Просмотр кода страницы Программа Ленглендса

{{стиль статьи|дата=2023-07-04}}
'''Программа Ленглендса''' — сеть далеко идущих [[Гипотеза (математика)|математических гипотез]] о связях между [[теория чисел|теорией чисел]] и [[геометрия|геометрией]], предложенная [[Роберт Ленглендс|Робертом Ленглендсом]] в 1967-1970 гг. Основная цель — связать [[группа Галуа|группы Галуа]] в [[алгебраическая теория чисел|алгебраической теории чисел]] с [[автоморфная форма|автоморфными формами]] и [[представление группы|теорией представлений]] [[алгебраическая группа|алгебраических групп]] над [[локальное поле|локальными полями]] и [[Кольцо аделей|аделями]]. Считается одним из крупнейших математических исследовательских проектов XX века, отмечалась [[Эдвард Френкель|Эдвардом Френкелем]] как «теория великого объединения математики»<ref>{{cite web |first= |last= |title=Math Quartet Joins Forces on Unified Theory |work=[[Quanta Magazine|Quanta]] |date=2015-12-08 |url=https://www.quantamagazine.org/math-quartet-joins-forces-on-unified-theory-20151208/ |access-date=2018-07-13 |archive-date=2021-06-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210623054926/https://www.quantamagazine.org/math-quartet-joins-forces-on-unified-theory-20151208/ |deadlink=no }}</ref>.

За разработку программы Ленглендс получил [[премия Абеля|премию Абеля]] в 2018 году.<ref>{{Cite web|url=https://abelprize.no/abel-prize-laureates/2018|title=Abel Prize 2018}}</ref>

== Контекст ==
Программа Ленглендса построена на разработанных ранее идеях: это [[философия параболических форм]], сформулированная несколькими годами ранее [[Хариш-Чандра|Хариш-Чандрой]] и [[Израиль Гельфанд|Израилем Гельфандом]] в 1963 году, работы Хариш-Чандры по [[полупростая группа Ли|полупростым группам Ли]], а в техническом плане — [[формула следа Сельберга]].

Основная новизна работ Ленглендса, помимо технической глубины, состояла в гипотезах о прямой связи теории автоморфных форм и теории представлений с теорией чисел, в частности о соответствии между морфизмами в этих теориях [[функтор (математика)|(функториальность]]).

Например, в работе Хариш-Чандры можно найти принцип, согласно которому то, что можно сделать для одной [[полупростая алгебра Ли|полупростой]] (или редуктивной) [[группа Ли|группы Ли]], должно быть сделано для всех. Поэтому, как только была признана роль некоторых малоразмерных групп Ли, таких как <math>\mathrm{GL}(2)</math> в теории модулярных форм и с ретроспективным взглядом <math>\mathrm{GL}(1)</math> в [[теория полей классов|теории полей классов]], путь был открыт как минимум к предположению о <math>\mathrm{GL}(n)</math> для общего случая <math>n>2</math>.

Идея {{нп2|параболическая форма|параболических форм|en|cusp form}} появилась из [[касп|заострений]] на [[модулярная кривая|модулярных кривых]], но также имела смысл, видимый в [[Спектральная теория|спектральной теории]] как [[Спектр оператора|дискретный спектр]], контрастирующий с [[Спектр оператора|непрерывным спектром]] из [[Ряды Эйзенштейна|рядов Эйзенштейна]]. Он становится гораздо более техническим для больших групп Ли, потому что [[Подгруппа Бореля#Параболические подгруппы|параболические подгруппы]] более многочисленны.

Во всех этих подходах не было недостатка в технических методах, часто индуктивных по своей природе и основанных на [[разложение Леви|декомпозиции Леви]] среди других вопросов, но поле было и остаётся очень требовательным{{ref+|«Все это, как выразился мой папа, слегка тяжеловато: у нас тут и пространства модулей Хитчина, и зеркальная симметрия, А-браны, В-браны, автоморфные пучки... Пытаясь уследить за всеми ингредиентами, можно с легкостью заработать головную боль! Поверьте, даже в среде специалистов лишь немногие могут похвастаться пониманием всех аспектов этой конструкции»<ref name="FrenkelLoveMath" />}}.

На стороне модулярных форм были такие примеры, как [[модулярная форма Гильберта|модулярные формы Гильберта]], [[модулярная форма Зигеля|модулярные формы Зигеля]] и [[тета-функция|тэта-ряды]].

== Объекты гипотезы ==
Существует ряд связанных гипотез Ленглендса. Существует множество разных групп во многих разных областях, для которых они могут быть изложены, и для каждой области существует несколько различных вариантов гипотез<ref name="FrenkelLoveMath">{{citation|title=Любовь и математика. Сердце скрытой реальности|first=Эдвард|last=Френкель|authorlink=Эдвард Френкель|publisher=Питер|year=2015|isbn=978-5-496-01121-1|quote=Программа Ленглендса весьма обширна. Над ней работает огромное сообщество ученых, специализирующихся в самых разных областях: теория чисел, гармонический анализ, геометрия, теория представлений, математическая физика. Несмотря на такое различие в интересах, все они в своей работе наблюдают схожие явления. И благодаря подсказкам, которые дают эти явления, прорисовываются взаимосвязи между этими разнообразными областями — мы начинаем видеть, как крепятся друг к другу частички этой гигантской головоломки. }}</ref>. Некоторые версии гипотез Ленглендса являются неопределенными или зависят от таких объектов, как [[группа Ленглендса|группы Ленглендса]], существование которых не доказано, или от ''L''-группы, которая имеет несколько неэквивалентных определений. Более того, гипотезы Ленглендса развивались с тех пор, как Ленглендс впервые изложил их в 1967 году.

Существуют различные типы объектов, для которых могут быть сформулированы гипотезы Ленглендса:
* Представления [[редуктивная группа|редуктивных групп]] над локальными полями (с различными подслучаями, соответствующими архимедовым локальным полям, [[p-адические числа|''p''-адическим]] локальным полям и пополнениям [[поле функций|полей функций]]),
* Автоморфные формы на редуктивных группах над локальными полями (с подслучаями, соответствующими [[числовое поле|числовым полям]] или полям функций),
* [[Конечное поле|Конечные поля]]. Ленглендс первоначально не рассматривал этот случай, но его гипотезы имеют для него аналоги,
* Более общие поля, такие как поля функций над полем комплексных чисел.

== Гипотезы ==
Существует несколько разных способов изложения гипотез Ленглендса, которые тесно связаны, но не являются очевидно эквивалентными.

=== Взаимность ===
Отправной точкой программы можно считать [[закон взаимности Артина]], который обобщает [[квадратичный закон взаимности]]. [[Закон взаимности Артина]] действует в любом [[расширение Галуа|расширении Галуа]] [[числовое поле|алгебраического числового поля]], [[группа Галуа]] которого является [[абелева группа|абелевой]]; он ставит в соответствие одномерным представлениям этой группы Галуа некоторые [[L-функция|''L''-функции]] и утверждает, что эти ''L''-функции идентичны некоторым [[L-функция Дирихле|''L''-рядам Дирихле]] или более общим рядам, построенным по [[характер Гекке|характерам Гекке]] (то есть некоторым аналогам от [[дзета-функция Римана|дзета-функции Римана]], например [[L-функция Гекке|''L''-функциям Гекке]]). Точное соответствие между этими различными видами ''L''-функций составляет закон взаимности Артина.

Для неабелевых групп Галуа и их представлений размерностью более чем 1 тоже можно определить естественным образом L-функции: [[L-функции Артина|''L''-функции Артина]].

Проницательность Ленглендса заключалась в том, чтобы найти правильное обобщение L-функций Дирихле, что позволило бы обобщить формулировку Артина. [[Эрих Гекке|Гекке]] ранее связывал ''L''-функции Дирихле с [[автоморфная форма|автоморфными формами]] ([[голоморфная функция|голоморфных функций]] на верхней полуплоскости <math>\mathbb{C}</math>, которые удовлетворяют некоторым функциональным уравнениям). Затем Ленглендс обобщил их на [[автоморфное каспидальное представление|автоморфные каспидальные представления]], которые являются определёнными бесконечномерными неприводимыми представлениями [[Полная линейная группа|общей линейной группы]] <math>\mathrm{GL}(n)</math> над [[кольцо аделей|кольцом аделей]] <math>\mathbb{Q}</math>. (Это кольцо одновременно отслеживает все [[Пополнение|пополнения]] <math>\mathbb{Q}</math>, см. [[p-адические числа]].)

Ленглендс связал [[автоморфные L-функции]] к этим автоморфным представлениям и предположил, что каждая ''L''-функция Артина, возникающая из конечномерного представления группы Галуа [[числовое поле|числового поля]], равна некоторой ''L''-функции, возникающей из автоморфного каспидального представления. Это известно как его ''[[закон взаимности|гипотеза взаимности]]''.

Грубо говоря, гипотеза взаимности дает соответствие между автоморфными представлениями редуктивной группы и гомоморфизмами из [[группа Ленглендса|группы Ленглендса]] в [[двойственная группа Ленглендса|L-группы]]. Существует множество вариаций этого, отчасти потому, что определения группы Ленглендса и ''L''-группы не являются фиксированными.

Ожидается, что это даст параметризацию [[L-пакет|''L''-пакетов]] допустимых неприводимых представлений редуктивной группы над локальным полем. Например, над полем вещественных чисел это соответствие является [[классификация Ленглендса|классификацией Ленглендса]] представлений действительных редуктивных групп. Над [[глобальное поле|глобальными полями]] это соответствие должно дать параметризацию автоморфных форм.

=== Функториальность ===
В гипотезе функториальности утверждается, что подходящий гомоморфизм ''L''-групп должен давать соответствие между автоморфными формами (в глобальном случае) или представлениями (в локальном случае). Грубо говоря, гипотеза об эквивалентности Ленглендса является частным случаем гипотезы функториальности, когда одна из редуктивных групп тривиальна.

==== Обобщённая функториальность ====
Ленглендс обобщил идею функториальности: вместо общей линейной группы <math>\mathrm{GL}(n)</math> можно использовать другие связные [[редуктивная группа|редуктивные группы]]. Более того, имея такую группу <math>G</math>, Ленглендс строит [[двойственная группа Ленглендса|двойственную группу]] <math>^LG</math>, а затем для каждого автоморфного каспидального представления <math>G</math> и любого конечномерного представления <math>^LG</math>, он определяет ''L''-функцию. Одна из его гипотез утверждает, что эти ''L''-функции удовлетворяют некоторому функциональному уравнению, обобщающему функциональные уравнения других известных [[L-функция|''L''-функций]].

Затем он формулирует очень общий ''Принцип Функториальности''. Для двух данных редуктивных групп и (хорошего) [[морфизм]]а между соответствующими ''L''-группами, Принцип Функториальности связывает их автоморфные представления так, чтобы они были совместимы с их ''L''-функциями. Из этой следуют многие другие существующие гипотезы. Это характер конструкции [[индуцированное представление|индуцированного представления]], что в более традиционной теории [[автоморфная форма|автоморфных форм]] было названо «[[Подъем (математика)|поднятие]]», известное в специальных случаях, и поэтому ковариантно (тогда как [[ограниченное представление]] контравариантно). Попытки указать прямую конструкцию дали лишь некоторые условные результаты.

Все эти гипотезы могут быть сформулированы для более общих полей вместо <math>\mathbb{Q}</math>: [[поле алгебраических чисел]] (исходный и самый важный случай), [[локальное поле|локальные поля]] и поля функций (конечные [[расширение поля|расширения]] <math>\mathbb{F}_p(t)</math> — поля рациональных функций над [[конечное поле|конечным полем]] с <math>p</math> элементами).

=== Геометрические гипотезы ===
{{main|Геометрическое соответствие Ленглендса}}

Так называемая геометрическая программа Ленглендса, предложенная [[Жерар Ломон|Жераром Ломоном]] следуя идеям [[Владимир Дринфельд|Владимира Дринфельда]], возникает из геометрической переформулировки обычной программы Ленглендса. В простых случаях она связывает <math>\ell</math>-адические представления [[этальная фундаментальная группа|этальной фундаментальной группы]] [[алгебраическая кривая|алгебраической кривой]] с объектами [[производная категория|производной категории]] <math>\ell</math>-адическими пучками на модулях [[векторное расслоение|векторных расслоений]] над кривой.

== Текущее состояние ==
Гипотеза Ленглендса для <math>\mathrm{GL}(1,K)</math> следуют из (и по существу эквивалентны) [[теория полей классов|теории полей классов]].

Ленглендс доказал гипотезы Ленглендса для групп над архимедовыми локальными полями <math>\mathbb{R}</math> и <math>\mathbb{C}</math>, дав [[классификация Ленглендса|классификацию Ленглендса]] неприводимых представлений над этими полями.

[[Классификация Люстига|Классификацию Люстига]] неприводимых представлений групп лиева типа над конечными полями можно рассматривать как аналог гипотез Ленглендса для конечных полей.

[[Теорема о модулярности|Доказательство модулярности полустабильных эллиптических кривых]] над рациональными числами, данное [[Уайлс, Эндрю Джон|Эндрю Уайлсом]], можно рассматривать как пример гипотезы взаимности Ленглендса, так как основная идея состоит в том, чтобы связать представления Галуа, возникающие из эллиптических кривых, с модулярными формами. Хотя результаты Уайлса были существенно обобщены во многих разных направлениях, полная гипотеза Ленглендса для <math>\mathrm{GL}(2,\mathbb{Q})</math> остается недоказанной.

[[Лоран Лаффорг]] доказал [[теорема Лаффорга|теорему Лаффорга]] — гипотезу Ленглендса для общей линейной группы <math>\mathrm{GL}(n,K)</math> для полей функций <math>K</math>. Эта работа продолжила более ранние исследования Дринфельда, который доказал гипотезу для случая <math>\mathrm{GL}(2,K)</math>.

=== Локальные гипотезы Ленглендса ===
{{main|Локальные гипотезы Ленглендса}}

[[Филипп Куцко]] в 1980 доказал [[локальные гипотезы Ленглендса]] для общей линейной группы <math>\mathrm{GL}(2,K)</math> над локальным полям.

[[Жерар Ломон]], [[Михаил Рапопорт]], [[Ульрих Штюлер]] в 1993 доказали локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы <math>\mathrm{GL}(n,K)</math> для локальных полей <math>K</math> положительной характеристики. Их доказательство использует глобальный аргумент.

[[Ричард Тейлор (математик)|Ричард Тейлор]], [[Майкл Харрис (математик)|Майкл Харрис]] в 2001 доказали локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы <math>\mathrm{GL}(n,K)</math> для локальных полей <math>K</math> характеристики 0. [[Гай Хенниарт]] в 2000 дал ещё одно доказательство. Оба доказательства используют глобальный аргумент. [[Петер Шольце]] в 2013 дал другое доказательство.

=== Фундаментальная лемма ===
{{main|Фундаментальная лемма (программа Ленглендса)}}

В 2008 году [[Нго Бао Тяу]] доказал [[Основная лемма (программа Ленглендса)|фундаментальную лемму]], которая изначально предполагалась Ленглендсом в 1983 году и требовалась для доказательства некоторых важных гипотез в программе Ленглендса<ref>{{cite web|url=http://lecourrier.vnagency.com.vn/PrintView.asp?id=49751|lang=fr|title=Ngo Bao Chau, sommite mondiale des maths|author=Ham Chau|publisher=''Le Courrier du Vietnam''|date=2009-02-15|access-date=2018-07-13|archive-date=2011-09-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20110928141125/http://lecourrier.vnagency.com.vn/PrintView.asp?id=49751|deadlink=no}}</ref><ref>{{Citation | last1=Langlands | first1=Robert P. | title=Les debuts d'une formule des traces stable | url=http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/endoscopy.html | publisher=Universite de Paris VII U.E.R. de Mathematiques | location=Paris | series=Publications Mathematiques de l'Universite Paris VII [Mathematical Publications of the University of Paris VII] | mr=697567 | year=1983 | volume=13 | access-date=2018-07-13 | archive-date=2018-04-01 | archive-url=https://web.archive.org/web/20180401072010/http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/endoscopy.html#debuts | url-status=dead }}</ref>.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{Citation | last1=Arthur | first1=James | title=The principle of functoriality | doi=10.1090/S0273-0979-02-00963-1 | mr=1943132 | year=2003 | journal=American Mathematical Society. Bulletin. New Series | issn=0002-9904 | volume=40 | issue=1 | pages=39–53}}
* {{Citation |first=J. |last=Bernstein |first2=S. |last2=Gelbart | title=An Introduction to the Langlands Program |location=Boston |publisher=Birkhauser |year=2003 |isbn=3-7643-3211-5 }}
** {{книга|автор=Дж. Бернштайн, Ст. Гелбарт|заглавие=Введение в программу Ленглендса|издательство=Москва — Ижевск|год=2008}}
* {{Citation | last1=Gelbart | first1=Stephen | title=An elementary introduction to the Langlands program | doi=10.1090/S0273-0979-1984-15237-6 | mr=733692 | year=1984 | journal=American Mathematical Society. Bulletin. New Series | issn=0002-9904 | volume=10 | issue=2 | pages=177–219}}
* {{cite arXiv |first=Edward |last=Frenkel |title=Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory |year=2005 |eprint=hep-th/0512172}}
* {{Citation | last1=Gelfand | first1=I. M. | title=Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Stockholm, 1962) | url=http://mathunion.org/ICM/ICM1962.1/ | publisher=Inst. Mittag-Leffler | location=Djursholm | mr=0175997 | year=1963 | chapter=Automorphic functions and the theory of representations | pages=74–85 | access-date=2018-07-13 }} {{Wayback|url=http://mathunion.org/ICM/ICM1962.1/ |date=20110717144510 }}
* {{Citation | last1=Harris | first1=Michael | last2=Taylor | first2=Richard | title=The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties | url=https://books.google.com/books?id=sigBbO69hvMC | publisher=[[Princeton University Press]] | series=Annals of Mathematics Studies | isbn=978-0-691-09090-0 | mr=1876802 | year=2001 | volume=151}}
* {{Citation | last1=Henniart | first1=Guy | title=Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL(n) sur un corps p-adique | doi=10.1007/s002220050012 | mr=1738446 | year=2000 | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | issn=0020-9910 | volume=139 | issue=2 | pages=439–455| bibcode=2000InMat.139..439H }}
* {{Citation|last=Kutzko |first=Philip |year=1980 |title=The Langlands Conjecture for Gl_2 of a Local Field |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=112 |issue=2 |pages=381–412 |jstor=1971151 | doi = 10.2307/1971151 }}
* {{citation|last=Langlands|first=Robert|title=Letter to Prof. Weil|year=1967|url=http://publications.ias.edu/rpl/section/21}}
* {{Citation | last1=Langlands | first1=R. P. | title=Lectures in modern analysis and applications, III | url=http://publications.ias.edu/rpl/section/21 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series= Lecture Notes in Math | isbn=978-3-540-05284-5 | doi=10.1007/BFb0079065 | mr=0302614 | year=1970 | volume=170 | chapter=Problems in the theory of automorphic forms | pages=18–61}}
* {{Citation | last1=Laumon | first1=G. | last2=Rapoport | first2=M. | last3=Stuhler | first3=U. | title=D-elliptic sheaves and the Langlands correspondence | doi=10.1007/BF01244308 | mr=1228127 | year=1993 | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | issn=0020-9910 | volume=113 | issue=2 | pages=217–338| bibcode=1993InMat.113..217L }}
* {{Citation |last1=Scholze |first1=Peter |year=2013 |title=The Local Langlands Correspondence for GL(n) over ''p''-adic fields |journal=[[Inventiones Mathematicae]] |volume=192 |issue=3 |pages=663–715 |doi=10.1007/s00222-012-0420-5 |arxiv=1010.1540 |bibcode=2013InMat.192..663S }}
* {{публикация|статья|автор=Solomon Friedberg|заглавие=What is… the Langlands program?|издание=[[Notices of the American Mathematical Society|Notices of the AMS]]|год=2018|ссылка=https://www.ams.org/journals/notices/201806/rnoti-p663.pdf|volume=65|pages=663—665|doi=10.1090/noti1686}}
* {{cite web|author=Владимир Королёв|title=Соединяя несоединимое|url=https://nplus1.ru/material/2018/03/23/langlands|website=N+1|date=2018-03-23|accessdate=2018-07-13}}

== Ссылки ==
* [http://publications.ias.edu/rpl/ The work of Robert Langlands]
* Роберт Ленглендс. [http://publications.ias.edu/sites/default/files/lectures.pdf Функториальность и взаимность]

{{rq|checktranslate|style|refless|tex}}

[[Категория:Дзета- и L-функции]]
[[Категория:Теория представлений]]
[[Категория:Автоморфные формы]]
[[Категория:Математические гипотезы]]