Просмотр кода страницы Правильный додекаэдр

{{см. также|Двенадцатигранники}}
{{Многогранник
| название = Правильный додекаэдр
| изображение = Dodecahedron.svg
| ширина = 
| подпись = 
| вращающаяся модель = Dodecahedron.gif
| 3D-модель = Dodecahedron.stl
| тип = [[правильный многогранник]]
| свойства = [[Выпуклый многогранник|выпуклый]]
| число граней = 12
| число рёбер = 30
| число вершин = 20
| эйлерова характеристика = 
| грани = [[Правильный пятиугольник|правильные пятиугольники]]
| конфигурация вершины = 5<sup>3</sup>
| вершинная фигура = Dodecahedron vertfig.png
| развёртка = Dodecahedron flat.svg
| двойственный многогранник = [[правильный икосаэдр]]
| обозначения = U<sub>23</sub>, C<sub>26</sub>, W<sub>5</sub>
| символ Шлефли = {5,3}
| символ Визоффа = 3 {{!}} 2 5
| диаграмма Дынкина = {{CDD|node_1|5|node|3|node}}
| группа симметрии = I<sub>h</sub>, H<sub>3</sub>, [5,3], (*532)
| группа вращения = I, [5,3]<sup>+</sup>, (532)
| длина ребра = <math>a</math>
| площадь поверхности = <math>3\sqrt{25+10\sqrt5}a^2</math>
| объём = <math>\tfrac{15+7\sqrt5}4a^3</math>
| двугранный угол = <math>\arccos(-1/5^{1/2}) \approx 116.565</math>
| телесный угол = <math>\pi - \tan^{-1}\left(\frac{2}{11}\right) \quad \approx 2.96</math>
}}
'''Пра́вильный додека́эдр''' ({{lang-grc|δωδεκάεδρον}}, от {{lang-grc2|δώδεκα}} — «двенадцать» и {{lang-grc2|ἕδρα}} — «грань») — один из пяти возможных [[Правильный многогранник|правильных многогранников]]. Додекаэдр составлен из двенадцати [[правильный пятиугольник|правильных пятиугольников]]<ref>{{ВТ-ЭСБЕ|Тело геометрическое|[[Селиванов, Дмитрий Фёдорович|Селиванов Д. Ф.]],}}</ref>, являющихся его гранями. Каждая [[Многоугольник|вершина]] додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра).

[[Файл:Вписанный правильный додекаэдр.gif|thumb|right|300px|Додекаэдр и его описанная [[сфера]]]]

== История ==
Пожалуй, самый древний предмет в форме додекаэдра был найден в северной [[Италия|Италии]], около [[Падуя|Падуи]], в конце XIX века, он датируется 500 г. до н. э. и предположительно использовался [[этруски|этрусками]] в качестве [[Игральная кость|игральной кости]]<ref>{{статья |заглавие=Intorno un dodecaedro quasi regolare di pietra a facce pentagonali scolpite con cifre, scoperto nelle antichissime capanne di pietra del Monte Loffa |издание=Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti |страницы=1437—1459 |ссылка=https://archive.org/stream/attidelrealeisti6410real#page/1436/mode/2up |язык=it |тип=diario |автор=Stefano De' Stefani |год=1885-86}} См. также изображение этого предмета в конце тома, [https://archive.org/stream/attidelrealeisti6410real#page/n709/mode/2up стр. 709 файла со сканом]</ref><ref>{{статья |автор = Amelia Carolina Sparavigna |заглавие = An Etruscan Dodecahedron|arxiv = 1205.0706}}</ref>.

Додекаэдр рассматривали в своих сочинениях [[Древняя Греция|древнегреческие]] учёные. [[Платон]] сопоставлял с правильными многогранниками различные [[Стихия (алхимия)|классические стихии]]. О додекаэдре Платон писал, что «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца»<ref>[[Платон]]. «[[Тимей]]»</ref>. [[Евклид]] в предложении 17 книги XIII «[[Начала Евклида|Начал]]» строит додекаэдр на рёбрах куба<ref>{{cite web|url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXIII/propXIII17.html|title=Euclid's Elements. Book XIII.  Proposition 17|access-date=2014-06-01|archive-date=2014-05-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20140519173745/http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXIII/propXIII17.html|deadlink=no}}</ref><ref name="Euclid">{{книга|заглавие=Начала Евклида. Книги XI—XV|место=М.—Л.|издательство=Государственное издательство технико-теоретической литературы|год=1950|ссылка=http://www.math.ru/lib/i/395/index.djvu|archive-date=2014-06-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20140605053148/http://www.math.ru/lib/i/395/index.djvu}} — Помимо перевода на [[русский язык]] сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.</ref>{{rp|132-136}}. [[Папп Александрийский]] в «Математическом собрании» занимается построением додекаэдра, вписанного в данную сферу, попутно доказывая, что вершины додекаэдра лежат в [[Параллельность плоскостей|параллельных плоскостях]]<ref>Оригинальный текст на [[древнегреческий язык|древнегреческом языке]] с параллельным переводом на [[латинский язык]]: {{книга |заглавие=Pappi Alexandrini Collectionis |том=I |часть=Liber III. Propos. 58 |страницы=156—163 |год=1876 |ссылка=https://archive.org/stream/pappialexandrin03pappgoog#page/n189/mode/2up}}</ref><ref name="Euclid"/>{{rp|318-319}}<ref>{{книга |заглавие=A Mathematical History of the Golden Number |год=2013 |издательство=[[Dover Publications|Courier Dover Publications]] |страницы=117—118 |ссылка=https://books.google.com/books?id=aYjXZJwLARQC&pg=PA117 |язык=en |автор=Roger Herz-Fischler}}</ref>.

На территории нескольких европейских стран найдено множество предметов, называемых [[римский додекаэдр|римскими додекаэдрами]], относящихся ко II—III вв. н. э., назначение которых не совсем понятно.

Вскоре после появления [[Кубик Рубика|кубика Рубика]], в 1981 году была запатентована подобная головоломка в форме правильного додекаэдра — [[мегаминкс]]. Как и у классического кубика Рубика, к каждому ребру у неё прилегает по три детали<ref>{{статья|автор=Хорт В.|заглавие=Отчаянные головоломки. Мегаминкс — каверзный додекаэдр|издание=[[Наука и жизнь]]|номер=1|год=2018|страницы=104—109}} В этой статье, помимо прочего, приведён алгоритм сборки мегаминкса.</ref>. Позднее, как и для кубика Рубика появились такие додекаэдрические головоломки с четырьмя деталями при ребре (гигаминкс), пятью (тераминкс) и т. д. Сложность и время сборки их, как и для кубика Рубика возрастает по мере увеличения числа деталей при ребре.

== Основные формулы ==
Если за длину ребра принять <math>a</math>, то площадь поверхности додекаэдра равна

: <math>S = 3a^2\sqrt{5(5 + 2\sqrt{5})} \approx 20{,}65 a^2.</math>

Объём додекаэдра

: <math>V = \frac{a^3}{4}(15 + 7\sqrt{5}) \approx 7{,}66 a^3.</math>

Радиус описанной сферы<ref name="Dok">Доказательство приведено в: {{cite web |url = http://www.treenshop.com/Treenshop/ArticlesPages/FiguresOfInterest_Article/The%20Dodecahedron.htm |title = The Dodecahedron |author = Cobb, John W. |lang = en |date = 2005—2007 |accessdate = 2014-06-01 |archive-date = 2016-03-04 |archive-url = https://web.archive.org/web/20160304235505/http://www.treenshop.com/Treenshop/ArticlesPages/FiguresOfInterest_Article/The%20Dodecahedron.htm |deadlink = no }}</ref>

: <math>R = \frac{a}{4}(1 + \sqrt{5})\sqrt{3} \approx 1{,}4012 a.</math>

Радиус [[Полувписанная сфера|полувписанной сферы]] равен <math>\frac{3+\sqrt5}{4}a\approx 1{,}309a.</math><ref name="Dok" />

Радиус вписанной сферы<ref name="Dok" />

: <math>r = \frac{a}{4}\sqrt{10 + \frac{22}{\sqrt{5}}} \approx 1{,}1135 a.</math>

== Свойства ==
* Все двадцать вершин додекаэдра лежат по пять в четырёх [[Параллельность плоскостей|параллельных плоскостях]], образуя в каждой из них правильный пятиугольник.
* [[Двугранный угол]] между любыми двумя смежными гранями додекаэдра равен arccos(−1/√5) ≈ 116,565°<ref name="Dok"/>.
* Сумма плоских [[угол|углов]] при каждой из 20 вершин равна 324°, [[Трёхгранный угол|телесный (трёхгранный) угол]] равен arccos(−11/5√5) ≈ 2,9617 [[стерадиан]]а.
* В додекаэдр можно вписать [[куб]] так, что стороны куба будут диагоналями додекаэдра.
* Додекаэдр имеет три [[звёздчатый многогранник|звёздчатые формы]].
* В додекаэдр можно вписать пять кубов. Если заменить пятиугольные грани додекаэдра плоскими пятиугольными звездами так, что исчезнут все рёбра додекаэдра, то получим пространство пяти пересекающихся кубов. Додекаэдр как таковой исчезнет. Вместо замкнутого многогранника появится открытая геометрическая система пяти ортогональностей. Или симметричное пересечение пяти трёхмерных пространств.
* Ближайшая параллельная к произвольно выбранной грани плоскость, в которой лежат пять вершин, не принадлежащих выбранной грани, отстоит от этой грани на расстояние радиуса описанной вокруг данной грани окружности. А радиус описанной вокруг этих пяти вершин окружности равен диаметру вписанной в любую из граней окружности. Эти две величины равны, соответственно, <math>\sqrt\frac{{5 + \sqrt{5}}}{10} a</math> и <math>\frac{\sqrt{5} + 1}{2} \cdot \sqrt\frac{{5 + \sqrt{5}}}{10} a</math>, где <math>a</math> — длина ребра додекаэдра.

== Элементы симметрии додекаэдра ==
* Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии. Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных рёбер.
* Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.
* Группа вращений додекаэдра обозначается <math>I</math> и изоморфна <math>A_5</math>([[знакопеременная группа]] степени 5), а полная группа симметрий <math>I_h </math> изоморфна <math>A_5 \times Z_2 </math>.

== Связь со сферическим замощением ==
Правильный додэкаэдр также индуцирует [[Сферический многогранник|замощение сферы]] правильными пятиугольниками.

{|class=wikitable
|- align=center
|[[Файл:Uniform tiling 532-t0.png|160px]]
|[[Файл:Dodecahedron stereographic projection.svg|160px]]
|-
![[Ортографическая проекция]]
![[Стереографическая проекция]]
|}

== Интересные факты ==
* В [[1887 год в науке|1887 году]] [[Геккель, Эрнст Генрих|Эрнст Геккель]] описал [[радиолярии|радиолярию]] [[Circorrhegma dodecahedra]], имеющую форму, близкую к додекаэдру<ref>http://www.biodiversitylibrary.org/page/10685137#page/111/mode/1up таблице XVII] {{Wayback|url=http://www.biodiversitylibrary.org/page/10685137#page/111/mode/1up |date=20140607114952 }} четвёртого тома его монографии о радиоляриях она обозначена номером 2</ref>.
* в [[1982 год в науке|1982 году]] был синтезирован [[додекаэдран]], химическое соединение (C<sub>20</sub>H<sub>20</sub>) в форме додекаэдра.
* В [[2003 год в науке|2003 году]] при анализе данных космического аппарата [[WMAP]], была выдвинута гипотеза, что Вселенная представляет собой [[Сфера Пуанкаре|додекаэдрическое пространство Пуанкаре]]<ref>{{cite web|url=http://arxiv.org/abs/0801.0006|title=The optimal phase of the generalised Poincare dodecahedral space hypothesis implied by the spatial cross-correlation function of the WMAP sky maps|lang=en|access-date=2012-10-31|archive-date=2013-12-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20131207052804/http://arxiv.org/abs/0801.0006|deadlink=no}}</ref><ref>{{cite web|url=http://arxiv.org/abs/astro-ph/0310253|title=Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background|lang=en|access-date=2012-10-31|archive-date=2013-12-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20131207053937/http://arxiv.org/abs/astro-ph/0310253|deadlink=no}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.ams.org/notices/200406/fea-weeks.pdf|title=The Poincare Dodecahedral Space and the Mystery of the Missing Fluctuations|author=Jeffrey Weeks|lang=en|archiveurl=https://www.webcitation.org/6BvSOr6OK?url=http://www.ams.org/notices/200406/fea-weeks.pdf|archivedate=2012-11-04}}</ref>.

== В культуре ==
* Додекаэдр применяется как генератор случайных чисел (вместе с другими [[Игральная кость|костями]]) в [[Настольная ролевая игра|настольных ролевых играх]]<ref name="white" />, и обозначается при этом d12 (dice — кости).
* Изготавливаются настольные календари в форме додекаэдра из бумаги, где каждый из двенадцати месяцев расположен на одной из граней<ref name="white">{{книга
 |автор = A. T. White
 |заглавие = Graphs of Groups on Surfaces: Interactions and Models
 |издательство = [[Elsevier]]
 |год = 2001
 |isbn = 0-080-50758-1, 978-0-080-50758-3
 |allpages = 378
 |pages = 45
 |ссылка = https://books.google.com/books?id=gs9XM1QrOL0C&pg=PA45
}}</ref>.
* {{нет АИ 2|В игре [[Пентакор: владыки граней|Пентакор]] мир представлен в виде этой геометрической фигуры|5|02|2016}}.
* {{нет АИ 2|В играх «Sonic the Hedgehog 3» и «Sonic & Knuckles» серии [[Sonic the Hedgehog (серия игр)|Sonic the Hedgehog]] вид додекаэдра имеют Изумруды Хаоса|5|02|2016}}.
* {{нет АИ 2|В игре «Destiny» форму додекаэдра имеют энграммы|5|02|2016}}.
* {{Нет АИ 2|В игре «Overwatch» персонаж Сигма при основной атаке выпускает по 2 додекаэдра|07|04|2020}}.
* Пульт управления системой освещения Nanoleaf Smart Remote Control<ref>{{Cite web|lang=en-US|url=https://nanoleaf.me/en-US/products/nanoleaf-remote/|title=Products » Nanoleaf Remote {{!}} USA » Consumer IoT & LED Smart Lighting Products|website=Nanoleaf {{!}} USA|access-date=2021-11-25|archive-date=2021-11-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20211125121418/https://nanoleaf.me/en-US/products/nanoleaf-remote/|deadlink=no}}</ref>.

== См. также ==
* [[Пентагондодекаэдр]] — неправильный додекаэдр
* [[Ромбододекаэдр]]
* [[Ромбоикосододекаэдр]]
* [[Двенадцатигранники]]
* [[Мегаминкс]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
{{commonscat-inline|Dodecahedra}}
{{Звёздчатые формы додекаэдра}}{{Многогранники|nocat=1}}
{{Символ Шлефли}}
{{ВС}}
[[Категория:Правильные многогранники]]
[[Категория:Планарные графы]]
[[Категория:Многогранники Голдберга]]