Просмотр кода страницы Приближение с помощью кривых

[[Файл:Regression pic assymetrique.gif|thumb|300px|Приближение кривой, имеющей шум (случайные отклонения), с помощью модели асимметричного пика с итеративным процессом ([[алгоритм Гаусса — Ньютона]] с переменным коэффициентом затухания α). <br> Сверху: исходные данные и модель.<br> Снизу: изменение нормализованной суммы квадратов отклонений.]]

'''Приближение с помощью кривых''' {{sfn|Arlinghaus|1994}}{{sfn|Kolb|1984}} — это процесс построения [[Кривая|кривой]] или [[Функция (математика)|математической функции]], которая наилучшим образом приближается к [[Данные|заданным]] точкам {{sfn|Halli, Rao|1992|с=165}} с возможными ограничениями на кривую {{sfn|Silver|2012}}. Для построения такого приближения может использоваться либо [[интерполяция]] {{sfn|Kiusalaas|2005|с=21}}, где требуется точное прохождение кривой через точки, либо {{не переведено 5|Сглаживание (математика)|сглаживание||smoothing}}{{sfn|Guest|2012|с=349}}<ref>См. также: [[Сглаживающий оператор]]</ref>, когда «сглаживающая» функция проходит через точки приближённо. Связанный раздел — [[регрессионный анализ]]<ref>Пакет {{не переведено 5| GraphPad Prism|Prism||GraphPad Prism}}кампании. Документация: «Fitting Models to Biological Data Using Linear and Nonlinear Regression» (Harvey Motulsky, Arthur Christopoulos).</ref>{{sfn|Freund, Wilson, Sa|2006|с=269}}, который фокусируется, главным образом, на вопросах [[Статистический вывод|статистического вывода]], таких как, какая неопределённость заключена в кривой, которая приближает данные с некоторыми случайными ошибками. Построенные кривые могут быть использованы для визуализации данных {{sfn|Daud, Sagayan, Yahya, Najwati|2009|с=689}}{{sfn|Hauser|2009|с=227}}, для вычисления значений функции в точках, в которых значение не задано {{sfn|Williams|1976|с=150}} и для определения связи между двумя и более переменными{{sfn|Salkind|2010|с=266}}. [[Экстраполяция]] означает использование полученной кривой за пределами данных, полученных из наблюдения {{sfn|Klosterman|1990|с=1}}, и порождает [[Неопределённость|некоторую неопределённость]]{{sfn|Yoe|1996|с=69}}, поскольку может зависеть от метода построения кривой.

== Различные типы приближения с помощью кривых ==

=== Приближение заданных точек функциями {{anchor|Функции}} ===
Чаще всего ищется приближение в виде {{math|''y''{{=}}''f''(''x'')}}.

==== Приближение заданных точек линейными и полиномиальными функциями {{anchor|Polynomials}} ====
{{main|Полиномиальная регрессия }}
{{see also|Интерполяция алгебраическими многочленами}}
[[Файл:Curve fitting.svg|alt=Приближение синуса полиномиальными функциями |thumb|300x300px| Приближение точек, сгенерированных функцией синуса, полиномиальными функциями. <br>
Красная прямая — <span style="color:red">многочлен первой степени</span>, зелёная линия — <span style="color:green">второй степени</span>, оранжевая линия — <span style="color:orange">третьей степени </span>, а синяя — <span style="color:blue">четвёртой степени </span>]]
Начнём приближения с [[многочлен]]а первой степени:

: <math>y = ax + b\;.</math>

Это прямая с [[Угловой коэффициент|угловым коэффициентом]] ''a''. Через любые две точки можно провести прямую, так что многочлен первой степени проходит через любые две точки с различными [[абсцисса]]ми.

Если порядок уравнения увеличить до многочленов второй степени, получим:

: <math>y = ax^2 + bx + c\;.</math>

Эта функция описывает [[парабола|параболу]]. Параболу можно провести через любые три точки.

Если увеличить порядок многочлена до третьей степени, получим:

: <math>y = ax^3 + bx^2 + cx + d\;.</math>

Такую кривую можно построить для любых четырёх заданных точек.
Более того, как правило, можно построить такую кривую, если заданы в точности четыре ограничения. Каждое ограничение может быть точкой, [[Угол|углом]], или [[Кривизна|кривизной]] (которая является обратной величиной от радиуса [[Соприкасающаяся окружность|соприкасающейся окружности]]). Ограничения в виде угла и кривизны чаще всего добавляется к концам кривой, и такие ограничения часто называются ''граничными условиями''. Одинаковые граничные условия часто используются для обеспечения гладкого перехода между полиномиальными кривыми внутри [[сплайн]]а. Ограничения более высокого порядка, такие как скорость изменения кривизны, также могут быть заданы. Это, например, может использоваться в строительстве автострадных развязок для расчёта скорости изменения сил, действующих на автомобиль (см. [[Рывок (кинематика)|рывок]]) во время прохождения развязки и расчёта максимальной допустимой скорости.

Многочлен первой степени можно также построить, если заданы одна точка и угол, в то время как многочлен третьей степени может быть построен для двух точек, заданного углового коэффициента и заданной кривизны. Возможны другие комбинации ограничений для этих и более высоких степеней многочлена.

Если задано более чем ''n'' + 1 условий (где ''n'' — степень многочлена), можно всё равно попытаться построить полиномиальную кривую, удовлетворяющую этим условиям. Однако в общем случае такую кривую построить не удастся (например, многочлен первой степени по трём точкам можно построить, только если эти точки [[Коллинеарность|коллинеарны]]). Поэтому нужны некоторые методы осуществления приближения. [[Метод наименьших квадратов]] является одним из них.

Имеется несколько причин для получения приближённого решения, когда просто увеличение степени многочлена дало бы точное прохождение через точки:

* Даже если точное решение существует, из этого не следует, что его легко найти. В некоторых алгоритмах можем получить расходящуюся последовательность и точное решение может оказаться невычислимым, в других случаях может потребоваться слишком много компьютерного времени для нахождения точного решения. В этих ситуациях может оказаться более приемлемым приближённое решение.
* Эффект усреднения ненадёжных данных в выборке, может быть предпочтителен точному следованию точкам выборки, при котором может возникнуть выгибание кривой.
* [[Феномен Рунге]]: при интерполяции полиномами высоких степеней может возникнуть эффект нежелательных осцилляций. Если кривая проходит через точки ''A'' и ''B'', от кривой ожидается, что она пройдёт где-то близко к середине отрезка ''AB''. Это может оказаться неверным в случае многочленов высокой степени — отклонение может быть очень велико. Для многочленов малой степени кривая, скорее всего, пройдёт рядом с серединой отрезка (а в случае многочлена первой степени обязательно пройдёт через середину).
* Многочлены низкой степени обычно «гладкие», а многочлены высокой степени, как правило, «волнистые». Говоря точнее, максимальное число [[Точка перегиба плоской кривой|точек перегиба]] полиномиальной кривой равно ''n-2'', где ''n'' — порядок многочлена. Точка перегиба — это точка, где кривизна кривой меняет знак. Заметим, что многочлены высокой степени не обязательно «волнистые», они также могут быть и «гладкими», но нет никаких гарантий «гладкости», в отличие от многочленов малого порядка. Многочлен десятой степени может иметь до восьми точек перегиба, но может иметь и меньше, или вообще не иметь.

Степень многочлена, более высокая, чем необходимо для точного прохождения кривой через точки, нежелательна по всем перечисленным выше причинам, но, кроме того, приводит к бесконечному числу решений. Например, многочлен первой степени (прямая) с ограничением одной точкой вместо обычных двух приводит к бесконечному числу решений. Отсюда вырастает проблема — как сравнивать и выбрать только одно решение, и это может стать проблемой как для программ, так и для людей. По этой причине лучший выбор — как можно меньшая степень для точного выполнения всех ограничений, и, может быть, даже меньшая степень, если приближённое решение допустимо.

==== Приближение заданных точек другими функциями ====
Могут быть также использованы в некоторых случаях и другие типы кривых, такие как [[тригонометрические функции]] (например, синус и косинус).

В [[Спектроскопия|спектроскопии]] данные могут быть приближены [[Нормальное распределение|нормальным распределением]], [[Распределение Коши|распределением Коши]], {{не переведено 5|Контур Фойгта|контуром Фойгта ||Voigt function}} и связанными функциями.

=== Алгебраическое приближение и геометрическое приближение кривыми ===
Для алгебраического анализа данных, «приближение» обычно означает поиск кривой, минимизирующей вертикальное (по оси ''y'') отклонение точки от кривой (к примеру, [[метод наименьших квадратов]]). Для графических приложений и при работе с изображениями геометрическое приближение ищет наилучшее визуальное приближение, что, обычно, означает попытку минимизировать расстояние до кривой (к примеру, [[метод наименьших полных квадратов]]) или минимизируются отклонения по обеим координатам. Геометрическое приближение непопулярно, поскольку, обычно, вовлекает нелинейные и/или рекуррентные вычисления, хотя оно и даёт эстетически более приемлемый и геометрически более аккуратный результат {{sfn|Ahn|2008}}{{sfn|Chernov, Ma|2011|с=285–302}}{{sfn|Liu, Wang|2008|с=384–397}}.

=== Приближение заданных точек плоскими кривыми {{anchor|Плоские кривые}} ===
Если функция не может быть задана в виде <math>y=f(x)</math>, можно попытаться приблизить с помощью [[Плоская кривая|плоской кривой]].

В некоторых случаях могут быть использованы и другие типы кривых, такие как [[Коническое сечение|конические сечения]] (дуги окружности, эллипса, параболы и гиперболы) или [[тригонометрические функции]] (такие как синус и косинус). Например, траектории объектов под воздействием силы тяжести являются параболами (если не принимать во внимание сопротивление воздуха). Таким образом, привязка (экспериментальных) точек траектории к параболической кривой будет иметь смысл. Приливы соответствуют синусоидальной модели, так что данные о приливах следует сопоставлять с синусом или суммой двух синусов различных периодов, если принимать во внимание влияние как луны, так и солнца.

В случае [[Параметрическое представление|параметрической кривой]] эффективно рассматривать каждую координату как отдельную функцию от [[Длина кривой|длины кривой]]. Если исходные данные можно упорядочить, можно использовать [[Длина кривой|длину хорды]]{{sfn|Ahlberg, Nilson, Walsh|1967|с=51}}.

==== Геометрическое приближение заданных точек окружностью{{anchor|Окружности}} ====
[[Файл:Regression circulaire coope arc de cercle.svg|thumb|Приближение окружностью по методу Куупа (Coope). Точки соответствуют дуге окружности с центром в (1, 1) и радиусом 4.]]

[[Файл:Wp ellfitting.png|thumb|Различные модели приближения эллипсом]]

[[Файл:Regression elliptique distance algebrique donnees gander.svg|thumb|Приближение эллипсом с минимизацией алгебраического расстояния (метод Фитцгиббона).]]

Куп{{sfn|Coope|1993|с=381}} попытался решить задачу поиска наилучшего визуального приближения окружностью точек на плоскости. Метод элегантно преобразует нелинейную задачу в линейную, которую уже можно решить, не прибегая к рекурретным методам, а потому результат получается быстрее, чем при использовании предыдущих подходов.

==== Геометрическое приближение эллипсом {{anchor|Эллипсы}} ====
Вышеупомянутая техника была распространена на эллипсы общего вида{{sfn|Sheer|1997}} путём добавления нелинейного шага, в результате чего получен быстрый метод, находящий, однако, визуально привлекательные эллипсы произвольной ориентации и расположения.

=== Приложение к поверхностям ===
{{Details|Представление поверхностей в компьютерах }}

Заметим, что хотя до сих пор обсуждение относилось к плоским кривым, большинство результатов распространяется на поверхности в [[Трёхмерное пространство|трёхмерном пространстве]], каждый кусочек которых определяется сеткой кривых в двух параметрических направлениях. Поверхность может состоять из одного и более кусков в обоих направлениях.

== Программы ==
Множество {{не переведено 5|Список пакетов обработки статистических данных|пакетов обработки статистических данных||List of statistical packages}}, таких как [[R (язык программирования)|R]], и {{не переведено 5|Список прикладных программ численного анализа|пакетов программ численного анализа||List of numerical analysis software}}, таких как [[GNU Scientific Library]], [[MLAB]], [[DataMelt]], [[Maple (software)|Maple]], [[MATLAB]], [[SciPy]] и OpenOpt, включают средства приближения кривыми в различных сценариях. Существуют также программы, специально написанные для приближения кривыми. Их можно найти в статьях «{{не переведено 5|Список пакетов обработки статистических данных|Пакеты обработки статистических данных||List of statistical packages}}» и «{{не переведено 5|Список прикладных программ численного анализа|Пакеты программ численного анализа||List of numerical analysis software}}».

== См. также ==
* {{не переведено 5|Согласование результатов наблюдений|||Adjustment of observations}}
* {{не переведено 5|Уплотнение при помощи приближенного описания кривой|||Curve-fitting compaction}}
* [[Теория оценивания]]
* {{не переведено 5|Аппроксимация функции|||Function approximation}}
* [[Статистический критерий]]
* [[Алгоритм Левенберга — Марквардта]]
* {{не переведено 5|Аппроксимация прямой линией|||Line fitting}}
* [[Нелинейная регрессия]]
* [[Переобучение]]
* [[Плоская кривая]]
* {{не переведено 5|Подбор эмпирического распределения|||Distribution fitting}}
* {{не переведено 5|Сглаживание (математика)|Сглаживание||smoothing}}
* [[Сплайн]]ы ({{не переведено 5|Сплайновая интерполяция|интерполяция||Interpolating spline}}, [[Сглаживающий сплайн|сглаживание]])
* [[Временной ряд]]
* [[Метод наименьших полных квадратов]]
* {{не переведено 5|Оценивание тренда|||Trend estimation}}
{{clear}}

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{книга
|автор=Sandra Lach Arlinghaus
|ref=Arlinghaus
|заглавие=Practical Handbook of Curve Fitting
|издательство=CRC Press
|год=1994
|ISBN=0849301434
}}
* {{книга
|автор=William M. Kolb
|ref=Kolb
|заглавие=Curve Fitting for Programmable Calculators
|издательство=Syntec, Incorporated
|издание=3
|год=1984
|ISBN=0943494028
}}
* {{книга
|заглавие=Numerical Methods for Nonlinear Engineering Models
|ref=Hauser
|автор=John R. Hauser
|издательство=Springer
|ISBN=978-1-4020-9919-9
|год=2009
}}
* {{статья
|автор=I.D. Coope
|ref=Coope
|заглавие=Circle fitting by linear and nonlinear least squares
|ссылка=https://archive.org/details/sim_journal-of-optimization-theory-and-applications_1993-02_76_2/page/n176
|издание=Journal of Optimization Theory and Applications
|том=76
|выпуск=2
|год=1993
|doi=10.1007/BF00939613
|страницы=381
}}
* {{книга
|заглавие= Encyclopedia of Research Design
|ref=Salkind
|том=1
|ответственный=Neil J. Salkind
|год=2010
|ISBN=978-1-4129-6127-1
|издательство=SAGE Publications
}}
* {{книга
|заглавие=Regression Analysis / Statistical Modeling of a Response Variable
|издание=2
|издательство=Elsevier
|автор=Rudolf J. Freund, William J. Wilson, Ping Sa
|ref=Freund, Wilson, Sa
|год=2006
|ISBN=0-12-088597-2
}}
* {{книга
|заглавие=Numerical Methods in Engineering with MATLAB®
|автор=[[Jaan Kiusalaas]]
|ref=Kiusalaas
|издательство=Cambridge University Press
|год=2005
|isbn=0-521-85288-9
}}
* {{книга
|заглавие=Community Analysis and Planning Techniques
|ссылка=https://archive.org/details/communityanalysi0000klos
|автор=Richard E. Klosterman
|ref=Klosterman
|ISBN=084767651X 
|издательство=Rowman & Littlefield Pub Inc
|год=1990
}}
* {{книга
|заглавие=Visual Informatics: Bridging Research and Practice (IVIC 2009)
|вклад=Modeling of Electromagnetic Waves Using Statistical and Numerical Techniques
|ref=Daud, Sagayan, Yahya, Najwati
|ответственный=Halimah Badioze Zaman, Peter Robinson, Maria Petrou, Patrick Olivier, Heiko Schröder, Timothy K. Shih
|серия=Lecture Notes in Computer Science
|том=5857
|автор=Hanita Daud, Vijanth Sagayan, Noorhana Yahya, Wan Najwati
|издательство=Sprintger
|ISBN= 3-642-05035-2
|место=Berlin, Heidelberg, NewYork
|год=2009
}}
* {{книга
|заглавие=An Introduction to Risk and Uncertainty in the Evaluation of Environmental Investments
|url=https://books.google.com/books?id=rJ23LWaZAqsC&pg=PA69
|ответственный=Charles E. Yoe
|ref=Yoe
|издательство=The Greeley-Polhemus Group, Inc.
|место=West Chester, Pensylvania
|год=1996
}}
* {{книга
|заглавие=Numerical Methods of Curve Fitting
|автор=P. G. Guest
|ref=Guest
|издательство=Cambridge Academ
|ISBN=978-1-107646-5-7
|год=2012
}}
* {{книга
|автор=S.S. Halli, K.V. Rao 
|ref=Halli, Rao
|год=1992
|заглавие=Advanced Techniques of Population Analysis
|ISBN=0306439972
|страницы=165
}}
* {{статья
 |автор       = Sung-Joon Ahn
 |ref              = Ahn
 |заглавие = Geometric Fitting of Parametric Curves and Surfaces
 |издание   = Journal of Information Processing Systems
 |volume           = 4
 |выпуск     = 4
 |месяц       = 12
 |год           = 2008
 |doi              = 10.3745/JIPS.2008.4.4.153
 |ссылка     = http://jips-k.org/dlibrary/JIPS_v04_no4_paper4.pdf
 |archiveurl       = https://web.archive.org/web/20140313084307/http://jips-k.org/dlibrary/JIPS_v04_no4_paper4.pdf
 |archivedate      = 2014-03-13
}}
* {{книга
|автор=J. H. Ahlberg,  E. N. Nilson, J. L. Walsh
|ref=Ahlberg, Nilson, Walsh
|год=1967
|заглавие=The theory of splines and their applications
|издательство=Academic Press
|место=New York, London
|ссылка=https://books.google.com.br/books?id=S7d1pjJHsRgC&lpg=PA51&ots=2x1_wUTUxJ&dq=arc-length%20curve%20fitting&pg=PA51#v=onepage&q=arc-length%20curve%20fitting&f=false
}}
* {{книга
|автор=N. Chernov, H. Ma 
|ref=Chernov, Ma 
|год=2011 
|вклаж=Least squares fitting of quadratic curves and surfaces 
|заглавие=Computer Vision 
|ответственный=Sota R. Yoshida 
|издательство=Nova Science Publishers 
|isbn=9781612093994
|страницы=285–302 
}}
* {{книга
|заглавие=The Signal and the Noise: Why So Many Predictions Fail-but Some Don't
|ссылка=https://archive.org/details/signalnoisewhymo0000silv
|автор=Nate Silver
|ref=Silver
|год=2012
|издательство=Penguin Group
|ISBN=978-1-59-420411-1
}}
* {{книга
|заглавие=Spectroscopy
|серия=Methods of Experimental Physics
|том=13, Part 1
|ответственный=Claire Marton.
|издательство=Academic Press
|год=1976 
|ISBN=0124759130
|автор=Dudley Williams
|ref=Williams
}}
* {{статья
|автор=Yang Liu, Wenping Wang 
|ref=Liu, Wang 
|год=2008 
|вклад=A Revisit to Least Squares Orthogonal Distance Fitting of Parametric Curves and Surfaces 
|ответственный=F. Chen, B. Juttler 
|заглавие=Advances in Geometric Modeling and Processing 
|серия=Lecture Notes in Computer Science 
|том=4975 
|страницы=384–397 
|doi=10.1007/978-3-540-79246-8_29
|isbn=978-3-540-79245-1
}}
* {{статья
|автор= P. Sheer
|ref= Sheer
|заглавие=A Software Assistantfor Manual Stereo Photometrology
|серия=Msc thesis
|издательство=University of the Witwater-srand
|год=1997
}}

== Литература для дальнейшего чтения ==
* N. Chernov (2010), ''Circular and linear regression: Fitting circles and lines by least squares'', Chapman & Hall/CRC, Monographs on Statistics and Applied Probability, Volume 117 (256 pp.). [http://people.cas.uab.edu/~mosya/cl/] {{Wayback|url=http://people.cas.uab.edu/~mosya/cl/ |date=20201022051634 }}


[[Категория:Численные методы]]
[[Категория:Интерполяция]]
[[Категория:Регрессионный анализ]]
[[Категория:Геометрические алгоритмы]]