Просмотр кода страницы Правильные многомерные многогранники

'''Правильный ''n''-мерный многогранник''' — [[многогранник]]и [[Размерность пространства|''n''-мерного]] [[Евклидово пространство|евклидова пространства]], которые являются наиболее симметричными в некотором смысле.
Правильные трёхмерные многогранники называются также [[Платоново тело|платоновыми телами]].

== История ==
Классификация правильных многомерных многогранников была получена [[Шлефли, Людвиг|Людвигом Шлефли]].<ref>Schläfli, L. (1901). "Theorie der vielfachen Kontinuität". Denkschriften der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft. 38: 1–237.</ref>

== Определение ==

Флагом ''n''-мерного многогранника <math>P</math> называется набор его граней <math>F=(F_0,F_1,\dots,F_{n-1})</math>, где <math>F_i</math> есть <math>i</math>-мерная грань многогранника Р, причем <math>F_i \subseteq F_{n-1}</math> для <math>i= 1, 2,\dots,n-1</math>.

Правильный ''n''-мерный многогранник — это [[Выпуклое множество|выпуклый]] ''n''-мерный многогранник <math>P</math>, у которого для любых двух его флагов <math>F</math> и <math>F'</math> найдётся движение <math>P</math>, переводящее <math>F</math> в <math>F'</math>.

== Классификация ==

=== Размерность 4 ===
Существует 6 правильных четырёхмерных многогранников (многоячейников):

{| class="wikitable"
!Название
!Изображение<br>([[диаграмма Шлегеля]])
![[Символ Шлефли|Символ<br>Шлефли]]
!Ячейка
!Число<br>ячеек
!Число<br>граней
!Число<br>рёбер
!Число<br>вершин
|- align="center"
|[[Пятиячейник]]
|[[Файл:Schlegel wireframe 5-cell.png|120px]]
|{3,3,3}
|[[правильный тетраэдр|правильный<br>тетраэдр]]
|5
|10
|10
|5
|- align="center"
|[[Тессеракт]]
|[[Файл:Schlegel wireframe 8-cell.png|120px]]
|{4,3,3}
|[[куб]]
|8
|24
|32
|16
|- align="center"
|[[Шестнадцатиячейник]]
|[[Файл:Schlegel wireframe 16-cell.png|120px]]
|{3,3,4}
|[[правильный тетраэдр|правильный<br>тетраэдр]]
|16
|32
|24
|8
|- align="center"
|[[Двадцатичетырёхячейник]]
|[[Файл:Schlegel wireframe 24-cell.png|120px]]
|{3,4,3}
|[[октаэдр]]
|24
|96
|96
|24
|- align="center"
|[[Стодвадцатиячейник]]
|[[Файл:Schlegel wireframe 120-cell.png|120px]]
|{5,3,3}
|[[додекаэдр]]
|120
|720
|1200
|600
|- align="center"
|[[Шестисотячейник]]
|[[Файл:Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png|120px]]
|{3,3,5}
|[[правильный тетраэдр|правильный<br>тетраэдр]]
|600
|1200
|720
|120
|}

=== Размерности 5 и выше ===
В каждой из более высоких размерностей существует по 3 правильных многогранника ([[политоп]]а):

{| class="wikitable"
!Название
![[Символ Шлефли]]
|- align="center"
|''n''-мерный<br>[[Симплекс|правильный симплекс]]
|{3;3;...;3;3}
|- align="center"
|''n''-мерный<br>[[гиперкуб]]
|{4;3;...;3;3}
|- align="center"
|''n''-мерный<br>[[гипероктаэдр]]
|{3;3;...;3;4}
|}

== Геометрические свойства ==

=== Углы ===
Двугранный угол между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника, заданного своим [[символ Шлефли|символом Шлефли]] <math> \{p_1, p_2, p_3, \dots, p_{N-3}, p_{N-2}, p_{N-1}\} </math>, определяется по формуле<ref>{{Книга|автор = Sommerville D.M.Y|заглавие = An Introduction to the Geometry of n Dimensions|ответственный = |издание = |место = London|издательство = |год = 1929|страницы = 189|страниц = 196|isbn = |ссылка = https://archive.org/stream/IntroductionToTheGeometryOfNDimensions/Sommerville-IntroductionToTheGeometryOfNDimensions#page/n203/mode/1up}}</ref><ref>{{Книга|автор = Coxeter H.S.M|заглавие = Regular Polytoopes|ответственный = |издание = |место = London|издательство = |год = 1948|страницы = 134|страниц = 321|isbn = |ссылка = https://books.google.ru/books?id=2ee7AQAAQBAJ&lpg=PP1&hl=ru&pg=PA134|archive-date = 2016-05-05|archive-url = https://web.archive.org/web/20160505145842/https://books.google.ru/books?id=2ee7AQAAQBAJ&lpg=PP1&hl=ru&pg=PA134#v=onepage&q&f=true}}</ref><ref>{{Книга|автор = Розенфельд Б.А.|заглавие = Многомерные пространства|ответственный = |издание = |место = |издательство = Наука|год = 1966|страницы = 193|страниц = |isbn = |ссылка = http://padaread.com/?book=37174&pg=193}}</ref>:

: <math> \sin^2\beta=\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_{n-1}}}{1-\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_{n-2}}}{1-\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_{n-3}}}{\frac{\ddots}{1-\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_3}}{1-\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_2}}{1-\cos^2\frac{\pi}{p_1}}}}}}} </math>

где <math>\beta</math> — половина угла между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника

=== Радиусы, объёмы ===
Радиус вписанной N-мерной сферы:
: <math>r_N=r_{N-1} \operatorname{tg} {\beta},</math>
где <math>r_{N-1}</math> — радиус вписанной (N-1)-мерной сферы грани.

Объём N-мерного многогранника:
: <math>V_N=\frac{1}{N}V_{N-1}A_{N-1}r_N,</math>
где <math>V_{N-1}</math> — объём (N-1)-мерной грани, <math>A_{N-1}</math> — количество (N-1)-мерных граней.

=== Замощения ===

==== В размерности ''n'' = 4 ====
* {{не переведено|Тессерактовые соты||en|Tesseractic honeycomb}}
* {{не переведено|Шестнадцатиячейниковые соты||en|16-cell honeycomb}} 
* {{не переведено|Двадцатичетырёхячейниковые соты||en|24-cell honeycomb}}

==== В размерности ''n'' ≥ 5 ====
* [[Гиперкубические соты]]

== См. также ==
* [[Платоново тело]]
* [[Список правильных многогранников и соединений]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* [https://www.youtube.com/watch?v=vYkNFGZUZew&NR=1 Наглядный пример на YouTube]
* {{cite web
 |url         = http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/platonic4d/
 |title       = Regular Polytopes (Platonic solids) in 4D
 |date        = 2003
 |accessdate  = 2011-01-30
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/67PoytDYX?url=http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/platonic4d/
 |archivedate = 2012-05-04
 |deadlink    = yes
}}

* {{книга
 |автор         = Е. Ю. Смирнов
 |заглавие      = Группы отражений и правильные многогранники
 |ответственный = 
 |место         = М.
 |издательство  = МЦНМО
 |год           = 2009
 |страниц       = 48
 |isbn          = 978-5-94057-525-2
 |ссылка        = http://www.mccme.ru/free-books/dubna/smirnov-reflections.pdf
}}

* {{статья |автор=Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман |заглавие=Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны |издание=Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления |год=1988 |том=29 |страницы=147–259 |ссылка=http://mi.mathnet.ru/intf110}}

{{Многогранники}}
{{Основные выпуклые правильные и однородные политопы в размерностях 2-10}}
{{rq|sources|topic=math}}

[[Категория:Многогранники]]
[[Категория:Многомерная евклидова геометрия]]