Просмотр кода страницы Признак Раабе

'''Признак Раабе''' ('''признак Раабе — Дюамеля''') — [[признак сходимости]] знакоположительных [[числовые ряды|числовых рядов]], установленный в 1832 году [[Раабе, Йозеф Людвиг|Йозефом Людвигом Раабе]] (''Joseph Ludwig Raabe'')<ref>{{Статья|заглавие=Untersuchungen über die Convergenz und Divergenz der Reihen|издание=Zeitschrift für Physik und Mathematik|автор=J. L. Raabe|язык=de|год=1832|том=10|страницы=41—74}}</ref> и независимо в 1839 году [[Дюамель, Жан-Мари Констан|Жаном-Мари Дюамелем]]<ref>{{Статья|заглавие=Nouvelle règle pour la convergence des séries|издание=J. de mathématiques pures et appliquées|автор=M. Duhamel|язык=fr|год=1839|том=4|страницы=214—221}}</ref>.

== Формулировка ==
{{Теорема|Ряд <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> сходится, если при достаточно больших <math>n</math> выполняется неравенство
: <math>R_n=n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)\geqslant r,</math>
где <math>r>1</math>.

Eсли <math>R_n \leqslant 1</math>, начиная с некоторого <math>n</math>, то ряд <math>a_n</math> расходится.}}

== Формулировка в предельной форме ==
{{Теорема|Если существует предел:

:<math>R=\lim_{n \to \infty} R_n</math>

то при <math>R>1</math> ряд сходится, а при <math>R<1</math> — расходится.}}

'''Замечание.''' Если <math>R=1</math>, то признак Раабе не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.
== Доказательство==
Доказательство основано на применении [[Признак сравнения|признака сравнения отношений]] при сравнении с обобщённым гармоническим рядом.

== Пример ==
Для <math>\sum _{n=1}^{\infty } \left(1-\frac{\ln n}{n}\right)^{2 n}</math> признак в предельной форме дает 2, что означает сходимость ряда.

== См. также ==
* [[Признак сходимости д’Аламбера]] — аналогичный признак, основанный на отношении соседних членов.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Архипов, Г. И., Садовничий, В. А., Чубариков, В. Н.|заглавие=Лекции по математическому анализу : Учебник университетов и пед. вузов|ответственный=Под ред. В. А. Садовничего|место={{М.}}|издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|год=1999|страниц=695|isbn=5-06-003596-4}}.
* {{книга|заглавие=Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия|часть=Раабе признак|год=1977—1985|автор=И. М. Виноградов|язык=ru}}

== Ссылки ==
* {{MathWorld|urlname=RaabesTest|title=Raabe's Test}}

{{перевести|pl|Kryterium Raabego}}
{{rq|img|source|topic=math}}
{{Признаки сходимости рядов}}


[[Категория:Признаки сходимости|Р]]