Просмотр кода страницы Проблема Варинга

'''Проблема Варинга''' — [[Теория чисел|теоретико-числовое утверждение]], согласно которому для каждого целого <math>n>1</math> существует такое число <math>k=k(n)</math>, что всякое [[натуральное число]] <math>N</math> может быть представлено в виде:
: <math>x_1^n+x_2^n+\ldots+x_k^n=N\quad</math>
с целыми неотрицательными <math>x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_k</math>.

Как гипотеза предложена в [[1770 год в науке|1770 году]] [[Варинг, Эдуард|Эдуардом Варингом]]<ref>''Waring E.'' Meditationes algebraicae. — Cambridge, 1770.</ref><ref name="БСЭ1 ВЭ">{{ВТ-БСЭ1|Варинг, Эдвард}}</ref>, доказана Гильбертом в [[1909 год в науке|1909 году]]. Уже после доказательства вокруг вопросов, как связанных с доказательством основной проблемы, так и с различными вариантами и обобщениями, проведено значительное количество исследований, в рамках которых получены примечательные результаты и развиты важные методы; в [[Математическая предметная классификация|Математической предметной классификации]] проблеме Варинга и связанным с ней исследованиям посвящён отдельный раздел третьего уровня<ref>[http://msc2010.org/mscwiki/index.php?title=11Pxx 11P05 Waring’s problem and variants] // Mathematical Subject Classification, 2010 {{Wayback|url=http://msc2010.org/mscwiki/index.php?title=11Pxx |date=20140606221403 }}</ref>.

== Основные результаты ==
До XX века проблему удавалось решить только в частных случаях, например, [[теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов|теоремой Лагранжа о сумме четырёх квадратов]] установлено <math>k=4</math> для проблемы в случае <math>n=2</math>.

Первое доказательство справедливости гипотезы было дано в 1909 году [[Гильберт, Давид|Гильбертом]]<ref>''Hilbert D.'' Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl ''n''-ter Potenzen (Waringsches Problem) // Mathematische Annalen, '''67''', pages 281—300 (1909)</ref>, оно было весьма объёмным и строилось на сложных аналитических конструкциях, включая пятикратные интегралы.

В 1920 году новое доказательство этой же теоремы дали [[Харди, Годфри Харолд|Харди]] и [[Литлвуд, Джон Идензор|Литлвуд]], разработав для этого специальный круговой метод<ref>''Hardy G. H., Littlwood J. E.'' // Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl., 1920. p. 33—54. IV: Math. Z., 1922, № 12, p. 161—188.</ref>. Они ввели две функции — <math>g(n)</math> и <math>G(n)</math>; <math>g(n)</math> — наименьшее <math>k</math> такое, что проблема Варинга разрешима при <math>N\geqslant 1</math>; <math>G(n)</math> — наименьшее <math>k</math> такое, что проблема Варинга разрешима при <math>N\geqslant N_0(n)</math>. (Ясно, что <math>G(n)\leqslant g(n)</math>.) Харди и Литтлвуд дали для <math>G(n)</math> оценку снизу <math>n<G(n)</math>, которая по порядку и по константе в общем случае не улучшена по состоянию на 2010-е годы, и оценку сверху, которая впоследствии была радикально улучшена. Эта функция с тех пор называется функцией Харди. Они также получили асимптотическую формулу для числа решений проблемы Варинга.

Таким образом, в результате исследования проблемы Варинга были разработаны мощные аналитические методы. Однако [[Линник, Юрий Владимирович (математик)|Линник]] в [[1942 год в науке|1942 году]] нашёл доказательство основной теоремы на базе элементарных методов<ref name=autogenerated1>''Линник Ю. В.'' Элементарное решение проблемы Waring’a по методу Шнирельмана // Мат. сб., 1943, т. 12, № 54, с. 218—230.</ref>.

Функция <math>g(n)</math> известна.
Для более фундаментальной функции <math>G(n)</math> получен ряд оценок сверху и снизу, однако её конкретные значения неизвестны даже для малых <math>n</math>.

=== Функция {{math|''g''(''n'')}} ===
[[Эйлер, Иоганн Альбрехт|Иоганн Эйлер]], сын [[Эйлер, Леонард|Леонарда Эйлера]], предположил около 1772 года<ref>''[[Эйлер, Леонард|Л. Эйлер]]'' Opera postuma (1), 203—204 (1862)</ref>, что:
: <math>g(n)=2^n+[(3/2)^n]-2</math>.
В 1940-е годы [[Диксон, Леонард|Леонард Диксон]], {{нп2|Пиллай, Субайя|Пиллай|en|Subbayya Sivasankaranarayana Pillai}}, {{нп2|Рубугундай, Рахунат Кришна|Рубугундай|en|R. K. Rubugunday}} и [[Нивен, Айвен|Нивен]]<ref>{{статья |заглавие=An unsolved case of the Waring problem |ссылка=https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1944-01_66_1/page/137 |издание=[[American Journal of Mathematics]] |том=66 |страницы=137—143 |номер=1 |doi=10.2307/2371901 |издательство=The Johns Hopkins University Press |jstor=2371901 |язык=en |автор=Niven, Ivan M. |год=1944 |тип=journal}}</ref> с учётом результата {{нп2|Малер, Курт|Малера|de|Kurt Mahler}}<ref>{{статья |заглавие=On the fractional parts of the powers of a rational number II |издание={{Нп3|Mathematika}} |том=4 |страницы=122—124 |язык=en |тип=journal |автор=Mahler, K. |год=1957}}</ref> доказали, что это верно за исключением конечного числа значений <math>n</math>, превышающих {{num|471600000}}. Существует гипотеза, что эта формула верна для всех натуральных чисел.

Несколько первых значений <math>g(n)</math>:
: 1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16 673, 33 203, 66 190, 132 055, …<ref>{{OEIS|A002804}}</ref>

Примечательно, что, например, для <math>n=3</math> только числа 23 и 239 не представимы суммой восьми кубов.

=== Функция {{math|''G''(''n'')}} ===
В [[1924 год в науке|1924 году]] [[Виноградов, Иван Матвеевич|Виноградов]] применил к проблеме Варинга свой [[метод тригонометрических сумм]]<ref>''Виноградов И. М.'' К вопросу о верхней границе для ''G''(''n'') // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1959, т. 23, № 5, с. 637—642.</ref>, это не только сильно упростило доказательство, но и открыло путь к принципиальному улучшению оценки для <math>G(n)</math>. После целого ряда уточнений он в 1959 году доказал, что:
: <math>G(n)<2n\log n+4n\log\log n+2n\log\log\log n+13n</math>.
Применяя сконструированную им <math>p</math>-адическую форму кругового метода Харди — Литтлвуда — Рамануджана — Виноградова к оценкам тригонометрических сумм, в которых суммирование ведётся по числам с малыми простыми делителями, [[Карацуба, Анатолий Алексеевич|Карацуба]] в 1985 году улучшил<ref>{{статья |заглавие=О функции ''G''(''n'') в проблеме Варинга |страницы=935—947 |издание=[[Известия РАН. Серия математическая.]] |номер=49:5 |язык=ru |автор=Карацуба, А. А. |год=1985 }}</ref> эту оценку. При <math>n\geqslant 400</math>:
: <math>G(n)<2n\log n+2n\log\log n+12n</math>.
В дальнейшем оценку улучшил [[Вули, Тревор|Вули]], сначала в работе 1992 года<ref>''Wooley T. D.'' Large improvements in Waring’s problem // Ann. of Math. 135 (1992), 131—164.</ref>, затем — в [[1995 год в науке|1995 году]]<ref>''Wooley T. D.'' New estimates for smooth Weyl sums // J. London Math. Soc. (2) 51 (1995), 1-13.</ref>:
: <math>G(n)\leqslant n\log n+n\log\log n+2+O(n \log\log n/\log n)</math>.
[[Воган, Боб|Воган]] и Вули написали о проблеме Варинга объёмную обзорную статью<ref name=Vaughan-Wooley>{{книга |ссылка=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.145.8949&rep=rep1&type=pdf |заглавие=Number Theory for the Millennium |том=III |издательство={{Нп3|A K Peters|A. K. Peters|en|A K Peters}} |страницы=301—340 |год=2002 |isbn=978-1-56881-152-9 |язык=und |автор=Vaughan R. C., Wooley T. D. |archive-date=2012-10-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20121015170503/http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.145.8949&rep=rep1&type=pdf }}</ref>, в которой результат Карацубы, опубликованный в 1985 году, относят к публикации Вогана 1989 года<ref>''Vaughan R. C.'' A new iterative method in Waring’s problem // Acta Math. 162 (1989), 1—71.</ref>.

{| class="wikitable" style="float:right; text-align: center"
! Границы<ref name=Vaughan-Wooley />
|-
| {{math|4 ≤ ''G''(2) ≤ 4}}
|-
| {{math|4 ≤ ''G''(3) ≤ 7}}
|-
| {{math|16 ≤ ''G''(4) ≤ 16}}
|-
| {{math|6 ≤ ''G''(5) ≤ 17}}
|-
| {{math|9 ≤ ''G''(6) ≤ 24}}
|-
| {{math|8 ≤ ''G''(7) ≤ 33}}
|-
| {{math|32 ≤ ''G''(8) ≤ 42}}
|-
| {{math|13 ≤ ''G''(9) ≤ 50}}
|-
| {{math|12 ≤ ''G''(10) ≤ 59}}
|-
| {{math|12 ≤ ''G''(11) ≤ 67}}
|-
| {{math|16 ≤ ''G''(12) ≤ 76}}
|-
| {{math|14 ≤ ''G''(13) ≤ 84}}
|-
| {{math|15 ≤ ''G''(14) ≤ 92}}
|-
| {{math|16 ≤ ''G''(15) ≤ 100}}
|-
| {{math|64 ≤ ''G''(16) ≤ 109}}
|-
| {{math|18 ≤ ''G''(17) ≤ 117}}
|-
| {{math|27 ≤ ''G''(18) ≤ 125}}
|-
| {{math|20 ≤ ''G''(19) ≤ 134}}
|-
| {{math|25 ≤ ''G''(20) ≤ 142}}
|}
Фактически величина <math>G(n)</math> известна только для двух значений аргумента, именно <math>G(2)=4</math> и <math>G(4)=16</math>.

==== Сумма квадратов: ''G(2)'' ====
{{main|Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов}}
В соответствии с [[Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов|теоремой Лагранжа]] любое натуральное число можно представить в виде суммы четырёх квадратов целых чисел. Также легко показать, что числа, дающие остаток 7 при делении на 8, не представимы в виде суммы менее чем 4 квадратов. Таким образом <math>G(2)=4</math>.

==== Сумма кубов: ''G(3)'' ====
Легко доказать, что <math>G(3)\geqslant 4</math>. Это следует из того, что кубы всегда [[Сравнение по модулю|сравнимы]] с 0, 1 или −1 по модулю 9.

Линник доказал, что <math>G(3)\leqslant 7</math> в 1943 году<ref name=autogenerated1 />.
Компьютерные эксперименты позволяют предположить, что эта оценка может быть улучшена до 4 (то есть <math>G(3)=4</math>), так как из чисел, меньших 1.3{{e|9}}, последнее число, которое потребует шесть кубов это {{num|1290740}}, и количество чисел между N и 2N, требующих пять кубов, падает при увеличении N с достаточно большой скоростью<ref>{{harvtxt|Nathanson|1996|p=71}}</ref>. Наибольшее известное число, которое, возможно, не представимо в виде суммы четырёх кубов, это {{num|7373170279850}}, и есть основания думать, что это наибольшее такое число<ref name="x7373170279850">{{статья |заглавие=7373170279850 |издание={{Нп3|Mathematics of Computation}} |том=69 |номер=229 |страницы=421—439 |doi=10.1090/S0025-5718-99-01116-3 |язык=en |автор=Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard; I. Gusti Putu Purnaba, Appendix by |год=2000 |тип=journal}}</ref>. Любое неотрицательное число можно представить в виде 9 кубов, и существует гипотеза, что наибольшие числа, требующие минимум 9, 8, 7, 6 и 5 кубов, это 239, 454, 8042, {{num|1290740}} и {{num|7373170279850}}<ref name=":0">{{Книга|автор=Władysław Narkiewicz|заглавие=Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT|ссылка=https://books.google.com/books?id=3SWNZaDM6iMC&pg=PA82|издательство=Springer Science & Business Media|год=2011-09-02|страниц=659|isbn=9780857295323}}</ref> соответственно, а их количество — 2, 17, 138, 4060, {{num|113936676}}<ref name=":0" /> соответственно.

==== Сумма четвёртых степеней: ''G(4)'' ====
Известно значение для <math>G(4)</math> — это 16. Этот результат доказал в 1930-е годы [[Дэвенпорт, Гарольд|Дэвенпорт]]<ref>''Davenport H.'' // Ann. of Math., 1939, № 40, p. 731—747</ref>.

* Для чисел вида 31·16<sup>n</sup> необходимо по крайней мере шестнадцать четвёртых степеней.
* Число {{num|79}} требует 19 четвёртых степеней.
* Число {{num|13792}} требует 17 четвёртых степеней.
Любое число, большее {{num|13792}}, может быть представлено в виде суммы не более чем шестнадцати четвёртых степеней. Это было доказано для чисел, меньших 10<sup>245</sup> в 2000 году<ref name="sixteen-biquadrates">{{статья |заглавие=Waring's Problem for sixteen biquadrates - numerical results |издание={{Нп3|Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux|Journal de théorie des nombres de Bordeaux||Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux}} |том=12 |страницы=411—422 |ссылка=http://www.math.ethz.ch/EMIS/journals/JTNB/2000-2/Dhl.ps |doi=10.5802/jtnb.287 |язык=und |автор=Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard |год=2000 |archivedate=2011-06-16 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110616201303/http://www.math.ethz.ch/EMIS/journals/JTNB/2000-2/Dhl.ps }}</ref>, а для остальных чисел в 2005 году<ref>{{Статья |автор=JM Deshouillers and K Kawada and TD Wooley |заглавие=On Sums of Sixteen Biquadrates (Mémoires de la Société Mathématique de France 100) |ссылка=https://research-information.bristol.ac.uk/en/publications/on-sums-of-sixteen-biquadrates-memoires-de-la-societe-mathematique-de-france-100(b556749d-c7df-43cf-acff-ba40ec572491)/export.html |язык=English |издание=Société Mathématique de France |год=2005}}</ref> улучшением результата Дэвенпорта.

==== Сумма пятых степеней: ''G(5)'' ====
{{num|617597724}} — это последнее число, меньшее 1.3{{e|9}}, которое потребует 10 пятых степеней, и {{num|51033617}} — это последнее число, меньшее 1.3{{e|9}}, которое потребует 11.
На основании компьютерных экспериментов есть основания полагать, что <math>G(5)<G(4)</math>. 
 
Помимо точных значений <math>G(n)</math> открытым остаётся вопрос и о числе решений проблемы Варинга при заданных параметрах и ограничениях. В посвящённых этому вопросу работах возможны формулировки вида: «проблема Варинга для 9 кубов с почти равными слагаемыми»<ref>''Мирзоабдугафуров К. И.'' [http://www.dissland.com/catalog/problema_varinga_dlya_devyati_kubov_s_pochti_ravnimi_slagaemimi.html=article Проблема Варинга для 9 кубов с почти равными слагаемыми] {{Wayback|url=http://www.dissland.com/catalog/problema_varinga_dlya_devyati_kubov_s_pochti_ravnimi_slagaemimi.html=article |date=20140606220736 }}. — Диссертация … кандидата физико-математических наук.</ref>.

== Обобщения ==

=== Проблема Варинга — Гольдбаха ===
Проблема Варинга — Гольдбаха ставит вопрос о представимости целого числа суммой степеней простых чисел, по аналогии с проблемой Варинга и [[Проблема Гольдбаха|проблемой Гольдбаха]].

Хуа Ло-кен, используя улучшенные методы Харди — Литлвуда и Виноградова, получил для числа простых слагаемых оценку сверху <math>O(n^2\log n)</math><ref>''Hua Lo Keng'' Additive theory of prime numbers // Translations of Mathematical Monographs, '''13''', American Mathematical Society, Providence, R. I., 1965, xiii+190 pp.</ref>.

На официальном сайте [[механико-математический факультет МГУ|механико-математического факультета МГУ]] по состоянию на 2014 год утверждается, полное решение проблемы Варинга — Гольдбаха в 2009 году нашёл [[Чубариков, Владимир Николаевич|Чубариков]]<ref name=ReferenceA>{{Cite web |url=http://www.math.msu.ru/dean |title=И. О. декана механико-математического факультета МГУ, заведующий кафедрой математических и компьютерных методов анализа, профессор Владимир Николаевич Чубариков |access-date=2014-10-31 |archive-date=2014-11-01 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141101013058/http://www.math.msu.ru/dean |deadlink=no }}</ref>, однако в единственной статье 2009 года<ref>''Чубариков В. Н.'' К проблеме Варинга — Гольдбаха // Доклады Академии наук. — 2009. Т. 427, № 1, с. 24—27</ref> даётся решение задачи, лишь в некотором смысле сходной с проблемой Варинга — Гольдбаха<ref>[http://www.zentralblatt-math.org/zbmath/search/?q=an%3A1220.11128 Рецензия: Zbl 1220.11128]</ref>.

=== Точность представления целого числа суммой степеней ===
Обобщением проблемы Варинга можно считать вопрос о точности представления целого числа суммой степеней целых, не решенный даже для степени равной <math>2</math>.

Все натуральные числа, за исключением чисел вида <math>4^m(8n+7),\;m,\;n=0,\;1,\;2,\;\ldots,</math> представимы в виде <math>x^2+y^2+z^2</math>. Естественно возникает вопрос: как близко к заданному числу <math>N</math> можно подойти суммой двух квадратов целых чисел? Так как <math>(n+1)^2-n^2=2n+1</math> и правая часть этого равенства имеет порядок корня квадратного из <math>n^2</math>, то одним квадратом можно подойти к <math>N</math> на расстояние порядка <math>N^{1/2}</math>. Следовательно, суммой двух квадратов можно подойти к <math>N</math> на расстояние порядка <math>N^{1/4}</math>. А можно ли подойти ближе? Со времен Эйлера стоит эта задача «без движения», хотя есть гипотеза о том, что
: <math>\min_{x,\;y\in Z}|N-x^2-y^2|\leqslant N^\varepsilon,</math>
где <math>\varepsilon>0,\;\varepsilon</math> — любое, <math>N\geqslant N_1(\varepsilon)</math>. Заменить <math>1/4</math> в предыдущем рассуждении на <math>1/4-c</math> со сколь угодно малым фиксированным <math>c>0</math>, не удаётся, и эта, на первый взгляд, простая задача не продвигается с середины XVIII века<ref>[http://dx.doi.org/10.4213/book231 Совр. пробл. матем., 2008, выпуск 11, с.22]</ref>.

=== Многомерный аналог проблемы Варинга ===
В своих дальнейших исследованиях по проблеме Варинга Карацуба получил<ref>{{статья |заглавие=Многомерный аналог проблемы Варинга |страницы=521—523 |издание=Докл. АН СССР |номер=295:3 |язык=und |автор=Архипов Г. И., Карацуба А. А. |год=1987}}</ref><ref>{{статья |заглавие=Waring's problem in several dimension |страницы=5—6 |издание=Mathem. Forschungs, Oberwolfach, Tagungsbericht |номер=42 |язык=und |автор=Karatsuba A. A. |год=1988}}</ref>
двумерное обобщение этой проблемы. Рассматривается система уравнений:
: <math>x_1^{n-i}y_1^i+\ldots+x_k^{n-i}y_k^i=N_i,\quad i=0,\;1,\;\ldots,\;n</math>,
:
где <math>N_i</math> — заданные положительные целые числа, имеющие одинаковый порядок роста, <math>N_0\to+\infty</math>, а <math>x_{\varkappa},\;y_{\varkappa}</math> — неизвестные, но также положительные целые числа. Согласно двумерному обобщению, эта система разрешима, если <math>k>cn^2\log n</math>, а если <math>k<c_1n^2</math>, то существуют такие <math>N_i</math>, что система не имеет решений.

== Родственные задачи ==
В теории [[Диофантово уравнение|диофантовых уравнений]] близкими к проблеме Варинга являются задачи представления натурального числа суммой значений [[многочлен]]а одной переменной и [[однородный многочлен|однородным многочленом]] нескольких переменных. Известно, что любое натуральное число представимо суммой трёх [[треугольное число|треугольных чисел]] <math>T_n={n+1 \choose 2} </math>, а все достаточно большие нечётные целые представимы [[Трёхчленная квадратичная форма Рамануджана|трёхчленной квадратичной формой Рамануджана]] <math>x^2+y^2+10z^2</math>. Согласно теореме Лагранжа о сумме четырёх квадратов и [[Теорема Лежандра о трёх квадратах|теореме Лежандра о трёх квадратах]] и для того, и для другого требуется сумма не менее четырёх квадратов.

Проблемой Варинга в научных статьях могут называться и более частные задачи<ref>[http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=znsl&paperid=5296&option_lang=rus О проблеме Варинга для тернарной квадратичной формы и произвольной четной степени]</ref>.

== Примечания ==
{{примечания|colwidth=30em}}

== Литература ==
{{wikisource|de:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 11|Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem)}}
* {{книга
|часть =
|заглавие = Математический энциклопедический словарь
|оригинал =|автор =|ссылка =https://archive.org/details/libgen_00008537|isbn = 
|страницы = [https://archive.org/details/libgen_00008537/page/n845 847]
|год = 1988
|место =  М.
|издательство = [[Большая Российская энциклопедия (издательство)|«Сов. энциклопедия»]]
}}
* {{книга
|часть =
|заглавие = Элементарные методы в аналитической теории чисел
|оригинал =|автор =|ссылка =|isbn = 
|страницы = 272
|год = 1962
|место =  М.
|издательство = Физматгиз
}}
* {{книга |заглавие=Additive Number Theory: The Classical Bases |том=164 |серия=[[Graduate Texts in Mathematics]] |издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |год=1996 |isbn=0-387-94656-X |zbl=0859.11002 |ref=Nathanson |язык=en |автор=Nathanson, Melvyn B.}}
* [http://www.mathnet.ru/links/ea2f035d2847e905f2ae7231af7f65ad/fpm260.pdf ''А. Буфетов, А. Я. Канель''. Новое элементарное решение проблемы Варинга. — Фундамент. и прикл. матем., 3:4 (1997), 1239–1252]
* [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=7060&option_lang=rus Б. И. Сегал, Тригонометрические суммы и некоторые их применения к теории чисел] - содержит полное изложение метода Харди-Литтлвуда на русском языке

{{внешние ссылки}}
[[Категория:Аналитическая теория чисел]]
[[Категория:Аддитивная теория чисел]]