Просмотр кода страницы Приближение Фоккера — Планка

'''Фо́ккера-Пла́нка приближе́ние''' — описание [[физическая кинетика|физической кинетики]] частиц в [[газ]]е в случае, когда распределение частиц по скоростям имеет почти [[изотропия|изотропный]] характер. В основном применяется для описания [[электрон]]ов в газах при воздействии [[электрическое поле|электрического поля]].

== Приближение Фоккера-Планка ==
Уравнение Фоккера-Планка можно получить из кинетического [[Больцмана уравнение|уравнения Больцмана]]. Необходимо предположить, что в задаче имеется выделенное направление и, как следствие, [[осевая симметрия]]. В пространстве скоростей вводятся [[сферические координаты]] |'''V'''|, ''θ'', ''φ''. Благодаря осевой симметрии, функция распределения по координатам и скоростям не зависит от ''φ'' и имеет вид: ''f''('''r''', |'''V'''|, ''θ'', ''t''). При данном значении '''r''', |'''V'''| и ''t'' функция ''f'' зависит только от угла ''θ'' и может быть разложена в [[Сумма ряда|ряд]] по [[многочлен Лежандра|полиномам Лежандра]]:

: <math> f \left(  \vec r,|\vec V|,\theta,t  \right) 
  = \sum^{\infty}_{i=0} {
        P _{i} \left( \cos \theta \right) 
        f_{i} \left(  \vec r,|\vec V|,t \right)  
    }. 
</math>

Далее, предполагается, что распределение по направлениям скоростей почти изотропно. Это позволяет отбросить все слагаемые ряда, кроме первых двух. Таким образом, решение (функция распределения по координатам и скоростям ищется в виде:

: <math> f \left(  \vec r,|\vec V|,\theta,t  \right) 
  = f_{0} \left(  \vec r,|\vec V|,t \right) +
    f_{1} \left(  \vec r,|\vec V|,t \right) \cos \theta. 
 </math>

Неизвестными здесь являются [[скаляр]]ные функции ''f''<sub>0</sub>('''r''', |'''V'''|, ''t'') и ''f''<sub>1</sub>('''r''', |'''V'''|, ''t''). В более общем случае выделенное направление может быть заведомо неизвестно. Если есть основания утверждать, что распределение частиц по скоростям почти изотропно, решение ищется в виде:

: <math> f \left(  \vec r,\vec V,t \right) 
  = f_{0} \left(  \vec r,|\vec V|,t \right) +
    \vec f_{1} \left(  \vec r,|\vec V|,t \right) \cdot \vec n_{\vec V}.
</math>

Здесь '''n<sub>''V''</sub>''' — единичный вектор в трехмерном пространстве скоростей, а неизвестная функция '''f'''<sub>1</sub>('''r''', |'''V'''|, ''t'') является уже не скаляром, а вектором.

При этом анизотропная поправка должна быть много меньше первого члена ряда:

: <math> f_{0} \left(  \vec r,|\vec V|,t \right) \gg \left| \vec f_{1} \left(  \vec r,|\vec V|,t \right) \right|.</math>

Таким образом, мы переходим от задачи в пространстве 7 измерений (''r<sub>x</sub>'', ''r<sub>y</sub>'', ''r<sub>z</sub>'', ''V<sub>x</sub>'', ''V<sub>y</sub>'', ''V<sub>z</sub>'', ''t'') к задаче в пространстве 5 [[размерность пространства|измерений]] (''r<sub>x</sub>'', ''r<sub>y</sub>'', ''r<sub>z</sub>'', |'''V'''|, ''t'').

Необходимо потребовать, чтобы характерное время изменения электрического поля было много меньше времени установления функции распределения электронов, то есть времени, характерного для [[неупругое столкновение|неупругих микропроцессов]].

Также необходимо, чтобы рассматриваемые частицы были гораздо легче частиц, составляющих в основном газ. Это требуется для упрощенного учета [[упругое столкновение|упругих столкновений]], о котором будет сказано ниже. Из-за этого требования уравнение применяется в основном к электронам в [[атом]]ных или [[молекула|молекулярных]] газах.

Помимо снижения размерности пространства, о котором было сказано выше, уравнение Фоккера-Планка удобнее для расчета, чем уравнение Больцмана, поскольку является линейным [[дифференциальное уравнение в частных производных|дифференциальным уравнением в частных производных]], тогда как уравнение Больцмана является [[интегро-дифференциальное уравнение|интегро-дифференциальным уравнением]].

== Формулировка уравнения Фоккера-Планка ==
Подставляя выражение для функции распределения в [[Больцмана уравнение|уравнение Больцмана]], можно получить пару уравнений:

: <math> 
  \left\{ \begin{matrix}

  V \frac {\partial f_{0}}{\partial t} -
  \nabla \cdot \left[
      \chi \left( \nabla f_{0} +
      \nabla \varphi \frac{\partial f_{0}}{\partial E}
    \right)  
  \right] - 
  \frac{\partial}{\partial E} \left[
      \chi \nabla \varphi \cdot \left( \nabla f_{0} +
      \nabla \varphi \frac{\partial f_{0}}{\partial E}
    \right)  
  \right] =
  VS

  \\

  \vec f_{1} = 
  - \frac{V}{\nu} \nabla f_{0} -
  \left( \nabla \varphi \right) \frac{V}{\nu} 
  \frac{\partial f_{0}}{\partial E}

  \end{matrix} \right.
</math>

В уравнениях учтено наличие [[электростатика|электростатического]] [[электростатический потенциа́л|потенциала]] ''φ''. Как видно, уравнения сформулированы так, что решать необходимо лишь уравнение для ''f''<sub>0</sub>, а функция '''f'''<sub>1</sub> восстанавливается по ней.

В системе уравнений, записанной выше, подразумевается, что функции ''f''<sub>0</sub> и '''f'''<sub>1</sub> зависят не от [[модуль вектора|модуля скорости]] |'''V'''|, а от [[кинетическая энергия|кинетической энергии]], деленной на [[электрический заряд]] частицы ''E=m''|'''V'''|<sup>2</sup>/2|''q''|. Ясно, что такая замена переменной - вопрос удобства. В случае, когда заряд частицы равен заряду электрона, переменная ''E'' есть кинетическая энергия частицы, выраженная в [[электронвольт]]ах, ''m'' — масса частицы, ''χ'' — коэффициент, который можно найти по следующей формуле:

: <math>
   \chi = 
   \frac{V^{3}}{3 \nu},
</math>

где ''ν'' — [[частота]] упругих столкновений, ''S'' — «функция источника», описывающая неупругие столкновения, эти величины описаны в следующем разделе.

== Упругие и неупругие столкновения ==
При формулировке уравнения Фоккера-Планка столкновения, которые испытывают частицы, разделяются на [[упругое столкновение|упругие]] и [[неупругое столкновение|неупругие]]. Поскольку частицы, описываемые уравнением Фоккера-Планка, гораздо легче молекул газа, с которыми в основном происходят столкновения, упругие столкновения практически не влияют на энергию легких частиц, но «размывают» распределение по направлениям, способствуя установлению изотропности. Частота упругих столкновений ''ν'' является функцией координаты и кинетической энергии и может быть найдена по следующей формуле:

: <math>
   \nu \left( E \right) = 
   \sqrt{\frac{2|q|}{m}} n \sqrt{E} \sigma_{el} \left( E \right).
</math>

Здесь ''n'' — [[концентрация]] тяжелых частиц, с которыми происходят упругие столкновения, ''σ''<sub>el</sub>(''E'') — зависимость [[эффективное поперечное сечение|сечения]] упругого столкновения от кинетической энергии легкой частицы.

Неупругие столкновения, к которым относятся [[ионизация]], [[рекомбинация]], столкновения с [[возбуждение атомов|возбуждением]] атомов или молекул, описываются функцией источника ''S'', которая является суммой функций источника по всем типам непругих столкновений, которые учитываются в задаче ''S<sub>i</sub>''.

: <math>
   S_{i} \left( E \right) = \sqrt{\frac{2 |q| \left( E+\varepsilon_{i} \right) }{m}} \nu_{i} \left( E+\varepsilon_{i} \right) f \left( \vec r, E + \varepsilon_{i} \right) - \sqrt{\frac{2E}{m}} \nu_{i} \left( E \right) f \left( \vec r, E \right).
</math>

Формула описывает ситуацию, когда в результате неупругого столкновения ''i''-го типа частица перемещается по энергетической координате ''E'' — исчезает из точки ''E+ε<sub>i</sub>'' (второе слагаемое) и появляется в точке ''E'' (первое слагаемое), то есть просто теряет [[квант]] энергии величиной ''ε<sub>i</sub>''. Рекомбинация может быть описана аналогичной формулой без первого слагаемого, поскольку в результате неё заряженная частица перестает существовать. Ионизация может быть описана аналогичной формулой с добавочным слагаемым типа первого, описывающим появление новой заряженной частицы.

Частота столкновений ''i''-го типа ''ν<sub>i</sub>'' может быть найдена по формуле:

: <math>
   \nu_{i} \left( E \right) = 
   \sqrt{\frac{2|q|}{m}} n \sqrt{E} \sigma_{i} \left( E \right).
</math>

Здесь ''n'' — концентрация тяжелых частиц, с которыми происходят неупругие столкновения, ''σ''<sub>i</sub>(''E'') — зависимость сечения неупругого столкновения ''i''-го типа от кинетической энергии легкой частицы.

== Физический смысл искомых функций ==
Функция ''f''<sub>0</sub>('''r''', ''E'', ''t''), её иногда называют симметричной частью распределения, описывает распределение электронов по энергиям, их [[спектр]] в данной точке в данный момент времени. Эта функция описывает изотропное распределение частиц по направлениям движения. Через функцию ''f''<sub>0</sub>('''r''', ''E'', ''t'') можно выразить [[концентрация|концентрацию]] частиц ''n''('''r''', ''t''):

: <math>
   n \left( \vec r, t \right) = \int_{0}^{\infty} f_{0} \left(\vec r, E, t \right) \, dE.
</math>

Функция '''f'''<sub>1</sub>('''r''', ''E'', ''t''), или асимметричная часть распределения, является малой поправкой к симметричной части и характеризует направление среднего движения частиц в данной точке. Через функцию '''f'''<sub>1</sub>('''r''', ''E'', ''t'') можно выразить [[поток частиц]] '''j'''('''r''', ''t''):

: <math>
   \vec j \left( \vec r, t \right) = \frac{8 \pi \sqrt{ |q| } }{3 \sqrt{m}}
         \int_{0}^{\infty} \vec f_{1} \left(\vec r, E, t \right) \sqrt{E} \, dE.
</math>

Здесь ''m'' — масса одной частицы.

== Литература ==
# {{книга
 | автор         = Котельников И. А.
 | заглавие      = Лекции по физике плазмы. Том 1: Основы физики плазмы
 | издание       = 3-е изд
 | место         = Спб.
 | издательство  = [[Лань (издательство)|Лань]]
 | год           = 2021
 | страниц       = 400
 | ref           =
 | ISBN          = 978-5-8114-6958-1
 }}
# {{книга|автор=Райзер Ю. П.|часть=|заглавие=Физика газового разряда|оригинал=|ссылка=|издание=2-е изд|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1992|том=|страницы=|страниц=536|isbn=5-02014615-3}}

[[Категория:Физика плазмы]]
[[Категория:Именные законы и правила|Фоккера — Планка]]