Просмотр кода страницы Проблема Гильберта — Арнольда

{{hatnote|Проблемой Гильберта—Арнольда также иногда называют [[Инфинитезимальная 16-я проблема Гильберта|инфинитезимальную 16-ю проблему Гильберта]].}}
'''Проблема Гильберта — Арнольда''' в [[динамические системы|теории динамических систем]] относится к классу задач, связанных с оценкой числа [[предельный цикл|предельных циклов]]. В ней требуется доказать, что в [[типичность (математика)|типичном]] конечно-параметрическом семействе [[гладкая функция|гладких]] [[векторное поле|векторных полей]] на сфере с [[Компактное пространство|компактной]] базой параметров число [[предельный цикл|предельных циклов]] равномерно ограничено по всем значениям параметра. Данная проблема исторически связана с [[Шестнадцатая проблема Гильберта|16-й проблемой Гильберта]]. В настоящий момент (2009) решены только некоторые упрощенные версии проблемы Гильберта — [[Арнольд, Владимир Игоревич|Арнольда]].

== Математический контекст и постановка задачи ==
Напомним один из вариантов 16-й проблемы Гильберта. Рассмотрим систему [[полином]]иальных [[обыкновенное дифференциальное уравнение|дифференциальных уравнений]] на плоскости
{{формула| <math>
	\begin{cases}
		\dot x=P_n(x,y),\\
		\dot y=Q_n(x,y),
	\end{cases}\quad (x,y)\in \mathbb R^2,
</math>|*}}
где <math>P_n</math>, <math>Q_n</math> — многочлены степени не выше <math>n</math>.

{{problem|Экзистенциальная проблема Гильберта}} Доказать, что для всякого <math>n\in \mathbb N</math> существует такое число <math>H(n)<\infty</math>, что любая система вида (*) обладает не более чем <math>H(n)</math> предельными циклами.
{{/problem}}

Числа <math>H(n)</math> называются ''числами Гильберта для предельных циклов''.

Для дальнейшего, нам будет удобно перейти к [[Компактное пространство|компактному]] [[фазовое пространство|фазовому пространству]] и компактной базе параметров. Для этого мы используем приём, известный как [[компактификация Пуанкаре]]. Продолжая полиномиальное векторное поле на плоскости до [[аналитическая функция|аналитического]] [[поле направлений|поля направлений]] на [[проективная плоскость|проективной плоскости]] мы компактифицируем базу параметров, а затем используя [[центральная проекция|центральную проекцию]] сферы на проективную плоскость, получаем аналитическое поле направлений на сфере (с конечным числом особых точек). Тем самым, в пространстве всех аналитических полей направлений на сфере выделяется конечно-параметрическое семейство полей с компактной базой параметров, порождаемых полиномиальными системами заданной степени. При этом экзистенциальная проблема Гильберта становится частным случаем следующей (более сильной) гипотезы:
{{problem|Проблема глобальной конечности}} В ''любом''  конечно-параметрическом аналитическом семействе аналитических векторных полей на сфере с компактной базой параметров <math>B</math> число предельных циклов равномерно ограничено при всех значениях параметра <math>\varepsilon\in B</math>.
{{/problem}}

Полиномиальные векторные поля представляют собой естественный пример конечно-параметрического семейства, и на момент постановки 16-й проблемы Гильберта это было, вероятно, единственным известным явным семейством такого рода.  Однако со временем подходы изменились, и внимание математиков стали привлекать вопросы не о конкретном семействе, а о свойствах [[типичность (математика)|типичных]] семейств из некоторого класса. В ходе работы над обзором {{lcite|AAIS}} (1986), [[В. И. Арнольд]] предложил рассматривать конечно-параметрические семейства [[гладкая функция|гладких]] векторных полей и сформулировал несколько гипотез на эту тему.

Какие содержательные вопросы можно задавать о предельных циклах в типичных конечно-параметрических семействах? Очевидно, прямой аналог 16-й проблемы Гильберта в данном случае не имеет смысла: у типичной гладкой системы на сфере может быть сколь угодно большое число гиперболических предельных циклов, не разрушаемых малым шевелением, а значит спрашивать о верхней оценке на число предельных циклов в типичном семействе бессмысленно.  Однако, гладкий аналог гипотезы глобальной конечности имеет смысл. Он был сформулирован явно [[Ильяшенко, Юлий Сергеевич|Ю. С. Ильяшенко]] {{lcite|I94}} и получил название '''проблемы Гильберта — Арнольда''':
{{problem|Проблема Гильберта — Арнольда}} В любом типичном конечно-параметрическом семействе гладких векторных полей на сфере с компактной базой параметров число предельных циклов равномерно ограничено при всех значениях параметра.
{{/problem}}
Аналитические семейства весьма сложны для изучения — например, они не допускают локальных возмущений в окрестности точки, поэтому нет оснований считать, что решение проблемы Гильберта — Арнольда само по себе позволит доказать гипотезу глобальной конечности, а с ней и 16-ю проблему Гильберта. Однако, исследователи полагают, что изучение гладких векторных полей может дать полезные идеи по поводу 16-й проблемы, а также представляет собой самостоятельную содержательную задачу.

== Локальная проблема Гильберта — Арнольда ==
[[Файл:Saddle separatrix loop polycycle.svg|thumb|300px|right|Полицикл]]
Благодаря компактности базы параметров и фазового пространства, мы можем свести проблему Гильберта — Арнольда к локальной проблеме изучения [[бифуркация (математика)|бифуркаций]] специальных вырожденных векторных полей.  Напомним необходимые определения.
{{definition}} ''[[Полицикл]]ом''  векторного поля называется циклически занумерованный набор особых точек <math>p_1,\ldots,p_n</math> (возможно, с повторениями) и набор дуг фазовых кривых <math>\gamma_1,\ldots,\gamma_n</math> (без повторений), последовательно соединяющих указанные особые точки — то есть дуга <math>\gamma_j</math> соединяет точки <math>p_j</math> и <math>p_{j+1}</math>, где <math>p_{n+1}\equiv p_1</math>, <math>j = 1,\ldots,n</math>.
{{/definition}}
Определим «цикличность полицикла», то есть количество предельных циклов, рождающихся при его бифуркации:
{{definition}} Рассмотрим некоторое семейство векторных полей <math>\{v_\varepsilon(x)\}_{\varepsilon\in B^k}</math>.  Пусть при <math>\varepsilon=\varepsilon_*</math> система имеет полицикл <math>\gamma</math>.  ''Цикличностью'' полицикла <math>\gamma</math> в семействе <math>\{v_\varepsilon\}</math> называется такое минимальное число <math>\mu</math>, что найдется такая окрестность полицикла <math>U\supset \gamma</math> и такая окрестность <math>V</math>  критического значения параметра (<math>\mathbb R^k \supset V \ni \varepsilon_*</math>), что для всех <math>\varepsilon \in V</math> в области <math>U</math> одновременно существует не более <math>\mu</math> предельных циклов, причем [[метрика Хаусдорфа|хаусдорфово расстояние]] между этими циклами и <math>\gamma</math> стремится к нулю при <math>\varepsilon \to \varepsilon_*</math>.
{{/definition}}
Таким образом, цикличность зависит не только от векторного поля, содержащего полицикл, но и от семейства, в которое оно включается.

{{definition}} ''Бифуркационным числом''  <math>B(k)</math> называется максимальная цикличность нетривиального полицикла в типичном <math>k</math>-параметрическом семействе гладких векторных полей на сфере.
{{/definition}}

Определение бифуркационного числа уже не зависит от семейства, а только от размерности пространства параметров. Сформулируем '''локальную проблему Гильберта — Арнольда''':

{{problem}} Доказать, что для всякого <math>k>0</math> существует <math>B(k)<\infty</math>, и найти явную верхнюю оценку.
{{/problem}}
Из соображений компактности следует, что если в некотором семействе число предельных циклов не ограничено, то они обязаны накапливаться к какому-то полициклу, имеющему тем самым бесконечную цикличность. Таким образом, решение локальной проблемы Гильберта — Арнольда влечет за собой решение глобальной.

Локальная проблема Гильберта — Арнольда решена для <math>k=1</math> и <math>k=2</math> (<math>B(1)=1</math>, <math>B(2)=2</math>). Для <math>k=3</math> существует стратегия решения, но она в настоящий момент не завершена. Применение этой же стратегии для оценки <math>B(4)</math> представляется совершенно безнадежной задачей.  Основные результаты в этой области для произвольных <math>k</math> получены для упрощенной версии локальной проблемы Гильберта—Арнольда, в которой рассматриваются только полициклы, содержащие лишь ''элементарные'' особые точки.
{{definition}} Особая точка называется ''элементарной'', если её [[линеаризация|матрица линеаризации]] имеет хотя бы одно ненулевое [[собственное значение]]. Полицикл называется ''элементарным'' , если все его вершины являются элементарными особыми точками.

''Элементарным бифуркационным числом'' <math>E(k)</math> называется максимальная цикличность элементарного полицикла в типичном <math>k</math>-параметрическом семействе.
{{/definition}}
{{theorem|Ю. С. Ильяшенко, С. Ю. Яковенко, 1995 {{lcite|IYa}}}} Для всякого <math>k>0</math> существует <math>E(k)<\infty</math>.
{{/theorem}}
{{theorem|В. Ю. Калошин, 2003 {{lcite|K}}}} Для всякого <math>k>0</math> справедлива оценка <math>E(k)<25^{k^2}</math>.
{{/theorem}}

== Литература ==

* <cite style="font-style:normal" id=refAAIS>[AAIS] {{Статья:ААИШ-ДС5}}</cite>
* <cite style="font-style:normal" id="refI94">[I94] {{статья|автор=Yu. Ilyashenko.|заглавие=Normal forms for local families and nonlocal bifurcations|издание=Asterisque|volume=Vol.222|год=1994|страницы=233—258}}</cite>
* <cite style="font-style:normal" id="refIYa">[IYa] {{статья|автор=Ю. С. Ильяшенко, С. Ю. Яковенко.|заглавие=Конечно-гладкие нормальные формы локальных семейств диффеоморфизмов и векторных полей|издание=[[Успехи математических наук|УМН]]|том=46|номер=1(277)|год=1991|страницы=3–39|ссылка=http://mi.mathnet.ru/umn4566}}</cite>
* <cite style="font-style:normal" id="refK01">[K01] {{статья|автор=В. Ю. Калошин.|заглавие=Проблема Гильберта–Арнольда и оценка цикличности полициклов на плоскости и в пространстве|издание=Функц. анализ и его прил|ссылка=http://mi.mathnet.ru/faa249|том=35|номер=2|год=2001|pages=78–81}}</cite>
* <cite style="font-style:normal" id="refIK">[IK] {{статья|автор=Ilyashenko, Yu., Kaloshin, V.|заглавие=Bifurcations of planar and spatial polycycles: Arnold's program and its development.|издание=Fields Inst.  Commun|volume=24|pages=241—271|год=1999}}</cite>
* <cite style="font-style:normal" id="refK">[K] {{статья|автор=V. Kaloshin.|заглавие=The Existential Hilbert 16-th Problem and an Estimate for Cyclicity of Elementary Polycycles|ссылка=https://archive.org/details/sim_inventiones-mathematicae_2003-02_151_2/page/n232|издание=Invent. math|volume=151|pages=451—512|год=2003}}</cite>
<!-- * <cite id="refKS"> [AS] A. Kotova, V. Stanzo, ''Few-Parameter Generic Families on the Sphere'', Amer. Math.  Soc. Translations, Providence, RI, Ser. 2, 213,1996 155-202</cite> -->

{{Вклад Давида Гильберта в науку}}
[[Категория:Динамические системы]]
[[Категория:Открытые математические проблемы]]