Просмотр кода страницы Признаки равенства треугольников (теорема)

'''Признаки равенства треугольников''' — одна из основных теорем геометрии.

Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до [[Конгруэнтность (геометрия)|конгруэнтности]]) можно определить по следующим тройкам основных элементов<ref>[https://arxiv.org/pdf/1806.06942.pdf Геометрия по Киселёву] {{Wayback|url=https://arxiv.org/pdf/1806.06942.pdf |date=20210301053034 }}, § 41.</ref>:

# <math>a</math>, <math>b</math>, <math>\gamma</math> (Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника то такие треугольники равны : '''СУС''');
# <math>a</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math> (равенство по стороне и двум прилежащим углам: '''УСУ''');
# <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> (равенство по трём сторонам: '''ССС''').

Для [[Прямоугольный треугольник|прямоугольных треугольников]] есть признаки, некоторые из каких являются исключительными:
# по катету и гипотенузе (то есть в случае прямоугольного треугольника необязательно, чтобы известный угол (а именно прямой) лежал '''между''' известными сторонами);
# по двум катетам;
# по катету и острому углу;
# по гипотенузе и острому углу.
Дополнительный признак: треугольники равны, если у них совпадают две стороны и угол, лежащий против большей из этих сторон<ref name=SEM219/>.

В [[Сферическая геометрия|сферической геометрии]] и в [[Геометрия Лобачевского|геометрии Лобачевского]] существует признак равенства треугольников по трём углам.

== Признак равенства по двум сторонам и углу между ними ==
{{Hider|	 
title = Классическое доказательство из школьной программы|
hidden = 1 |
title-style = text-align: le |
content-style = text-align: left; |
content =[[Файл:Признак 1 равенства треугольников.svg|thumb|250px|Равенство по двум сторонам и углу между ними]]

''Теорема: если две стороны и угол, заключённый между ними, у одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключённому между ними, у другого треугольника, то такие треугольники равны''.
<br>
<br>
Дано: <math>AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1.</math>
<br>
<br>
Доказать: <math>\triangle ABC=\triangle A1B1C1.</math>
<br>
<br>
Доказательство: Наложим <math>\Delta ABC</math> на <math>\Delta A_1B_1C_1</math> так, чтобы точка <math>A</math> попала с <math>A_1</math> и сторона <math>AC</math> совпала с <math>A_1C_1</math>. Тогда из-за равенства этих сторон точка <math>C</math> совместится с <math>C_1,</math> а из-за равенства углов <math>A</math> и <math>A_1</math> сторона <math>A_1B_1</math> совпадёт с <math>A_1B_1</math>, и, в свою очередь, благодаря равенству этих сторон точка <math>B</math> совпадёт с <math>B_1</math>, поэтому сторона <math>CB</math> совместится с <math>C_1B_1</math> (так как две точки можно соединить только одной прямой). Тогда треугольники совпадут, — значит, они равны.
}}

=== Примечание ===
[[Файл:Resolve triangle with b c beta 2 solutions.svg|мини|150x150пкс|Неоднозначность треугольника при условии, что известный угол лежит напротив известной стороны]]
Требование того, чтобы угол лежал '''между''' сторонами, является существенным, потому что если известный угол, наоборот, будет лежать '''напротив''' известной стороны, то другой, неизвестный угол, который лежит напротив остальной известной стороны, по [[Теорема синусов|теореме синусов]] может быть определён неоднозначно: если синус угла равен какому-то значению, то и синус [[Смежные углы|смежного]] ему — тоже.

== Признак равенства по двум углам и стороне между ними ==
{{Hider|	 
title = Классическое доказательство из школьной программы|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =[[Файл:Признак 2 равенства треугольников.svg|thumb|250px|right|Равенство по двум углам и стороне между ними]]
<br>
<br>
''Теорема: если два угла и прилежащая к ним сторона одного треугольника соответственно равны двум углам и прилежащей к ним стороне другого треугольника, то такие треугольники равны''.

Дано: <math>BC=B_1C_1,\quad\angle C=\angle C_1, \angle B=\angle B_1.</math>
<br>
<br>
Доказать: <math>\triangle ABC=\triangle A1B1C1</math>
<br>
<br>
Доказательство:
}}

=== Примечание ===
В отличие от первого признака 2-й признак можно переформулировать так, чтобы оба известных угла не '''прилежали''' к известной стороне, — и благодаря [[Теорема о сумме углов треугольника|теореме о сумме углов]] признак равенства останется верным.

Признак равенства по трём сторонам выглядит так: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника,то такие треугольники равны

== Дополнительный признак ==
Возвращаясь к равенству треугольников по трём элементам, надо отметить, что соответствующий признак равенства треугольников не всегда имеет место. Например, показательной является задача<ref>{{Книга|ссылка=https://file.11klasov.net/3308-geometriya-7-9-klassy-uchebnik-sharygin-if.html|автор={{nobr|Шарыгин И. Ф.}}|заглавие=Геометрия. 7—9 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений|ответственный=И. Ф. Шарыгин, ответств.ред. Т. С. Зельдман|год=2012|часть=Глава 3. (п. 3.2. Признаки равенства треугольников)|место=М.|издательство=Дрофа|страницы=79—80|страниц=462|isbn=978-5-358-09918-0, ББК 22.151я72, УДК 373.167.1:514|тираж=3000|archive-date=2023-02-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20230207112028/https://file.11klasov.net/3308-geometriya-7-9-klassy-uchebnik-sharygin-if.html}}</ref> (см. фото).

Итак, справедлива теорема, которую можно было бы назвать четвёртым признаком равенства треугольников, но не будет он так называться, поскольку это противоречит геометрическим традициям.

=== Дополнительный признак (по двум сторонам и углу не между ними, если этот угол прямой или тупой) ===
Если в треугольниках <math>\mathcal{ABC}</math> и <math>\mathcal{A_1B_1C_1}</math> имеют место равенства <math>\mathcal{AB} = \mathcal{A_1B_1}</math>, <math>\mathcal{AC} = \mathcal{A_1C_1}</math>, <math>\angle\mathcal{ABC} = \angle\mathcal{A_1B_1C_1}</math>, причём указанные углы '''НЕ являются острыми''', то эти треугольники равны. Доказательство этого утверждения приведено в качестве фото. Здесь используется '''метод доказательства разбором случаев'''.

Утверждение этой теоремы следует из предыдущих рассуждений. Ведь, как было показано, можно построить единственный треугольник с заданными сторонами и углом.

== Примечания ==
{{примечания|refs=
{{sfn |Справочник по элементарной математике|1978|с=219|name=SEM219}}
}}

== Литература ==
* {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]]
  |заглавие=Справочник по элементарной математике |ref=Справочник по элементарной математике
  |место=М. |издательство=Наука |год=1978}}

== См. также ==
* [[Признаки подобия треугольников]]
{{math-stub}}

[[Категория:Геометрия треугольника]]
[[Категория:Теоремы планиметрии]]