единицы являются типичными<ref>{{Cite web|url=https://people.eecs.berkeley.edu/~attwood/sxr2009/lecnotes/04_Reflection_And_Refraction_2009.pdf|title=Reflection And Refraction|website=berkeley.edu|date=2009|author=Attwood, David|access-date=2021-05-14|archive-date=2020-01-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20200126122157/https://people.eecs.berkeley.edu/~attwood/sxr2009/lecnotes/04_Reflection_And_Refraction_2009.pdf|url-status=live}}</ref>.

Высокая фазовая скорость рентгеновского излучения в веществе обусловлена взаимодействием электромагнитных волн с [[Электронная оболочка|электронными оболочками]] атомов — в мягком [[Рентгеновское излучение|рентгеновском диапазоне]] лежит много линий поглощения ([[Нотация Сигбана|K-серии]]). Показатель преломления для этого диапазона частот очень близок к единице и обычно записывается в виде <math>n=1-\delta</math>, где <math>\delta</math> — положительное число, которое имеет значение порядка 10<sup>−4</sup>..10<sup>−6</sup><ref>{{Cite web|url=http://www.x-ray-optics.de/index.php/en/physics/refraction|title=X-ray refraction|website=x-ray-optics.de|access-date=2021-05-14|archive-date=2020-01-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20200126122200/http://www.x-ray-optics.de/index.php/en/physics/refraction|url-status=live}}</ref>.

Показатель преломления меньше единицы приводит к особым эффектам, например, вогнутые [[Линза|линзы]] для такого излучения работают как выпуклые и наоборот. Поскольку в данном случае вакуум является оптически более плотной средой, чем вещество, то при падении на вещество под малым углом рентгеновское излучение может испытывать [[Внутреннее отражение|полное внутреннее отражение]]<ref>{{статья|автор=Сторижко В. Е. и др.|заглавие=Способы фокусировки рентгеновского излучения|издание=Успехи физики металлов|год=2010|том=11|выпуск=|номер=|страницы=1—17|ссылка=https://ufm.imp.kiev.ua/article/v11/i01/Usp.Fiz.Met.11.001.pdf|doi=|arxiv=|bibcode=|язык=ru|ref=Сторижко и др.|archivedate=2019-04-30|archiveurl=https://web.archive.org/web/20190430155910/https://ufm.imp.kiev.ua/article/v11/i01/Usp.Fiz.Met.11.001.pdf}}{{free access}}</ref>. Этот эффект используют в [[Телескоп Вольтера|рентгеновских телескопах]]<ref>{{публикация|статья |автор имя={{comment|Дж.|Джеймс}}{{nbsp}}Х. |автор=Андервуд |автор2 имя={{comment|Д.|Дэвид}}{{nbsp}}Т. |автор2=Аттвуд |заглавие=Возрождение рентгеновской оптики |оригинал=The Renaissance of X-ray Optics |оригинал инфо=[[Physics Today|Phys.{{nbsp}}Today]]. April{{nbsp}}1984. V.{{nbsp}}37, No.{{nbsp}}4. P.{{nbsp}}44–51. DOI:[[doi:10.1063/1.2916193|10.1063/1.2916193]] |оригинал язык=en |тип=журн |издание=Успехи физических наук |год=1987 |месяц=1 |день= |выпуск=1 |том=151 |страницы=105—117 |удк=543.422.6 |ссылка=https://ufn.ru/ufn87/ufn87_1/Russian/r871d.pdf |архив=https://archive.today/20190711052023/http://elibrary.lt/resursai/Uzsienio%20leidiniai/Uspechi_Fiz_Nauk/1987/01/r871d.pdf |архив дата=2019-07-11 |doi=10.3367/UFNr.0151.198701d.0105 |ref=}}</ref>.

=== Комплексный показатель преломления ===
В отличие от идеальных сред, при прохождении электромагнитных волн через реальные среды необходимо учитывать их [[Экстинкция|затухание]]. Это удобно сделать, вводя ''комплексный показатель преломления''{{Sfn|Прохоров|1994|p=107}}:

{{NumBlk|:|<math>\underline{n} = n + i\kappa\,.</math>|{{EquationRef|8.1|Ур. 8.1}}}}

Здесь действительная часть <math>n</math> — это показатель преломления, который связан с [[Фазовая скорость|фазовой скоростью]], в то время как мнимая часть <math>\kappa</math> называется [[Коэффициент поглощения (оптика)|показателем поглощения]] (это действительная величина) света в веществе, хотя <math>\kappa</math> также может относиться и к {{iw|массовый коэффициент поглощения|массовому коэффициенту поглощения|en|Mass attenuation coefficient}}{{sfn|Dresselhaus|1999|p=3}} и указывать на величину ослабления электромагнитной волны при её распространении в среде{{sfn|Zajac & Hecht|2003|p=128}}.

То, что <math>\kappa</math> соответствует затуханию, можно увидеть, подставив комплексный показатель преломления в выражение для [[Электрическое поле|электрического поля]] [[Плоская волна|плоской]] электромагнитной волны, распространяющейся в <math>z</math>-направлении. Комплексное волновое число <math>\underline{k}</math> связано с комплексным показателем преломления <math>\underline{n}</math> соотношением <math>\underline{k}=2 \pi \underline{n} /\lambda_0</math>, где <math>\lambda_0</math> — длина волны света в вакууме. После подстановки комплексного показателя преломления в это уравнение

{{NumBlk|:|<math>\mathbf{E}(z, t)
 = \operatorname{Re}\! \left[\mathbf{E}_0 e^{i(\underline{k}z - \omega t)}\right]
 = \operatorname{Re}\! \left[\mathbf{E}_0 e^{i(2\pi(n + i\kappa)z/\lambda_0 - \omega t)}\right]
 = e^{-2\pi \kappa z/\lambda_0} \operatorname{Re}\! \left[\mathbf{E}_0 e^{i(kz - \omega t)}\right]
</math>|{{EquationRef|8.2|Ур. 8.2}}}}

экспонента распадётся на две, одна из которых имеет [[Вещественное число|вещественное]] отрицательное значение показателя степени{{Sfn|Фейнман, Лейтон|1977|p=58}}. Таким образом, интенсивность света в веществе экспоненциально затухает с толщиной. Здесь <math>\kappa</math> определяет экспоненциальное затухание в согласии с [[Закон Бугера — Ламберта — Бера|законом Бугера — Бера — Ламберта]]. Поскольку интенсивность пропорциональна квадрату электрического поля, то она будет зависеть от толщины материала как <math>\exp (-4 \pi \kappa z/\lambda_0)</math>, а [[Коэффициент поглощения (оптика)|коэффициент поглощения]] равен <math>\alpha = 4 \pi \kappa/\lambda_0</math>{{sfn|Zajac & Hecht|2003|p=128}}. Эта величина также связана с [[Глубина проникновения|глубиной проникновения]] света в среду — расстоянием, на котором интенсивность света уменьшается в <math>e</math> раз, <math>\delta_p = 1/\alpha = \lambda_0/4 \pi \kappa</math>. <math>n</math> и <math>\kappa</math> зависят от частоты{{sfn|Ефимов|2008|с=37, 63}}. В большинстве случаев <math>\kappa>0</math> (свет поглощается) или <math>\kappa=0</math> (свет распространяется без потерь). В других случаях, особенно в [[Лазерные материалы|активной среде]] [[лазер]]ов, также возможен случай <math>\kappa<0</math><ref>{{книга | автор = Годжаев Н. М.| часть = | заглавие = Оптика. Учебное пособие для вузов| оригинал = | ссылка = https://mash-xxl.info/page/100199187160118192143086241110158243020071060165/| издание = | ответственный = | место = М.| издательство = Высшая школа| год = 1977| том = | страницы = 379| страниц = 432| isbn = }}</ref>.

Альтернативное соглашение использует нотацию <math>\underline{n} = n - i \kappa</math> вместо <math>\underline{n} = n + i \kappa</math>, но считается, что <math>\kappa>0</math> по-прежнему соответствует потерям. Следовательно, эти два соглашения несовместимы и их не следует путать. Разница связана с выбором синусоидальной зависимости электрического поля волны от времени в виде <math>\rm{Re} [\exp (- i \omega t)]</math> вместо <math>\rm{Re} [\exp (+ i \omega t)]</math><ref name=signconventions>Bradley, Scott MIT OpenCourseWare 6.007 Supplemental Notes: [https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-007-electromagnetic-energy-from-motors-to-lasers-spring-2011/readings/MIT6_007S11_sign.pdf ''Sign Conventions in Electromagnetic (EM) Waves''] {{Wayback|url=https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-007-electromagnetic-energy-from-motors-to-lasers-spring-2011/readings/MIT6_007S11_sign.pdf |date=20210818164555 }} — 2007</ref>.

{{iw|Диэлектрические потери|Диэлектрические потери|en|Dielectric loss}} и отличная от нуля проводимость по постоянному или переменному току в материалах вызывают поглощение{{sfn|Fox|2010|p=337}}. Хорошие диэлектрические материалы, такие как стекло, имеют чрезвычайно низкую проводимость по постоянному току, а на низких частотах диэлектрические потери также незначительны, что приводит к почти полному отсутствию поглощения. Однако на более высоких частотах (например, в видимой области спектра) диэлектрические потери могут значительно увеличить поглощение, снижая [[Прозрачность среды|прозрачность]] материала в области этих частот{{sfn|Fox|2010|p=24}}.

Действительная <math>n</math> и мнимая <math>\kappa</math> части комплексного показателя преломления связаны интегральными [[Соотношения Крамерса — Кронига|соотношениями Крамерса — Кронига]] ({{EquationNote|3.6|ур. 3.6}}). В 1986 году А. Р. Форухи и И. Блумер вывели применимое к аморфным материалам [[Аппроксимация диэлектрической функции|уравнение]], которое описывает <math>\kappa</math> как функцию энергии фотона. Затем Форухи и Блумер применили соотношение Крамерса — Кронига, чтобы вывести соответствующее уравнение для <math>n</math> [[Модель Форухи — Блумера|как функции энергии фотона]]. Тот же формализм был использован для кристаллических материалов Форухи и Блумером в 1986 году<ref name="FB1986">{{Cite journal|author=Forouhi|first=A.R.|title=Optical Dispersion Relations for Amorphous Semiconductors and Amorphous Dielectrics|journal=Physical Review B|date=1986|volume=34|issue=10|pages=7018–7026|doi=10.1103/physrevb.34.7018|pmid=9939354|bibcode=1986PhRvB..34.7018F}}</ref>.

Для [[Рентгеновское излучение|рентгеновского]] и {{iw|Экстремальный ультрафиолет|экстремального ультрафиолетового|en|Extreme ultraviolet}} излучения комплексный показатель преломления незначительно отличается от единицы и обычно имеет действительную часть меньше единицы. Поэтому его записывают в виде <math>\underline{n} = 1 - \delta + i \beta</math> (или <math>\underline{n} = 1 - \delta - i \beta</math> с альтернативным соглашением, упомянутым выше)<ref name="Attwood" />. Значительно выше атомной резонансной частоты <math>\delta</math> можно вычислить как

{{NumBlk|:|<math> \delta = \frac{r_0 \lambda^2 n_e}{2 \pi}\,,</math>|{{EquationRef|8.3|Ур. 8.3}}}}

где <math>r_0</math> — [[классический радиус электрона]], <math> \lambda </math> — длина волны рентгеновского излучения, а <math>n_e</math> — электронная плотность. Предполагается, что электронная плотность определяется количеством электронов в одном атоме <math>Z</math>, умноженным на атомную плотность, но для более точного расчёта показателя преломления необходимо заменить <math>Z</math> на комплексный [[атомный форм-фактор]]{{sfn|Сторижко и др.|2010}}<ref name="Attwood" />
{{NumBlk|:|<math> f = Z + f' + i f''\,.</math>|{{EquationRef|8.4|Ур. 8.4}}}}

Следовательно, {{EquationNote|8.3|ур. 8.3}} примет вид<ref name="Attwood" />

{{NumBlk|:|<math> \delta = \frac{r_0 \lambda^2}{2 \pi} (Z + f') n_\text{atom} \,,</math>|{{EquationRef|8.5|Ур. 8.5}}}}
{{NumBlk|:|<math> \beta = \frac{r_0 \lambda^2}{2 \pi} f'' n_\text{atom}\,.</math>|{{EquationRef|8.6|Ур. 8.6}}}}

Величины <math>\delta</math> и <math>\beta</math> обычно имеют значения порядка 10<sup>−5</sup> и 10<sup>−6</sup>{{sfn|Сторижко и др.|2010}}.

Комплексные показатели преломления применяются:

* для описания взаимодействия света с непрозрачными веществами, такими как металлы (в этом случае показатель поглощения больше единицы, так что волна полностью поглощается на расстоянии в несколько микрометров){{sfn|Архипкин & Патрин|2006|с=107}};
* для описания прохождения электромагнитной волны через среду, если её частота близка к [[Спектр поглощения|частотам поглощения]] атомов этой среды (зоны аномальной дисперсии){{Sfn|Фейнман, Лейтон|1967|p=96}};
* для описания преломления полярными жидкостями (например, [[Показатель преломления#Вода|водой]]), особенно в случае низкочастотного излучения<ref>{{cite journal|last1=Fatuzzo|first1=E.|last2=Mason|first2=P.R.|date=1967|title=A calculation of the complex dielectric constant of a polar liquid by the librating molecule method|url=https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0370-1328/90/3/318|journal=Proceedings of the Physical Society|volume=90|issue=3|doi=10.1088/0370-1328/90/3/318|access-date=2021-05-14|archive-date=2021-05-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20210514115500/https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0370-1328/90/3/318|url-status=live}}</ref>;
* в других случаях, когда слой вещества достаточно толстый, чтобы необходимо было учитывать поглощение{{sfn|Ефимов|2008|с=37, 63}}.

=== Металлы ===
{| class="wikitable" style="text-align: left" style="float:right;"
|+ Оптические постоянные некоторых металлов для длины волны 589,3 нм{{sfn|Ландсберг|2003|с=449}}
!Металл!!<math>\kappa</math>!!<math>n</math>!!<math>|r|^2,%</math>
|-
||[[Натрий]]||2,61||0,05||99,8
|-
||[[Серебро]]||3,64||0,18||95,0
|-
||[[Магний]]||4,42||0,37||92,9
|-
||[[Золото]]||2,82||0,37||85,1
|-
||Золото электролитическое||2,83||0,47||81,5
|-
||[[Ртуть]]||4,41||1,62||73,3
|-
||[[Медь]] цельная||2,62||0,64||70,1
|-
||[[Никель]] цельный||3,32||1,79||62,0
|-
||Никель электролитический||3,48||2,01||62,1
|-
||Никель распылённый||1,97||1,30||43,3
|-
||[[Железо]] распылённое||1,63||1,51||32,6
|}
Для диэлектрической проницаемости в [[Показатель преломления#Механизм замедления света в среде|модели Лоренца]] можно записать

{{NumBlk|:|<math>n^2(\omega)=\varepsilon(\omega)=1+\frac{4\pi Ne^2}{m}\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2+i\omega\gamma}\,,</math>|{{EquationRef|8.7|Ур. 8.7}}}}

где <math>\gamma</math> — коэффициент затухания колебаний{{sfn|Архипкин & Патрин|2006|с=107}}, <math>m</math> — масса электрона или иона{{sfn|Архипкин & Патрин|2006|с=110}}. Для металлов, где присутствуют свободные носители заряда, частоту <math>\omega_0</math> можно не учитывать, и диэлектрическая проницаемость представляется в виде{{sfn|Архипкин & Патрин|2006|с=123}}

{{NumBlk|:|<math>n^2(\omega)=\varepsilon(\omega)=1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2-i\omega\gamma}\,,</math>|{{EquationRef|8.8|Ур. 8.8}}}}

где <math>\omega_p=\sqrt{4\pi Ne^2/m}</math> — плазменная частота и <math>N</math> — число свободных носителей заряда ([[Электроны проводимости|электронов проводимости]]) в металле. Отсюда видно, что можно рассмотреть несколько предельных случаев, когда распространение волн отличается качественно. В пределе низких частот металл ведёт себя как среда с комплексным показателем преломления{{sfn|Архипкин & Патрин|2006|с=123}}. Если представить комплексный показатель преломления для проводящей среды в виде <math>n'=n-i\kappa</math>, то коэффициент отражения от металлической поверхности при нормальном падении принимает вид

{{NumBlk|:|<math>|r|^2=\frac{(n-1)^2+\kappa^2}{(n+1)^2+\kappa^2}\,,</math>|{{EquationRef|8.9|Ур. 8.9}}}}

откуда можно определить мнимую часть комплексного показателя преломления. Некоторые значения показателя преломления для металлов представлены в таблице{{sfn|Ландсберг|2003|с=449}}. В пределе больших частот, когда <math>\gamma \ll \omega</math>, можно отбросить вклад мнимой части в диэлектрическую проницаемость и получить величину меньше единице при <math>\omega < \omega_p\,,</math> что означает чисто мнимую величину показателя преломления и что эквивалентно сильному затуханию в металле, не связанному с диссипацией как в случае с <math>\gamma</math>, то есть происходит полное отражение. При обратном соотношении (<math>\omega > \omega_p</math>) показатель преломления становится меньше единицы, и металл становится прозрачным для излучения{{sfn|Архипкин & Патрин|2006|с=123}}.

=== Отрицательный показатель преломления ===
{{Основная статья|Метаматериал}}
[[Файл:Split-ring resonator array 10K sq nm.jpg|thumb|250px|Массив кольцевых разомкнутых резонаторов, имеющий отрицательный показатель преломления для [[Микроволновое излучение|микроволнового излучения]]]]
Уравнения Максвелла имеют физические решения для сред с отрицательным коэффициентом преломления, когда диэлектрическая и магнитная проницаемости имеют одновременно отрицательные значения. В этом случае закон Снеллиуса также выполним, но угол преломления становится отрицательным<ref name=veselago1968 />. Материалы, которые демонстрируют отрицательную рефракцию, можно создать искусственно с помощью обычных материалов с положительным коэффициентом преломления, но определённым образом изменённой геометрией поверхности или объёма среды, например, в периодических [[Фотонный кристалл|фотонных кристаллах]]. Такие материалы называются метаматериалами и демонстрируют необычные свойства в том или ином диапазоне частот. Возникающая в результате изменения среды отрицательная рефракция в метаматериалах даёт возможность реализации новых явлений и применений (таких как суперлинзы). Основные физические принципы использования отрицательного коэффициента преломления появились в трёх работах:
* отрицательный показатель преломления среды [[Веселаго, Виктор Георгиевич|Веселаго]];
* суперлинза [[Пендри, Джон|Пендри]];
* неотражающие кристаллы Ефимова<ref>Pendry, J. B; Schurig, D.; Smith D. R. «Electromagnetic compression apparatus, methods and systems», {{US Patent|7629941}}, Date: Dec. 8, 2009</ref><ref name=shalaev2007>{{cite journal | last = Shalaev | first = V. M. | author-link = Шалаев, Владимир Михайлович| title = Optical negative-index metamaterials | journal = [[Nature Photonics]] | volume = 1 | issue = 1| pages = 41–48 | date = 2007 | doi = 10.1038/nphoton.2006.49 | bibcode = 2007NaPho...1...41S }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Efimov |first1=Sergei P. |title=Compression of electromagnetic waves by anisotropic medium. ("Non-reflecting" crystal model) |journal=Radiophysics and Quantum Electronics |date=1978 |volume=21 |issue=9 |pages=916–920 |doi=10.1007/BF01031726 |url=https://www.link.springer.com/article/10.1007/BF01031726 |access-date=2021-05-22 |archive-date=2018-06-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180602170317/https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01031726 |url-status=live }}</ref>.

[[Метаматериалы]] с отрицательным показателем преломления обладают рядом интересных свойств:
* [[Фазовая скорость|фазовая]] и [[Групповая скорость|групповая]] скорости волн имеют противоположные направления;
* возможно преодоление [[Дифракционный предел|дифракционного предела]] при создании оптических систем («суперлинз»), повышение с их помощью разрешающей способности [[микроскоп]]ов, создание [[Микросхема|микросхем]] с наноразмерными структурами, повышение плотности записи на [[Оптический диск|оптические носители информации]]<ref name=sly1 /><ref name=sly2 /><ref>{{Cite web|author=Пендри Дж., Смит Д.|title=В поисках суперлинзы|url=http://elementy.ru/lib/430392|publisher=[[Элементы.ру|Elementy.ru]]|archive-url=https://www.webcitation.org/6182PImSD?url=http://elementy.ru/lib/430392|archive-date=2011-08-22|access-date=2011-07-30|url-status=live}}</ref>.

== Примеры ==
{{main|Список показателей преломления}}
Показатели преломления {{math|''n''<sub>D</sub>}} ([[жёлтый дублет натрия]], {{nobr|{{math|λ<sub>D</sub>}} {{=}} 589,3 нм}}) некоторых сред приведены в таблице.
<center>'''<big>Показатели преломления для длины волны 589,3 нм</big>'''

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|+
!Тип среды!!Среда!!Температура, °С!!Значение
|-
|rowspan="4"|[[Кристаллы]]<ref name="ВЕЛИЧИНЫ">{{Физвеличины}}</ref>
||[[Фторид лития|LiF]]||20||1,3920
|-
||[[Хлорид натрия|NaCl]]||20||1,5442
|-
|[[Хлорид калия|KCl]]||20||1,4870
|-
|[[Бромид калия|KBr]]||20||1,5552
|-
|rowspan="7"|[[Оптическое стекло|Оптические стёкла]]<ref>{{книга|заглавие=ГОСТ 13659-78. Стекло оптическое бесцветное. Физико-химические характеристики. Основные параметры|ссылка=http://www.glassnews.info/wp-content/plugins/downloads-manager/upload/gost_13659-78.pdf|место=М|издательство=Издательство стандартов|год=1999|страниц=27|archive-date=2016-03-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20160305222856/http://glassnews.info/wp-content/plugins/downloads-manager/upload/gost_13659-78.pdf}}</ref>
||ЛК3 (Лёгкий [[Крон (стекло)|крон]])||20||1,4874
|-
||К8 (Крон)||20||1,5163
|-
|ТК4 (Тяжёлый крон)||20||1,6111
|-
|СТК9 (Сверхтяжёлый крон)||20||1,7424
|-
|Ф1 ([[Флинт (стекло)|Флинт]])||20||1,6128
|-
|ТФ10 (Тяжёлый флинт)||20||1,8060
|-
|СТФ3 (Сверхтяжёлый флинт)||20||2,1862<ref>{{книга|заглавие =Бесцветное оптическое стекло СССР. Каталог. Под ред. [[Петровский Гурий Тимофеевич|Петровского Г. Т]]|место=М.|издательство=Дом оптики|год=1990|страниц =131|тираж=3000}}</ref>
|-
|rowspan="5"|[[Драгоценные камни]]<ref name="ВЕЛИЧИНЫ " />
||[[Алмаз|Алмаз белый]]||-||2,417
|-
|[[Берилл]]||-||1,571—1,599
|-
|[[Изумруд]]||-||1,588—1,595
|-
|[[Сапфир]] белый||-||1,768—1,771
|-
|Сапфир зелёный||-||1,770—1,779
|-
|rowspan="9"|[[Жидкость|Жидкости]]<ref name="ВЕЛИЧИНЫ " />
||[[Вода]] дистиллированная||20||1,3330
|-
|Бензол||20—25||1,5014
|-
|Глицерин||20—25||1,4730
|-
|Кислота серная||20—25||1,4290
|-
|Кислота соляная||20—25||1,2540
|-
|Масло анисовое||20—25||1,560
|-
|Масло подсолнечное||20—25||1,470
|-
|Масло оливковое||20—25||1,467
|-
|Спирт этиловый||20—25||1,3612
|}</center>

== Полупроводники ==
{{main|Полупроводники}}
{| class="wikitable" style="text-align: left" style="float:right;"
|+Оптические постоянные некоторых полупроводников для длины волны 10 мкм{{sfn|Fox|2010|p=12}}
!Кристалл!!Окно прозрачности, мкм!!<math>\lambda_g\,,</math> мкм!!<math>n</math>
|-
||[[Германий]]||1,8—23||1,8||4,00
|-
||[[Кремний]]||1,2—15||1,1||3,42
|-
||[[Арсенид галлия]]||1,0—20||0,87||3,16
|-
||[[Теллурид кадмия]]||0,9—14||0,83||2,67
|-
||[[Селенид кадмия]]||0,75—24||0,71||2,50
|-
||[[Селенид цинка]]||0,45—20||0,44||2,41
|-
||[[Сульфид цинка]]||0,4—14||0,33||2,20
|}
Оптические свойства полупроводников близки к свойствам диэлектриков{{sfn|Fox|2010|p=11}}. Область длин волн, в которой наблюдается слабое поглощение, называется [[Окно прозрачности|окном прозрачности]]; в этой области показатель преломления вещественен. Со стороны длинных волн окно прозрачности ограничено [[Электронно-колебательная спектроскопия|колебательным спектром]] поглощения в инфракрасной области спектра для полярных молекул{{sfn|Fox|2010|p=9—10}}, а также [[поглощение на свободных носителях|поглощением на свободных носителях]] для более узкозонных полупроводников при комнатной температуре{{sfn|Fox|2010|p=12}}. Когда энергия фотонов достигает ширины запрещённой зоны, наблюдается другая граница окна прозрачности ([[край полосы поглощения]]), связанная с [[межзонный переход|межзонными переходами]]{{sfn|Fox|2010|p=11}}. В таблице приведены данные для окон прозрачности, длины волны <math>\lambda_g</math>, соответствующей краю полосы поглощения, и показатель преломления <math>n</math> в окне прозрачности для некоторых полупроводников{{sfn|Fox|2010|p=12}}. Так как узкозонные полупроводники обладают [[Запрещённая зона|шириной запрещённой зоны]] примерно равной энергии квантов видимого света или меньше, то окно прозрачности часто попадает в инфракрасную область спектра. Также показатель преломления увеличивается с уменьшением ширины запрещённой зоны полупроводника. Если для прозрачных материалов (диэлектриков, стёкол) показатель преломления обычно менее 2, то полупроводники обладают показателем преломления более 2{{sfn|Fox|2010|p=11—13}}.

== Плазма ==
{{main|Плазма}}
Плазма обладает коэффициентом преломления, который зависит от концентрации свободных электронов, причём квадрат индекса может оказаться меньше единицы:

{{NumBlk|:|<math>n^2=1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2}\,,</math>|{{EquationRef|10.1|Ур. 10.1}}}}

где <math>\omega_p=\sqrt{4\pi e^2n_e/m_e}</math> — [[плазменная частота]], <math>e</math> — заряд электрона, <math>m_e</math> — масса электрона<ref name=Постнов>{{cite web|author = Постнов К. А.|url = http://www.astronet.ru/db/msg/1170612/node28.html|title = Другие методы диагностики космической плазмы|lang = ru|website = http://www.astronet.ru|publisher = Астронет|date = |access-date = 2021-05-18|archive-date = 2021-05-18|archive-url = https://web.archive.org/web/20210518151353/http://www.astronet.ru/db/msg/1170612/node28.html|url-status = live}}</ref>. Для частот больших, чем плазменная частота, показатель больше нуля, но меньше единицы, что означает более высокую фазовую скорость в среде по сравнению со скоростью света в вакууме. Плазму можно рассматривать как идеальный [[Показатель преломления#Металлы|металл]] без поглощения. Особенность плазмы проявляется на частотах меньших, чем плазменная, когда показатель преломления становится чисто мнимым. Это означает, что электромагнитная волна не проникает в среду, а экспоненциально затухает в ней: происходит полное отражение. Глубина проникновения волны определяется величиной <math>c/\omega_p</math>{{sfn|Джексон|1965|с=255}}. Это явление наблюдается при исследовании отражения радиоволн от [[Показатель преломления#Радарные исследования|ионосферы]] — области атмосферы выше 50 км. Изменяя частоту радиосигнала, можно получить полное отражение на разных высотах, определяемых задержкой сигнала, что позволяет измерять концентрацию электронов в ионосфере в зависимости от высоты{{sfn|Джексон|1965|с=258}}. Отражение радиоволн 40-метрового диапазона от ионосферы позволило в 1930 году поддерживать радиосвязь между [[Земля Франца-Иосифа|Землёй Франца-Иосифа]] и Антарктидой ({{nobr|~20 000 км}})<ref>{{книга| автор = [[Кренкель, Эрнст Теодорович|Кренкель Э. Т.]]| часть = | заглавие = RAEM — мои позывные| оригинал = | ссылка = http://vivovoco.astronet.ru/VV/PAPERS/BIO/KRENKEL/RAEM/RAEM_09.HTM| издание = | ответственный = | место = М.| издательство = Советская Россия| год = 1973| том = | страницы = | страниц = | isbn = | ref = | archive-date = 2022-08-12| archive-url = https://web.archive.org/web/20220812190038/http://vivovoco.astronet.ru/VV/PAPERS/BIO/KRENKEL/RAEM/RAEM_09.HTM}}</ref>.

[[Земля]] обладает магнитным полем, поэтому плазма ионосферы находится в однородном магнитном поле, что меняет её свойства. Траектории электронов плазмы в магнитном поле искривляются силой Лоренца, что приводит к изменению дисперсии волн в плазме. Для коэффициента преломления появляется выражение, зависящее от [[Ларморовская частота|ларморовской частоты]] <math>\omega_H=eH/m_e c</math>, причём появление выделенного направления магнитного поля приводит к появлению двулучепреломления:

{{NumBlk|:|<math>n^2_{\pm}=1-\frac{\omega_p^2}{\omega(\omega\pm\omega_H\cos(\theta))}\,,</math>|{{EquationRef|10.2|Ур. 10.2}}}}

где <math>\theta</math> — угол между ориентацией магнитного поля и волновым вектором<ref name=Постнов />. «+» соответствует обыкновенной волне (вектор электрического поля вращается по часовой стрелке, если смотреть вдоль вектора распространения волны), «−» — необыкновенной волне (вектор электрического поля вращается против часовой стрелки). Наличие двух волн с разными поляризациями приводит к сдвигу фаз между ними. Измерения поворота плоскости поляризации для различных длин волн в астрофизике можно использовать для измерения магнитных полей галактик<ref name=Постнов />.

== Другие волновые явления ==
Понятие показателя преломления применяется во всём [[Электромагнитный спектр|электромагнитном спектре]], от [[Рентгеновское излучение|рентгеновских лучей]] до [[Радиоволны|радиоволн]]. Его также можно применить к [[Волна|волновым]] явлениям, таким как [[звук]]. В этом случае вместо скорости света используется скорость звука, и необходимо выбрать среду сравнения, отличную от вакуума<ref name="Kinsler">{{Cite book|author=Kinsler L. E.|title=Fundamentals of Acoustics|year=2000|isbn=978-0-471-84789-2|page=[https://archive.org/details/fundamentalsacou00kins_265/page/n151 136]}}</ref>. Для преломления звука на границе двух изотропных сред также выполняется закон Снеллиуса<ref name="Отражение звука">{{ФЭ|3 | автор = Левин В. М.| статья = Отражение звука | ссылка = http://www.femto.com.ua/articles/part_2/2704.html | страницы = 504—505}}</ref>
{{NumBlk|:|<math>\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{k_2}{k_1}\,,</math>|{{EquationRef|11.1|Ур. 11.1}}}}
где углы {{math|θ<sub>1</sub>}} и {{math|θ<sub>2</sub>}} соответствуют углам падения и преломления, а волновые вектора {{math|''k''<sub>1</sub>}} и {{math|''k''<sub>2</sub>}} относятся к падающей и преломлённой волнам. Это выражение получается из рассмотрения распространения плоских волн, падающих на плоскую границу раздела изотропных сред, где выполняются граничные условия: непрерывность давления и непрерывность нормальной компоненты скорости частиц среды. Соответствующий коэффициент преломления выражается в виде {{math|''n'' {{=}} ''k''<sub>2</sub>/''k''<sub>1</sub>}}{{sfn|Бреховских|1973|с=9}}.

=== Приближение геометрической оптики ===
{{main|Геометрическая оптика|Приближение эйконала}}
[[Показатель преломления#Эйконал|Уравнение эйконала]] возникает в электродинамике при рассмотрении приближения геометрической оптики, когда свойства среды меняются медленно на расстояниях, сравнимых с длиной волны. Это приближение применяется в [[Электродинамика|электродинамике]], [[Акустика|акустике]], [[Гидродинамика|гидродинамике]], [[Квантовая механика|квантовой механике]] и других науках{{sfn|Трубецков и Рожнёв|2001|с=407}}. Уравнение Гельмгольца для звука описывает амплитуду потенциала скоростей среды
{{NumBlk|:|<math>\textbf{v}=\nabla\phi(\textbf{r},t)=\nabla\operatorname{Re}[u(\textbf{r})e^{i\omega t}]</math>|{{EquationRef|11.2|Ур. 11.2}}}}
верно для неоднородной среды
{{NumBlk|:|<math>\Delta u(\textbf{r})+k^2n^2(\textbf{r})u(\textbf{r})=0\,,</math>|{{EquationRef|11.3|Ур. 11.3}}}}
где {{math|''k'' {{=}} ω/''c''<sub>0</sub>}}, показатель преломления {{math|''n''('''''r''''') {{=}} ''c''<sub>0</sub>/''c''('''''r''''')}}, {{math|''c''<sub>0</sub>}} — характерная [[скорость звука]], {{math|''c''('''''r''''')}} — скорость звука в точке {{math|'''''r'''''}} среды{{sfn|Трубецков и Рожнёв|2001|с=408}}. Для нерелятивистского [[Уравнение Шрёдингера|уравнения Шрёдингера]] для искомой волновой функции также можно получить аналогичное уравнение
{{NumBlk|:|<math>\Delta\Psi+\frac{2m}{\hbar^2}\left[E-U(\textbf{r})\right]\Psi=0\,,</math>|{{EquationRef|11.4|Ур. 11.4}}}}
где <math>k^2=2mE/\hbar^2\,,</math> <math>n^2(\textbf{r})=1-U(\textbf{r})/E\,,</math> {{math|''E''}} — полная энергия, {{math|''U''('''''r''''')}} — потенциальная энергия, {{math|''m''}} — масса частицы, {{hbar}} — редуцированная [[постоянная Планка]]{{sfn|Трубецков и Рожнёв|2001|с=408}}. В рамках геометрической оптики нужно решить [[уравнение Гельмгольца]] с неизвестными компонентами электрического поля{{sfn|Трубецков и Рожнёв|2001|с=409}}. Если представить искомую функцию как
{{NumBlk|:|<math>u(\textbf{r})=A(\textbf{r})e^{-ik\psi(\textbf{r})}\,,</math>|{{EquationRef|11.5|Ур. 11.5}}}}
где {{math|ψ('''''r''''')}} называется [[эйконал]]ом, и подставить в уравнение Гельмгольца, то можно написать два уравнения для новых неизвестных величин{{sfn|Трубецков и Рожнёв|2001|с=410}}
{{NumBlk|:|<math>(\nabla \psi)^2=n^2\,\qquad\text{(уравнение эйконала)}\,,</math>|{{EquationRef|11.6|Ур. 11.6}}}}
{{NumBlk|:|<math>A\nabla^2 \psi+2\nabla\psi\nabla A=0\,\qquad\text{(уравнение переноса)}\,.</math>|{{EquationRef|11.7|Ур. 11.7}}}}
Решение этих уравнений в квантовой механике эквивалентно использованию [[Квазиклассическое приближение|приближения ВКБ]]{{sfn|Трубецков и Рожнёв|2001|с=411}}. Эйконал описывает поверхность постоянной фазы в пространстве. Его градиент <math>\nabla\psi</math> задаёт векторное поле, которое указывает движение фронта волны в каждой точке пространства. Для выбранной точки можно построить кривую, которая в каждой точке имеет касательную с направлением, совпадающим с распространением фронта волны, поэтому эту кривую называют ''лучом''{{sfn|Трубецков и Рожнёв|2001|с=412}}. Вдоль этого луча распространяется свет в неоднородной среде. Примером криволинейного распространения света является [[Атмосферная рефракция|рефракция света с атмосфере]]. Обычно коэффициент преломления в зависимости от высоты уменьшается и градиент отрицателен: {{nobr|{{math|d''n''/d''z''}} ≈ −4⋅10<sup>−5</sup> км<sup>−1</sup>}}{{sfn|Трубецков и Рожнёв|2001|с=421}}. Ультракороткие волны в атмосфере образуют криволинейную траекторию, которая заворачивается к Земле с радиусом кривизны
{{NumBlk|:|<math>R=\left|\frac{n(z)}{dn/dz\cos\theta}\right|\approx 25\,000\,\text{км}\,,</math>|{{EquationRef|11.8|Ур. 11.8}}}}
где {{math|θ}} = 0° — угол луча по отношению к поверхности. В этом случае рефракция увеличивает расстояние прямой видимости, а при достаточно большом градиенте, когда радиус кривизны меньше радиуса Земли, возникает {{iw|сверхрефракция||en|Anomalous propagation}}, что увеличивает дальность радиосвязи{{sfn|Трубецков и Рожнёв|2001|с=422}}. Для звука эффект рефракции тоже наблюдается. Если коэффициент преломления звука с высотой уменьшается (из-за уменьшения температуры), то звуковые лучи отклоняются вверх в соответствии с законом Снеллиуса. В противном случае (холодный воздух у поверхности) при безветренной погоде вечером над поверхностью воды звуковой луч отклоняется вниз, что увеличивает расстояние слышимости{{sfn|Трубецков и Рожнёв|2001|с=420}}.

=== Оптика для частиц ===
{{main|Электронная оптика|Нейтронная оптика}}
Другие частицы, как и свет, демонстрируют схожие свойства траекторий при движении в силовых полях. Наиболее тесная связь между ними раскрывается в соответствии между [[Показатель преломления#Эйконал|принципом Ферма]] для фотонов и [[Принцип наименьшего действия|принципом наименьшего действия]] для движения частиц{{sfn|Путилов и Фабрикант|1963|с=66}}. Если использовать [[Естественная параметризация|естественную параметризацию]] траектории частицы, то есть перейти к переменной длины её дуги ({{math|d''s'' {{=}} ''v''d''t''}}), то [[Действие (физическая величина)|действие]] для свободной частицы при движении из точки {{math|''A''}} в точку {{math|''B''}} запишется в виде
{{NumBlk|:|<math>L=\frac{m}{2}\int_A^Bv\,ds\,,</math>|{{EquationRef|11.9|Ур. 11.9}}}}
где {{math|''v''}} — скорость частицы, {{math|''m''}} — её масса{{sfn|Путилов и Фабрикант|1963|с=67}}. Выражение для интеграла в принципе Ферма отличается наличием показателя преломления вместо скорости ({{EquationNote|7.8|ур. 7.8}}). Такая формальная аналогия нашла применение при рассмотрении движения заряженных частиц в неоднородных электрических и магнитных полях и получила название ''электронной оптики''{{sfn|Путилов и Фабрикант|1963|с=67}}.	Более прозрачной аналогия становится при рассмотрении перехода электрона из области с одним потенциалом в область в другим потенциалом. Это естественным образом изменяет кинетическую энергию и скорость электрона, что аналогично изменению фазовой скорости света при переходе в среду с другим показателем преломления. Если потенциал принимает разные значения в двух полупространствах с плоской границей, то можно рассмотреть задачу о падении частицы на границу. Тангенциальная скорость электрона останется неизменной, а нормальная к границе — поменяется, что приведёт к возникновению преломлению
{{NumBlk|:|<math>\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{v_2}{v_1}\,</math>|{{EquationRef|11.10|Ур. 11.10}}}}
где {{math|''i''}} и {{math|''r''}} — углы падения (отсчитанный от нормали) и преломления, {{math|''v''<sub>1</sub>}} и {{math|''v''<sub>2</sub>}} — начальная и конечная скорости электрона{{sfn|Путилов и Фабрикант|1963|с=68}}. Для закона Снеллиуса ({{EquationNote|1.1|ур. 1.1}}) скорости входят в обратном соотношении. Здесь можно ввести коэффициент преломления, полученный из закона сохранения энергии в виде
{{NumBlk|:|<math>n=\frac{v_2}{v_1}=\sqrt{1+\frac{e(\phi_1-\phi_2)}{T}}\,</math>|{{EquationRef|11.11|Ур. 11.11}}}}
где {{math|φ<sub>1</sub>}} и {{math|φ<sub>2</sub>}} — потенциал в первой и второй областях полупространства, {{math|''T''}} — начальная кинетическая энергия, {{math|''e''}} — заряд электрона{{sfn|Путилов и Фабрикант|1963|с=68}}. Неоднородное электрическое поле формирует эффект линзы для электронов, что применяется в [[Электронный микроскоп|электронных микроскопах]]{{sfn|Путилов и Фабрикант|1963|с=69}}.

Для других заряженных частиц формальная аналогия также работает. Релятивистское движение ионов и электронов в электромагнитном поле также подчиняется принципу наименьшего действия, а коэффициент преломления зависит от направления движения. Электронная и ионная оптика нашли применение в создании микроскопов, установок для [[Реактивное ионное травление|ионного травления]], фокусирующих систем для [[Ускоритель заряженных частиц|ускорителей заряженных частиц]]<ref>{{ФЭ|5 | автор = Стоянов П. А.| статья = Электронная и ионная оптика | ссылка =http://femto.com.ua/articles/part_2/4674.html | страницы = }}</ref>.

Для достаточно чистых материалов электроны в твёрдом теле ведут себя как {{iw|Баллистический транспорт|баллистические|en|Ballistic conduction}}, поэтому эффекты электронной отпики могут проявляться и в [[двумерный электронный газ|высокоподвижном электронном газе]]. В частности, для электронов в [[графен]]е наблюдается аналог преломления с отрицательным показателем преломления на границе [[p-n-переход|p—n-перехода]], который демонстрирует свойства [[Показатель преломления#Отрицательный показатель преломления|линзы Веселаго]]<ref>{{книга | автор = [[Кацнельсон, Михаил Иосифович|Katsnelson M. I.]]| часть = | заглавие = The Physics of Graphene| оригинал = | ссылка = | издание = 2nd ed.| ответственный = | место = | издательство = Cambridge University Press| год =2020 | том = | страницы = 97—98| страниц = 426|doi=10.1017/9781108617567| isbn = 978-1-108-47164-0}}</ref>.

Аналогия [[Гамильтон, Уильям Роуэн|Гамильтона]] между движение частиц в неоднородных полях и света в среде с неоднородным индексом послужила основанием для возникновения геометрической оптики для холодных нейтронов, которую рассмотрел [[Ферми, Энрико|Ферми]] в 1944 году, когда обнаружил, что из-за взаимодействия нейтронов с ядрами вещества можно рассмотреть нейтронную волну, распространяющуюся в среде с соответственным показателем преломления, близким в единице<ref>{{статья|автор = Франк А. И.|заглавие = Оптика ультрахолодных нейтронов и проблема нейтронного микроскопа|оригинал = |ссылка = https://ufn.ru/ru/articles/1987/2/b/|издание = УФН|год = |том = 151|страницы = 229—272|doi = 10.3367/UFNr.0151.198702b.0229|pmid = |bibcode = |arxiv = |ref = |archivedate = 2021-06-08|archiveurl = https://web.archive.org/web/20210608054803/https://ufn.ru/ru/articles/1987/2/b/}}</ref>.

== Измерение ==

=== Рефрактометрия ===
{{main|Рефрактометрия (оптика)}}
[[Файл:Thin_section_scan_crossed_polarizers_Siilinjärvi_R636-105.90.jpg|мини|В [[Оптическая минералогия|оптической минералогии]] [[шлиф]]ы используются для изучения горных пород. Метод основан на различных показателях преломления различных [[минерал]]ов]]
[[Файл:Measuring Principle v2.1-ru.svg|мини|Принципиальная схема рефрактометра]]
[[Файл:Zeiss_refractometer_open.jpg|мини|Рефрактометр]]
Для измерения показателя преломления можно использовать несколько {{iw|Оптическая метрология|оптических метрологических приборов|fr|Métrologie optique}}. Эти инструменты включают, среди прочего, [[рефрактометр]]ы, которые представляют собой тип [[интерферометр]]а с оптическими путями, проходящими в разных средах, один — в вакууме, а другой — в измеряемом материале; [[гониометр]]ы для измерения углов, определённые [[Призма (оптика)|призмы]] и так далее. Использование этих методов актуально для исследования прозрачных материалов. Точность измерений рефрактометров варьируется от 10<sup>−3</sup> % для обычных до 10<sup>−6</sup> % для интерферометрических типов приборов. Для анализа необходимо 0,05 — 0,5 г вещества, для высокоточных измерений можно снизить массу до долей миллиграмма. Время измерения зависит от типа рефрактометра и может занимать от секунды до десятков минут{{sfn|Стороженко, Тиманюк & Животова|2012|с=5—6}}.

Показатель преломления можно измерить с помощью V-призмы, когда образец прозрачного материала помещается в V-образную выемку стеклянного блока, индекс которого точно известен. Отклонение светового луча позволяет определить показатель преломления образца<ref name="schott2007">{{Cite web|url=http://www.schott.com/advanced_optics/english/download/schott_tie-29_refractive_index_and_dispersion_v3_january_2007_eng.pdf|title=Refractive index and dispersion|website=[[Schott AG]]|access-date=2013-02-19|archive-date=2022-01-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20220120201705/https://www.schott.com/advanced_optics/english/download/schott_tie-29_refractive_index_and_dispersion_v3_january_2007_eng.pdf|url-status=live}}</ref>.

[[Гониометр]] позволяет измерять показатель преломления прозрачного материала по нескольким спектральным линиям. [[Призма (оптика)|Призма]] из этого материала используется для измерения минимального угла отклонения на нескольких длинах волн<ref name="schott2007" />.

Недостатком интерферометрических методов является то, что их трудно использовать на объектах сложных форм и они могут оказаться разрушающими, поскольку необходимо измерять образец с чётко определённой геометрией, что исключает, например, такие образцы как [[Художественное стекло|художественная стеклянная посуда]]. В этих случаях используются измерения углов преломления, угла Брюстера или поиск жидкости с эквивалентным показателем преломления, но эти подходы обычно не позволяют достичь такой же высокой точности, как измерения с помощью гониометра или интерферометра<ref>{{Harvard citation no brackets|Dufrenne, Maës & Maës|2005|p=443}}</ref>.

Самым распространённым методом измерения показателя преломления является измерение угла [[Внутреннее отражение|полного внутреннего отражения]]. Преимуществами этого метода является малое количество вещества, необходимое для исследования, а также их компактность — например, в [[Рефрактометр Аббе|рефрактометре Аббе]] жидкость заливается в тонкую щель между гипотенузными гранями двух прямоугольных призм, имеющих высокий показатель преломления<ref name="farm">{{Cite web|url=https://www.pharmencyclopedia.com.ua/article/1092/refraktometriya|title=Рефрактометрія|website=Фармацевтична енциклопедія|author=Костіна Т. А.|access-date=2021-05-14|archive-date=2021-05-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20210514121004/https://www.pharmencyclopedia.com.ua/article/1092/refraktometriya|url-status=live}}</ref>. Этот метод позволяет достичь точности ±{{Число|0.0002}}<ref>{{Harvard citation no brackets|Aminot & Kérouel|2004}}</ref><ref>{{Harvard citation no brackets|Briant, Denis & Hipeaux|1997}}</ref>. По схожему принципу работает [[рефрактометр Пульфриха]], но в нём, наоборот, свет направляется параллельно границе раздела двух сред и измеряется угол, на который он отклонился{{Sfn|Барковский, Горелик, Городенцева|1963|p=119—121}}.

Поскольку [[квантовая механика]] предсказывает, что частицы могут вести себя как волны, также возможно измерить показатель преломления волн материи. Такое измерение проводилось, в частности, на [[Литий|атомах лития]] и [[Натрий|натрия]] с использованием интерферометрического метода<ref>{{Harvard citation no brackets|Jacquey et al.|2007}}</ref>.

Нелинейный показатель преломления можно измерить, наблюдая за фазовым сдвигом тестового светового луча путём {{Iw|перекрёстная фазовая модуляция|перекрёстной фазовой модуляции|en|Cross-phase modulation}}, благодаря вращению эллиптической поляризации, анализу спектрального профиля волны или спектральному анализу при [[Фазовая самомодуляция|фазовой самомодуляции]] или возвращению к нелинейному показателю путём определения критической мощности [[Самофокусировка|самофокусировки]]. Также возможно измерение индекса с помощью спектральной интерферометрии [[суперконтинуум]]ов<ref>{{Harvard citation no brackets|Wilkes|2007|p=7}}</ref>.

Для мелких твёрдых частиц используют [[Иммерсионный метод рефрактометрии|иммерсионный метод]] — частицы погружают в ряд жидкостей с известными показателями преломления и наблюдают за образующейся интерференционной картиной. Таким образом находится пара жидкостей, одна из которых будет иметь меньший показатель преломления, чем исследуемое вещество, а вторая — больший{{Sfn|Вакуленко|2008|loc=с.&nbsp;317—318&nbsp;(Метод імерсійний)}}.

[[Рефлектометрия с низкой оптической когерентностью]] — распространённый интерферометрический метод для определения пространственного распределения показателя преломления по измерению амплитуды и [[Сдвиг фаз|фазового сдвига]] отражённого сигнала от различных неоднородностей. Низкая когерентность позволяет наблюдать интерференцию только из малой области образца порядка длины когерентности. Групповой индекс определяет задержку сигнала, в результате чего вычисляется расстояние до места отражения. Метод применяется в биологии и медицине<ref>{{статья|автор = Masters B. R.|заглавие = Early development of optical low-coherence reflectometry and some recent biomedical applications|оригинал = |ссылка = https://www.spiedigitallibrary.org/journals/journal-of-biomedical-optics/volume-4/issue-02/0000/Early-development-of-optical-low-coherence-reflectometry-and-some-recent/10.1117/1.429914.full?SSO=1|издание = J. of Biomedical Optics|год = 1999|том = 4|страницы = 236—247|doi = 10.1117/1.429914|pmid = 23015210|bibcode = |arxiv = |ref = |archivedate = 2021-06-02|archiveurl = https://web.archive.org/web/20210602212330/https://www.spiedigitallibrary.org/journals/journal-of-biomedical-optics/volume-4/issue-02/0000/Early-development-of-optical-low-coherence-reflectometry-and-some-recent/10.1117/1.429914.full?SSO=1}}</ref>. Другой областью применения этого метода является [[Оптический рефлектометр|дефектоскопия оптических волокон]]<ref>{{книга | автор = Листвин А. В., Листвин В. Н.| часть = | заглавие = Рефлектометрия оптических волокон| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный = | место = М.| издательство = ЛЕСАРарт| год = 2005| том = | страницы = | страниц = 150| isbn = 5-902367-03-4}}</ref>.

=== Эллипсометрия ===
{{main|Эллипсометрия}}
[[Файл:Ellipsometry setup-ru.svg|thumb|right|400px|Схема эллипсометрической установки]]
Показатели преломления и поглощения {{math|''n''}} и {{math|κ}} не могут быть измерены напрямую для тонких плёнок. Они должны определяться косвенно из измеряемых величин, которые зависят от них. Например, таких как [[Модель Форухи — Блумера|отражательная способность, {{math|''R''}}, коэффициент пропускания, {{math|''T''}}]], или эллипсометрические параметры, [[Эллипсометрия|{{math|ψ}} и {{math|δ}}]]. Схема эллипсометра представлена на рисунке справа. Свет от источника проходит через [[Светофильтр|монохроматический фильтр]] и [[коллиматор]] и поляризуется призмой, то есть падающий свет представляет собой линейно поляризованную волну, которую можно разделить на две поляризации относительно [[Плоскость падения|плоскости падения]]: {{math|''s''}}- (перпендикулярная плоскости падения и параллельная плоскости образца) и {{math|''p''}}-компоненты (лежащая в плоскости падения). После отражения от поверхности свет проходит через анализатор и регистрируется детектором. [[Поляризатор|Компенсатор]] служит для изменения фазового сдвига между {{math|''s''}}- и {{math|''p''}}-компонентами. Изменяя ориентацию анализатора, можно получить информацию о коэффициенте отражения s- и p- волн{{sfn|Горшков|1974|с=48}}. Относительная разность фаз между {{math|''s''}}- и {{math|''p''}}-компонентами равна
{{NumBlk|:|<math>\Delta=(\delta_p'-\delta_p)-(\delta_s'-\delta_s)\,,</math>|{{EquationRef|12.1|Ур. 12.1}}}}
где {{math|δ<sub>''s''</sub>}} и {{math|δ<sub>''p''</sub>}} — фазовые постоянные для падающего света, соответствующие {{math|''s''}}- и {{math|''p''}}-компонентам, а штриховые величины относятся к отражённой волне{{sfn|Горшков|1974|с=43}}. Относительное изменение амплитуд описывается формулой
{{NumBlk|:|<math>\frac{E_p'/E_p}{E_s'/E_s}=\operatorname{tg}\psi\,,</math>|{{EquationRef|12.2|Ур. 12.2}}}}
где {{math|''E<sub>s</sub>''}} и {{math|''E<sub>p</sub>''}} — амплитуды для падающего света, соответствующие {{math|''s''}}- и {{math|''p''}}-компонентам, а штриховые величины относятся к отражённой волне. Основное уравнение эллипсометрии запишется в виде
{{NumBlk|:|<math>\operatorname{tg}\psi \,e^{i\Delta}=\frac{R_p}{R_s}\,,</math>|{{EquationRef|12.3|Ур. 12.3}}}}
где {{math|''R<sub>s</sub>''}} и {{math|''R<sub>p</sub>''}} — коэффициенты отражения, соответствующие {{math|''s''}}- и {{math|''p''}}-компонентам волны. Эти параметры устанавливаются из модели для отражающей поверхности с использованием формул Френеля{{sfn|Горшков|1974|с=43}}. Подгоняя теоретическую модель к измеренным значениям {{math|ψ}} и {{math|Δ}}, можно получить значения {{math|''n''}} и {{math|κ}}{{sfn|Горшков|1974|с=51}}.

== Применение ==
[[Файл:Lupa.na.encyklopedii.jpg|thumb|alt=A magnifying glass|[[Оптическая сила]] [[Лупа|лупы]] определяются формой и показателем преломления линзы]]

Показатель преломления — важнейший параметр элементов оптической системы. От него зависит устройство и функционирование оптических и [[оптоэлектроника|оптоэлектронных]] приборов. Изучение оптических констант полупроводников даёт информацию о строении их [[зонная теория|зонной структуры]]{{sfn|Adachi|1999|p=xi}}. Для оптических систем важна прозрачность и минимальные потери света, поэтому для этих целей используют бесцветное оптическое стекло. Для ультрафиолетовой и инфракрасной областей спектра используют кварцевое оптическое стекло, которое также обладает низким [[Коэффициент теплового расширения|температурным коэффициентом расширения]]; также используют кристаллы [[Фторид лития|фтористого лития]] и [[флюорит]]а. Цветные стёкла применяют для производства светофильтров{{sfn|Бебчук и др.|1988|с=147—148}}.

Различные типы призм с двулучепреломлением используются для контроля поляризации и направления лучей света в оптике. [[Призма Глана — Фуко]] преобразует неполяризованный свет в линейно поляризованный{{sfn|Fox|2010|p=50}}. В оптических экспериментах используются волновые пластинки для изменения фазы между обыкновенным и необыкновенным лучами благодаря разнице в показателях преломления <math>\Delta n=n_o-n_e</math>. Если при определённой длине волны разница фаз составляет π, то говорят о полуволновой пластинке, если разница фаз равна π/2, то такую пластину называют четвертьволновой{{sfn|Fox|2010|p=51}}.

Коэффициент отражения материала определяется показателем преломления, но покрытие оптических элементов материалами с другими индексами допускает модификацию отражения света с использованием интерференции при многократном отражении от границ раздела, что используется в [[Просветление оптики|просветляющих покрытиях]] для оптических стёкол. Кроме того, многослойные покрытия используются для ''цветоделительных покрытий'', [[Интерференционный светофильтр|интерференционных фильтров]] и так далее. Однослойное просветляющее покрытие помогает уменьшить отражение в пять раз в видимой области спектра{{sfn|Шрёдер & Трайбер|2006|с=97}}. В общем случае, чем большее число слоёв используется, тем для более широкой области частот можно добиться просветления, но практически применяют не более трёх слоёв{{sfn|Бреховских|1973|с=91}}. Полупроводники обладают сильным отражением от границы раздела в воздухе, в результате чего теряется от 60 % до 70 % падающего на [[Фотоэлемент|солнечную панель]] излучения. Для сохранения этой энергии используется просветляющее покрытие из менее оптически плотного материала (в основном [[Оксид титана(IV)|оксидов титана]] или кремния, [[Нитрид кремния|нитрида кремния]])<ref>{{книга | автор = Dittrich T.| часть = | заглавие = Materials concepts for solar cells| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный = | место = | издательство = Imperial College Press| год = 2014| том = | страницы = 51—53| страниц = 552| isbn = 978-1-78326-444-5}}</ref>.

В [[Офтальмология|офтальмологии]] отклонение показателя преломления от стандарта в [[хрусталик]]е или [[Стекловидное тело|стекловидном теле]] сказывается на зрении человека, в результате проводится [[Рефрактометрия (офтальмология)|рефрактометрия]] оптической системы глаза для выявления дефектов и способов лечения<ref>{{cite web|author = |url = https://lasik.ru/services/diagnostika/refraktometriya/|title = Рефрактометрия|lang = ru|website = https://lasik.ru/|publisher = Центр глазной хирургии|date = |access-date = 2021-05-19|archive-date = 2021-05-19|archive-url = https://web.archive.org/web/20210519045911/https://lasik.ru/services/diagnostika/refraktometriya/|url-status = live}}</ref>.

{{iw|Количественная фазово-контрастная микроскопия|Количественная фазово-контрастная микроскопия|en|Quantitative phase-contrast microscopy}} даёт возможность измерять трёхмерное распределение индекса в неоднородных жидкостях, таких как кровь, что позволяет использовать её для наблюдения за живыми клетками и тканями и определять, например, концентрацию [[гемоглобин]]а в крови, зная распределение показателя преломления. Некоторые клетки рептилий достаточно велики для этого метода исследований<ref>{{статья|автор = Kim G. et al.|заглавие = Measurements of three-dimensional refractive index tomography and membrane deformability of live erythrocytes from Pelophylax nigromaculatus|оригинал = |ссылка = https://www.nature.com/articles/s41598-018-25886-8|издание = Sci. Rep.|год = 2018|том = 8|страницы = 9192|doi = 10.1038/s41598-018-25886-8|pmid = |bibcode = |arxiv = |ref = |archivedate = 2022-03-13|archiveurl = https://web.archive.org/web/20220313120759/https://www.nature.com/articles/s41598-018-25886-8}}</ref>.

Поскольку показатель преломления является одним из основных физических свойств вещества, он используется для идентификации вещества, определения его чистоты и измерения его концентрации с помощью [[Показатель преломления#Рефрактометрия|рефрактометров]]. Таким образом исследуются твёрдые тела (стёкла, кристаллы и драгоценные камни), газы и жидкости. Часто на основе показателя преломления проверяется концентрация веществ в жидких растворах. Для растворённого сахара в воде доступны калибровочные таблицы<ref>«ICUMSA Methods Book», op. cit.; Specification and Standard SPS-3 Refractometry and Tables — Official; Tables A-F</ref>. Помимо сахара [[рефрактометрия (химия)|рефрактометрия]] [[Показатель преломления#Рефрактометрия растворов|растворов]] на основе воды или других жидкостей используется для количественного определения концентрации растворённых веществ, таких как кислот, солей, [[этиловый спирт|этилового спирта]], [[глицерин]]а, для определения содержания белка в крови и других<ref name="farm" />. Для определения чистоты и подлинности веществ в [[фармакология|фармакологии]] используют рефрактометры, откалиброванные для [[D-линия натрия|D-линии натрия]] ({{math|''n''<sup>D</sup>}}), имеющие точность измерения показателя преломления лучше чем ±2⋅10<sup>−4</sup><ref>{{cite web |author = |url = https://pharmacopoeia.ru/ofs-1-2-1-0017-15-refraktometriya/a/|title = ОФС.1.2.1.0017.15 Рефрактометрия|lang = ru|website = https://pharmacopoeia.ru//|publisher = Фармакопея.рф|date = |access-date = 2021-05-19 }}</ref>.

Существование угла полного внутреннего отражения позволяет использовать этот эффект для построения световых волноводов или [[Оптическое волокно|оптоволокна]], состоящих из сердцевины и оболочки с более низким показателем преломления, для [[Волоконно-оптическая связь|волоконно-оптической связи]]. Чаще всего используют материалы с индексами 1,62 и 1,52. Стеклянное оптоволокно представляет собой нить с диаметром от 5 до 200 микрометров{{sfn|Шрёдер & Трайбер|2006|с=152—153}}. Возможно использовать многомодовые волокна с [[Показатель преломления#Неоднородность|градиентным изменение профиля]] показателя преломления в зависимости от диаметра оптоволокна{{sfn|Шрёдер & Трайбер|2006|с=155}}.

Оптоволокно оказалось полезным для использования в [[Волоконный лазер|оптоволоконных лазерах]]. В 1990-е годы был создан четырёхваттный [[Er:YAG лазер]]{{sfn|Gan|2006|p=228}}, а после 2000 года иттербиевые лазеры показали значительный рост мощности{{sfn|Agrawal|2008|p=179}}.

При добавлении серебра в оптическое стекло его свойства могут изменяться при облучении [[Ультрафиолетовый индекс|ультрафиолетом]] — происходит затемнение, которое может исчезать после прекращения облучения. Этот эффект используется при производстве стёкол для очков с затемняемыми стёклами{{sfn|Шрёдер & Трайбер|2006|с=169}}. [[Фотохромизм|Очки-хамелеоны]] просветляются в помещениях<ref>{{cite web|author = |url = https://ochkarik.ru/fotohromnye-ochki/|title = Фотохромные очки — для чего они нужны?|lang = ru|website = https://ochkarik.ru/|publisher = «Оптик-Вижн»|date = 2021|access-date = 2021-07-06|archive-date = 2021-07-09|archive-url = https://web.archive.org/web/20210709185417/https://ochkarik.ru/fotohromnye-ochki/|url-status = live}}</ref>.

[[Файл:Sinhronismwiki.png|thumb|Иллюстрация направлений фазового синхронизма в одноосном кристалле]]
Процесс записи информации об амплитуде, фазе и направлении светового когерентного поля, называемый [[Голография|голографией]], формирует на фотопластине [[Дифракционная решётка|дифракционную решётку]], представляющею собой трёхмерную среду с модулированным [[Показатель преломления#Комплексный показатель преломления|комплексным показателем преломления]]. Голография используется в основном для получения трёхмерных изображений<ref>{{статья |автор = Лейт Э., Упатниек Ю. |заглавие = Фотографирование с помощью лазера |язык = ru |издание = «[[Наука и жизнь]]» |тип = журнал |год = 1965 |номер = 11 |страницы = 22—31 |issn = 0028-1263 |ref = Лейт & Упатниек}}</ref>.

Помещая объектив микроскопа в среду с более высоким показателем преломления (масло), возможно увеличить [[Апертура (оптика)|числовую апертуру]], что позволяет повысить разрешение микроскопа<ref>{{Из КНЭ|2|457|Иммерсионная система}}</ref>. Это подход используется также в [[Иммерсионная литография|иммерсионной литографии]]<ref>{{cite book | last = Wei | first = Yayi | title = Advanced processes for 193-nm immersion lithography | publisher = SPIE | location = Bellingham, Wash | year = 2009 | isbn = 0819475572 }}</ref>.

Кристаллы, в которых наблюдается [[Показатель преломления#Двулучепреломление|двулучепреломление]], могут быть использованы для [[Генерация второй оптической гармоники|генерации второй гармоники]], так как при некоторой ориентации распространения волны коэффициенты преломления для обыкновенного и необыкновенного лучей совпадают, что позволяет синхронизировать фазы первой и второй гармоники для максимального коэффициента преобразования. Это явление наблюдается в [[сегнетоэлектрик]]ах и называется ''естественным [[Фазовый синхронизм в нелинейной оптике|синхронизмом]]''<ref>{{статья|автор = Бурсиан Э. В.|заглавие = Сегнетоэлектрики в нелинейной оптике|оригинал = |ссылка = http://window.edu.ru/resource/198/21198/files/0108_098.pdf|издание = [[Соросовский образовательный журнал]]|год = 2001|том = 8|страницы = 98—102|doi = |pmid = |bibcode = |arxiv = |ref = |archivedate = 2021-01-16|archiveurl = https://web.archive.org/web/20210116051412/http://window.edu.ru/resource/198/21198/files/0108_098.pdf}}</ref>.

=== В искусстве ===
Американский художник {{iw|Кнапп, Стефен|Стефен Кнапп|en|Stephen Knapp}} работал в стиле [[светографика|светографики]] с использованием цветного стекла и призм, создавая призматические инсталляции на протяжении своей карьеры<ref>{{cite web|author = |url = https://www.thisiscolossal.com/2016/07/light-paintings-by-stephen-knapp/|title = Prismatic Paintings Produced From Refracted Light by Stephen Knapp|lang = |website = |publisher = |date = 2016-07-29|access-date = 2021-06-12|archive-date = 2021-06-12|archive-url = https://web.archive.org/web/20210612154126/https://www.thisiscolossal.com/2016/07/light-paintings-by-stephen-knapp/|url-status = live}}</ref>. Известным изображением [[Показатель преломления#Дисперсия|дисперсии]] в искусстве является обложка альбома [[The Dark Side of the Moon]] британской рок-группы [[Pink Floyd]]<ref>{{Citation | last = Harris | first = John | title = The Dark Side of the Moon | publisher = Harper Perennial | edition = third | year = 2006 | pages=143|isbn = 978-0-00-779090-6}}</ref>.

[[Трассировка лучей]] в 3D-графике при прохождении ими прозрачных сред и отражении от зеркальных поверхностей является важным примером использования показателя преломления, учёт которого необходим для достижения [[фотореализм]]а<ref>{{cite web|author = |url = https://pixelandpoly.com/ior.html|title = IOR LIST|lang = en|website = |publisher = Pixel and Poly, LLC|date = 2017|access-date = 2021-06-12|archive-date = 2021-06-12|archive-url = https://web.archive.org/web/20210612152624/https://pixelandpoly.com/ior.html|url-status = live}}</ref><ref>{{cite web|author = Wood, Robin|url = https://www.robinwood.com/Catalog/Technical/Gen3DTuts/Gen3DPages/RefractionIndex.html|title = Refraction Index for 3D Graphics Explained|lang = en|website = |publisher = Pixel and Poly, LLC|date = 2017|access-date = 2021-06-12|archive-date = 2021-06-12|archive-url = https://web.archive.org/web/20210612152624/https://www.robinwood.com/Catalog/Technical/Gen3DTuts/Gen3DPages/RefractionIndex.html|url-status = live}}</ref><ref>{{cite web |author =  |url = https://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/introduction-to-ray-tracing/adding-reflection-and-refraction |title = Introduction to Ray Tracing: a Simple Method for Creating 3D Images |lang = en |website =  |publisher = Scratchapixel 2.0 |date =  |access-date = 2021-06-12 |archive-date = 2021-06-12 |archive-url = https://web.archive.org/web/20210612152625/https://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/introduction-to-ray-tracing/adding-reflection-and-refraction |url-status = live }}</ref>.

При наличии одного слоя краски на картине существует возможность проявления его при написании новой картины поверх старой — этот эффект называется {{iw|пентименто|пентиме́нто|en|pentimento}}. При покрытии [[лак]]ом поверхности картины он может нежелательно изменить цвет полотна со временем. Различные цвета природных и химических красителей ([[пигмент]]ов) могут быть прозрачными и непрозрачными, они имеют различающиеся индексы и влияют на цветопередачу при нанесении покрытия в несколько слоёв. Белые пигменты, такие как [[Оксид титана(IV)|оксид титана]] и [[оксид цинка]], имеют показатель преломления более 2 и способны хорошо отражать свет. Высокие показатели преломления и поглощения приводят к хорошей [[укрывистость|укрывистости]] краски. Чёрные краски поглощают больше света, поэтому превосходно скрывают более глубокие слои, а цветные пигменты более светлых тонов пропускают больше света, поэтому возможно появление отражения от более глубокого слоя и изменение цвета поверхностного слоя краски. Показатель преломления [[Льняное масло|льняного масла]] меняется со временем с 1,479 до более чем 1,525 примерно за десять лет, поэтому такая краска может терять укрывистость. Эффект pentimento можно наблюдать на картинах старых мастеров, например, на картине [[Рубенс, Питер Пауль|Питера Пауля Рубенса]] «Чудеса святого Франциска из Паолы»<ref>{{cite web|author = O'Hanlon G.|url = https://www.naturalpigments.com/artist-materials/transparent-opaque-paints/|title = Why Some Paints are Transparent and Others Opaque|lang = en|website = https://www.naturalpigments.com/|publisher = Natural Pigments|date = 2013-06-12|access-date = 2021-06-12|archive-date = 2021-06-12|archive-url = https://web.archive.org/web/20210612152624/https://www.naturalpigments.com/artist-materials/transparent-opaque-paints/|url-status = live}}</ref>.

Прозрачные художественные масляные краски состоят из пигмента и связующей основы. Они обладают схожими покателями преломления в диапазоне от 1,4 до 1,65. Такие краски при прохождении в них света окрашивают его благодаря поглощению пигментами и отражаются от хорошо отражающего грунта (нижнего слоя) полотна. Тип освещения также влияет на цвета красок<ref>{{cite web|author = Лентовский А. М.|url = https://iskusstvoed.ru/2016/07/07/opticheskie-svojstva-krasok-svetoten/|title = Оптические свойства красок. Светотени в живописи|lang = ru|website = |publisher = |date = 2016-07-07|access-date = 2021-06-12|archive-date = 2021-06-12|archive-url = https://web.archive.org/web/20210612152625/https://iskusstvoed.ru/2016/07/07/opticheskie-svojstva-krasok-svetoten/|url-status = live}}</ref>.

== История ==
Первым из европейцев, кто изучал преломление света, был [[Архимед]]. Исследуя преломление на границе воды с воздухом, он правильно описал несколько законов преломления и зрения (например, то, что падающий, преломлённый лучи и нормаль к поверхности в точке падения лежат в одной плоскости, а люди воспринимают изображение так, будто лучи света всегда распространяются прямолинейно). Также он установил, что [[Преломление|угол преломления]] всегда меньше [[Угол падения (оптика)|угла падения]] (когда луч падает из воздуха в воду){{sfn|Lehn & van der Werf|2005}}. Атмосферную рефракцию описал [[Гиппарх]], наблюдавший лунное затмение, при котором Солнце также находилось над горизонтом{{sfn|Lehn & van der Werf|2005}}.

Через 100 лет после Архимеда вопрос рефракции изучал другой выдающийся античный учёный [[Клавдий Птолемей|Птолемей]]. Его модель рефракции включала сферическую атмосферу постоянной плотности и конечной толщины. Он также измерял углы преломления при переходе света между воздухом и водой, воздухом и стеклом, водой и стеклом, пытаясь найти зависимость между ними, однако считал, что такая зависимость имеет вид квадратичной функции, поэтому выведенное им уравнение лишь приближённо описывало законы преломления{{sfn|Lehn & van der Werf|2005}}. Впрочем, это было первое математическое уравнение для этого явления. В формуле Птолемея присутствовал аналог показателя преломления — число, зависящее от свойств сред и определяющее зависимость угла падения от угла преломления. Птолемей связывал сильное преломление с разницей плотностей сред. Также он, анализируя видимое движение [[Звезда|звёзд]], сделал правильное предположение, что свет испытывает преломление при переходе в атмосферу из окружающего пространства, подобно преломлению при переходе из воздуха в воду, следовательно, показатель преломления воздуха отличается от такового для пустоты; однако он не смог описать это явление количественно<ref>{{Cite web|url=http://okina.univ-angers.fr/publications/ua13816/1/refrindexstor.pdf|title=A short recall about the history of the concept of refractive index|website=Université d'Angers|author=Godet, Jean-Luc|access-date=2021-05-14|archive-date=2021-05-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20210506203942/http://okina.univ-angers.fr/publications/ua13816/1/refrindexstor.pdf|url-status=live}}</ref>.

Правильно сформулировать закон преломления впервые смог персидский учёный [[Ибн Сахл]] в 984 году. Этот закон не был востребован последующими арабскими учёными, а его работы не были известны в Европе, поэтому сейчас этот закон известен как [[закон Снеллиуса]] в честь [[Снелл, Виллеброрд|Виллеброрда Снелла]], который открыл его в 1621 году. Другим арабским учёным X—XI веков, чьи работы повлияли на европейскую оптическую науку, был [[Ибн аль-Хайсам]], который так же, как и Ибн Сахл, занимался сферическими линзами, но также рассматривал модель атмосферы Птолемея для объяснения увеличения размера видимых небесных тел ([[иллюзия Луны]]), находящихся около горизонта. Он также смог оценить толщину атмосферы (86,3 км) по свету звёзд, скрывающихся за горизонтом{{sfn|Lehn & van der Werf|2005}}. Количественно измерить атмосферную рефракцию смог [[Тихо Браге]] в 1587 году<ref>{{статья|автор = Mahan A. I.|заглавие = Astronomical Refraction–Some History and Theories|оригинал = |ссылка = https://www.osapublishing.org/ao/abstract.cfm?uri=ao-1-4-497|издание = Appl Opt.|год = 1962|том = 1|страницы = 497—511|doi = 10.1364/AO.1.000497|pmid = |bibcode = |arxiv = |ref = Mahan|archivedate = 2021-06-11|archiveurl = https://web.archive.org/web/20210611064410/https://www.osapublishing.org/ao/abstract.cfm?uri=ao-1-4-497}}</ref>.

В 1658 году [[Ферма, Пьер|Пьер Ферма]] сформулировал [[Принцип Ферма|принцип наименьшего времени]], который позволил связать преломление на границе сред со скоростью света в них<ref>{{Cite web|url=https://www.britannica.com/science/Fermats-principle|title=Fermat’s principle|website=Britannica|date=1998|access-date=2021-05-14|archive-date=2020-08-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20200810121013/https://www.britannica.com/science/Fermats-principle|url-status=live}}</ref>.

В начале XVIII века показатели преломления многих веществ измерили [[Ньютон, Исаак|Исаак Ньютон]] и [[Хоксби, Фрэнсис|Фрэнсис Хоксби]]{{Sfn|Hutton|1815|p=299}}. Ньютон также заметил связь между плотностью среды и показателем преломления и смог сформулировать эмпирическое уравнение для связи между этими величинами (известное сейчас как ''правило Ньютона — Лапласа''), согласно которому величина <math>n^2-1</math> прямо пропорциональна плотности<ref name="substantia">{{Cite journal|author=Kragh|first=Helge|date=2018|title=The Lorenz-Lorentz Formula: Origin and Early History|url=https://riviste.fupress.net/index.php/subs/article/view/56/37|journal=Substantia|volume=2|issue=2|pages=7—18|doi=10.13128/substantia-56|access-date=2021-05-14|archive-date=2021-05-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20210514115502/https://riviste.fupress.net/index.php/subs/article/view/56/37|url-status=live}}</ref>. Также Ньютон в 1666 году описал явление [[Дисперсия света|дисперсии]] при прохождении света через стеклянную призму<ref>{{Cite web|url=https://spark.iop.org/spectrum-colours-dispersion-light|title=A spectrum of colours: the dispersion of light|website=Institute of Physics|access-date=2021-05-14|archive-date=2021-04-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20210414072845/https://spark.iop.org/spectrum-colours-dispersion-light|url-status=live}}</ref>.

Развивая проведённые Ньютоном исследования дисперсии, в 1802 году [[Волластон, Уильям Хайд|Уильям Волластон]] и в 1814 году независимо от него [[Фраунгофер, Йозеф|Йозеф Фраунгофер]] создали [[спектроскоп]] и наблюдали [[Фраунгоферовы линии|тёмные линии]] в спектре Солнца и звёзд<ref>{{Cite journal|author=Bursey|first=Maurice M.|date=2017|title=A brief history of spectroscopy|url=https://www.accessscience.com/content/a-brief-history-of-spectroscopy/BR0213171|journal=AccessScience|doi=10.1036/1097-8542.BR0213171|access-date=2021-05-14|archive-date=2021-03-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20210305094250/https://www.accessscience.com/content/a-brief-history-of-spectroscopy/BR0213171|url-status=live}}</ref>.

[[Файл:Thomas_Young_(scientist).jpg|альт=Stipple engraving of Thomas Young|мини|152x152пкс| [[Юнг, Томас|Томас Юнг]] ввёл термин ''«показатель преломления»'']]
[[Юнг, Томас|Томас Юнг]] предположительно был первым человеком, который ввёл и в 1807 году использовал название «показатель преломления» ({{Lang-en|index of refraction}}){{Sfn|Wolfe|2020|loc=ch. 32}}. В то же время он записал это значение преломляющей силы в виде одного числа вместо традиционного отношения двух чисел. Использование отношения чисел имело тот недостаток, что его можно было представить разными способами. Так, Ньютон, называвший это отношение «пропорцией синусов падения и преломления», записывал его как отношение двух чисел, например «529 к 396» (или «почти 4 к 3» для воды). Хоксби, называвший эту величину «коэффициентом преломления», записывал его как отношение с фиксированным числителем, например «10000 к 7451,9» (для мочи)<ref name="Hauksbee">{{Cite journal|doi=10.1098/rstl.1710.0015|author=Hauksbee|first=Francis|title=A Description of the Apparatus for Making Experiments on the Refractions of Fluids|year=1710|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=27|issue=325–336}}</ref>. {{iw|Чарльз Хаттон|Хаттон|en|Charles Hutton}} записал это как отношение с фиксированным знаменателем, например 1,3358 к 1 (вода)<ref name=Hutton>{{cite book|last=Hutton|first=Charles|title=Philosophical and mathematical dictionary|year=1795|page=299|url=https://books.google.com/books?id=lsdJAAAAMAAJ&pg=PA299|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20170222031446/https://books.google.com/books?id=lsdJAAAAMAAJ&pg=PA299|archive-date=2017-02-22}} {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=lsdJAAAAMAAJ&pg=PA299 |date=20210709193119 }}</ref>.

В 1807 году Юнг не использовал никакого символа для показателя преломления. В более поздние годы другие исследователи начали использовать различные символы: <math>n</math>, <math>m</math> и <math>\mu</math><ref name="Fraunhofer">{{Cite journal|last=[[Фраунгофер, Йозеф|von Fraunhofer]]|first=Joseph|title=Bestimmung des Brechungs und Farbenzerstreuungs Vermogens verschiedener Glasarten|journal=Denkschriften der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu München|year=1817|volume=5|url=https://books.google.com/books?id=lMRSAAAAcAAJ&pg=PA208|access-date=2021-05-15|archive-date=2021-05-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20210515123724/https://books.google.com/books?id=lMRSAAAAcAAJ&pg=PA208|url-status=live}} Exponent des Brechungsverhältnisses is index of refraction</ref><ref name="Brewster">{{Cite journal|last=[[Брюстер, Дейвид|Brewster]]|first=David|title=On the structure of doubly refracting crystals|journal=Philosophical Magazine|year=1815|volume=45|issue=202|url=https://books.google.com/books?id=GhpRAAAAYAAJ&pg=PA124|doi=10.1080/14786441508638398|access-date=2021-05-15|archive-date=2021-05-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20210515123723/https://books.google.com/books?id=GhpRAAAAYAAJ&pg=PA124|url-status=live}}</ref><ref name="Herschel">{{Cite book|last=[[Гершель, Джон|Herschel]]|first=John F.W.|title=On the Theory of Light|year=1828|page=368|url=https://books.google.com/books?id=Lo4_AAAAcAAJ&printsec=frontcover}} {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=Lo4_AAAAcAAJ&printsec=frontcover |date=20210515123723 }}</ref>. Символ {{math|''n''}} постепенно возобладал. Эффект двулучепреломления был открыт в 1813 году [[Зеебек, Томас Иоганн|Зеебеком]] и в 1815 году независимо от него [[Брюстер, Дейвид|Брюстером]]{{sfn|Ландсберг|2003|с=479}}.

[[Волластон, Уильям Хайд|Волластон]] создал первые [[рефрактометр]] (1802) и [[гониометр]] (1809). В 1869 году [[Аббе, Эрнст|Аббе]] создал модель рефрактометра ([[рефрактометр Аббе]]), схема которого является одной из самых популярных и в настоящее время<ref>{{Cite web|url=http://www.refractometer.pl/refractometer-history|title=History of refractometer|website=refractometer.pl|access-date=2021-05-14|archive-date=2021-04-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20210419030836/http://www.refractometer.pl/refractometer-history|url-status=live}}</ref>. Вероятно, около 1840 года [[Тальбот, Уильям Генри Фокс|Уильям Тальбот]] впервые наблюдал явление [[Аномальная дисперсия света|аномальной дисперсии]], однако количественно проанализировал его [[Леру, Пьер|Пьер Леру]] в 1862 году<ref>{{Cite journal|author=Williams|first=S. R.|date=1908|title=A Study of Dispersion in Highly Absorbing Media by Means of Channeled Spectra|url=https://journals.aps.org/pri/abstract/10.1103/PhysRevSeriesI.27.27|journal=Physical Review|volume=27|issue=1|pages=27—32|doi=10.1103/PhysRevSeriesI.27.27|access-date=2021-05-14|archive-date=2021-05-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20210514115511/https://journals.aps.org/pri/abstract/10.1103/PhysRevSeriesI.27.27|url-status=live}}</ref>. [[Максвелл, Джеймс Клерк|Максвелл]] использовал свои уравнения для выражения скорости света в среде через диэлектрическую и магнитную проницаемости, связанные с показателем преломления по формуле <math>n=\sqrt{\varepsilon\mu}</math>, но из-за отсутствия микроскопической теории [[уравнения Максвелла]] не могли описать дисперсию света{{sfn|Ландсберг|2003|с=21}}.

В период с 1869 по 1875 год датский физик [[Лоренц, Людвиг Валентин|Людвиг Лоренц]] сформулировал в нескольких работах теорию, которая связывала показатель преломления с микроскопическими свойствами веществ — электронной [[поляризуемость]]ю. Такой же результат в 1878 году независимо получил голландский физик [[Лоренц, Хендрик|Хендрик Лоренц]], который не был знаком с работами Людвига Лоренца, поскольку те были написаны на датском языке. Выведенное ими уравнение известно как [[формула Лоренца — Лоренца]]<ref name="substantia" />. В 1875 году [[Керр, Джон (физик)|Джон Керр]] наблюдал двулучепреломление в изотропных веществах (жидкие диэлектрики), помещённых в электрическое поле, а годом позже обнаружил [[Эффект Фарадея|магнитооптический эффект]] в изотропной среде{{sfn|Ландсберг|2003|с=481}}. Оба эффекта являются примерами нелинейно-оптических явлений. В 1910 году [[Ланжевен, Поль|Ланжевен]] построил теорию эффекта Керра{{sfn|Ландсберг|2003|с=486}}.

[[Кундт, Август|Август Кундт]] измерил комплексный коэффициент преломления для металлов в 1888 году, а теорию отражения от поверхности металлов, основываясь на формулах Френеля, построил [[Друде, Пауль Карл Людвиг|Пауль Друде]] годом позже{{sfn|Ландсберг|2003|с=448}}.

В 1933 году [[Вуд, Роберт Вильямс|Роберт Вуд]] открыл прозрачность щелочных металлов в ультрафиолетовой области частот{{sfn|Архипкин & Патрин|2006|с=123}}. Стекло может изменять показатель преломления при облучении ультрафиолетом, этот эффект был открыт и запатентован в 1937 году {{iw|Стуки, Стенли Дональд|Дональдом Стуки|en|S. Donald Stookey}}{{sfn|Paul|1990|p=333}}.

В 1947 году [[Габор, Денеш|Денеш Габор]] построил теорию получения информации о фазе волны с помощью фотографии, но не смог реализовать построение такого изображения из-за отсутствия когерентных источников излучения. После создания лазеров в 1964 году [[Лейт, Эмметт|Эмметт Лейт]] и [[Упатниекс, Юрис|Юрис Упатниекс]] записали первую голограмму, изобразившую игрушечные поезд и птицу{{sfn|Лейт & Упатниек|1965}}. В СССР в 1962 году [[Денисюк, Юрий Николаевич|Юрий Денисюк]] предложил использовать голографию Габора и метод цветной фотографии Липпмана, где используется три монохроматических лазера основных цветов, чтобы получить цветную голограмму<ref>{{книга
 | автор         = Власенко В. И.
 | часть         = Глава IV. Изобразительная голография
 | заглавие      = Техника объёмной фотографии
 | ответственный = А. Б. Долецкая
 | место         = М.
 | издательство  = «Искусство»
 | год           = 1978
 | страниц       = 102
 | страницы      = 67—95
 | тираж         = 50000
 | ref           = Техника объёмной фотографии
}}</ref>. Габор получил Нобелевскую премию по физике в 1971 году<ref>{{cite journal | doi = 10.1038/280431a0 | title = Dennis Gabor, 1900–1979 | journal = Nature | volume = 280 | issue = 5721 | pages = 431–433 | year = 1979 | pmid = 379651|bibcode = 1979Natur.280..431A | last1 = Ash | first1 = Eric A. | doi-access = free }}</ref>.

В 1961 году {{iw|Снитцер, Элиас|Элиас Снитцер|de|Elias Snitzer}} и [[Хикс, Уилл|Уилл Хикс]] ({{lang-en|Will Hicks}}) продемонстрировали передачу лазерного излучения по оптоволокну{{sfn|Hayes|2000|p=8}}. В 1964 году Снитцер создал первый лазер, в качестве рабочей среды которого использовалось [[оптическое волокно]], [[Легирование (полупроводники)|легированное]] [[неодим]]ом{{sfn|Koester, Snitzer|1964}}. Слабое затухание в оптических волокнах позволило использовать их как средство передачи сигналов на большие расстояния{{sfn|Hayes|2000|pp=9—10}}.

В 1967 году [[Веселаго, Виктор Георгиевич|Виктор Веселаго]] высказал гипотезу о существовании материалов с отрицательным значением показателя преломления<ref name=veselago1968>{{статья|автор=Веселаго В. Г.|заглавие=Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями ε и μ|издание=[[УФН]]|год=1967|том=92|страницы=517|doi=10.3367/UFNr.0092.196707d.0517}}</ref>. В 1999 году [[Пендри, Джон|Джон Пендри]] предложил конструкции искусственных материалов, обладавших отрицательными эффективными значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей<ref name=sly1>{{статья|автор=Слюсар В.|заглавие=Метаматериалы в антенной технике: история и основные принципы|издание=Электроника: наука, технология, бизнес|год=2009|номер=7|страницы=70—79|язык=ru|ссылка=http://www.slyusar.kiev.ua/Metamat_p1.pdf|archivedate=2020-09-25|archiveurl=https://web.archive.org/web/20200925214606/http://www.slyusar.kiev.ua/Metamat_p1.pdf}}</ref><ref name=sly2>{{статья|автор=Слюсар В.|заглавие=Метаматериалы в антенной технике: основные принципы и результаты|издание=Первая миля. Last Mile (Приложение к журналу «Электроника: Наука, Технология, Бизнес»)|год=2010|номер=3—4|страницы=44—60|язык=ru|ссылка=http://www.slyusar.kiev.ua/Slusar_Last_Mile_3_4_10.pdf|archivedate=2020-09-25|archiveurl=https://web.archive.org/web/20200925213810/http://www.slyusar.kiev.ua/Slusar_Last_Mile_3_4_10.pdf}}</ref>.
В 2000 году {{iw|Смит, Р. Дэвид|Дэвид Смит|en|David R. Smith}} с коллегами, использовав комбинацию элементов конструкций Пендри и его рекомендации, экспериментально доказал возможность реализации искусственных материалов с отрицательным значением показателя преломления ([[метаматериал]]ов)<ref name=sly1 /><ref name=sly2 /><ref>{{статья |автор=Pendry J. B., Smith D. R. |заглавие=Reversing Light with Negative Refraction |издание=[[Physics Today]]|год=2004|том=57 |номер=6 |страницы=37—43  |язык=en |doi=10.1063/1.1784272}}</ref>.

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
{{refbegin|2}}
;На русском языке
* {{книга | автор = Архипкин В. Г., Патрин Г. С.| часть = | заглавие =Лекции по оптике| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный =| место =Красноярск| издательство = Институт физики им. Л. В. Керенского СО РАН| год = 2006| том = | страницы = | страниц = 164| isbn = |ref= Архипкин & Патрин}}
* {{Книга|ref=Барковский, Горелик, Городенцева|ссылка=https://chem21.info/page/230237015116116199113015101071202225063190096021/|автор=Барковский В. Ф., Горелик С. М., Городенцева Т. Б.|заглавие=Практикум по физико-химическим методам анализа|год=1963|место=М.|издательство=Высшая школа|страниц=349}}
* {{книга | автор = Бебчук Л. Г., Богачев Ю. В., Заказнов Н. П., Комраков Б. М., Михайловская Л. В., Шапочкин Б. А.| часть = | заглавие =Прикладная оптика: Учебное пособие для приборостроительных специальностей вузов| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный =Под общ. ред. Н. П. Заказнова| место =М.| издательство = Машиностроение| год = 1988| том = | страницы = | страниц = 312| isbn =5-217-00073-2 |ref= Бебчук и др.}}
* {{книга | автор = Блинникова А. А.| часть = | заглавие =Рефрактометрический метод в анализе лекарственных средств, концентратов, спиртоводных растворов.| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный = Под ред. проф. Е. А. Краснова| место =Томск| издательство = [[СибГМУ]]| год = 2004| том = | страницы = | страниц = 37| isbn = |ref= Блинникова}}
* {{книга | автор = Борисенко С. И., Ревинская О. Г., Кравченко Н. С., Чернов А. В.| часть = | заглавие = Показатель преломления света и методы его экспериментального определения. Учебно-методическое пособие| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный =| место =Томск| издательство = Изд-во Томского политехнического университета| год = 2014| том = | страницы = | страниц = 142| isbn = |ref= Борисенко и др.}}
* {{книга | автор = [[Бреховских, Леонид Максимович|Бреховских Л. М.]]| часть = | заглавие = Волны в слоистых средах| оригинал = | ссылка = | издание = 2-е| ответственный = | место = М.| издательство = Наука| год = 1973| том = | страницы = | страниц =343 | isbn = |ref=Бреховских}}
* {{книга | автор =Горшков М. М.| часть = | заглавие = Эллипсометрия| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный =| место =М.| издательство = Сов. радио| год = 1974| том = | страницы = | страниц = 200| isbn = |ref= Горшков}}
* {{книга | автор = Джексон Дж.| часть = | заглавие =Классическая электродинамика| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный =Под ред. Э. Л. Бурштейна| место =М.| издательство = Мир| год = 1965| том = | страницы = | страниц = 703| isbn = |ref= Джексон}}
* {{книга | автор = Ефимов А. М.| часть = | заглавие =Оптические свойства материалов и механизмы их формирования| оригинал = | ссылка = https://books.ifmo.ru/file/pdf/399.pdf| издание = | ответственный =| место =СПб| издательство = СПбГУИТМО| год = 2008| том = | страницы = | страниц = 103| isbn = |ref= Ефимов}}
* {{Книга|автор=Иоффе Б. В.|заглавие=Рефрактометрические методы химии|год=1983|место=Ленинград|издательство=ГХИ|страниц=39|ref=Иоффе|ссылка=https://chem21.info/page/230237015116116199113015101071202225063190096021/9}}
* {{Книга|автор=Куинн Т.|заглавие=Температура|год=1985|место=М.|издательство=Мир|страниц=448|ref=Куинн|ссылка=https://mash-xxl.info/page/112026134229067031185189104028201174253248152196/}}
* {{книга | автор = [[Ландсберг, Григорий Самуилович|Ландсберг Г. С]]| часть = | заглавие = Оптика: учебное пособие для вузов| оригинал = | ссылка = | издание = 6-е изд. стереот| ответственный = | место = М.| издательство = ФИЗМАТЛИТ| год = 2003| том = | страницы = | страниц = 848| isbn = 5-9221-0314-8|ref=Ландсберг}}
* {{книга | автор = Показеев К. В., Чаплина Т. О., Чашечкин Ю. Д.| часть = | заглавие = Оптика океана: Учебное пособие.| оригинал = | ссылка = http://ocean.phys.msu.ru/courses/optics/optics.pdf| издание = | ответственный = | место = М.| издательство = МАКС Пресс| год = 2010| том = | страницы = | страниц = 216| isbn = 5-94052-028-6|ref=Показеев, Чаплина и Чашечкин}}
* {{Книга|автор=Проскуряков В. А., Драбкин А. Е.|заглавие=Химия нефти и газа|год=1981|место=Ленинград|издательство=Химия|страниц=359|ref=Проскуряков, Драбкин|ссылка=https://chem21.info/page/078059238233016227219081026150240011087163058183/}}
* {{Книга|автор=Прохоров О. М.|заглавие=Физический энциклопедический словарь|год=1983|место=М.|издательство=Советская энциклопедия|страниц=928|ref=Прохоров|ссылка=https://mash-xxl.info/page/210208169087151137009043201233167158149194082010/}}
* {{Книга|ref=Прохоров|ссылка=http://femto.com.ua/articles/part_1/1051.html|автор=Прохоров О. М.|заглавие=Физическая энциклопедия|год=1988|часть=Ааронова — Бома эффект — Длинные линии|место=М.|издательство=Советская энциклопедия|том=1|страниц=703}}
* {{Книга|ref=Прохоров|ссылка=http://femto.com.ua/articles/part_1/2334.html|автор=Прохоров О. М.|заглавие=Физическая энциклопедия|год=1992|часть=Магнитоплазменный — Поинтинга теорема|место=М.|издательство=Научное издательство «Большая российская энциклопедия»|том=3|страниц=672|isbn=5-8527-0019-3}}
* {{Книга|ref=Прохоров|ссылка=http://femto.com.ua/articles/part_2/3069.html|автор=Прохоров О. М.|заглавие=Физическая энциклопедия|год=1994|часть=Поинтинга — Робертсона эффект — Стриммеры|место=М.|издательство=Научное издательство «Большая российская энциклопедия»|том=4|страниц=704|isbn=5-8527-0087-8}}
* {{Книга|ref=Прохоров|ссылка=http://femto.com.ua/articles/part_2/4196.html|автор=Прохоров О. М.|заглавие=Физическая энциклопедия|год=1998|часть=Стробоскопические приборы — Яркость|место=М.|издательство=Научное издательство «Большая российская энциклопедия»|том=5|страниц=691|isbn=5-85270-101-7}}
* {{книга | автор = Путилов К. А., Фабрикант В. А. | часть = Оптика, атомная физика, ядерная физика| заглавие = Курс физики | оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный = | место = | издательство = | год = 1963 | том = III| страницы = | страниц = 634| isbn = |ref=Путилов и Фабрикант}}
* {{Книга|ref=Савельев|ссылка=https://scask.ru/c_book_s_phis2.php?id=143|автор=Савельев И. В.|заглавие=Курс общей физики: Учеб. пособие|год=1988|часть=Электричество и магнетизм. Волны. Оптика.|место=М.|издательство=«Наука»|том=2|страниц=496}}
* {{Книга|ref=Сивухин|ссылка=http://4ipho.ru/data/documents/Sivuhin_III.pdf|автор=[[Сивухин, Дмитрий Васильевич|Сивухин Д. В.]]|заглавие=Общий курс физики|год=1977|часть=Электричество|место=М.|издательство=Наука|том=3|страниц=704}}
* {{книга | автор = Сивухин Д. В.| часть = Оптика| заглавие = Общий курс физики| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный = | место = М.| издательство = Наука| год = 1980| том = IV | страницы = | страниц = 752| isbn = |ref=Сивухин}}
* {{книга | автор = Солимено С., Крозиньяни Б., Ди Порто П. | часть = | заглавие = Дифракция и волноводное распространение оптического излучения| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный = | место = М.| издательство = Мир| год = 1989| том = | страницы = | страниц = 664 | isbn = |ref=Солимено, Крозиньяни & Порто}}
* {{книга | автор = Стороженко И. П., Тиманюк В. А., Животова Е. Н.| часть = | заглавие =Методы рефрактометрии и поляриметрии| оригинал = | ссылка = https://dspace.nuph.edu.ua/bitstream/123456789/10593/1/%D0%A0%D0%B5%D1%84%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F.pdf| издание = | ответственный = | место =Харьков| издательство = Изд-во НФаУ| год = 2012| том = | страницы = | страниц = 64| isbn = |ref= Стороженко, Тиманюк & Животова}}
* {{книга | автор = Трубецков Д. И., Рожнёв А. Г.| часть = | заглавие = Линейные колебания и волны| оригинал = | ссылка = https://www.sgu.ru/sites/default/files/textdocsfiles/2014/04/16/lineynye_kolebaniya_i_volny.pdf| издание = | ответственный = | место = М.| издательство = Физматлит| год = 2001| том = | страницы = | страниц = 416| isbn = 5-94052-028-6|ref=Трубецков и Рожнёв}}
* {{книга | автор = Швец В. А., Спесивцев Е. В.| часть = | заглавие = Эллипсометрия. Учебно-методическое пособие к лабораторным работам| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный =| место =Новосибирск| издательство = | год = 2013| том = | страницы = | страниц = 87| isbn = |ref= Швец & Спесивцев}}
* {{Книга|автор=[[Фейнман, Ричард|Фейнман Р. Ф.]], Лейтон Р.|заглавие=Фейнмановские лекции по физике|год=1967|часть=Излучение, волны, кванты|место=М.|издательство=Мир|том=3|страниц=235|ref=Фейнман, Лейтон|ссылка=https://mipt.ru/dasr/upload/646/f_3kf8oa-arphh81ii9w.pdf}}
* {{Книга|автор=[[Фейнман, Ричард|Фейнман Р. Ф.]], Лейтон Р.|заглавие=Фейнмановские лекции по физике|год=1977|часть=Физика сплошных сред|место=М.|издательство=Мир|том=7|страниц=286|ref=Фейнман, Лейтон|ссылка=https://scask.ru/a_lect_f_phis7.php?id=21}}
* {{Книга|автор=Шен И. Р.|заглавие=Принципы нелинейной оптики|год=1980|место=М.|издательство=«Наука»|страниц=558|ref=Шен|ссылка=https://books.google.com/books?id=DcH-AgAAQBAJ}}
* {{книга | автор = Шрёдер Г., Трайбер Х.| часть = | заглавие = Техническая оптика| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный =| место =М.| издательство = Техносфера| год = 2006| том = | страницы = | страниц = 424| isbn = 5-94836-075-X |ref= Шрёдер & Трайбер}}

;На английском языке
* {{книга | автор = Adachi S.| часть = | заглавие = The Handbook on Optical Constants of Metals: In Tables and Figures| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный = | место =Singapore| издательство = World Scientific Publishing Company| год = 2012| том = | страницы = | страниц = 684| isbn =9814405949 |язык=en |ref= The Handbook on Optical Constants of Metals}}
* {{книга | автор = Adachi S.| часть = | заглавие =Optical Properties of Crystalline and Amorphous Semiconductors: Materials and Fundamental Principles| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный = | место =| издательство = World Scientific Publishing Company| год = 1999| том = | страницы = | страниц = 271| isbn =978-1-4615-5241-3 |язык=en |ref= Adachi}}
* {{книга |автор = Agrawal G. P. |заглавие = Applications of nonlinear fiber optics |издание = 2nd ed|издательство = Academic Press |год = 2008 |том= 10 |страниц = 508 |серия = Optics and Photonis Series |isbn = 9780123743022 |язык=en |ref = Agrawal}}
* {{книга|автор=Bach H., Neuroth N.|заглавие=The properties of optical glass|место=Berlin|издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|год=1998|издание=2|страниц=419|isbn=3-540-58357-2|ссылка=https://books.google.com/books?id=J0RX1mbhzAEC|язык=en |ref=Bach & Neuroth}}
* {{статья|автор=Barrell H., Sears J. E.|заглавие=The Refraction and Dispersion of Air for the Visible Spectrum|издание=Philosophical transactions of the Royal Society A |том=238 |год=1939 |язык=en |ref= Barrell & Sears}}
* {{статья|автор=Bevis M. et al.|заглавие=GPS Meteorology: mapping zenith wet delay onto precipitable water|издание=Journal of Applied Meteorology and Climatology|год=1994 |том=33 |страницы=379–386 |ссылка=http://journals.ametsoc.org/doi/pdf/10.1175/1520-0450%281994%29033%3C0379%3AGMMZWD%3E2.0.CO%3B2|doi=10.1175/1520-0450(1994)033<0379:GMMZWD>2.0.CO;2|format=pdf |язык=en |ref=Bevis et al.}}
* {{книга|автор = Born M. | заглавие= Principles of optics : electromagnetic theory of propagation, interference, and diffraction of light | издательство= Cambridge University Press | место= Cambridge | год= 2019 | isbn = 9781108477437 |язык=en |ref=Born & Wolf}}
* {{книга|автор=Boyd R. W.|заглавие=Nonlinear Optics|место=Burlington, MA|издательство=[[Academic Press]] |год=2008 |издание=3rd ed. |страниц=640 |isbn=978-0-12-369470-6 |ссылка=https://books.google.com/books?id=uoRUi1Yb7ooC|язык=en |ref=Boyd}}
* {{cite web |author = Brown K.|url = https://www.mathpages.com/rr/s2-08/2-08.htm|title = Refraction At A Plane Boundary Between Moving Media|lang = en|website =https://www.mathpages.com |publisher = |date = 2020|access-date = 2021-05-18 |ref=Brown}}
* {{Cite web|url=https://www.kth.se/social/files/542d1251f276544bf2492088/Compendium.Light.Microscopy.pdf|title=Light microscopy|last=Carlsson|first=Kjell|archive-url=https://web.archive.org/web/20150402122840/https://www.kth.se/social/files/542d1251f276544bf2492088/Compendium.Light.Microscopy.pdf|archive-date=2015-04-02|date=2007|access-date=2015-01-02|year=2007|ref=Carlsson}}
* {{статья|автор= Ciddór P. E.|заглавие=Refractive index of air: new equations for the visible and near infrared|издание=Applied optics|издательство=Optical society of America|год=1996 |том=35 |выпуск=9 |страницы=1566—1573|ссылка=https://opg.optica.org/ao/abstract.cfm?uri=ao-35-9-1566|doi=10.1364/AO.35.001566 |язык=en|ref= Ciddór}}
* {{Cite web|url=http://web.mit.edu/course/6/6.732/www/6.732-pt2.pdf|title=Solid State Physics Part II Optical Properties of Solids|last=Dresselhaus|first=M. S.|author-link=Дресселгауз, Милдред|website=Course 6.732 Solid State Physics|date=1999|publisher=MIT|archive-url=https://web.archive.org/web/20150724051216/http://web.mit.edu/course/6/6.732/www/6.732-pt2.pdf|archive-date=2015-07-24|access-date=2015-01-05|year=1999|ref= Dresselhaus}}
* {{статья|автор= Edlén B.|заглавие=The Refractive Index of Air|издание=Metrologia|год=1966|том=71|выпуск=2|ссылка=http://iopscience.iop.org/0026-1394/2/2/002|doi=10.1088/0026-1394/2/2/002|язык=en|ref= Edlén}}
* {{книга|автор=Fabry F.|часть=|заглавие=Radar meteorology: principles and practice|оригинал= |ссылка=|издание=|ответственный=|место=Cambridge, United Kingdom|издательство=Cambridge University Press|год=2015 |том=|страницы=|страниц=|isbn=9781108460392 |тираж=|язык=en|ref=Fabry }}
* {{статья|автор=Fabry F., Frush C., Zawadzki I., Kilambi A.|заглавие=On the Extraction of Near-Surface Index of Refraction Using Radar Phase Measurements from Ground Targets |издание=Journal of Atmospheric and Oceanic Technology|год=1997|том=4|выпуск=14|страницы=2625—2628|ссылка=https://ieeexplore.ieee.org/document/625552 |doi=10.1109/APS.1997.625552|издательство=American Meteorological Society|язык=en|ref= Fabry, Frush & Kilambi}}
* {{книга|автор=Fox M.|часть=|заглавие=Optical properties of solids|оригинал= |ссылка=|издание=|ответственный=|место=Oxford, New York|издательство=Oxford University Press|год=2010 |том=|страницы=|страниц=|тираж=| isbn = 9780199573363|язык=en |ref=Fox}}
* {{книга|автор=Fukao S.|часть=|заглавие=Radar for meteorological and atmospheric observations|оригинал= |ссылка=|издание=|ответственный=|место=Tokyo |издательство=Springer |год=2013 |том=|страницы=|страниц=|тираж=| isbn = 9784431543336|язык=en|ref=Fukao}}
* {{книга |автор = Gan F.|заглавие = Photonic glasses|издательство = World Scientific|год = 2006|страниц= 447|isbn = 9789812568205|язык=en|ref = Gan}}
* {{книга|автор= Gjertsen D.|заглавие=The Newton Handbook|издательство=[[Taylor & Francis]]|год=1986|страниц=665|isbn=|ссылка=https://books.google.com/books?id=cqIOAAAAQAAJ|язык=en |ref= Gjertsen}}
* {{статья|автор=Halley E.|заглавие=Some remarks on the allowances to be made in astronomical observations for the refraction of the air|doi=10.1098/rstl.1720.0042|издание=Philosophical transactions|год=1720|том=31|страницы=364—369|язык=en|ref=Halley}}
* {{статья |автор = Hartmann G. K., Leitinger R. |заглавие = Range errors due to ionospheric and tropospheric effects for signal frequencies above 100 MHz|оригинал = |ссылка = https://link.springer.com/article/10.1007/BF02520897|издание = Bulletin géodésique volume |год = 1984|том = 58|страницы = 109—136 |doi = 10.1007/BF02520897|pmid = |bibcode = |arxiv = |язык=en |ref =Hartmann & Leitinger}}
* {{книга |автор = Hayes J.|заглавие = Fiber Optics Technician's Manual |издание = 2th Ed |издательство = Delmar Cengage Learning|год = 2000|страниц= 242|isbn = 978-0766818255|язык=en |ref = Hayes}}
* {{Книга|автор=Hutton C.|заглавие=A Philosophical and Mathematical Dictionary|год=1815|место=London|том=2|страниц=628|язык=en |ссылка=https://books.google.com/books?id=lsdJAAAAMAAJ&pg=PA299 |ref=Hutton}}
* {{статья |автор = Jacquey M., Büchner M., Trénec G., Vigué J.|заглавие = First measurements of the index of refraction of gases for lithium atomic waves|оригинал = |ссылка = |издание = Phys. Rev. Lett.|год = 2007|том = 98|страницы = 240405 |doi = 10.1103/PhysRevLett.98.240405|pmid = |bibcode = |arxiv = |язык=en |ref = Jacquey et al.}}
* {{source|Q60213182|ref=Koester, Snitzer|ref-year=1964}}
* {{статья |автор = Lehn W. H., van der Werf S.|заглавие = Atmospheric refraction: a history|оригинал = |ссылка = https://home.cc.umanitoba.ca/~lehn/_Papers_for_Download/history_of_refr.pdf|издание = Appl Opt.|год = 2005 |том = 44|страницы = 5624—5636 |doi = 10.1364/ao.44.005624|pmid = |bibcode = |arxiv = |язык=en |ref = Lehn & van der Werf}}
* {{книга | автор = Palik E. D.| часть = | заглавие = Handbook of Optical Constants of Solids| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный = | место =| издательство =Academic Press| год = 1991| том = I| страницы = | страниц = | isbn =978-0-12-544422-4|язык=en |ref= Palik}}
* {{книга|автор=Paul A.|часть=|заглавие=Chemistry of glasses |оригинал= |ссылка=https://archive.org/details/chemistryofglass0000paul|издание=|ответственный=|место=London, New York|издательство=Chapman and Hall |год=1990 |том=|страницы=|страниц=|isbn=0412278200|тираж=|язык=en|ref=Paul}}
* {{книга | автор = Wilkes Z. | часть = | заглавие = Investigation of the Nonlinear Index of Refraction of Water at 815 and 407 nanometers| оригинал = | ссылка = https://drum.lib.umd.edu/handle/1903/7792| издание = | ответственный = | место = | издательство = University of Maryland| год = 2007| том = | страницы = | страниц = 97 | isbn = |doi= |язык=en |ref=Wilkes}}
* {{Книга|автор=Wolfe W. L.|заглавие=Rays, Waves and Photons|год=2020|издательство=IoP Publishing Ltd|страниц=350|isbn=978-0-7503-2612-4|ссылка=https://iopscience.iop.org/chapter/978-0-7503-2612-4/bk978-0-7503-2612-4ch32.pdf|lang=en |ref=Wolfe}}
* {{книга|автор=Zajac A., Hecht E., Cummings E.|часть=|заглавие=Optics|оригинал= |ссылка=|издание=4th ed|ответственный=|место=|издательство=Addison-Wesley|год=2003 |том=|страницы= |страниц=|isbn=978-0-321-18878-6|язык=en|ref =Zajac & Hecht}}

;На французском языке
* {{книга | автор = Aminot A., Kérouel R. | часть = | заглавие = Hydrologie des écosystèmes marins: paramètres et analyses| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный = | место = | издательство = La Rose de Clichy| год = 2004| том = | страницы = | страниц = 336| isbn = 2-9522492-0-2 |doi= |язык=fr|ref=Aminot & Kérouel}}
* {{книга|автор=Barton J. L., Guillemet C.|заглавие=Le verre, science et technologie|место=Les Ulis|издательство=[[EDP Sciences]]|год=2005|страниц=440|isbn=2-86883-789-1|ссылка=https://books.google.com/books?id=m32bu6bAYUgC|язык=fr|ref=Barton & Guillemet}}
* {{книга | автор = Briant J., Denis J., Hipeaux J.-C. | часть = | заглавие = Physico-chimie des lubrifiants: Analyses et essais| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный = | место = | издательство = La Rose de Clichy| год = 1997| том = | страницы = | страниц = 464 | isbn = 9782710807261 |doi= |язык=fr|ref=Briant, Denis & Hipeaux}}
* {{книга|автор=Chartier G.|заглавие=Manuel d'optique|место=Paris|издательство=Hermès|год=1997|страниц=683|isbn=2-86601-634-3|язык=fr|ref=Chartier}}
* {{книга | автор = Dufrenne R., Maës J., Maës B.| часть = | заглавие = La Cristallerie de Clichy : Une prestigieuse manufacture du xixe siècle| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный = | место = Clichy-la-Garenne| издательство = La Rose de Clichy| год = 2005| том = | страницы = | страниц = 447| isbn = 2-9522492-0-2 |doi= |язык=fr|ref=Dufrenne, Maës & Maës}}
* {{статья|автор=Itard J.|заглавие=Les lois de la réfraction de la lumière chez Kepler|doi=|périodique=Revue d'histoire des sciences et de leurs applications|год=1957|том=10|выпуск=1|страницы=59—68|ссылка=http://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1957_num_10_1_3596|язык=fr}}
* {{книга|автор=Taillet R.|заглавие=Optique physique : Propagation de la lumière|место=Bruxelles/Paris|издательство=De Boeck|год=2006 |mois=août|страниц=323 |isbn=2-8041-5036-4|isbn10=978-2-8041-5036-5|язык=fr|ref=Taillet}}

;На украинском языке
* {{Книга|ref=Вакуленко|автор=Вакуленко М. О., Вакуленко О. В.|год=2008|место=К.|издательство=Видавничо-поліграфічний центр «Київський університет»|страниц=767|название=Тлумачний словник із фізики|isbn=978-966-439-038-2|язык=uk}}
* {{Книга|автор=Романюк М. О., Крочук А. С., Пашук І. П.|заглавие=Оптика|год=2012|издательство=[[Львовский национальный университет имени Ивана Франко|ЛНУ ім. Івана Франка]]|страниц=564|город={{Comment|Л.|Львів}}|isbn= |язык=uk|ref=Романюк, Крочук, Пашук}}
{{refend}}

== Ссылки ==
{{Навигация}}
* {{cite web |author = Polyanskiy M. |url = https://refractiveindex.info/|title = RefractiveIndex.INFO Refractive index database|lang = en|website = https://refractiveindex.info/|publisher = |date = 2008|access-date = 2021-05-18 }}
* {{cite web |author = |url = https://www.filmetrics.com/refractive-index-database|title = Refractive Index Database|lang = en|website = https://www.filmetrics.com|publisher = FilMetrics|date = |access-date = 2021-05-18 }}
* {{cite web |author = |url = http://www.sspectra.com/sopra.html|title =Optical Data from Sopra SA|lang = en|website = http://www.sspectra.com|publisher = |date = |access-date = 2021-05-18 }}
* {{cite web |author = |url = http://www.ioffe.ru/SVA/NSM/nk/|title =n, k database|lang = en|website = http://www.ioffe.ru/|publisher = |date = |access-date = 2021-05-18 }}
* {{cite web |author = |url = https://henke.lbl.gov/optical_constants/getdb2.html|title =Index of Refraction|lang = en|website = https://henke.lbl.gov/|publisher = |date = |access-date = 2021-05-18 }}

{{ВС}}
{{Избранная статья|Физика}}

[[Категория:Оптика]]