Просмотр кода страницы Проекция Мольвейде

[[Файл:Mollweide projection SW.jpg|400px|thumb|Карта мира в проекции Мольвейде]]
[[Файл:Mollweide with Tissot's Indicatrices of Distortion.svg|thumb|400px|Проекция Мольвейде с [[Эллипс искажения|эллипсами искажений]]]]

'''Проекция Мольвейде''' — [[Равновеликая проекция|равновеликая]] [[Псевдоцилиндрическая проекция|псевдоцилиндрическая]] [[картографическая проекция]]. Также известна как ''проекция Бабине'', а также ''эллиптическая'', ''гомолографической'' или ''гомалографической'' проекция. Обычно используется для представления карты мира или небесной сферы. Термин равновеликая обозначает, что проекция сохраняет соотношение площадей объектов, но искажает их форму.

Проекция впервые была опубликована в [[1805 год]]у [[Саксония (курфюршество)|саксонским]] математиком и астрономом [[Моллвейде, Карл Брандан|Карлом Мольвейде]] (1774—1825) в [[Лейпциг]]е. В [[1857 год]]у [[Бабинэ, Жак|Жак Бабинэ]] повторно изобрел эту проекцию и популяризовал ее под именем гомалографической. Во многие атласы XIX в. эта проекция вошла как гомолографическая.<ref>''Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections'', John P. Snyder, 1993, pp. 112—113, {{ISBN|0-226-76747-7}}.</ref>

[[Файл:WMAP 2012.png|thumb|Карта [[Реликтовое излучение|реликтового излучения]] в проекции Мольвейде, полученная по результатам 9 лет наблюдения спутника [[WMAP]].<ref name="Space-20121221">{{cite web |last=Gannon |first=Megan |title=New 'Baby Picture' of Universe Unveiled |url=http://www.space.com/19027-universe-baby-picture-wmap.html|date=2012-12-21 |publisher=[[Space.com]] |access-date=2012-12-21 }}</ref><ref name="arXiv-20121220">{{cite journal |last1=Bennett |first1=C.L. |last2=Larson |first2=L.|last3=Weiland |first3=J.L. |last4=Jarosk |first4= N. |last5=Hinshaw |first5=N. |last6=Odegard|first6=N. |last7=Smith |first7=K.M. |last8=Hill |first8=R.S. |last9=Gold |first9=B.|last10=Halpern |first10=M. |last11=Komatsu |first11=E. |last12=Nolta |first12=M.R.|last13=Page |first13=L. |last14=Spergel |first14=D.N. |last15=Wollack |first15=E.|last16=Dunkley |first16=J. |last17=Kogut |first17=A. |last18=Limon |first18=M. |last19=Meyer|first19=S.S. |last20=Tucker |first20=G.S. |last21=Wright |first21=E.L. |title=Nine-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Final Maps and Results|journal=[[The Astrophysical Journal Supplement Series]]|volume=208|issue=2|page=20|year=2013|arxiv=1212.5225|bibcode=2013ApJS..208...20B|doi=10.1088/0067-0049/208/2/20|s2cid=119271232 }}</ref>]]

[[Файл:GLODAP sea-surf CFC12 AYool.png|thumb|Карта содержания [[фреон]]а на уровне моря в проекции Мольвейде, измеренная {{iw|Global Ocean Data Analysis Project|Global Ocean Data Analysis Project|en|Global Ocean Data Analysis Project}}.]]

== Свойства ==
Проекция Мольвейде псевдоцилиндрическая, в которой [[экватор]] задан прямой горизонтальной линией, перпендикулярной центральному [[Меридиан#Географический меридиан|меридиану]]. Длина центрального меридиана равна половине длины проецированного экватора. Меридианы, отстоящие на <math>90^\circ</math> к западу и востоку от центрального, вместе образуют окружность, тогда как все прочие меридианы изображаются равномерно распределенными полуэллипсами. Вся карта представляет собой [[эллипс]] с отношением осей 2:1. Все параллели представляют собой прямые линии, перпендикулярные центральному меридиану. Расстояние между ними уменьшается по мере удаления от экватора. Отношении между площадями на карте такие же, как как между соответствующими площадями на земном шаре, но их форма искажается, в особенности при приближении к периметру эллипса, хотя и в меньшей степени по сравнению с [[Синусоидальная проекция|синусоидальной проекцией]].

На основе проекции Мольвейде были созданы другие картографические проекции, например [[Проекция Ван дер Гринтена|Ван дер Гринтена]], [[Проекция Гуда|Гуда]] или [[Проекция Боггса|Боггса]]<ref>[https://pubs.er.usgs.gov/publication/pp1395 ''Map Projections — A Working Manual''], [[United States Geological Survey|USGS]] Professional Paper 1395, John P. Snyder, 1987, pp. 249—252</ref>

== Математическое выражение ==
Проекция образуется путем трансформации широты <math>\varphi</math> и долготы <math>\lambda</math> в координаты ''x'' и ''y'' на карте с помощью следующих выражений:<ref name="MathWorldMollweide">{{MathWorld|title=Mollweide Projection|urlname=MollweideProjection|author=Weisstein, Eric W.}}</ref>

: <math>\begin{align} x &= R \frac{2 \sqrt 2}{\pi} \left( \lambda - \lambda_{0} \right) \cos \theta, \\[5px] y &= R \sqrt 2 \sin \theta ,\end{align}</math>

где <math>\theta</math> — вспомогательный угол, определяемый из уравнения

: <math>2\theta + \sin 2\theta = \pi \sin \varphi, \qquad (1)</math>
<math>\lambda_0</math> — долгота центрального меридиана карты, а ''R'' — радиус проецируемой сферы. Площадь карты составляет <math>4 \pi R^2</math>, что соответствует площади поверхности проецируемой сферы. Координата ''x'' заключена в диапазоне [−2''R''{{sqrt|2}}, 2''R''{{sqrt|2}}], а координата ''y'' — в диапазоне [−''R''{{sqrt|2}}, ''R''{{sqrt|2}}].

Уравнение (1) может быть решено численно методом [[Метод Ньютона|Ньютона-Рафсона]]:<ref name="MathWorldMollweide"/>

: <math>\begin{align} \theta_0 &= \varphi, \\ \theta_{n+1} &= \theta_n - \frac{2 \theta_n + \sin 2\theta_n - \pi \sin \varphi}{2 + 2 \cos 2\theta_n}.\end{align}</math><ref group=note>Формула в тексте помогает читателю подтвердить, что формула верна. Для численного вычисления следует изменить знаменатель, начиная с формулы двойного угла.

: <math>\begin{align} \cos 2\theta_n &= 2 \cos^2 \theta_n - 1, \\ 1 + \cos 2\theta_n &= 2 \cos^2 \theta_n, \\ 2 + 2 \cos 2\theta_n &= 4 \cos^2 \theta_n, \\ \theta_{n+1} &= \theta_n - \frac{2 \theta_n + \sin 2\theta_n - \pi \sin \varphi}{4 \cos^2 \theta_n}.\end{align}</math>

В численных вычислениях исходный знаменатель стремится к нулю для <math>\theta</math> вблизи <math>\pm \frac{\pi}{2}</math> (катастрофическое сокращение). Эта замена верна для всех углов и позволяет избежать проблемы вблизи <math>\theta = \pm \frac{\pi}{2}</math>, не делая ее особым случаем.</ref>


Если <math> \varphi  = \pm \frac{\pi}{2}</math>, то и <math>\theta = \pm \frac{\pi}{2}</math>. Уравнение (1) решается аналитически, хотя в итерационной формуле получается неопределенность типа <math>\frac{0}{0}</math>.

Существует [[аналитическое решение|аналитическое выражение]] для обратного преобразования:<ref name="MathWorldMollweide"/>

: <math>\begin{align} \varphi &= \arcsin \frac{2 \theta^\prime + \sin 2\theta^\prime}{\pi}, \\[5px] \lambda &= \lambda_{0} + \frac{\pi x}{2 R \sqrt{2} \cos \theta^\prime}, \end{align}</math>

где <math>\theta^\prime</math> может быть определено из уравнения

: <math>\theta^\prime = \arcsin \frac{y}{R \sqrt{2}}. \,</math>

Обратные преобразования позволяют найти широту и долготу, соответствующие координатам на карте ''x'' и ''y''.

== См. также ==
* [[Список картографических проекций]]
* [[Синусоидальная проекция]]
* [[Гиперэллиптическая проекция Тоблера]]

== Примечания ==
{{примечания|group=note}}

== Литература ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
{{Commons category|Mollweide projection}}
* [https://web.archive.org/web/20120207150913/http://www.uff.br/mapprojections/Mollweide_en.html An interactive Java applet to study deformations (area, distance and angle) of the Mollweide Map Projection]
* [http://mathworld.wolfram.com/MollweideProjection.html Mollweide Projection at Mathworld]
* [https://pro.arcgis.com/ru/pro-app/latest/help/mapping/properties/mollweide.htm Проекция Мольвейде]

[[Категория:Картографические проекции]]