Просмотр кода страницы Полное усечение (геометрия)

[[Файл:Cuboctahedron.png|thumb|Полностью усечённый куб является [[Кубооктаэдр|кубооктаэдром]] – рёбра сводятся к вершинам, а вершины расширяются до новых граней]]
[[Файл:Dual Cube-Octahedron.svg|thumb|''Дважды полностью усечённый'' куб является октаэдром – грани уменьшаются до точек и новые грани образуются вместо вершин.]]
[[Файл:Rectified cubic honeycomb.jpg|thumb|{{не переведено 5|Полностью усечённые кубические соты|||rectified cubic honeycomb}} – рёбра уменьшаются до вершин, а вершины превращаются в новые ячейки.]]
В [[Евклидова геометрия|евклидовой геометрии]] '''спрямление''' или '''полное усечение''' — это процесс усечения [[Многогранник|многогранника]] путём пометки середины всех его рёбер и отсечения всех вершин вплоть до этих точек <ref>{{Mathworld | urlname=Rectification | title=Rectification}}</ref>. Получающийся многогранник будет ограничен фасетами (гранями размерности n-1, в трёхмерном пространстве это многоугольники) [[Вершинная фигура|вершинных фигур]] и усечёнными фасетами исходного многогранника. Операции спрямления даётся однобуквенный символ ''r''. Так, например,  ''r''{4,3} — спрямлённый куб, т.е. кубооктаэдр. 

[[Нотация Конвея для многогранников|Конвей]] для этой операции использует обозначение '''ambo'''. В [[Теория графов|теории графов]] эта операция создаёт [[срединный граф]].

== Пример спрямления как финальной стадии усечения ребра ==
Полное усечение является финальной стадией процесса усечения. На рисунке показаны четыре стадии непрерывного процесса усечения от правильного куба до полностью усечённого состояния:

[[Файл:Cube truncation sequence(ru).svg|520px]]

== Более высокие степени полного усечения ==
Более высокие степени полного усечения могут быть осуществлены на правильных многогранниках более высоких размерностей. Наивысшая степень полного усечения создаёт [[двойственный многогранник]]. Спрямление усекает рёбра до точек. Двойное спрямление усекает (двумерные) грани до точек. В более высоких размерностях тройное спрямление усекает ячейки (трёхмерные грани) до точек, и так далее.

== Пример двойного спрямления как финальной стадии усечения граней ==
Последовательность на рисунке показывает ''двойное усечение куба'' как конечную стадию процесса от куба к двойственному октаэдру, при котором исходная грань усекается до точки:
:[[Файл:Birectified cube sequence.png|480px]]

== Для многоугольников ==

Двойственный многоугольник — это то же самое, что и полностью усечённая его форма. Новые вершины располагаются в серединах сторон исходного многоугольника.

== Для многогранников и плоских мозаик ==
{{See|Квазиправильный многогранник}}
Любой [[правильный многогранник]] и его  [[двойственный многогранник|двойственный]] имеют один и тот же полностью усечённый многогранник. (Это не так для многогранников в пространствах размерности 4 и более.)

Полностью усечённый многогранник может быть получен как пересечение исходного правильного многогранника с подходящим образом масштабированной концентрической версии двойственного.  По этой причине их имена строятся как комбинации имени исходного многогранника и его двойственного:

# Полностью усечённый [[тетраэдр]], двойственным которому является тетраэдр, носит имя ''тетратетраэдр'', более известный как [[октаэдр]]. 
# Полностью усечённый [[октаэдр]], двойственным которому является [[куб]], носит имя  [[кубооктаэдр]].
# Полностью усечённый [[икосаэдр]], двойственным которому является [[додекаэдр]], носит имя  [[икосододекаэдр]].
# Полностью усечённый [[квадратный паркет]] — это [[квадратный паркет]].
# Полностью усечённый [[треугольный паркет]],  двойственным которому является [[шестиугольный паркет]],  носит имя [[тришестиугольный паркет]].

Примеры
{| class="wikitable"
!Семейство
!Родитель
!Полное усечение
!Двойственный
|-
!{{CDD|node|p|node|q|node}}<BR>[p,q]
!{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
!{{CDD|node|p|node_1|q|node}}
!{{CDD|node|p|node|q|node_1}}
|- align=center
![3,3]
|[[Файл:Uniform polyhedron-33-t0.png|75px]]<BR>[[Тетраэдр]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-33-t1.svg|75px]]<BR>[[Октаэдр]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-33-t2.png|75px]]<BR>[[Тетраэдр]]
|- align=center
![4,3]
|[[Файл:Uniform polyhedron-43-t0.png|75px]]<BR>[[Куб]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-43-t1.svg|75px]]<BR>[[Кубооктаэдр]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-43-t2.png|75px]]<BR>[[Октаэдр]]
|- align=center
![5,3]
|[[Файл:Uniform polyhedron-53-t0.png|75px]]<BR>[[Додекаэдр]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-53-t1.png|75px]]<BR>[[Икосододекаэдр]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-53-t2.png|75px]]<BR>[[Икосаэдр]]
|- align=center
![6,3]
|[[Файл:Uniform tiling 63-t0.svg|75px]]<BR>[[Шестиугольный паркет|Шестиугольная мозаика]]
|[[Файл:Uniform tiling 63-t1.png|75px]]<BR>[[Тришестиугольная мозаика]]
|[[Файл:Uniform tiling 63-t2-red.svg|75px]]<BR>[[Треугольный паркет|Треугольная мозаика]]
|- align=center
![7,3]
|[[Файл:Uniform tiling 73-t0.png|75px]]<BR>[[Семиугольная мозаика|Семиугольная мозаика третьего порядка]]
|[[Файл:Uniform tiling 73-t1.png|75px]]<BR>{{не переведено 5|Трисемиугольная мозаика|||Triheptagonal tiling}}
|[[Файл:Uniform tiling 73-t2.png|75px]]<BR>{{не переведено 5|Треугольная мозаика седьмого порядка|||Order-7 triangular tiling}}
|- align=center
![4,4]
|[[Файл:Uniform tiling 44-t0.svg|75px]]<BR>[[Квадратный паркет| Квадратная мозаика]]
|[[Файл:Uniform tiling 44-t1.png|75px]]<BR>[[ Квадратный паркет| Квадратная мозаика]]
|[[Файл:Uniform tiling 44-t2.png|75px]]<BR>[[ Квадратный паркет| Квадратная мозаика]]
|- align=center
![5,4]
|[[Файл:Uniform tiling 54-t0.png|75px]]<BR>{{не переведено 5|Пятиугольная мозаика четвёртого порядка|||Order-4 pentagonal tiling}}
|[[Файл:Uniform tiling 54-t1.png|75px]]<BR>{{не переведено 5|Квадратно-пятиугольная мозаика|||tetrapentagonal tiling}}
|[[Файл:Uniform tiling 54-t2.png|75px]]<BR>{{не переведено 5|Квадратная мозаика пятого порядка|||Order-5 square tiling}}
|}

=== Для неправильных многогранников ===
Если многогранник не является правильным, середины рёбер, окружающих вершину, могут не лежать в одной плоскости. Однако некая форма полного усечения остаётся возможной и в этом случае — любой многогранник имеет [[полиэдральный граф]], как {{не переведено 5|n-скелет|1-скелет||n-skeleton}} (многогранника), и из этого графа можно образовать [[срединный граф]] путём помещения вершин в середины рёбер исходного графа и соединения двух новых вершин ребром, если они принадлежат последовательным рёбрам вдоль общей грани. Получившийся срединный граф остаётся полиэдральным, так что по [[Теорема Штайница|теореме Штайница]] его можно представить в виде многогранника.

Эквивалент [[Нотация Конвея для многогранников|нотации Конвея]] для полного усечения — это '''ambo''', обозначаемый буквой '''a'''. Применяя дважды '''aa''', (спрямление после спрямления) — это конвеевская операция [[Расширение (геометрия)|'''расширения''']], '''e''', которая является той же операцией, что и операция [[Скашивание (геометрия)|скашивания]] Джонсона, t<sub>0,2</sub> для правильных многогранников и мозаик.

== Для 4-мерных многогранников и 3-мерных мозаик ==

Любой {{не переведено 5|выпуклый правильный 4-мерный многогранник|||Convex_regular_4-polytope}} имеет форму полного усечения, как {{не переведено 5|однородный 4-мерный многогранник|||uniform 4-polytope}}.

Правильный 4-мерный многогранник {p,q,r} имеет ячейки {p,q}. Его полное усечение даст два типа ячеек — полностью усечённые {p,q} многогранники, оставшиеся от исходных ячеек, и {q,r} многогранники как новые ячейки, образованные на местах отсечённых вершин. 

Однако усечение {p,q,r} не совпадает с усечением {r,q,p}. Дальнейшее усечение, называемое {{не переведено 5|Двойное полное усечение|двойным полным усечением||bitruncation (geometry)}}, симметрично относительно 4-мерного многогранника и его двойственного. Смотрите {{не переведено 5|Однородный 4-мерный многогранник|||Uniform_4-polytope}}.

Примеры
{| class="wikitable"
!Семейство
!Родитель
!Полное усечение
!Двойное полное усечение<BR>(Усечение двойственного)
!Тройное полное усечение<BR>(Двойственный)
|-
!{{CDD|node|p|node|q|node|r|node}}<BR>[p,q,r]
!{{CDD|node_1|p|node|q|node|r|node}}
!{{CDD|node|p|node_1|q|node|r|node}}
!{{CDD|node|p|node|q|node_1|r|node}}
!{{CDD|node|p|node|q|node|r|node_1}}
|- align=center
![3,3,3]
|[[Файл:Schlegel wireframe 5-cell.png|120px]]<BR>[[Пятиячейник]] 
|[[Файл:Schlegel half-solid rectified 5-cell.png|120px]]<BR>[[Полностью усечённый пятиячейник]]
|[[Файл:Schlegel half-solid rectified 5-cell.png|120px]]<BR>[[Полностью усечённый пятиячейник]] 
|[[Файл:Schlegel wireframe 5-cell.png|120px]]<BR>[[Пятиячейник]] 
|- align=center
![4,3,3]
|[[Файл:Schlegel wireframe 8-cell.png|150px]]<BR>[[тессеракт]]
|[[Файл:Schlegel half-solid rectified 8-cell.png|150px]]<BR>{{не переведено 5|Полностью усечённый тессеракт|||rectified 5-cell}} 
|[[Файл:Schlegel half-solid rectified 16-cell.png|150px]]<BR>Полностью усечённый шестнадцатиячейник<BR>([[двадцатичетырёхячейник]])
|[[Файл:Schlegel wireframe 16-cell.png|150px]]<BR>[[Шестнадцатиячейник]]
|- align=center
![3,4,3]
|[[Файл:Schlegel wireframe 24-cell.png|150px]]<BR>[[Двадцатичетырёхячейник]]
|[[File:Schlegel half-solid cantellated 16-cell.png|150px]]<BR>{{не переведено 5|Полностью усечённый 24-ячейник|||rectified 24-cell}} 
|[[File:Schlegel half-solid cantellated 16-cell.png|150px]]<BR>{{не переведено 5|Полностью усечённый 24-ячейник|||rectified 24-cell}} 
|[[Файл:Schlegel wireframe 24-cell.png|150px]]<BR>[[Двадцатичетырёхячейник]]
|- align=center
![5,3,3]
|[[Файл:Schlegel wireframe 120-cell.png|150px]]<BR>[[Стодвадцатиячейник]] 
|[[File:Rectified 120-cell schlegel halfsolid.png|150px]]<BR>{{не переведено 5|Полностью усечённый 120-ячейник||| rectified 120-cell}} 
|[[File:Rectified_600-cell_schlegel_halfsolid.png|150px]]<BR>{{не переведено 5|Полностью усечённый 600-ячейник|||rectified 600-cell}} 
|[[Файл:Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png|150px]]<BR>[[Шестисотячейник]]
|- align=center
![4,3,4]
|[[Файл:Partial cubic honeycomb.png|150px]]<BR>[[Кубические соты]]
|[[Файл:Rectified cubic honeycomb.jpg|150px]]<BR>{{не переведено 5|Полностью усечённые кубические соты|||Rectified cubic honeycomb}} 
|[[Файл:Rectified cubic honeycomb.jpg|150px]]<BR>{{не переведено 5|Полностью усечённые кубические соты|||Rectified cubic honeycomb}} 
|[[Файл:Partial cubic honeycomb.png|150px]]<BR>[[Кубические соты]]
|- align=center
![5,3,4]
|[[Файл:Hyperbolic_orthogonal_dodecahedral_honeycomb.png|150px]]<BR>{{не переведено 5|Додекаэдральные соты 4-го порядка|||Order-4 dodecahedral honeycomb}} 
|[[File:Rectified_order_4_dodecahedral_honeycomb.png|150px]]<BR>{{не переведено 5| Полностью усечённые додекаэдральные соты 4-го порядка|||Rectified order-4 dodecahedral honeycomb}}
|[[File:H3 435 CC center 0100.png|150px]]<BR>{{не переведено 5|Полностью усечённые кубические соты 5-го порядка|||Rectified order-5 cubic honeycomb}}
|[[Файл:Hyperb gcubic hc.png|150px]]<BR>{{не переведено 5|Кубические соты 5-го порядка|||Order-5 cubic honeycomb}}
|}

== Степени спрямления ==

Первое полное усечение усекает рёбра до точек. Если многогранник является [[Правильный многогранник|правильным]], эта форма представляется расширенным [[Сивол Шлефли|символом Шлефли]] '''t'''<sub>1</sub>{p,q,...} или '''r'''{p,q,...}.

Второе полное усечение, или '''двойное спрямление''', усекает грани до точек. Если многогранник правильный, двойное полное усечение обозначается '''t'''<sub>2</sub>{p,q,...} или 2'''r'''{p,q,...}. Для 3-мерных многогранников двойное полное усечение даёт  [[двойственный многогранник]].

Более высокие степени полного усечения можно построить для многогранников в пространствах размерности 4 и выше. В общем случае, уровень полного усечения n отсекает  ''n-мерные грани'' до точек.

Если многогранник в n-мерном пространстве полностью усечён до степени (n-1), его фасеты (грани размерности n-1) усекаются до точки и он становится [[двойственный многогранник|двойственным]] исходному.

=== Обозначения и фасеты ===

Существует три различных эквивалентных обозначения для каждой степени полного усечения. Таблицы ниже показывают имена по размерности  и  два типа фасет для каждого.

==== Правильные [[многоугольник]]и ====

Фасеты — это рёбра, представленные как {2}.

{| class="wikitable"
!rowspan=2|название<BR>{p}
!rowspan=2|[[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Диаграмма Коксетера]]
!rowspan=2|t-запись<BR>[[Символ Шлефли]]
!colspan=3|Вертикальный [[символ Шлефли]]
|-
!Название 
!Фасет-1
!Фасет-2
|- align=center
|Родитель
|{{CDD|node_1|p|node}}
|t<sub>0</sub>{p}
| {p}
| {2}
|
|- align=center
|Полностью усечённый
|{{CDD|node|p|node_1}}
|t<sub>1</sub>{p}
| {p}
|
| {2}
|}

==== Правильные 3-мерные [[Однородный многогранник|однородные многогранники]] и  [[Однородная мозаика|мозаики]] ====

Фасеты являются правильными многоугольниками.
{| class="wikitable"
!rowspan=2|Название<BR>{p,q}
!rowspan=2|[[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Диаграмма Коксетера]]
!rowspan=2|t-запись<BR>[[Символ Шлефли]]
!colspan=3|Вертикальный [[символ Шлефли]]
|-
!Название 
!Фасет-1
!Фасет-2
|- align=center
|Родитель
|{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
|t<sub>0</sub>{p,q}
| {p,q}
| {p}
|
|- align=center
|Полностью усечённый
|{{CDD|node|p|node_1|q|node}}
|t<sub>1</sub>{p,q} 
| <math>\begin{Bmatrix} p \\ q  \end{Bmatrix}</math> = r{p,q}
| {p}
| {q}
|- align=center
|Дважды усечённый
|{{CDD|node|p|node|q|node_1}}
|t<sub>2</sub>{p,q}
| {q,p}
|
| {q}
|}

==== Правильные однородные [[Четырёхмерный многогранник|4-мерные многогранники]] и [[Соты (геометрия)|соты]] ====
Фасеты — правильные или полностью усечённые многогранники.
{| class="wikitable"
!rowspan=2|название<BR>{p,q,r}
!rowspan=2|[[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Диаграмма Коксетера]]
!rowspan=2|t-запись<BR>[[Символ Шлефли]]
!colspan=3|Расширенный [[символ Шлефли]]
|-
!Название
!Фасет-1
! Фасет -2
|- align=center
|Родитель
|{{CDD|node_1|p|node|q|node|r|node}}
|t<sub>0</sub>{p,q,r}
| {p,q,r}
| {p,q}
|
|- align=center
|Rectified
|{{CDD|node|p|node_1|q|node|r|node}}
|t<sub>1</sub>{p,q,r}
| <math>\begin{Bmatrix} p \ \ \\ q , r \end{Bmatrix}</math> = r{p,q,r}
| <math>\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math> = r{p,q}
| {q,r}
|- align=center
|Дважды полностью усечённый<BR>(Полностью усечённый двойственный)
|{{CDD|node|p|node|q|node_1|r|node}}
|t<sub>2</sub>{p,q,r}
| <math>\begin{Bmatrix} q , p \\ r \ \ \end{Bmatrix}</math> = r{r,q,p}
| {q,r}
|<math>\begin{Bmatrix} q \\ r \end{Bmatrix}</math> = r{q,r}
|- align=center
|Трихды полностью усечённый<BR>(Двойственный)
|{{CDD|node|p|node|q|node|r|node_1}}
|t<sub>3</sub>{p,q,r}
| {r,q,p}
|
| {r,q}
|}

==== Правильные [[Пятимерный многогранник|многогранники в 5-мерном пространстве]] и 4-мерные [[Соты (геометрия)|соты]] ====
Фасеты являются правильными или полностью усечёнными четырёхмерными многогранниками.
{| class="wikitable"
!rowspan=2|Название<BR>{p,q,r,s}
!rowspan=2|[[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Диаграмма Коксетера]]
!rowspan=2|t-запись<BR>[[Символ Шлефли|символа Шлефли]]
!colspan=3|Расширенный [[символ Шлефли]]
|-
!Название
!Фасет-1
!Фасет -2
|- align=center 
|Родитель
|{{CDD|node_1|p|node|q|node|r|node|s|node}}
|t<sub>0</sub>{p,q,r,s}
| {p,q,r,s}
| {p,q,r}
|
|- align=center 
|Полностью усечённый
|{{CDD|node|p|node_1|q|node|r|node|s|node}}
|t<sub>1</sub>{p,q,r,s}
| <math>\begin{Bmatrix} p \ \ \ \ \ \\ q , r , s \end{Bmatrix}</math> = r{p,q,r,s}
|<math>\begin{Bmatrix} p \ \ \\ q , r \end{Bmatrix}</math> = r{p,q,r}
|{q,r,s}
|- align=center 
|Дважды полностью усечённый <BR>(Дважды полностью усечённый двойственный)
|{{CDD|node|p|node|q|node_1|r|node|s|node}}
|t<sub>2</sub>{p,q,r,s}
| <math>\begin{Bmatrix} q , p \\ r , s \end{Bmatrix}</math> = 2r{p,q,r,s}
|<math>\begin{Bmatrix} q , p \\  r \ \ \end{Bmatrix}</math> = r{r,q,p}
|<math>\begin{Bmatrix} q \ \ \\ r , s \end{Bmatrix}</math>  = r{q,r,s}
|- align=center 
|Трижды полностью усечённый <BR>(Полностью усечённый двойственный)
|{{CDD|node|p|node|q|node|r|node_1|s|node}}
|t<sub>3</sub>{p,q,r,s}
| <math>\begin{Bmatrix} r , q , p \\ s \ \ \ \ \ \end{Bmatrix}</math> = r{s,r,q,p}
|{r,q,p}
|<math>\begin{Bmatrix} r , q \\ s \ \ \end{Bmatrix}</math> = r{s,r,q}
|- align=center 
|Четырежды полностью усечённый<BR>(двойственный)
|{{CDD|node|p|node|q|node|r|node|s|node_1}}
|t<sub>4</sub>{p,q,r,s}
| {s,r,q,p}
|
| {s,r,q}
|}

==См. также==
* [[Двойственный многогранник]]
* [[Квазиправильный многогранник]]
* [[Список правильных многогранников]]
* [[Усечение (геометрия)]]
* [[Нотация Конвея для многогранников]]

== Примечания ==
{{reflist}}

==Литература==
{{refbegin}}
* {{книга
|автор=[[Коксетер, Гарольд|H.S.M. Coxeter]]
|заглавие ={{не переведено 5|Regular Polytopes|Regular Polytopes||Regular Polytopes (book)}}
|ссылка=https://archive.org/details/regularpolytopes0000coxe_q0b5
|издательство=Dover Publications Inc.
|ISBN=0-486-61480-8
|место=New York
|год=1973
|издание=3rd edition
|ref=Coxeter
}} (стр.145-154 Глава 8: Truncation)
* {{книга
|автор=[[Джонсон, Норман|N.W. Johnson]]
|заглавие=Uniform Polytopes
|издательство=Рукопись
|год=1991
}}
** {{книга
|автор=[[Джонсон, Норман|N.W. Johnson]] 
|заглавие=The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs
|издательство=Ph.D. Dissertation
|место=University of Toronto
|год=1966
}}
*{{книга
|заглавие=The Symmetries of Things
|год=2008
|автор=[[Конвей, Джон Хортон|John H. Conway]], Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass
|ISBN=978-1-56881-220-5
|место=New-York
|издательство=A K Peters/CRC Press,
|ref=Conway
}} (Chapter 26)
{{refend}}

== Ссылки ==
* {{не переведено 5|Ольшевски, Джордж|Джордж Ольшевски||George Olshevsky}} [https://web.archive.org/web/20070204075028/http://members.aol.com/Polycell/glossary.html#Rectification Rectification] на Glossary for Hyperspace.

{{Операции над многогранниками}}
[[Категория:Многогранники]]
[[Категория:Усечённые мозаики]]

{{rq|checktranslate|style}}