Просмотр кода страницы Праймориальное простое

{{Falseredirect|Евклидово число}}__NOTOC__
В [[Теория чисел|теории чисел]] '''праймориальным простым''' числом называется [[простое число]] вида ''p<sub>n</sub>''# ± 1, где ''p<sub>n</sub>''# — [[праймориал]] ''p<sub>n</sub>'' (то есть произведение первых ''n'' простых чисел).

: ''p<sub>n</sub>''# − 1 является простым для ''n'' = 2, 3, 5, 6, 13, 24, … {{OEIS|id=A057704}}
: ''p<sub>n</sub>''# + 1 является простым для ''n'' = 1, 2, 3, 4, 5, 11, … {{OEIS|id=A014545}}

Несколько первых праймориальных простых:
: [[3 (число)|3]], [[5 (число)|5]], [[7 (число)|7]], [[29 (число)|29]], [[31 (число)|31]], [[211 (число)|211]], 2309, 2311, {{num|30029}}, {{num|200560490131}}, {{num|304250263527209}}, … {{OEIS|id=A228486}}. 

Максимальным известным праймориальным простым числом вида "pn# − 1" является число 3267113# - 1  с 1418398 знаками, оно было найдено в проекте [[PrimeGrid]] в 2021 году<ref>{{Cite web |url=http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=9811#152541 |title=PRS Prime Find!<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2023-06-28 |archive-date=2023-06-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230609054443/https://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=9811#152541 |deadlink=no }}</ref>. 

Максимальным известным праймориальным простым числом вида "pn# + 1" является число 392113# + 1 с 169966 знаками, оно было найдено Даниэлем Хойером в 2001 году<ref>{{Cite web |url=https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=5 |title=The Top Twenty: Primorial<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2021-03-22 |archive-date=2021-02-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210225134339/https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=5 |deadlink=no }}</ref>.

===  Числа Евклида ===
Числа вида ''p<sub>n</sub>''# + 1 (не обязательно простые) называются числами Евклида.

Несколько первых [[Евклидово число|чисел Евклида]]:
: [[3 (число)|3]], [[7 (число)|7]], [[31 (число)|31]], [[211 (число)|211]], 2311, {{num|30031}}, {{num|510511}}, … {{OEIS|id=A006862}}.

Широко распространено мнение, что идея праймориальных простых принадлежит [[Евклид]]у и появилась в [[Теорема Евклида|его доказательстве]] бесконечности числа простых чисел:
Предположим, что существует только ''n'' простых чисел, тогда число ''p<sub>n</sub>''# + 1 взаимно просто с ними, а значит либо оно является простым, либо существует ещё одно простое число.
{{unsolved|математики|Бесконечно ли количество простых чисел Евклида?}}
[[Открытые проблемы в теории чисел|Открытой проблемой]] остаётся, конечно или бесконечно количество праймориальных простых чисел (и, в частности, простых чисел Евклида).

Число Евклида ''E''<sub>''6''</sub> = 13# + 1 = 30031 = 59 x 509 составное, что демонстрирует, что не все числа Евклида — простые.

Числа Евклида не могут быть [[Квадратное число|квадратными]], поскольку они всегда сравнимы с 3 mod 4.

Для всех ''n'' ≥ 3 последний знак ''E''<sub>''n''</sub> равен 1, поскольку ''E''<sub>''n''</sub> − 1 делится на 2 и 5.

== См. также ==
* [[Праймориал]]
* [[Факториальное простое число]]
* [[PrimeGrid]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* A. Borning, «Some Results for <math>k! + 1</math> and <math>2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot p + 1</math>» ''Math. Comput.'' '''26''' (1972): 567—570.
* Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=5 ''The Top Twenty: Primorial''] {{Wayback|url=http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=5 |date=20210506094747 }} at The [[Prime Pages]].
* {{MathWorld|title=Primorial Prime|urlname=PrimorialPrime}}
* Harvey Dubner, «Factorial and Primorial Primes.» ''J. Rec. Math.'' '''19''' (1987): 197—203.
* Paulo Ribenboim, ''The New Book of Prime Number Records''. New York: Springer-Verlag (1989): 4.

[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Классы простых чисел]]

{{rq|checktranslate}}