Просмотр кода страницы Проблема Гольдбаха

'''Проблема Гольдбаха''' (''гипотеза Гольдбаха'', ''проблема Эйлера'', ''бинарная проблема Гольдбаха'') — утверждение о том, что любое [[чётное число]], начиная с 4, можно представить в виде суммы двух [[простое число|простых чисел]]. Является [[Открытые математические проблемы|открытой математической проблемой]] — по состоянию {{на|2025}} утверждение не доказано. В совокупности с [[Гипотеза Римана|гипотезой Римана]] включена в список [[проблемы Гильберта|проблем Гильберта]] под номером [[Восьмая проблема Гильберта|8]].

Более слабый вариант гипотезы — '''тернарная проблема Гольдбаха'''{{переход|#Тернарная проблема Гольдбаха}}, согласно которой любое [[нечётное число]], начиная с 7, можно представить в виде суммы трёх [[простое число|простых чисел]], — в [[2013 год в науке|2013 году]] доказана перуанским математиком [[Хельфготт, Харальд|Харальдом Гельфготтом]]. Из справедливости бинарной проблемы Гольдбаха очевидным образом следует тернарная: если каждое чётное число, начиная с 4, — сумма двух простых чисел, то, добавляя 3 к каждому чётному числу, можно получить все нечётные числа, начиная с 7. Вообще, проблема представления натурального числа суммой ограниченного количества простых чисел называется ''ослабленной проблемой Гольдбаха''.

Эквивалентная формулировка бинарной гипотезы Гольдбаха: любое целое число больше 1 может быть представлено как среднее арифметическое двух (возможно, одинаковых) простых чисел. 

== История ==
[[Файл:Letter Goldbach-Euler.jpg|мини|200px|Письмо Гольдбаха Эйлеру, датированное 7 июня 1742 (латынь — немецкий)<ref>{{книга|автор=|часть=Lettre XLIII. Goldbach à Euler |заглавие=Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle|оригинал= |ссылка=https://books.google.com/books?id=OGMSAAAAIAAJ&pg=PA125|издание=|ответственный=Ed.: P. H. Fuss|место=St.-Pétersbourg|издательство=L'Académie Impériale des Sciences|год=1843|том=1|страницы=125—129|страниц=|isbn=|тираж=|язык=de}}</ref>]]
В [[1742 год в науке|1742 году]] математик [[Гольдбах, Христиан|Христиан Гольдбах]] послал письмо [[Эйлер, Леонард|Леонарду Эйлеру]], в котором он высказал следующее предположение: каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.

Эйлер заинтересовался проблемой и выдвинул более сильную гипотезу: каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Первое утверждение называется ''«тернарной проблемой Гольдбаха»'', второе — ''«бинарной проблемой Гольдбаха»'' (или ''«проблемой Эйлера»'').

{{якорь|Гипотеза Варинга о простых числах}}Гипотезу, сходную с тернарной проблемой Гольдбаха, но в более слабой форме, высказал [[Варинг, Эдуард|Варинг]] в [[1770 год в науке|1770 году]]: каждое нечётное — простое число или сумма трёх простых.

== Тернарная проблема Гольдбаха ==
В [[1923 год в науке|1923 году]] математики [[Харди, Годфри Харолд|Харди]] и [[Литлвуд, Джон Идензор|Литлвуд]] показали, что в случае справедливости некоторого обобщения [[гипотеза Римана|гипотезы Римана]] проблема Гольдбаха верна для всех достаточно больших нечётных чисел.

В [[1937 год]]у [[Виноградов, Иван Матвеевич|Виноградов]] представил доказательство, не зависящее от справедливости гипотезы Римана, то есть доказал, что любое достаточно большое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх простых. Сам Виноградов не дал явной оценки для этого «достаточно большого числа», но его студент [[Бороздин, Константин Васильевич|Константин Бороздин]] доказал, что нижняя граница не превышает 3<sup>3<sup>15</sup></sup> ≈ 3,25×10<sup>6 846 168</sup> ≈ 10<sup>6 846 168</sup>. То есть это число содержит почти 7 миллионов цифр, что делает невозможной [[полный перебор|прямую проверку]] всех меньших чисел.

В дальнейшем результат Виноградова многократно улучшали, пока в [[1989 год в науке|1989 году]] Ван и Чэнь не опустили<ref>J. R. Chen and T. Z. Wang, On the odd Goldbach problem, Acta Mathematica Sinica 32 (1989), 702—718. Addendum 34 (1991) 143—144.</ref> нижнюю грань до ''e''<sup>''e''<sup>11,503</sup></sup> ≈ 3,33339×10<sup>43 000</sup> ≈ 10<sup>43 000,5</sup>, что, тем не менее, по-прежнему было вне пределов досягаемости для явной проверки всех меньших чисел.

В [[1997 год]]у [[Дезуйе, Жан-Марк|Дезуйе]], [[Эффингер, Гоув|Эффингер]], [[Те Риле, Херман|те Риле]] и [[Зиновьев, Дмитрий Викторович|Зиновьев]] показали<ref>[http://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=62381 Jean-Marc Deshouillers] {{Wayback|url=http://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=62381 |date=20121025003123 }}, [http://www.skidmore.edu/~effinger/ Gove Effinger] {{Wayback|url=http://www.skidmore.edu/~effinger/ |date=20121001024316 }}, [http://homepages.cwi.nl/~herman/ Herman te Riele] {{Wayback|url=http://homepages.cwi.nl/~herman/ |date=20120329151440 }}, [http://cool.iitp.ru/personal/dm_zinoviev/onepage.htm  Dmitrii Zinoviev] {{Wayback|url=http://cool.iitp.ru/personal/dm_zinoviev/onepage.htm |date=20140829034816 }}, [https://dx.doi.org/10.1090/S1079-6762-97-00031-0 A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis], Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, Vol. 3, pp. 99—104. 1997.</ref>, что [[Гипотеза Римана|обобщённая гипотеза Римана]] влечёт справедливость тернарной проблемы Гольдбаха. Они доказали её справедливость для чисел, превышающих 10<sup>20</sup>, в то время как справедливость утверждения для меньших чисел легко устанавливается на компьютере.

В [[2013 год]]у тернарная гипотеза Гольдбаха была окончательно доказана [[Хельфготт, Харальд|Харальдом Гельфготтом]]<ref>{{Cite web |url=https://plus.google.com/114134834346472219368/posts/8qpSYNZFbzC |title=Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has…|lang=en|access-date=2013-06-10 |archive-date=2017-03-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20170322033102/https://plus.google.com/114134834346472219368/posts/8qpSYNZFbzC|url-status=dead}}</ref><ref>[http://arxiv.org/abs/1305.2897 Major arcs for Goldbach’s theorem] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/1305.2897 |date=20130729103651 }}, H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897</ref><ref>[http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2013/05/15/goldbach-variations/ Goldbach Variations] {{Wayback|url=http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2013/05/15/goldbach-variations/ |date=20131216021654 }} // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013</ref><ref>[http://www.sciencemag.org/content/340/6135/913.summary Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory] {{Wayback|url=http://www.sciencemag.org/content/340/6135/913.summary |date=20130623011558 }} // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 [[doi:10.1126/science.340.6135.913]]</ref>.

== Бинарная проблема Гольдбаха ==
Бинарная проблема Гольдбаха всё ещё далека от решения. Она является одной из четырёх [[Теория чисел|теоретико-числовых]] гипотез ([[Проблемы Ландау|проблем Ландау]]), выделенных в 1912 году [[Ландау, Эдмунд Георг Герман|Эдмундом Ландау]] как главные и «неприступные при текущем состоянии математики» в докладе на [[Международный конгресс математиков|Международном конгрессе математиков]]. 

[[Виноградов, Иван Матвеевич|Виноградов]] в [[1937 год в науке|1937 году]] и Теодор Эстерманн в [[1938 год в науке|1938 году]] показали, что почти все чётные числа представимы в виде суммы двух простых чисел. Этот результат был немного усилен в [[1975 год в науке|1975 году]] {{нп2|Монтгомери, Хью (математик)|Хью Монтгомери|en|Hugh Montgomery (mathematician)|Hugh Montgomery}} и {{нп2|Вон, Боб|Бобом Воном|en|Bob Vaughan}}. Они показали, что существуют положительные константы {{math|''c''}} и {{math|''C''}} такие, что количество чётных чисел, не больших {{math|''N''}}, непредставимых в виде суммы двух простых чисел, не превышает <math>CN^{1-c}</math>.

В [[1930 год]]у [[Шнирельман, Лев Генрихович|Шнирельман]] доказал, что любое целое число представимо в виде суммы не более чем {{formatnum:800000}} простых чисел<ref>{{книга|автор=Курант Р., Роббинс Г. |часть=|заглавие=Что такое математика?|оригинал= |ссылка=http://reslib.com/book/Chto_takoe_matematika___Kurant_R__#60|издание=3-e изд., испр. и доп|ответственный=|место= М.|издательство=МЦНМО|год=2001|том=|страницы=|страниц=|isbn=|тираж=|язык=ru}}</ref>. Этот результат многократно улучшался, так, в [[1995 год в науке|1995 году]] [[Рамаре, Оливье|Оливье Рамаре]] доказал, что любое чётное число — сумма не более чем 6 простых чисел.

Из справедливости тернарной гипотезы Гольдбаха (доказанной в 2013 году) следует, что любое чётное число — сумма не более чем четырёх простых чисел.

В [[1966 год в науке|1966 году]] [[Чэнь Цзинжунь]] [[Теорема Чена|доказал]], что любое достаточно большое чётное число представимо или в виде суммы двух простых чисел, или же в виде суммы простого числа и [[Полупростое число|полупростого]] (произведения двух простых чисел). Например, 100 = 23 + 7 · 11.

На апрель [[2012 год]]а бинарная гипотеза Гольдбаха была проверена<ref>{{MathWorld|urlname=GoldbachConjecture|title=Goldbach Conjecture}}</ref> для всех чётных чисел, не превышающих 4×10<sup>18</sup>.

Если бинарная гипотеза Гольдбаха неверна, то существует [[алгоритм]], который рано или поздно обнаружит её нарушение.

Бинарная гипотеза Гольдбаха может быть переформулирована как утверждение о [[Неразрешимость|неразрешимости]] [[Диофантово уравнение|диофантова уравнения]] 4-й степени некоторого специального вида<ref>Yuri Matiyasevich. [http://www.claymath.org/events/h10/matiyasevich2.pdf Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done] {{Wayback|url=http://www.claymath.org/events/h10/matiyasevich2.pdf |date=20100613113440 }}.</ref><ref>{{книга |автор=[[Матиясевич, Юрий Владимирович|Матиясевич Ю. В.]] |заглавие=Десятая проблема Гильберта |язык=ru|издательство=Наука |год=1993|с=107}} <cite>[…] мы можем переформулировать гипотезу Гольдбаха как утверждение о том, что диофантово уравнение <math>(2a+4-p_1-p_2)^2 + \mathbf P^2(p_1, x_1, \dots, x_m) + \mathbf P^2(p_2, y_1, \dots, y_m) = 0</math> разрешимо относительно <math>p_1, p_2, x_1, \dots, x_m, y_1, \dots, y_m</math> при всех значениях параметра <math>a</math></cite></ref>.

== В культуре ==
В 1992 году вышел в свет и получил чрезвычайную популярность «роман идей» [[Доксиадис, Апостолос Константину|Апостолоса Доксиадиса]] «[[Дядя Петрос и проблема Гольдбаха]]». В рекламных целях издательство «[[Faber and Faber]]» пообещало миллион долларов тому из читателей, кто в течение двух лет после тиража даст решение задачи. Роман был переведён на десятки языков, в 2002 году появился его русский перевод<ref>[https://www.ozon.ru/context/detail/id/1050244/ Дядя Петрос и проблема Гольдбаха] ({{Wayback|url=https://www.ozon.ru/context/detail/id/1050244/ |date=20170914220230 }}) на сайте Ozon.</ref>.

Проблема Гольдбаха является важной составляющей сюжетов фильма «[[Западня Ферма]]», вышедшего в 2007 году, и пилотной серии сериала «[[Льюис (телесериал)|Льюис]]» (2006 год), а также фильма «Теория простых чисел», вышедшего в [[2023]] году.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{МатЭнц|1|автор=Бредихин Б. М.|статья=Аддитивные проблемы|ссылка=|столбцы=94—95}}
* {{МатЭнц|1|автор=[[Карацуба, Анатолий Алексеевич|Карацуба А. А.]]|статья=Гольдбаха проблема|ссылка=|столбцы=1035}}
* {{книга|автор=Прахар К. П. |заглавие=Распределение простых чисел |язык=ru|место=М. |издательство=«[[Мир (издательство)|Мир]]»|год=1967|страниц=512}}
* {{книга |автор=[[Стюарт, Иэн (математик)|Стюарт И.]] |язык=ru|часть=Территория простых чисел. Проблема Гольдбаха |заглавие=Величайшие математические задачи |место=М. |издательство=[[Альпина нон-фикшн]] |год=2016 |страниц=460 |isbn=978-5-91671-507-1 |ref=Стюарт}}

== Ссылки ==
* {{cite web
 |url         = http://lenta.ru/articles/2013/06/17/goldbach/
 |title       = Бог любит троицу
 |subtitle    = Решена одна из старейших и сложнейших математических задач
 |author      = [[Коняев, Андрей Юрьевич|Коняев, Андрей]]
 |date        = 2013-06-17
 |work        = 
 |publisher   = [[Лента.ру]]
 |accessdate  = 2016-01-21
 |lang        = ru
 |description = О завершении доказательства тернарной проблемы Гольдбаха
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20130619040151/http://lenta.ru/articles/2013/06/17/goldbach/
 |archivedate = 2013-06-19
}}
* ''Петров С.'' [http://samlib.ru/p/petrow_s/ap2.shtml#goldcon Абсолютное программирование. Рекурсия] — пример типичной псевдоматематической попытки доказательства проблемы Гольдбаха методом просеивания.
{{вс}}
{{Гипотезы о простых числах}}

[[Категория:Аддитивная теория чисел]]
[[Категория:Гипотезы о простых числах|Гольдбаха]]
[[Категория:Аналитическая теория чисел]]
[[Категория:Теория простых чисел]]
[[Категория:Появились в 1742 году]]