Просмотр кода страницы Пропагатор

'''Пропагатор''' ('''функция распространения''', '''причинная функция Грина''') в [[Квантовая механика|квантовой механике]] и [[Квантовая теория поля|квантовой теории поля]] (КТП) — функция, характеризующая распространение релятивистского поля (или его кванта) от одного акта взаимодействия до другого<ref>{{Из|ФЭ|http://femto.com.ua/articles/part_2/3126.html|заглавие=Пропагатор}}</ref>. Эта функция определяет [[Статистическая интерпретация волновой функции|амплитуду вероятности]] перемещения частицы из одного места пространства (или пространства-времени) в другое за заданный промежуток времени или перемещения частицы с определённой энергией и импульсом. Для расчёта частоты столкновений в КТП используются [[Виртуальная частица|виртуальные частицы]], представленные в [[Диаграммы Фейнмана|диаграммах Фейнмана]] пропагаторами, вносят свой вклад в вероятность [[Рассеяние|рассеяния]], описываемого соответствующей диаграммой. Их также можно рассматривать как оператор, [[Обратная функция|обратный]] [[Оператор Д’Аламбера|волновому оператору]], соответствующему частице, и поэтому их часто называют ''(причинными) [[Многочастичная функция Грина|функциями Грина]]'' (термин «''причинными''» используется, чтобы отличить их от эллиптической функции Грина для оператора Лапласа)<ref>[http://www.mathtube.org/sites/default/files/lecture-notes/Lamoureux_Michael.pdf The mathematics of PDEs and the wave equation] {{Wayback|url=http://www.mathtube.org/sites/default/files/lecture-notes/Lamoureux_Michael.pdf |date=20230301122442 }}, p 32., Michael P. Lamoureux, University of Calgary, Seismic Imaging Summer School, August 7-11, 2006, Calgary.</ref><ref>[http://www.roe.ac.uk/japwww/teaching/fourier/fourier_lectures_part4.pdf Ch.: 9 Green’s functions] {{Wayback|url=http://www.roe.ac.uk/japwww/teaching/fourier/fourier_lectures_part4.pdf |date=20230201094227 }}, p 6., J Peacock, FOURIER ANALYSIS LECTURE COURSE: LECTURE 15.</ref>.

== Нерелятивистские пропагаторы ==
В нерелятивистской квантовой механике пропагатор определяет амплитуду вероятности того, что [[Фундаментальная частица|частица]] переместится из одной пространственной точки (x'), в которой она находится в момент времени (t'), в другую пространственную точку (x) в более поздний момент времени (t).

Если квантовая система описывается [[Гамильтониан (квантовая механика)|гамильтонианом]] {{Mvar|H}}, то [[функция Грина]] ([[фундаментальное решение]]) для [[Уравнение Шрёдингера|уравнения Шрёдингера]] представляет собой функцию

: <math>G(x, t; x', t') = \frac{1}{i\hbar} \Theta(t - t') K(x, t; x', t')</math>

удовлетворяющую неоднородному уравнению

: <math>\left( i\hbar \frac{\partial}{\partial t} - H_x \right) G(x, t; x', t') = \delta(x - x') \delta(t - t')\,,</math>

где {{Math|''H<sub>x</sub>''}} обозначает гамильтониан, записанный в координатном представлении {{Mvar|x}}, {{Math|''δ''(''x'')}} — [[Дельта-функция|дельта-функция Дирака]], {{Math|Θ(''t'')}} — [[Функция Хевисайда|ступенчатая функция Хевисайда]], {{Math|''K''(''x'', ''t'' ;''x′'', ''t′'')}} — [[Интегральные преобразования|ядро]] приведённого выше дифференциального оператора Шрёдингера в больших скобках, а также ''функция распространения''. Термин '''''пропагатор''''' иногда используется в этом контексте для обозначения {{Mvar|G}}, а иногда и {{Mvar|K}}. В этой статье этот термин будет использоваться для обозначения {{Mvar|K}} (см. [[принцип Дюамеля]]).

Этот пропагатор также можно записать как амплитуду перехода

: <math>K(x, t; x', t') = \big\langle x \big| \hat{U}(t, t') \big| x' \big\rangle\,,</math>

где {{Math|''Û''(''t'', ''t′'')}} — [[Унитарный оператор|унитарный]] [[оператор эволюции]] во времени для системы, переводящей состояния в момент времени {{Mvar|t′}} в состояния в момент времени {{Mvar|t}}. Обратите внимание на начальное условие, налагаемое на функцию распространения <math>\lim_{t \to t'} K(x, t; x', t') = \delta(x - x')</math>.

Квантово-механический пропагатор также можно определить с помощью [[Формулировка квантовой теории через интегралы по траекториям|интеграла]] по траекториям:

: <math>K(x, t; x', t') = \int \exp \left[\frac{i}{\hbar} \int_t^{t'} L(\dot{q}, q, t) \, dt\right] D[q(t)]\,,</math>

где граничные условия для интеграла включают условия {{Math|''q''(''t'') {{=}} ''x'', ''q''(''t′'') {{=}} ''x′''}}. Здесь {{Mvar|L}} — [[Лагранжева механика|лагранжиан]] системы. Вклады по всем возможным траекториям, которые суммируются, соответствуют движению частицы только вперёд во времени и интегрируются с дифференциалом <math>D[q(t)]</math>.

В нерелятивистской [[Квантовая механика|квантовой механике]] пропагатор позволяет найти волновую функцию системы, учитывая начальную волновую функцию и временной интервал. Новая волновая функция вычисляется как

: <math>\psi(x, t) = \int_{-\infty}^\infty \psi(x', t') K(x, t; x', t') \, dx'\,.</math>

Если {{Math|''K''(''x'', ''t''; ''x''&prime;, ''t''&prime;)}} зависит только от разности {{Math|''x'' − ''x′''}}, это [[Свёртка (математический анализ)|свёртка]] исходной волновой функции и функции распространения.

=== Основные примеры: пропагатор свободной частицы и гармонического осциллятора ===
Для трансляционно-инвариантной системы пропагатор зависит только от разницы времён {{Math|''t'' − ''t''′}}, поэтому его записывают как

: <math>K(x, t; x', t') = K(x, x'; t - t')\,.</math>

[[Волновой пакет|Пропагатор свободной частицы]] в одном измерении, получаемый, например, из [[Формулировка квантовой теории через интегралы по траекториям|интеграла]] по траекториям равен

{{Equation box 1
|indent = :
|equation = <math>K(x, x'; t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} dk\, e^{ik(x-x')} e^{-\frac{i\hbar k^2 t}{2m}} = \left(\frac{m}{2\pi i\hbar t}\right)^{\frac{1}{2}} e^{-\frac{m(x-x')^2}{2i\hbar t}}\,.</math>
|border colour = #0073CF
|bgcolor = #F9FFF7}}

Точно так же пропагатор для одномерного [[Квантовый гармонический осциллятор|квантового гармонического осциллятора]] задаётся [[ядро Мелера|ядром Мелера]]<ref>E. U. Condon, [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1076889/pdf/pnas01779-0028.pdf «Immersion of the Fourier transform in a continuous group of functional transformations»] {{Wayback|url=https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1076889/pdf/pnas01779-0028.pdf |date=20200510085417 }}, ''Proc. Natl. Acad. Sci. USA'' '''23''', (1937) 158—164.</ref><ref>[[Паули, Вольфганг|Wolfgang Pauli]], ''Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics'' (Dover Books on Physics, 2000) {{ISBN|0486414620}}. Section 44.</ref>,

{{Equation box 1
|indent = :
|equation = <math>K(x, x'; t) = \left(\frac{m\omega}{2\pi i\hbar \sin \omega t}\right)^{\frac{1}{2}} \exp\left(-\frac{m\omega\big((x^2 + x'^2) \cos\omega t - 2xx'\big)}{2i\hbar \sin\omega t}\right)\,.</math>
|border colour = #0073CF
|bgcolor = #F9FFF7}}

Последнее можно получить из предыдущего результата для свободных частиц, используя тождество ван Кортрика для группы Ли SU(1,1)<ref>Kolsrud, M. (1956). Exact quantum dynamical solutions for oscillator-like systems, ''Physical Review'' '''104'''(4), 1186.</ref>,

: <math>\exp \left( -\frac{it}{\hbar} \left( \frac{1}{2m} \mathsf{p}^2 + \frac{1}{2} m\omega^2 \mathsf{x}^2 \right) \right)</math>
:: <math>= \exp \left( -\frac{im\omega}{2\hbar} \mathsf{x}^2\tan\frac{\omega t}{2} \right) \exp \left( -\frac{i}{2m\omega \hbar}\mathsf{p}^2 \sin(\omega t) \right) \exp \left( -\frac{im\omega }{2\hbar} \mathsf{x}^2 \tan\frac{\omega t}{2} \right),</math>

которое выполняется для операторов <math>\mathsf{x}</math> и <math>\mathsf{p}</math>, удовлетворяющих соотношению Гейзенберга <math>[\mathsf{x},\mathsf{p}] = i\hbar</math>.

Для {{Mvar|N}}-мерного случая пропагатор можно получить из произведения

: <math>K(\vec{x}, \vec{x}'; t) = \prod_{q=1}^N K(x_q, x_q'; t)\,.</math>

== Релятивистские пропагаторы ==
В релятивистской квантовой механике и [[Квантовая теория поля|квантовой теории поля]] пропагаторы [[Лоренц-ковариантность|лоренц-инвариантны]]. Они дают амплитуду вероятности для [[Фундаментальная частица|частицы]] переместиться между двумя точками [[Пространство-время|пространства-времени]].

=== Скалярный пропагатор ===
В квантовой теории поля теория свободного (или невзаимодействующего) [[Скалярное поле|скалярного поля]] является полезным и простым примером, служащим для иллюстрации понятий необходимых для более сложных теорий. Оно описывает частицы с нулевым [[спин]]ом. Существует ряд возможных пропагаторов теории свободного скалярного поля. Ниже описываются самые распространённые из них.

=== Координатное пространство ===
Пропагаторы в координатном пространстве являются [[Функция Грина|функциями Грина]] для [[Уравнение Клейна — Гордона|уравнения Клейна — Гордона]]. Это означает, что они являются функциями {{Math|''G''(''x'', ''y'')}} удовлетворяющими уранвению

: <math>(\square_x + m^2) G(x, y) = -\delta(x - y)\,,</math>

где

: {{Mvar|x, y}} — две точки [[Пространство Минковского|пространства Минковского]],
: <math>\square_x = \tfrac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2</math> — оператор [[Оператор Д’Аламбера|д’Аламбера]] действующий на {{Mvar|x}}-коорлинаты,
: {{Math|''δ''(''x'' − ''y'')}} — [[Дельта-функция|дельта-функция Дирака]].

(Как обычно в расчётах [[Специальная теория относительности|релятивистской]] квантовой теории поля используются единицы, в которых [[скорость света]] {{Mvar|c}} и [[Постоянная Планка|приведённая постоянная Планка]] {{Mvar|ħ}} установлены равными единице.)

Если ограничиться 4-мерным пространством-[[Пространство Минковского|временем Минковского]], то можно выполнить [[преобразование Фурье]] уравнения для пропагатора, получив

: <math>(-p^2 + m^2) G(p) = -1\,.</math>

Это уравнение можно обратить в смысле [[Обобщённая функция|обобщённых функций]], заметив, что уравнение {{Math|''xf''(''x'') {{=}} 1}} имеет решение (см. [[Теорема Сохоцкого — Племеля|теорему Сохоцкого — Племеля]])

: <math>f(x) = \frac{1}{x \pm i\varepsilon} = \frac{1}{x} \mp i\pi\delta(x)\,,</math>

где под {{Mvar|ε}} подразумевает предельный переход к нулю. Правильный выбор знака вытекает из требований причинности.

Решение

{{Equation box 1
|indent = :
|equation = <math>G(x, y) = \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 - m^2 \pm i\varepsilon}\,,</math>
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7}}

где

: <math>p(x - y) := p_0(x^0 - y^0) - \vec{p} \cdot (\vec{x} - \vec{y})</math>

является скалярным произведением [[4-вектор]]ов.

Различные варианты деформации {{Iw|Контур интегрирования|контура интегрирования|4=Contour integration}} в приведённом выше выражении приводят к различным формам пропагатора. Выбор контура обычно формулируется с точки зрения интеграла по <math>p_0</math>.

Тогда подынтегральная функция имеет два полюса в точках

: <math>p_0 = \pm \sqrt{\vec{p}^2 + m^2},</math>

поэтому разные варианты того, как их обходить, приводят к разным пропагаторам.

==== Причинные пропагаторы ====

===== Запаздывающий пропагатор =====
[[Файл:CausalRetardedPropagatorPath.svg]]

Контур, проходящий по часовой стрелке через оба полюса, даёт '''причинный запаздывающий пропагатор'''. Это ноль, если {{Mvar|x-y}} пространственноподобно или если {{Math|''x'' ⁰< ''y'' ⁰}} (то есть если {{Mvar|y}} относится к будущему моменту времени по отношении к {{Mvar|x}}).

Такой выбор контура эквивалентен вычислению [[Предел (математика)|предела]]

: <math>G_\text{ret}(x,y) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0+i\varepsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2} = -\frac{\Theta(x-y)}{2\pi} \delta(\tau_{xy}^2) + \Theta(x-y)\Theta(\tau_{xy}^2)\frac{m J_1(m \tau_{xy})}{4 \pi \tau_{xy}}\,,</math>

где

: <math>\Theta (x) := \begin{cases} 1 & x \ge 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}</math>

— [[Функция Хевисайда|ступенчатая функция Хевисайда]] и

: <math>\tau_{xy}:= \sqrt{ (x^0 - y^0)^2 - (\vec{x} - \vec{y})^2}</math>

— [[собственное время]] от {{Mvar|x}} до {{Mvar|y}} и <math>J_1</math> — [[Функции Бесселя|функция Бесселя первого рода]]. Выражение <math>y \prec x</math> означает, что {{Mvar|y}} {{Iw|Причинная структура|предшествует|4=Causal structure}} {{Mvar|x}}, что для пространства-времени Минковского означает

: <math>y^0 < x^0</math> и <math>\tau_{xy}^2 \geq 0 \,.</math>

Это выражение можо связать с [[Конденсат (квантовая теория поля)|вакуумным средним значением]] [[Коммутатор (алгебра)|коммутатора]] оператора свободного скалярного поля,

: <math>G_\text{ret}(x,y) = i \langle 0| \left[ \Phi(x), \Phi(y) \right] |0\rangle \Theta(x^0 - y^0)\,,</math>

где

: <math>\left[\Phi(x),\Phi(y) \right]:= \Phi(x) \Phi(y) - \Phi(y) \Phi(x)</math>

— [[Коммутатор (алгебра)|коммутатор]].

===== Опережающий пропагатор =====
[[Файл:CausalAdvancedPropagatorPath.svg]]

Контур, идущий против часовой стрелки под обоими полюсами, даёт '''причинный опережающий пропагатор'''. Это ноль, если {{Mvar|x-y}} пространственноподобно или если {{Math|''x'' ⁰> ''y'' ⁰}} (то есть если {{Mvar|y}} находится в прошлом моменте времени по отношению к {{Mvar|x}}).

Такой выбор контура эквивалентен вычислению предела<ref>{{Cite book|last1=Scharf|first1=Günter|title=Finite Quantum Electrodynamics, The Causal Approach|publisher=Springer|date=13 November 2012|pages=89|isbn=978-3-642-63345-4}}</ref>

: <math>
G_\text{adv}(x,y) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{(2\pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0 - i\varepsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2} = -\frac{\Theta(y-x)}{2\pi}\delta(\tau_{xy}^2) + \Theta(y-x)\Theta(\tau_{xy}^2)\frac{m J_1(m \tau_{xy})}{4 \pi \tau_{xy}}\,.
</math>

Это выражение можно также выразить через [[Конденсат (квантовая теория поля)|вакуумное среднее]] [[Коммутатор (алгебра)|коммутатора]] свободного скалярного поля. В таком случае,

: <math>G_\text{adv}(x,y) = -i \langle 0|\left[ \Phi(x), \Phi(y) \right]|0\rangle \Theta(y^0 - x^0)\,.</math>

==== Пропагатор Фейнмана ====
[[Файл:FeynmanPropagatorPath.svg]]

Контур, проходящий под левым полюсом и над правым полюсом, даёт '''пропагатор Фейнмана'''.

Такой выбор контура эквивалентен вычислению предела{{sfn|Huang|1998|p=30}}

: <math>G_F(x,y) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 - m^2 + i\varepsilon} = \begin{cases}
-\frac{1}{4 \pi} \delta(s) + \frac{m}{8 \pi \sqrt{s}} H_1^{(1)}(m \sqrt{s}) & s \geq 0 \\ -\frac{i m}{ 4 \pi^2 \sqrt{-s}} K_1(m \sqrt{-s}) & s < 0.\end{cases} </math>

Где

: <math>s:= (x^0 - y^0)^2 - (\vec{x} - \vec{y})^2\,,</math>

где {{Mvar|x}} и {{Mvar|y}} — две точки в пространстве-[[Пространство Минковского|времени Минковского]], а точка в показателе степени обозначает [[4-вектор|четырёхвекторное]] [[Предгильбертово пространство|скалярное произведение]]. {{Math|''H<sub>1</sub><sup>(1)</sup>''}} — [[Функции Бесселя|функция Ганкеля,]] а {{Math|''K<sub>1</sub>''}} — [[Функции Бесселя|модифицированная функцией Бесселя]].

Это выражение можно получить непосредственно из теории поля как значение [[Конденсат (квантовая теория поля)|вакуумного среднего]] ''[[Хронологическое упорядочение|упорядоченного во времени]] произведения'' свободного скалярного поля, то есть произведения, всегда взятого таким, что временной порядок точек пространства-времени одинаков,

: <math>
\begin{align}
G_F(x-y) & = -i \lang 0|T(\Phi(x) \Phi(y))|0 \rang \\[4pt]
& = -i \left \lang 0| \left [\Theta(x^0 - y^0) \Phi(x)\Phi(y) + \Theta(y^0 - x^0) \Phi(y)\Phi(x) \right] |0 \right \rang.
\end{align}
</math>

Это выражение является [[Лоренц-ковариантность|лоренц-инвариантным]], поскольку операторы поля коммутируют друг с другом, когда точки {{Mvar|x}} и {{Mvar|y}} разделены [[Пространство-время|пространственноподобным]] интервалом.

Обычный вывод состоит в том, чтобы вставить полный набор одночастичных импульсных состояний между полями с лоренцевской ковариантной нормировкой, а затем показать, что функции {{Math|Θ}}, обеспечивающие причинное упорядочение во времени, можно получить с помощью [[Криволинейный интеграл|контурного интеграла]] вдоль оси энергии, если подынтегральная функция такая же, как указано выше (отсюда и бесконечно малая мнимая часть), чтобы сдвинуть полюс с действительной линии.

Пропагатор также можно получить с использованием [[Формулировка квантовой теории через интегралы по траекториям|интеграла по траекториям]] в квантовой теории поля.

=== Пропагатор в импульсном пространстве ===
Преобразование [[Преобразование Фурье|Фурье]] пропагаторов в координатном пространстве можно рассматривать как пропагаторы в сопряжённом ему [[Импульсное пространство|импульсном пространстве]]. Они имеют гораздо более простую форму, чем пропагаторы в координатном пространстве.

Они часто записываются с явным слагаемым {{Mvar|ε}}, хотя это понимается как напоминание о том, какой выбран контур интегрирования (см. Выше). Этот член {{Mvar|ε}} включён для учёта граничных условий и [[Причинность|причинно]]-следственной связи (см. Ниже).

Для [[Четырёхимпульс|4-импульса]] {{Mvar|p}} причинный пропагатор и пропагатор Фейнмана в импульсном пространстве таковы:

: <math>\tilde{G}_\text{ret}(p) = \frac{1}{(p_0+i\varepsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2}\,,</math>
: <math>\tilde{G}_\text{adv}(p) = \frac{1}{(p_0-i\varepsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2}\,,</math>
: <math>\tilde{G}_F(p) = \frac{1}{p^2 - m^2 + i\varepsilon}\,. </math>

Для расчётов диаграмм Фейнмана обычно удобно записывать их с дополнительным общим коэффициентом {{Mvar|−i}} (условия различаются).

=== Быстрее света? ===
Пропагатор Фейнмана обладает некоторыми свойствами, которые на первый взгляд кажутся непонятными. В частности, в отличие от коммутатора, пропагатор отличен от ''нуля'' вне [[Световой конус|светового конуса]], хотя и быстро спадает для пространственноподобных интервалов. Интерпретируемое как амплитуда движения частицы, это означает, что виртуальная частица движется быстрее света. Не сразу очевидно, как это можно примирить с причинно-следственной связью: можно ли использовать сверхсветовые виртуальные частицы для отправки сверхсветовых сообщений?

Ответ — нет. Хотя в [[Классическая механика|классической механике]] интервалы, по которым могут перемещаться частицы и причинные эффекты, совпадают, это не так в квантовой теории поля, где именно [[Коммутатор (алгебра)|коммутаторы]] определяют, какие операторы могут влиять друг на друга.

Так что ''же'' представляет собой пространственноподобная часть пропагатора? В КТП [[вакуум]] является активным участником, а [[число частиц|числа частиц]] и значения полей связаны из [[Принцип неопределённости|принципа неопределенности]]; значения поля неопределенны даже для когда частиц нет. Существует ненулевая [[Статистическая интерпретация волновой функции|амплитуда вероятности]] обнаружить значительную флуктуацию вакуумного значения поля {{Math|Φ(''x'')}}, если измерить его локально (точнее, если измерить оператор, полученный усреднением поля по малой области). Кроме того, динамика полей имеет тенденцию в некоторой степени способствовать пространственно-коррелированным флуктуациям. Затем ненулевое упорядоченное по времени произведение для разделённых пространственноподобным интервалом полей просто измеряет амплитуду нелокальной корреляции в этих флуктуациях вакуума, аналогичной [[Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена|корреляции ЭПР]]. Действительно, пропагатор часто называют ''двухточечной корреляционной функцией'' для [[Свободное поле|свободного поля]].

Поскольку, согласно постулатам квантовой теории поля, все операторы [[Квантовая наблюдаемая|наблюдаемых]] коммутируют друг с другом на пространственноподобном расстоянии, сообщения можно отправлять через эти корреляции не больше, чем через любые другие ЭПР-корреляции; корреляции находятся в случайных величинах.

Что касается виртуальных частиц, то пропагатор при пространственно-подобном разделении можно рассматривать как средство вычисления амплитуды для создания виртуальной пары частица-[[Античастицы|античастица]], которая в конечном итоге исчезает в вакууме, или для обнаружения виртуальной пары, выходящей из вакуума. На языке [[Фейнман, Ричард|Фейнмана]] такие процессы рождения и уничтожения эквивалентны виртуальной частице, блуждающей вперёд и обратно по времени, что может вывести её за пределы светового конуса. Однако передача сигналов назад во времени запрещена.

==== Объяснение с использованием пределов ====
Это можно объяснит иначе, записав пропагатор в следующей форме для безмассового фотона:

: <math>G^\varepsilon_F(x, y) = \frac{\varepsilon}{(x - y)^2 + i \varepsilon^2}\,.</math>

Это обычное определение, но нормированное коэффициентом <math>\varepsilon</math>. Тогда правило состоит в том, что берётся предел <math>\varepsilon \to 0</math> в конце расчёта.

Видно, что

: <math>G^\varepsilon_F(x, y) = \frac{1}{\varepsilon}</math> если <math>(x - y)^2 = 0</math>

и

: <math>\lim_{\varepsilon \to 0} G^\varepsilon_F(x, y) = 0</math> если <math>(x - y)^2 \neq 0\,.</math>

Следовательно, это означает, что один фотон всегда будет оставаться на световом конусе. Также показано, что полная вероятность фотона в любой момент времени должна быть нормирована обратной величиной следующего множителя:

: <math>
\lim_{\varepsilon \to 0} \int |G^\varepsilon_F(0, x)|^2 \, dx^3 
 = \lim_{\varepsilon \to 0} \int \frac{\varepsilon^2}{(\mathbf{x}^2 - t^2)^2 + \varepsilon^4} \, dx^3
 = 2 \pi^2 |t|.
</math>

Отсюда следует, что части вне светового конуса обычно равны нулю в пределе и важны только в диаграммах Фейнмана.

=== Пропагаторы в диаграммах Фейнмана ===
Чаще всего пропагатор используется для расчета [[Статистическая интерпретация волновой функции|амплитуд вероятности]] взаимодействия частиц с использованием [[Диаграммы Фейнмана|диаграмм Фейнмана]]. Эти расчёты обычно выполняются в импульсном пространстве. В общем, амплитуда получает коэффициент пропагатора для каждой ''внутренней линии'', то есть для каждой линии, которая не представляет входящую или выходящую частицу в начальном или конечном состоянии. Он также получит коэффициент, пропорциональный и аналогичный по форме члену взаимодействия в [[лагранжиан]]е теории для каждой внутренней вершины, где встречаются линии. Эти правила известны как ''правила Фейнмана''.

Внутренние линии соответствуют виртуальным частицам. Поскольку пропагатор не обращается в нуль для комбинаций энергии и импульса, не допускаемых классическими уравнениями движения, то говорят, что виртуальные частицы могут находиться [[вне оболочки]]. На самом деле, поскольку пропагатор получается обращением волнового уравнения, он в общем случае будет иметь разрывы на оболочке.

Энергия, переносимая частицей в пропагаторе, может быть даже ''отрицательной''. Это можно интерпретировать просто как случай, когда вместо частицы, движущейся в одном направлении, её [[Античастицы|античастица]] движется в ''другом'' направлении и, следовательно, несёт встречный поток положительной энергии. Пропагатор охватывает обе возможности. Это означает, что нужно быть осторожным со знаками минус для случая [[фермион]]ов, чьи пропагаторы не являются [[Чётность функции|чётными функциями]] энергии и импульса (см. ниже).

Виртуальные частицы сохраняют энергию и импульс. Однако, поскольку они могут быть вне оболочки, везде, где диаграмма содержит замкнутую ''петлю'', энергии и импульсы виртуальных частиц, участвующих в петле, будут частично неограниченными, поскольку изменение величины для одной частицы в петле может быть уравновешено равным и противоположным изменением в другом. Следовательно, каждая петля на диаграмме Фейнмана требует интеграла по континууму возможных значений энергий и импульсов. В общем, эти интегралы произведений пропагаторов могут расходиться, и эту проблему должен разрешать процесс [[Перенормировка|перенормировки]].

=== Другие теории ===

==== Спин {{Дробь|1|2}} ====
Если частица обладает [[спин]]ом, то её пропагатор, как правило, несколько сложнее, так как он будет включать спин частицы или индексы поляризации. Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет пропагатор для частицы со спином {{Дробь|1|2}} определяется выражением{{sfn|Greiner & Reinhardt|2008}}

: <math>(i\not\nabla' - m)S_F(x', x) = I_4\delta^4(x'-x)\,,</math>

где {{Math|''I''<sub>4</sub>}} — единичная матрица в четырёх измерениях, использующая [[Слэш-обозначения Фейнмана|слэш обозначение Фейнмана]]. Это уравнение Дирака для источника дельта-функции в пространстве-времени. Используя импульсное представление,

: <math>S_F(x', x) = \int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\exp{\left[-ip \cdot(x'-x)\right]}\tilde S_F(p)\,,</math>

уравнение становится

: <math>
\begin{align}
& (i \not \nabla' - m)\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\tilde S_F(p)\exp{\left[-ip \cdot(x'-x)\right]} \\[6pt]
= {} & \int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}(\not p - m)\tilde S_F(p)\exp{\left[-ip \cdot(x'-x)\right]} \\[6pt]
= {} & \int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}I_4\exp{\left[-ip \cdot(x'-x)\right]} \\[6pt]
= {} & I_4\delta^4(x'-x),
\end{align}
</math>

где в правой части используется интегральное представление четырёхмерной дельта-функции. Таким образом

: <math>(\not p - m I_4)\tilde S_F(p) = I_4\,.</math>

Умножая слева на

: <math>(\not p + m)</math>

(отбрасывая единичные матрицы из обозначений) и используя свойства [[Матрицы Дирака|гамма-матриц]],

: <math>
\begin{align}
\not p \not p & = \frac{1}{2}(\not p \not p + \not p \not p) \\[6pt]
& = \frac{1}{2}(\gamma_\mu p^\mu \gamma_\nu p^\nu + \gamma_\nu p^\nu \gamma_\mu p^\mu) \\[6pt]
& = \frac{1}{2}(\gamma_\mu \gamma_\nu + \gamma_\nu\gamma_\mu)p^\mu p^\nu \\[6pt]
& = g_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = p_\nu p^\nu = p^2,
\end{align}
</math>

обнаружено, что пропагатор в импульсном пространстве, используемый в диаграммах Фейнмана для поля [[Уравнение Дирака|Дирака]], представляющего [[электрон]] в [[Квантовая электродинамика|квантовой электродинамике]], имеет вид

: <math> \tilde{S}_F(p) = \frac{(\not p + m)}{p^2 - m^2 + i \varepsilon} = \frac{(\gamma^\mu p_\mu + m)}{p^2 - m^2 + i \varepsilon}\,.</math>

{{Math|''iε''}} внизу — это рецепт того, как обращаться с полюсами в комплексной {{Math|''p''<sub>0</sub>}}-плоскости. Это автоматически даёт контур интегрирования Фейнмана путём соответствующего смещения полюсов. Иногда это пишется

: <math>\tilde{S}_F(p) = {1 \over \gamma^\mu p_\mu - m + i\varepsilon} = {1 \over \not p - m + i\varepsilon} </math>

короче. Следует помнить, что это выражение является просто сокращенным обозначением {{Math|(''γ''<sub>''μ''</sub>''p''<sup>''μ''</sup> − ''m'')<sup>−1</sup>}}. «Единица на матрицу» в остальном бессмыслен. В координатном пространстве

: <math>S_F(x-y) = \int \frac{d^4 p}{(2\pi)^4} \, e^{-i p \cdot (x-y)} \frac{\gamma^\mu p_\mu + m}{p^2 - m^2 + i \varepsilon} = \left( \frac{\gamma^\mu (x-y)_\mu}{|x-y|^5} + \frac{m}{|x-y|^3} \right) J_1(m |x-y|)\,.</math>

Это связано с пропагатором Фейнмана соотношением

: <math>S_F(x-y) = (i \not \partial + m) G_F(x-y)</math>

где <math>\not \partial := \gamma^\mu \partial_\mu\,.</math>

==== Спин 1 ====
Пропагатор [[Калибровочные бозоны|калибровочного бозона]] в [[калибровочная теория|калибровочной теории]] зависит от выбора соглашения для выбора калибровки. Для калибровки, используемой Фейнманом и [[Штюкельберг, Эрнст|Штюкельбергом]], пропагатор [[фотон]]а равен

: <math>{-i g^{\mu\nu} \over p^2 + i\varepsilon }\,.</math>

Общий вид с калибровочным параметром {{Math|''λ''}} с точностью до общего знака и множителя <math>i</math>, записывается как

: <math> -i\frac{g^{\mu\nu} + \left(1-\frac{1}{\lambda}\right)\frac{p^\mu p^\nu}{p^2}}{p^2+i\varepsilon}\,.</math>

Пропагатор для массивного векторного поля можно получить из лагранжиана Штюкельберга. Общий вид с калибровочным параметром {{Math|''λ''}} с точностью до общего знака и множителем <math>i</math>, записывается

: <math> \frac{g_{\mu\nu} - \frac{k_\mu k_\nu}{m^2}}{k^2-m^2+i\varepsilon}+\frac{\frac{k_\mu k_\nu}{m^2}}{k^2-\frac{m^2}{\lambda}+i\varepsilon}\,.</math>

С этими общими формами можно получить пропагаторы в унитарной калибровке для {{Math|''λ'' {{=}} 0}}, пропагатор в калибровке Фейнмана или 'т Хофта для {{Math|''λ'' {{=}} 1}} и в калибровке Ландау или Лоренца для {{Math|''λ'' {{=}} ∞}}. Существуют также другие обозначения, в которых калибровочный параметр является обратным {{Mvar|λ}}, обычно обозначаемым {{Mvar|ξ}} (см. [[Калибровка векторного потенциала|{{Math|''R''<sub>ξ</sub>}} Gauges]]). Однако имя пропагатора относится к его окончательной форме, а не обязательно к значению калибровочного параметра.

Унитарная калибровка:

: <math>\frac{g_{\mu\nu} - \frac{k_\mu k_\nu}{m^2}}{k^2-m^2+i\varepsilon}\,.</math>

Калибровка Фейнмана ('т Хофта):

: <math>\frac{g_{\mu\nu}}{k^2-m^2+i\varepsilon}\,.</math>

Калибровка Ландау (Лоренца):

: <math>\frac{g_{\mu\nu} - \frac{k_\mu k_\nu}{k^2}}{k^2-m^2+i\varepsilon}\,.</math>

=== Гравитонный пропагатор ===
Пропагатор для гравитона в [[Пространство Минковского|пространстве Минковского]] в [[Общая теория относительности|общей теории относительности]]<ref>{{Cite web |url=https://dspace.library.uu.nl/bitstream/handle/1874/4837/Quantum_theory_of_gravitation.pdf?sequence=2&isAllowed=y |title=Источник |access-date=2023-03-03 |archive-date=2020-07-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200702193522/https://dspace.library.uu.nl/bitstream/handle/1874/4837/Quantum_theory_of_gravitation.pdf?sequence=2&isAllowed=y |deadlink=no }}</ref>

: <math>G_{\alpha\beta~\mu\nu} = \frac{\mathcal{P}^2_{\alpha\beta~\mu\nu}}{k^2} - \frac{\mathcal{P}^0_s{}_{\alpha\beta~\mu\nu}}{2k^2} = \frac{g_{\alpha\mu}g_{\beta\nu}+g_{\beta\mu}g_{\alpha\nu}-\frac{2}{D-2}g_{\mu\nu}g_{\alpha\beta}}{k^2}\,,</math>

где <math>D</math> — количество измерений пространства-времени, <math>\mathcal{P}^2</math> — поперечный и бесследовый [[Спин|оператор проекции спина 2]], а <math>\mathcal{P}^0_s</math> является скалярным [[мультиплет]]ом со спином 0. Пропагатор гравитона для [[Антидеситтеровское пространство|пространства (анти) де Ситтера]] равен

: <math>G = \frac{\mathcal{P}^2}{2H^2-\Box} + \frac{\mathcal{P}^0_s}{2(\Box+4H^2)}\,,</math>

куда <math>H</math> — [[Закон Хаббла|постоянная Хаббла]]. Обратите внимание, что при достижении предела <math>H \to 0</math> и <math>\Box \to -k^2</math>, пропагатор AdS сводится к пропагатору Минковского<ref>{{Cite web|url=http://cds.cern.ch/record/378516/files/9902042.pdf|title=Graviton and gauge boson propagators in AdSd+1|access-date=2023-03-03|archive-date=2018-07-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20180725014800/http://cds.cern.ch/record/378516/files/9902042.pdf|deadlink=no}}</ref>.

== Связанные сингулярные функции ==
Скалярные пропагаторы являются функциями Грина для уравнения Клейна — Гордона. Есть связанные сингулярные функции, которые важны в [[Квантовая теория поля|квантовой теории поля]]. Мы следуем обозначениям Бьоркена и Дрелла<ref name="BD">{{Cite book|автор=Bjorken|first=James D.|author2=Drell|first2=Sidney David|часть=Appendix C|заглавие=Relativistic Quantum Mechanics|ссылка=https://archive.org/details/relativisticquan0000bjor|место=New York, NY|издательство=[[McGraw-Hill]]|год=1964|isbn=9780070054936}}</ref>. См. также Боголюбов и Ширков (Приложение А)<ref>{{Cite book|автор=Bogoliubov|first=N.|author-link=Nikolay Bogolyubov|author2=Shirkov|first2=D. V.|author2-link=Dmitry Shirkov|часть=Appendix A|заглавие=Introduction to the theory of quantized fields|издательство=[[Wiley-Interscience]]|год=1959|isbn=0-470-08613-0}}</ref>. Эти функции наиболее просто определяются в терминах [[Конденсат (квантовая теория поля)|вакуумного среднего значения]] произведений операторов поля.

=== Решения уравнения Клейна — Гордона ===

==== Функция Паули — Жордана ====
Коммутатор двух скалярных полевых операторов определяет функцию [[Паули, Вольфганг|Паули]] — [[Йордан, Паскуаль|Жордана]] <math>\Delta(x-y)</math> по<ref name="BD" /><ref>{{Cite journal|author=Pauli|first=Wolfgang|year=1928|title=Zur Quantenelektrodynamik ladungsfreier Felder|journal=Zeitschrift für Physik|volume=47|issue=3–4|pages=151–173|doi=10.1007/BF02055793|bibcode=1928ZPhy...47..151J}}</ref>

: <math>\langle 0 | \left[ \Phi(x),\Phi(y) \right] | 0 \rangle = i \, \Delta(x-y)</math>

с

: <math>\,\Delta(x-y) = G_\text{adv} (x-y) - G_\text{ret}(x-y)\,.</math>

Это удовлетворяет

: <math>\Delta(x-y) = -\Delta(y-x)</math>

и равен нулю, если <math>(x-y)^2 < 0\,.</math>

==== Положительная и отрицательная частотные части (вырезанные пропагаторы) ====
Мы можем определить положительную и отрицательную частотные части <math>\Delta(x-y)</math>, иногда называемые разрезанными пропагаторами, релятивистски инвариантным образом.

Это позволяет нам определить положительную частотную часть:

: <math>\Delta_+(x-y) = \langle 0 | \Phi(x) \Phi(y) |0 \rangle \,,</math>

и отрицательную частотную часть:

: <math>\Delta_-(x-y) = \langle 0 | \Phi(y) \Phi(x) |0 \rangle \,.</math>

Они удовлетворяют<ref name="BD" />

: <math>\,i \Delta = \Delta_+ - \Delta_-</math>

и

: <math>(\Box_x + m^2) \Delta_{\pm}(x-y) = 0\,.</math>

==== Вспомогательная функция ====
Антикоммутатор двух скалярных полевых операторов определяет <math>\Delta_1(x-y)</math> функция

: <math>\langle 0 | \left\{ \Phi(x),\Phi(y) \right\} | 0 \rangle = \Delta_1(x-y)</math>

с

: <math>\,\Delta_1(x-y) = \Delta_+ (x-y) + \Delta_-(x-y)\,.</math>

Это удовлетворяет <math>\,\Delta_1(x-y) = \Delta_1(y-x)\,.</math>

=== Функции Грина для уравнения Клейна — Гордона. ===
Определённые выше запаздывающие, опережающие и фейнмановские пропагаторы являются функциями Грина для уравнения Клейна — Гордона.

Они связаны с сингулярными функциями соотношением<ref name="BD" />

: <math>G_\text{ret}(x-y) = -\Delta(x-y) \Theta(x_0-y_0) </math>
: <math>G_\text{adv}(x-y) = \Delta(x-y) \Theta(y_0-x_0) </math>
: <math>2 G_F(x-y) = -i \,\Delta_1(x-y) + \varepsilon(x_0 - y_0) \,\Delta(x-y) </math>

где <math>\varepsilon(x_0-y_0)</math> является знаком <math>x_0-y_0\,.</math>

== Примеры ==
Пропагатор свободной частицы в одном измерении:
: <math>D(x,x';t)=\left(\frac{m}{2\pi i\hbar t}\right)^{1/2}\exp\left(-\frac{m(x-x')^2}{2i\hbar t}\right)\,.</math>

Пропагатор одномерного [[Гармонический осциллятор|гармонического осциллятора]]:
: <math>D(x,x';t)=\left(\frac{m\omega}{2\pi i\hbar \sin \omega t}\right)^{1/2}\exp\left(-\frac{m\omega((x^2+x'^2)\cos\omega t-2xx')}{2i\hbar \sin\omega t}\right)\,.</math>

Электронный пропагатор является основной величиной, характеризующей взаимодействие электрона и фотона. Его величина в импульсном представлении
: <math>G(p)=\frac{\gamma{p}+m}{p^2-m^2+i0}.</math><ref name="landau">''Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П.'' Квантовая электродинамика, 2001, ISBN 5-9221-0058-0</ref>

Фотонный пропагатор является основной величиной, характеризующей взаимодействие двух электронов. Его величина в импульсном представлении
: <math>D(k^2)=\frac{4\pi}{k^2+i0}.</math><ref name="landau" />

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{cite book|last1=Bjorken|first1=J.|author-link1=James Bjorken|last2=Drell|first2=S.|author-link2=Sidney Drell|title=Relativistic Quantum Fields|url=https://archive.org/details/relativisticquan0000bjor_c5q0|url-access=registration|location=New York|publisher=[[McGraw-Hill]]|year=1965|isbn=0-07-005494-0}} (Appendix C.)
* {{cite book|last1=Bogoliubov|first1=N.|author-link1=Nikolay Bogolyubov|last2=Shirkov|first2=D. V.|author-link2=Dmitry Shirkov|title=Introduction to the theory of quantized fields|publisher=[[Wiley-Interscience]]|isbn=0-470-08613-0|year=1959}} (Especially pp. 136–156 and Appendix A)
* {{cite book|editor-last1=DeWitt-Morette|editor-first1=C.|editor-link1=Cécile DeWitt-Morette|editor-last2=DeWitt|editor-first2=B.|editor-link2=Bryce DeWitt|title=Relativity, Groups and Topology|publisher=[[Blackie and Son]]|location=Glasgow|isbn=0-444-86858-5}} (section Dynamical Theory of Groups & Fields, Especially pp. 615–624)
* {{cite book|title=Quantum Electrodynamics|first1=W.|last1=Greiner|author-link1=Грайнер, Вальтер|first2=J.|last2=Reinhardt|edition=4th|year=2008|isbn=9783540875604|publisher=[[Springer Verlag]]|url=https://books.google.com/books?id=5Kd3dBL8a64C&q=walter+greiner+Quantum+electrodynamics|ref=Greiner & Reinhardt}}
* {{cite book|title=Field Quantization|first1=W.|last1=Greiner|author-link1=Грайнер, Вальтер|first2=J.|last2=Reinhardt|year=1996|isbn=9783540591795|publisher=Springer Verlag|url=https://archive.org/details/fieldquantizatio0000grei|url-access=registration|quote=walter greiner Classical Mechanics: Point Particles and Relativity.}}
* {{cite book|last=Griffiths|first=D. J.|title=Introduction to Elementary Particles|url=https://archive.org/details/introductiontoel0000grif_o7r4|location=New York|publisher=[[John Wiley & Sons]]|year=1987|isbn=0-471-60386-4}}
* {{cite book|last=Griffiths|first=D. J.|title=Introduction to Quantum Mechanics|location=Upper Saddle River|publisher=[[Prentice Hall]]|year=2004|isbn=0-131-11892-7}}
* {{citation|last1=Halliwell|first1=J.J.|last2=Orwitz|first2=M.|title=Sum-over-histories origin of the composition laws of relativistic quantum mechanics and quantum cosmology|journal=Physical Review D|volume=48|issue=2|pages=748–768|arxiv=gr-qc/9211004|bibcode = 1993PhRvD..48..748H |doi = 10.1103/PhysRevD.48.748 |pmid=10016304|year=1993|s2cid=16381314}}
* {{cite book|last=Huang|first=Kerson|author-link=Kerson Huang|title=Quantum Field Theory: From Operators to Path Integrals|url=https://archive.org/details/quantumfieldtheo0000huan|location=New York|publisher=John Wiley & Sons|year=1998|isbn=0-471-14120-8|ref=Huang}}
* {{cite book|last1=Itzykson|first1=C.|author-link1=Claude Itzykson|last2=Zuber|first2=J-B.|author-link2=Jean-Bernard Zuber|title=Quantum Field Theory|url=https://archive.org/details/quantumfieldtheo0000itzy|url-access=registration|location=New York|publisher=McGraw-Hill|year=1980|isbn=0-07-032071-3}}
* {{cite book|last=Pokorski|first=S.|title=Gauge Field Theories|url=https://archive.org/details/gaugefieldtheori0000poko|location=Cambridge|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=1987|isbn=0-521-36846-4}} ''(Has useful appendices of Feynman diagram rules, including propagators, in the back.)''
* {{cite book|last=Schulman|first=L. S.|title=Techniques & Applications of Path Integration|publisher=John Wiley & Sons|location=New York|year=1981|isbn=0-471-76450-7}}
* {{cite book | vauthors=((Scharf, G.)) | date= 2014 | title=Finite Quantum Electrodynamics The Causal Approach | publisher=Springer Berlin | edition=2., nd ed. 1995. Softcover reprint of the original 2nd ed. 1995 | isbn=9783642633454}}.

== Ссылки ==
* {{Из|ФЭ|http://femto.com.ua/articles/part_2/3126.html|заглавие=Пропагатор}}
{{Ричард Фейнман}}

[[Категория:Квантовая теория поля]]
[[Категория:Квантовая электродинамика]]