Просмотр кода страницы Полицикл

[[Файл:Saddle separatrix loop polycycle.svg|thumb|300px|right|Полицикл, в который входит [[Седло (динамические системы)|седловая особая точка]] (два раза), и две её сепаратрисные связки, а также его [[отображение Пуанкаре]]]]
'''Полицикл''' [[векторное поле|векторного поля]] (также используется термин '''[[сепаратриса|сепаратрисный]] многоугольник''') — это замкнутая [[инвариантное многообразие|инвариантная кривая]], состоящая из [[особая точка векторного поля|особых точек]] и соединяющих их отрезков [[фазовая кривая|фазовых кривых]]. Различные задачи, связанные с [[предельный цикл|предельными циклами]] (такие как [[проблема Дюлака]], [[16-я проблема Гильберта]], [[проблема Гильберта-Арнольда]] и др.) зачастую сводятся к изучению [[бифуркация|бифуркаций]] векторных полей, содержащих полициклы. Поскольку векторное поле задаёт [[Автономная система дифференциальных уравнений|автономное дифференциальное уравнение]] и соответствующую [[Динамическая система#Фазовые потоки|динамическую систему]], говорят также о полициклах уравнений и систем.

== Формальное определение ==
'''Полициклом''' векторного поля называется циклически занумерованный набор особых точек <math>p_1,\ldots,p_n</math> (возможно, с повторениями) и набор дуг фазовых кривых <math>\gamma_1,\ldots,\gamma_n</math> (без повторений), последовательно соединяющих указанные особые точки — то есть дуга <math>\gamma_j</math> соединяет точки <math>p_{j}</math> и <math>p_{j+1}</math>, где <math>p_{n+1}\equiv p_1</math>, <math>j=1,\ldots,n</math>.

== Цикличность полицикла ==
Говоря неформально, '''цикличность полицикла''' — это количество [[предельный цикл|предельных циклов]], «рождающихся из полицикла» в результате малого возмущения системы. Чтобы придать этому определению строгий смысл, необходимо указать, какие именно малые возмущения рассматриваются — иными словами, включить систему с полициклом в некоторое семейство. Точное определение звучит следующим образом:
{{definition}} Рассмотрим некоторое семейство векторных полей <math>\{v_\varepsilon(x)\}</math>, зависящее от (вообще говоря, многомерного) параметра <math>\varepsilon\in \mathbb R^k</math>. Пусть при <math>\varepsilon=\varepsilon_*</math> система имеет полицикл <math>\gamma</math>. '''Цикличностью''' полицикла <math>\gamma</math> в семействе <math>\{v_\varepsilon\}</math> называется такое минимальное число <math>\mu</math>, что найдётся такая окрестность полицикла <math>U\supset \gamma</math> и такая окрестность <math>V</math>  критического значения параметра (<math>\mathbb R^k \supset V \ni \varepsilon_*</math>), что для всех <math>\varepsilon \in V</math> в области <math>U</math> одновременно существует не более <math>\mu</math> предельных циклов, причём [[хаусдорфово расстояние]] между этими циклами и <math>\gamma</math> стремится к нулю при <math>\varepsilon \to \varepsilon_*</math>.
{{/definition}}

== Источники ==
* В. Ю. Калошин. [http://mi.mathnet.ru/faa249  ''Проблема Гильберта — Арнольда и оценка цикличности полициклов на плоскости и в пространстве'']. Функц. анализ и его прил., 35:2 (2001), 78–81.
{{math-stub}}

[[Категория:Динамические системы]]