Просмотр кода страницы Применение операционных усилителей

<noinclude>{{к удалению|2022-02-28}}
</noinclude>В статье описаны некоторые типовые применения '''[[операционный усилитель|операцио́нных усили́телей]]''' (ОУ) в [[аналоговый сигнал|аналоговой]] схемотехнике.

[[Электрическая схема|Электрические схемы]] на рисунках изображены упрощённо, поэтому следует иметь в виду, что подробности, несущественные для объяснения работы схемы (соединения ОУ с цепями питания, блокировочные [[Электрический конденсатор|конденсаторы]] в цепях питания, цепи частотной коррекции ОУ, конкретный тип применённого ОУ, нумерация выводов ОУ), опущены.

[[Резистор]]ы, используемые в данных схемах, имеют типичное [[Электрическое сопротивление|сопротивление]] порядка единиц-десятков кило[[ом]]. Использование резисторов с сопротивлением менее {{num|1|кОм}} нежелательно (кроме тех резисторов, которые не создают нагрузки на выход ОУ), так как они могут вызвать чрезмерный ток выходного каскада ОУ, перегружающий выход ОУ. Резисторы с сопротивлениями более {{num|1|МОм}}, подключённые ко входам ОУ, вносят повышенный [[тепловой шум]] и делают схему менее точной из-за влияния входных токов токов ОУ и дрейфа входных токов.

В современной [[Электроника|электронике]] в качестве ОУ в подавляющем большинстве случаев применяются ОУ в [[интегральная схема|монолитном интегральном исполнении]], но все рассуждения применимы и для других любых иначе сконструированных ОУ, например, в виде [[Гибридная микросхема|гибридных микросхем]].
 
''Примечание: математические выражения, приведенные в статье, если не оговорено особо, получены в предположении о том, что операционные усилители являются [[Операционный усилитель#Идеальный операционный усилитель|идеальными]]. Ограничения, вызванные неидеальностью ОУ, явно указаны. Для практического использования схемных решений из приведенных примеров следует ознакомиться с более подробным их описанием. См. разделы «[[#Список литературы|Список литературы]]» и «[[#Ссылки|Ссылки]]».''

== Линейные системы ==

=== Дифференциальный усилитель (вычитатель) ===
[[Файл:Opamp-differential-e.svg|thumb|Дифференциальный усилитель]]
{{main|Дифференциальный усилитель}}
: '''''Примечание:''' не следует путать '''дифференциальный усилитель''' с '''дифференциатором''' (см. [[#Дифференциатор|ниже]])''
Данная схема предназначена для получения [[вычитание|разности]] двух напряжений, при этом каждое из них предварительно умножается на некоторую константу, величины констант определяются соотношением сопротивлений резисторов в схеме:

: <math>V_{out} = \frac{ \left( R_f + R_1 \right) R_g }{\left( R_g + R_2 \right) R_1} V_2 - \frac{R_f}{R_1} V_1 =</math>
<math>= \left( \frac{R_1 + R_f }{R_1} \right) \cdot \left( \frac{R_g}{R_g + R_2} \right) V_2 - \frac{R_f}{R_1} V_1.</math>

Если обозначить дифференциальную составляющую <math> V_{dif} </math> входных напряжений как:

: <math> V_{dif} = V_2 - V_1,</math>

и синфазную составляющую <math>V_{snf}</math> как полусумму входных напряжений:
  
: <math>V_{snf} = ( V_1 + V_2 ) / 2,</math>

то выражение для выходного напряжения <math>V_{out}</math> можно переписать в виде:

: <math>V_{out} = \frac{ R_f }{ R_1 } \left( V_{snf} \frac{ R_1 / R_f - R_2 / R_g }{ 1 + R_2 / R_g } + V_{dif} \frac{ 1 + ( R_2 / R_g + R_1 / R_f) / 2 }{ 1 + R_2 / R_g }\right).</math>

Для того, чтобы этот усилитель усиливал только разность входных напряжений, но был нечувствителен к синфазной составляющей, необходимо выполнить соотношение:

: <math>R_1 / R_f = R_2 / R_g.</math>

При этом коэффициент передачи для синфазной составляющей становится равным 0 и выходное напряжение зависит только от разности входных напряжений:

: <math> V_{out} = \frac{ R_f }{ R_1 } V_{dif} = \frac{ R_f }{ R_1 }\left( V_2 - V_1 \right). </math>

* [[Входное сопротивление]] для дифференциального сигнала (между входными выводами) при любых значениях сопротивлений:

: <math> Z_{in dif}=R_1 + R_2</math>

* Входное сопротивление для синфазного сигнала будет в общем случае:

: <math> Z_{in snf}=\frac{(R_1 + R_f) \cdot (R_2 + R_g)} {R_1 + R_f + R_2 + R_g}.</math>

При выполнении соотношения <math>R_1 / R_f = R_2 / R_g</math> входное сопротивление для синфазного сигнала будет:
: <math>Z_{in snf}=(R_1+R_f)/2.</math>
{{-}}

=== Инвертирующий усилитель ===
[[Файл:Opampinverting-e.svg|thumb|Инвертирующий усилитель]]
Инвертирует и усиливает/ослабляет напряжение (то есть умножает напряжение на отрицательную константу, определяемую соотношением сопротивлений резисторов). [[Абсолютная величина|Модуль]] [[Коэффициент передачи|коэффициента передачи]] может быть как больше, так и меньше единицы.

: <math>V_\mathrm{out} = -V_\mathrm{in} ( R_\mathrm{f} / R_\mathrm{in} )</math>

* Входной импеданс <math>Z_\mathrm{in} = R_\mathrm{in}</math> поскольку потенциал на инвертируем входе самого ОУ равен нулю, так как за счет действия отрицательной обратной связи является [[Земля (электроника)#Виртуальная земля|виртуальной землёй]].
* Иногда между неинвертирующим входом и «землёй» устанавливают третий резистор <math>R_\mathrm{g}</math> с сопротивлением, равным <math>R_\mathrm{f} \ R_\mathrm{in} = \frac{R_\mathrm{f} R_\mathrm{in}} {R_\mathrm{f} + R_\mathrm{in}}</math> (сопротивление параллельно соединённых резисторов <math>R_\mathrm{f}</math> и <math>R_\mathrm{in}</math>). Этот дополнительный резистор исключает дополнительную ошибку смещения, возникающую из-за [[Ток смещения (радиоэлектроника)|входных токов]] ОУ.

Если <math>R_\mathrm{in} = 0</math>, то схема представляет собой линейный преобразователь ток — напряжение. Входное сопротивление такой схемы в предположении идеальности ОУ равно 0. Фактически оно определяется коэффициентом усиления реального ОУ с разомкнутой обратной связью и сопротивлением обратной связи <math>R_\mathrm{f}</math> по формуле: <math>Z_\mathrm{in} = R_\mathrm{f} / (1 + K_A),</math> где <math>K_A</math> — собственный коэффициент усиления ОУ; и очень мало, так как <math>K_A</math> современных ОУ более сотен тысяч, что выгодно отличает такой преобразователь от простого резистора, который тоже является линейным преобразователем ток — напряжение.

Выходное напряжение такого преобразователя ток — напряжение будет:

: <math> U_\mathrm{out} = -R_\mathrm{f}I_\mathrm{in}.</math>

Предполагается, что втекающий ток положителен.
{{clear}}

=== Неинвертирующий усилитель ===
[[Файл:Opampnoninverting-e.svg|thumb|Неинвертирующий усилитель]]
Усиливает напряжение (умножает напряжение на константу, больше единицы):

: <math> V_\mathrm{out} = V_\mathrm{in} \left( 1 + {R_2 \over R_1} \right).</math>

* <math>Z_\mathrm{in} = \infin</math> (на практике — входное сопротивление операционного усилителя: от {{num|1|[[Мегаом|MОм]]}} до {{num|10|[[Тераом|TОм]]}})
* Третий резистор с сопротивлением, равным <math>R_\mathrm{1} \| R_\mathrm{2}</math> (равному сопротивлению параллельно соединённых резисторов <math>R_1</math> и <math>R_2</math>), устанавливаемый (при необходимости) между точкой подачи входного сигнала <math>V_\mathrm{in}</math> и неинвертирующим входом ОУ, уменьшает ошибку, возникающую из-за тока смещения ОУ.
{{clear}}

=== Повторитель напряжения ===
[[File:Opampvoltagefollower-е.svg|thumb|Повторитель напряжения]]
Используется как [[буферный усилитель]], для исключения влияния низкоомной нагрузки на источник с высоким(поконкретнее) [[Выходное сопротивление|выходным сопротивлением]].

: <math>V_\mathrm{out} = V_\mathrm{in} \!\ </math>
* Входной [[импеданс]] <math>Z_\mathrm{in} = \infin</math> (в реальной схеме  — входное сопротивление операционного усилителя: от {{num|1|[[Мегаом|MОм]]}} до {{num|10|[[Тераом|TОм]]}})

{{clear}}

=== Инвертирующий суммирующий усилитель (инвертирующий сумматор) ===
[[Файл:Opampsumming-e.svg|thumb|Суммирующий усилитель. На приведённой схеме все весовые коэффициенты суммирования отрицательны, так как ОУ включён в инвертирующей конфигурации.]]

Суммирует с весовыми коэффициентами несколько входных напряжений. Все весовые коэффициенты отрицательны.

Выражение для коэффициентов передачи (весов суммирования) по всем входам:

: <math>V_\mathrm{out} = -R_\mathrm{f} \left( { V_1 \over  R_1 } + { V_2 \over R_2 } + \cdots + {V_n \over R_n} \right).</math>

* Если <math>R_1 = R_2 = \cdots = R_n</math>, то:

: <math>V_\mathrm{out} = -\left( {R_\mathrm{f} \over R_1} \right) (V_1 + V_2 + \cdots + V_n ).</math>

* Если <math>R_1 = R_2 = \cdots = R_n = R_\mathrm{f},</math>, то:

: <math>V_\mathrm{out} = - ( V_1 + V_2 + \cdots + V_n ).</math>
* Выходной сигнал инвертирован инвертирован.
* Входной [[импеданс]] ''n''-го входа равен <math>Z_\mathrm{n} = R_\mathrm{n}</math> (поскольку инвертирующий вход ОУ является [[Земля (электроника)#Виртуальная земля|виртуальной землёй]]).
{{clear}}

=== Интегратор ===
[[Файл:Op-Amp Integrating Amplifier-e.svg|thumb|Простейший интегратор на операционном усилителе.]]
[[Файл:Op-Amp Integrating Amplifier balanced-e.svg|thumb|Вариант практической схемы интегратора на ОУ.<br><math>R_L</math> — сопротивление нагрузки.]]
[[Файл:Frequency response of ideal and practical integrator-ru.svg|thumb|Амплитудно-частотные характеристики идеального и реального интеграторов]]
[[Интегратор|Интегрирует]] (с инверсией) входной сигнал по времени:

: <math>V_\mathrm{out}(t) = - {1 \over RC} \int_0^t V_\mathrm{in}(\tau) \, d\tau + V_0,</math>

: где <math>V_\mathrm{in}</math> — входное напряжение,
: <math>V_\mathrm{out}</math> — выходное напряжение — функция времени,
: <math>V_0</math> — выходное напряжение интегратора в момент времени <math>t = 0</math>.

Такой интегратор можно также рассматривать как [[фильтр нижних частот]] 1-го порядка со скоростью спада коэффициента передачи в полосе подавления {{num|-20|дБ/декаду}}.

* Некоторые ограничения, накладываемые неидеальностью ОУ:
** Обычно предполагается, что входное напряжение <math>V_\mathrm{in}</math> не имеет постоянной составляющей (то есть усреднение <math>V_\mathrm{in}</math> за длительный промежуток времени даёт ноль). В противном случае выходное напряжение будет дрейфовать со скоростью интегрирования постоянной составляющей, и со временем установится на одном из пределов рабочего диапазона выходного напряжения ОУ, если конденсатор периодически не разряжать. Для этого в практических схемах обычно параллельно конденсатору включают электронный или электромеханический [[Ключ (электротехника)|ключ]].
** Даже если <math>V_\mathrm{in}</math> не имеет постоянной составляющей, отличия реальных ОУ от идеального [[Операционный усилитель#Отличия реальных ОУ от идеального|входной ток ОУ]] создаёт некоторое падение напряжения на входном резисторе, это напряжение интегрируется так же, как и входной сигнал. Другой источник дрейфа интегратора — ненулевое напряжение смещения между инвертирующим и неинвертирующим входами. Напряжение смещения суммируется с полезным сигналом, вызывая ошибку интегрирования и дрейф.
*** Скомпенсировать дрейф от входного тока ОУ можно, включив резистор с неинвертирующего входа на «землю» с сопротивлением, равным сопротивлению входного резистора, как показано на рисунке. При равенстве входных токов падение напряжение на этом дополнительном резисторе равно дополнительному падению напряжения от тока инвертирующего входа и, тем самым, дрейф от входного тока ОУ будет подавлен. Если токи входов не равны, то сопротивление дополнительного резистора нужно выбрать таким, чтобы падения напряжения на обоих резисторах от входных токов были равны. В результате дрейф от входных токов будет определяться только дрейфом разности токов, например, от изменений температуры.
*** Дрейф от [[Операционный усилитель#Отличия реальных ОУ от идеального|входного напряжения смещения]] можно снизить тщательной балансировкой входа ОУ - настройкой входного смещения как иожно ближе к нулю. В выпускаемых промышленностью ОУ повышенной точности и в прецизионных ОУ для балансировки входа предусмотрены специальные выводы.

Поскольку в этой схеме отсутствует обратная связь по постоянному току (конденсатор имеет бесконечный импеданс для постоянного тока, иными словами — не пропускает ток с нулевой частотой), даже самым тщательным образом скомпенсированный по дрейфу интегратор постепенно изменяет выходное напряжение (так называемое «сползание» интегратора).

В тех случаях, когда требуется интегрирование переменного сигнала и нужно подавить медленный дрейф, параллельно конденсатору включают дополнительный резистор <math>R_f,</math> как показано на рисунке. Такая мера превращает интегратор для медленно изменяющегося напряжения и постоянного тока в ФНЧ 1-го порядка с [[Коэффициент передачи|коэффициентом передачи]] на постоянном токе равным <math>-R_f/R</math> и частотой среза <math>f_\mathrm{-3dB} = 1/2\pi R_f C.</math>

Другой способ подавления медленного дрейфа — разряд конденсатора дополнительной внешней цепью или периодическое закорачивание его ключом.

=== Дифференциатор ===
[[Файл:Opampdifferentiating-e.svg|thumb|Дифференциатор на операционном усилителе]]

: '''''Примечание:''' Не следует путать '''дифференциатор''' с '''дифференциальным усилителем''' (см. [[#Дифференциальный усилитель|выше]])''
{{main|Дифференциатор}}

[[Производная функции|Дифференцирует]] (инвертированный) входной сигнал по времени.

: <math>V_\mathrm{out} = - RC \left( {dV_\mathrm{in} \over dt} \right),</math>

: где <math>V_\mathrm{in}</math> и <math>V_\mathrm{out}</math> — входной и выходной сигналы соответственно, функции времени.

Этот четырёхполюсник можно также рассматривать как [[фильтр верхних частот]].

{{clear}}

=== Компаратор ===
{{main|Компаратор}}

[[Файл:Opampcomparator-e.svg|thumb|Обозначегние компаратора на схемах]]

Сравнивает два напряжения и выдает на выходе одно из двух состояний в зависимости от того, какое из входных напряжений больше.

* <math> V_\mathrm{out} = \left\{\begin{matrix} V_\mathrm{S+} & V_1 > V_2 \\ V_\mathrm{S-} & V_1 < V_2 \end{matrix}\right. </math>
: <math> V_\mathrm{S+} </math> — предельное положительное выходное напряжение ОУ, немного меньше положительного напряжения питания;
: <math> V_\mathrm{S-} </math> — редельное отрицательное выходное напряжение ОУ, немного больше отрицательного напряжения питания.

При равенстве входных напряжений значение выходного напряжения идеального компаратора не определено, у реальных компараторов устанавливается равным предельному положительное или отрицательному выходному напряжению ОУ из-за входного небольшого напряжения смещения, реальный ОУ ведет себя как идеальный ОУ, у которого внутри последовательно с одним из входов включен [[генератор напряжения]] с ЭДС ''U<sub>см</sub>''. Типичные значения ''U<sub>см</sub>'' реальных ОУ составляют 10<sup>−3</sup> ÷ 10<sup>−6</sup> В. Напряжегние смещения вносит ошибку при сравнении входных напряжений.
{{clear}}

=== Измерительный усилитель ===
{{main|Измерительный усилитель}}
[[Файл:Instrumentation Amplifier 3OpAmp.svg|thumb|Инструментальный усилитель]]
Измерительный усилитель, также называемый ''инструментальным усилителем'' ({{lang-en|instrumentation(al) amplifier}}), принципиально не отличается от [[#Дифференциальный усилитель|дифференциального усилителя]], однако обладает очень высоким входным сопротивлением, высоким [[коэффициент ослабления синфазного сигнала|коэффициентом ослабления синфазного сигнала]], низким напряжением смещения.

Коэффициент передачи усилителя изображёногго на рисунке:
: <math>K_U = \left ( 1 + { 2 \cdot R \over R_\mathrm{gain} } \right ) \cdot { R_3 \over R_2 }.</math>
* Также может быть построен путём добавления [[#Неинвертирующий усилитель|неинвертирующих]] [[Буферный усилитель|буферных усилителей]] к каждому входу простейшего [[#Дифференциальный усилитель|дифференциального усилителя]] для увеличения входного сопротивления.
* Известна также реализация на двух (а не трёх, как в приведённой схеме) операционных усилителей.
{{clear}}

=== Триггер Шмитта ===
{|align="right" cellpadding="0" cellspacing="0" style="margin-right:1em"
 |-valign="top"
 |[[Файл:Opampschmitt xcircuit-e.svg|thumb|Неинвертирующий (A) и инвертирующий (B) триггеры Шмитта на операционном усилителе]]
 |[[File:Hysteresis sharp curve-ru.svg|thumb|Передаточная характеристика неинвертирующего компаратора с гистерезисом]]
|}
{{main|Триггер Шмитта}}
Если ОУ охватить положительной обратной связью то образуется компаратор с [[гистерезис]]ом, иначе называемый триггером Шмитта. Измегнением точки подачи входного сигнала можно образовать неинвертирующий или инвертирующий триггер Шмитта.
{{clear}}

=== Гиратор ===
{{main|Гиратор (электрическая цепь)|l1=Гиратор}}

[[Файл:Gyrator-int-ru.svg|thumb|Гиратор]]

Имитирует [[индуктивность]].

{{clear}}

=== Преобразователь отрицательного сопротивления ===
[[Файл:Negative impedance converter-e.svg|thumb|Преобразователь отрицательного сопротивления на ОУ]]
{{main|Преобразователь отрицательного сопротивления}}
Преобразователь отрицательного сопротивления ({{lang-en|Negative impedance converter}}) имитирует [[резистор]] с отрицательным сопротивлением, здесь вход изображён в виде источника напряжения <math>V_\mathrm{s}</math>. Величина отрицательного сопротивления<ref>{{ cite book | author = Chen, W.-K. | title = The Circuits and Filters Handbook | pages = 396–397 | publisher = CRC Press | year = 2003 | isbn = 0-8493-0912-3 }}</ref><ref>{{ cite journal | author = Mehrotra, S. R. | title = The Synthetic floating negative inductor using only two op-amps | journal = Electronics World | year =  2005 | volume = 111 | issue = 1827 | pages = 47 }}</ref><ref>{{ cite patent | country = US | number = 3493901 | status = patent | inventor = Deboo, G. J. | title = Gyrator type circuit | gdate = 1970-02-03 | assign1 = NASA }}</ref>:

: <math>R_\mathrm{in} = - R_3 \frac{R_1}{R_2}.</math>
{{clear}}

== Нелинейные системы ==

=== Точный выпрямитель ===
[[Файл:Super diode-e.svg|thumb|Выпрямитель на операционном усилителе для входного сигнала положительной полярности]]
{{main|[[w:en:Precision rectifier|Precision rectifier]]}}
В простейшем классическом выпрямителе на полупроводниковом диоде имеется падение напряжения на прямосмещённом диоде, которое часто нежелательно. В приведённой на рисунке схеме прямое падение напряжения на диоде практически полностью исключено путем включения диода в цепь отрицательной обратной связи ОУ. ОУ сравнивает выходное напряжение на нагрузке <math>R_\mathrm{L}</math> с входным напряжением <math>V_\mathrm{in}</math>и увеличивает собственное выходное напряжение ОУ на величину падения напряжения на диоде. В результате это напряжение  компенсируется и схема электрически ведёт себя почти как идеальный диод с прямым падением напряжения равным 0, подключённым к сопротивлению нагрузки <math>R_\mathrm{L}</math>.

Схема имеет ограничения по скорости отклика на высоких частотах из-за запаздывания в контуре отрицательной обратной связи и ограниченной  скорости нарастания выходного напряжения реальных операционных усилителей.
{{clear}}

=== Пиковый детектор ===
[[Файл:PeakDet-e.svg|thumb|Пиковый детектор на операционном усилителе для входного сигнала положительной полярности.]]
Устройство предназначено для запоминания экстремального (максимального или минимального) напряжения на входе, достигнутого за период времени с момента разряда конденсатора.

При замкнутом ключе конденсатор разряжен и выходное напряжение нулевое. Когда ключ разомкнут, экстремумы напряжения заряжают конденсатор через диод до значения экстремума. После достижения экстремума и последующем снижении по модулю входного напряжения значение экстремума сохраняется в виде заряда на конденсаторе до замыкания ключа или достижения бо́льшего экстремума.

В показанном на рисунке включении диода производится выборка максимальных входных положительных напряжений. Для выборки отрицательных максимальных по модулю напряжений диод включают в обратной полярности.

За счет действия отрицательной обратной связи через ОУ компенсируется ошибка выборки экстремума, вызванная относительной большим падением напряжения на диоде при прямом токе через него (для кремниевых диодов с ''p-n''-переходом — около {{num|0.6|В}}), что выгодно отличает схему пикового детектора с ОУ от простейшей схемы пикового детектора, представляющего последовательное соединение диода и конденсатора. Поэтому конденсатор заряжается практически точно до напряжения экстремума.

Другое преимущество этой схемы — очень большое входное сопротивление и, соответственно, малый входной ток, так как сигнал подаётся на неинвертирующий вход ОУ.

Длительность хранения напряжения достигнутого экстремума с достаточной точностью хранения ограничено разрядом конденсатора через диод, который почти всегда заперт и открывается только в моменты выборки экстремума, и собственными утечками через конденсатор (саморазряд конденсатора), которые обычно пренебрежимо мало по сравнению с утечками через диод, поэтому для увеличения времени хранения экстремума ёмкость конденсатора следует увеличивать.

С другой стороны, увеличение ёмкости конденсатора ухудшает точность выборки экстремумов с малой длительностью — коротких импульсов, так как конденсатор не успевает зарядиться до напряжения экстремума из-за ограничения выходного тока ОУ. Поэтому ёмкость конденсатора выбирают исходя из разумного компромисса в зависимости от назначения пикового детектора в конкретном электронном устройстве.
{{clear}}

=== Логарифмический усилитель ===
[[Файл:Opamplogarithm-e.svg|thumb|Инвертирующий логарифмический усилитель для входного сигнала положительной полярности]]
Так как напряжение на [[Полупроводниковый диод|полупроводниковом диоде]] с [[p-n-переход|''p-n''-переходом]] при прямом смещении на диоде и ток через диод связаны согласно уравнению [[Шокли, Уильям Брэдфорд|Шокли]]:

: <math>I_D = I_S ( e^{\frac{V_D}{V_T}} - 1 ),</math>

: где <math>I_D</math> — ток диода;
: <math>I_S</math> — ток насыщения при обратном смещении на диоде;
: <math>V_D</math> — прямое напряжение на диоде;
: <math>V_T</math> — температурный потенциал (температурное напряжение).

Температурный потенциал, в свою очередь, связан с температурой ''p-n''-перехода:

: <math>V_\mathrm{T} = \frac{k T}{q},</math>

: где <math>k</math> — [[постоянная Больцмана]];
: <math>T</math> — [[Термодинамическая температура|абсолютная температура]] ''p-n''-перехода;
: <math>q</math> — [[элементарный электрический заряд]].

При <math>T</math>{{nbsp}}= {{num|300|K}} температурный потенциал приблизительно равен {{num|25.85|[[Вольт|мВ]]}}.

Напряжение на диоде, выраженное через протекающий через него ток, из уравнения Шокли:

: <math>V_D = V_T \ln ( \frac{I_D}{I_S} + 1).</math>

Обратный ток насыщения <math>I_S</math> [[Кремний|кремниевых]] диодов при комнатной температуре очень мал, порядка единиц-десятков п[[Ампер|А]], поэтому отношение <math>\frac{I_D}{I_S} \gg 1</math> для прямых токов через диод, превышающих единицы наноампер. Пренебрегая единицей в слагаемом знаменателя можно приближённо положить:

: <math>V_D \simeq V_T \ln \frac{I_D}{I_S}.</math>

Так как входной ток идеального ОУ равен нулю, то, из 1-го [[правила Кирхгофа]], ток через резистор <math>I_R</math> равен току через диод, то есть:

: <math>I_D = I_R.</math>

С другой стороны, потенциал инвертирующего входа ОУ <math>V_-</math> равен 0 за счёт действия обратной связи, поэтому ток через резистор по [[Закон Ома|закону Ома]] равен:

: <math>I_R = \frac{V_{in}}{R}.</math>

Окончательно имеем:

: <math>V_D = V_{out} \simeq - V_T \ln \frac{V_{in}}{I_S \cdot R}.</math>

Знак минус указывает, что выходной сигнал инвертирован относительно входного.

Приведённая схема является логарифмическим усилителем (преобразователем) только для ''положительных входных напряжений''. При отрицательных напряжениях диод запирается, и реальный ОУ переходит в ограничение выходного напряжения — напряжения немного ниже напряжения положительного источника питания ОУ (<math>U_{cc}</math>).

В практическом устройстве по приведенной схеме достигается диапазон преобразования в несколько декад (при изменении входного напряжения на несколько порядков) изменения входного напряжения при удовлетворительной точности, но невысокой температурной стабильности.

Основным источником температурной нестабильности являются изменения обратного тока насыщения диода и изменение температурного потенциала — параметры, входящие в уравнение Шокли. В практических схемах логарифмических усилителей эти температурные дрейфы компенсируются схемными дополнениями — обычно с добавлением в схему дополнительного диода с параметрами, аналогичными «логарифмирующему» диоду. Часто в качестве диодов в этой схеме применяют p-n-переходы [[Биполярный транзистор|биполярных транзисторов]].

=== Экспоненцирующий усилитель ===
[[Файл:Opampexponential-e.svg|thumb|Инвертирующий экспоненцирующий усилитель для входного сигнала положительной полярности]]
Как описано в разделе «[[Применение операционных усилителей#Логарифмический усилитель|логарифмический усилитель]]» (обозначения в формулах см. этот раздел), согласно уравнению Шокли ток через полупроводниковый диоде с ''p-n''-переходом при прямом смещении на диоде и напряжение на нём связаны зависимостью:

: <math>I_D = I_S ( e^{\frac{V_D}{V_T}} - 1 ),</math>

: где <math>I_D</math> — ток диода;
: <math>I_S</math> — ток насыщения при обратном смещении на диоде;
: <math>V_D</math> — прямое напряжение на диоде;
: <math>V_T</math> — температурный потенциал (температурное напряжение).

Опять же, пренебрегая единицей в скобках, так как температурный потенциал мал по сравнению с прямым напряжением на диоде и <math>\exp \frac{V_D}{V_T} \gg 1</math> можно приблизительно положить:

: <math>I_D \simeq I_S \cdot \exp \frac{V_D}{V_T}.</math>

Так как входной ток идеального ОУ равен нулю, то, из 1-го [[правила Кирхгофа]], ток через резистор обратной связи равен току через диод, то есть:

: <math>I_D = I_R.</math>

Потенциал инвертирующего входа ОУ <math>V_-</math> равен 0 за счёт действия [[Отрицательная обратная связь|отрицательной обратной связи]], поэтому ток через резистор по закону Ома равен:

: <math>I_R = \frac{V_\mathrm{out}}{R}.</math>

Окончательно имеем:

: <math>V_\mathrm{out} \simeq - I_S \cdot R \cdot \exp \frac{V_\mathrm{in}}{V_T}.</math>

При указанной на рисунке полярности включения диода усилитель экспоненцирует только положительные входные напряжения. При отрицательном входном напряжении <math>V_\mathrm{in} < 0</math> диод запирается и выходное напряжение определяется только обратным током насыщения диода <math>I_S</math> который мал и потому близко к нулю:

: <math>V_\mathrm{out} = I_S \cdot R.</math>

Точность и температурная стабильность этого усилителя примерно те же, что и у логарифмического усилителя.
<!--{{В планах|элемент=подраздел|посвящён=экспоненцирующему усилителю|дата=31 октября 2016}}-->
{{clear}}

== Другие применения ==
* [[Регулятор напряжения]] и [[регулятор тока]]
* [[Стабилизатор напряжения#Последовательный компенсационный стабилизатор с применением операционного усилителя|Стабилизатор напряжения]]
* [[Аналого-цифровой преобразователь]]
* [[Цифро-аналоговый преобразователь]]
* [[Источник тока]]
* [[Генератор сигналов]]
* [[Активный фильтр]]
* [[Мультивибратор]]

== См. также ==
* [[Операционный усилитель с токовой обратной связью]]
* {{iw|Трансимпедансный операционный усилитель|||Operational transconductance amplifier}}
* {{iw|Частотная коррекция<!-- или компенсация? -->|||Frequency compensation}}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Список литературы ==
* {{книга|автор         = [[Хоровиц, Пауль|Хоровиц П.]], Хилл У.
 |часть         = 
 |заглавие      = Искусство схемотехники: В 2-х томах
 |оригинал      = The Art of Electronics: Second Edition (© Cambridge University Press, 1980)
 |ссылка        = 
 |ответственный = Пер. с англ. под ред. М. В. Гальперина, редакторы: Н. В. Серёгина, Ю. Л. Евдокимова
 |издание       = 
 |место         = М.
 |издательство  = Мир
 |год           = 1983
 |том           = 
 |страницы      = 
 |страниц       = т. 1: 568 с., т. 2: 590
 |серия         = 
 |isbn          = 
 |тираж         = 50000}}
* ''Sergio Franco.'' Design with Operational Amplifiers and Analog Integrated Circuits, 3rd Ed., McGraw-Hill, New York, 2002 ISBN 0-07-232084-2

== Ссылки ==
* {{cite web|url= https://web.archive.org/web/20060108060032/http://instruct1.cit.cornell.edu/courses/bionb440/datasheets/SingleSupply.pdf |title=Single supply op-amp circuit collection }}&nbsp;{{small|(163&nbsp;KiB)}}
* {{cite web|url= https://www.ti.com/lit/an/snla140d/snla140d.pdf |title=Op-amp circuit collection }}&nbsp;{{small|(2980&nbsp;|KiB)}}
* {{cite web|url= http://www.analog.com/static/imported-files/application_notes/28080533AN106.pdf |title=A Collection of Amp Applications }}&nbsp;{{small|(1.06&nbsp;MiB)}}&nbsp;– [[Analog Devices]] Application note
* {{cite web|url= http://www.ligo.caltech.edu/~vsanni/ph5/pdf/BasicOpAmpApplications.pdf |title=Basic OpAmp Applications }}&nbsp;{{small|(173&nbsp;KiB)}}
* {{cite web|url= http://focus.ti.com/lit/an/sboa092a/sboa092a.pdf |title=Handbook of operational amplifier applications }}&nbsp;{{small|(2.00&nbsp;MiB)}}&nbsp;– [[Texas Instruments]] Application note
* [http://focus.ti.com/analog/docs/gencontent.tsp?familyId=57&genContentId=28017 Low Side Current Sensing Using Operational Amplifiers] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090408192711/http://focus.ti.com/analog/docs/gencontent.tsp?familyId=57&genContentId=28017 |date=2009-04-08 }}
* {{cite web |url= http://www.national.com/an/AN/AN-30.pdf |title= Log/anti-log generators, cube generator, multiply/divide amp |url-status= dead |archive-url= https://web.archive.org/web/20080509065104/http://www.national.com/an/AN/AN-30.pdf |archive-date= 2008-05-09 }}&nbsp;{{small|(165&nbsp;KiB)}}
* [https://web.archive.org/web/20060215074343/http://www.edn.com/archives/1994/030394/05di7.htm Logarithmically variable gain from a linear variable component]
* [http://www.philbrickarchive.org/1964-1_v12_no1_the_lightning_empiricist.htm Impedance and admittance transformations using operational amplifiers] by D. H. Sheingold
* [http://www.linear.com/docs/4138 ''High Speed Amplifier Techniques ''] very practical and readable{{spaced ndash}}with photos and real waveforms
* [http://www.electronicproducts.com/Analog_Mixed_Signal_ICs/Amplifiers/Properly_terminating_an_unused_op_amp.aspx Properly terminating an unused op-amp]
[[Категория:Базовые электронные узлы]]