Просмотр кода страницы Простое число Вольстенхольма

В [[Теория чисел|теории чисел]] '''простым числом Вольстенхольма ''' называется всякое [[простое число]], удовлетворяющее усиленному сравнению из [[Теорема Вольстенхольма|теоремы Вольстенхольма]]. При этом исходному сравнению из теоремы Вольстенхольма удовлетворяют все простые числа, кроме 2 и 3. Простые Вольстенхольма названы в честь математика [[Джозеф Вольстенхольм|Джозефа Вольстенхольма]], который первым доказал теорему в XIX веке.

Интерес к этим простым возник по причине их связи с [[Великая теорема Ферма|великой теоремой Ферма]].

Известны только два простых числа Вольстенхольма — это 16843 и 2124679 ({{OEIS|A088164 }}). Других простых чисел Вольстенхольма, меньших 10<sup>9</sup>, нет<ref>{{MathWorld|urlname=WolstenholmePrime|title=Wolstenholme prime}}</ref>.

== Определения ==
{{unsolved|математики|Имеются ли простые числа Вольстенхольма, отличные от 16843 и 2124679?}}

Простое число Вольстенхольма может быть определено несколькими эквивалентными путями.

=== Через биномиальные коэффициенты ===
Простое число Вольстенхольма — это простое число, удовлетворяющее сравнению
: <math>{2p \choose p} \equiv 2 \pmod{p^4},</math>
где выражение в левой части обозначает [[биномиальный коэффициент]]<ref>{{cite web|url=http://www.johndcook.com/binomial_coefficients.html|title=Binomial coefficients|first=J. D.|last=Cook|accessdate=2010-12-21|archiveurl=https://www.webcitation.org/6E1zLeAzS?url=http://www.johndcook.com/binomial_coefficients.html|archivedate=2013-01-29|deadlink=no}}</ref>.
Сравните с [[Теорема Вольстенхольма|теоремой Вольстенхольма]], которая утверждает, что для любого простого ''p'' > 3 выполняется следующее сравнение:
: <math>{2p \choose p} \equiv 2 \pmod{p^3}.</math>

=== Через числа Бернулли ===
Простое число Вольстенхольма — это простое число ''p'', делящее (без остатка) числитель [[Число Бернулли|числа Бернулли]] ''B''<sub>''p''−3</sub><ref>{{Harvnb|Clarke|Jones|2004|p=553}}</ref>{{sfn|McIntosh|1995|p=387}}<ref>{{Harvnb|Zhao|2008|p=25}}</ref>. Таким образом, простые числа Вольстенхольма представляют собой подмножество [[Регулярное простое число|иррегулярных простых чисел]].

=== Через иррегулярные пары ===
{{Main|Регулярное простое число |l1= иррегулярное простое число }}
Простое число Вольстенхольма ''p'' — это простое число, такое, что (''p'', ''p''-3) является иррегулярной парой{{sfn|Johnson|1975|p=114}}{{sfnp|Buhler|Crandall|Ernvall|Metsänkylä|1993|p=152}}.

=== Через гармонические числа ===
Простое число Вольстенхольма ''p'' — это простое число, такое, что{{sfn|Zhao|2007|p=18}}

: <math>H_{p - 1} \equiv 0 \pmod{p^3}\, ,</math>

то есть числитель [[Гармоническое число|гармонического числа]] <math>H_{p-1}</math> делится на ''p''<sup>3</sup>.

== Поиск и текущее состояние ==
Поиск простых чисел Вольстенхольма начался в 1960-х годах и продолжается до сих пор. Последний результат был опубликован в 2007 году. Первое простое число Вольстенхольма 16843 было найдено в 1964 году, хотя результат и не был опубликован в явном виде<ref>Селфридж (Selfridge) и Поллак (Pollack) опубликовали первое простое число Вольстенхольма в {{Harvnb|Selfridge|Pollack|1964|p=97}} (см. {{Harvnb|McIntosh|Roettger|2007|p=2092}}).</ref>. Находка 1964 года была потом независимо подтверждена в {{nobr|1970-х годах}}. Это число оставалось единственным известным примером таких чисел почти 20 лет, пока не было объявлено об обнаружении второго простого числа Вольстенхольма 2124679 в 1993 году{{sfn|Ribenboim|2004|p=23}}. В то время вплоть до 1,2{{e|7}} не было найдено ни одного числа Вольстенхольма, кроме упомянутых двух{{sfn|Zhao|2007|p=25}}. Позднее граница была поднята до 2{{e|8}} Макинтошем (McIntosh) в 1995 году{{sfn|McIntosh|1995|p=387}}, а Тревисан (Trevisan) и Вебер (Weber) смогли достичь 2,5{{e|8}}{{sfnp|Trevisan|Weber|2001|p=283–284}}. Последний результат зафиксирован в 2007 году — до 1{{e|9}} так и не нашли простых чисел Вольстенхольма{{sfnp|McIntosh|Roettger|2007|p=2092}}.

== Ожидаемое количество ==
Существует гипотеза, что простых чисел Вольстенхольма бесконечно много. Предполагается также, что количество не превосходящих ''x'' простых чисел Вольстенхольма должно быть порядка ''ln ln x'', где ''ln'' обозначает [[натуральный логарифм]]. Для любого простого числа ''p'' ≥ 5 '''частным Вольстенхольма''' называется
: <math>W_p {{=}} \frac{{2p \choose p}-2}{p^3}.</math>
Ясно, что ''p'' является простым числом Вольстенхольма тогда и только тогда, когда ''W''<sub>''p''</sub> ≡ 0 (mod ''p''). [[Эмпиризм|Из эмпирических наблюдений]] можно предположить, что остаток ''W''<sub>''p''</sub> по модулю ''p'' [[Дискретное равномерное распределение|равномерно распределён]] на множестве {0, 1, …, ''p''-1}. По этим причинам вероятность получения определённого остатка (например, 0) должна быть около 1/''p''{{sfn|McIntosh|1995|p=387}}.

== См. также ==
* [[Число Вильсона]]
* [[Простое число Фибоначчи — Вифериха]]
* [[Простое число Вифериха]]

== Примечания ==
{{примечания|25em}}

== Литература ==
{{Refbegin2}}
* {{Citation | last1=Selfridge | first1=J. L. | last2=Pollack | first2=B. W. | title=Fermat's last theorem is true for any exponent up to 25,000 | year=1964 | journal=Notices of the American Mathematical Society | volume=11 | pages=97}}
* {{Citation | last1=Johnson | first1=W. | title=Irregular Primes and Cyclotomic Invariants | year=1975 | journal=[[Mathematics of Computation]] | volume=29 | issue=129 | pages=113–120 | url=http://www.ams.org/journals/mcom/1975-29-129/S0025-5718-1975-0376606-9/S0025-5718-1975-0376606-9.pdf }} {{Архивировано|url=https://www.webcitation.org/5v79AhVZp?url=http://www.ams.org/journals/mcom/1975-29-129/S0025-5718-1975-0376606-9/S0025-5718-1975-0376606-9.pdf |date=2010-12-20 }}
* {{Citation | last1=Buhler | first1=J. | last2=Crandall | first2=R. | last3=Ernvall | first3=R. | last4=Metsänkylä | first4=T. | title=Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to Four Million | year=1993 | journal=[[Mathematics of Computation]] | volume=61 | issue=203 | pages=151–153 | url=http://www.ams.org/journals/mcom/1993-61-203/S0025-5718-1993-1197511-5/S0025-5718-1993-1197511-5.pdf }} {{Архивировано|url=https://www.webcitation.org/5uBfEhNBI?url=http://www.ams.org/journals/mcom/1993-61-203/S0025-5718-1993-1197511-5/S0025-5718-1993-1197511-5.pdf |date=2010-11-12 }}
* {{Citation | last1=McIntosh | first1=R. J. | title=On the converse of Wolstenholme's Theorem | year=1995 | journal=[[Acta Arithmetica]] | volume=71 | pages=381–389 | url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa71/aa7144.pdf}} [https://www.webcitation.org/5u5TTjyoj арх.]
* {{Citation | last1=Trevisan | first1=V. | last2=Weber | first2=K. E. | title=Testing the Converse of Wolstenholme's Theorem | year=2001 | journal=Matemática Contemporânea | volume=21 | pages=275–286 | url=http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/448/000317407.pdf?sequence=1 }} {{Архивировано|url=https://www.webcitation.org/5usC3fNXN?url=http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/448/000317407.pdf?sequence=1 |date=2010-12-10 }}
* {{Citation | author1-link=Paulo Ribenboim | last1=Ribenboim | first1=P. | title=The Little Book of Bigger Primes | location=New York | publisher=Springer-Verlag New York, Inc. | year=2004 | isbn=0-387-20169-6 |chapter=[http://trex58.files.wordpress.com/2010/01/ribenboimbook1.pdf Chapter 2. How to Recognize Whether a Natural Number is a Prime]}} [https://www.webcitation.org/5uTrtgMk3 арх.]
* {{Citation | last1=Clarke | first1=F. | last2=Jones | first2=C. | title=A Congruence for Factorials | year=2004 | journal=Bulletin of the London Mathematical Society | volume=36 | pages=553–558 | url=http://blms.oxfordjournals.org/content/36/4/553.full.pdf | doi=10.1112/S0024609304003194 | issue=4 }} {{Архивировано|url=https://www.webcitation.org/5vRE6GbVK?url=http://blms.oxfordjournals.org/content/36/4/553.full.pdf |date=2011-01-02 }}
* {{Citation | last1=McIntosh | first1=R. J. | last2=Roettger | first2=E. L. | title=A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes | year=2007 | journal=Mathematics of Computation | volume=76 | pages=2087–2094 | doi=10.1090/S0025-5718-07-01955-2 | url=http://www.ams.org/mcom/2007-76-260/S0025-5718-07-01955-2/S0025-5718-07-01955-2.pdf}} [https://www.webcitation.org/5usE0UWhy арх.]
* {{Citation | last1=Zhao | first1=J. | title=Bernoulli numbers, Wolstenholme's theorem, and p<sup>5</sup> variations of Lucas' theorem | year=2007 | journal=Journal of Number Theory | volume=123 | pages=18–26 | doi=10.1016/j.jnt.2006.05.005 | url=http://home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoJNTBern.pdf }} {{Архивировано|url=https://www.webcitation.org/5uBfrPYe8?url=http://home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoJNTBern.pdf |date=2010-11-12 }}
* {{Citation | last1=Zhao | first1=J. | title=Wolstenholme Type Theorem for Multiple Harmonic Sums | year=2008 | journal=International Journal of Number Theory | volume=4 | issue=1 | pages=73–106 | url=http://home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoIJNT.pdf}} [https://www.webcitation.org/5uXu6BHu7 арх.]
* {{Citation | last1=Krattenthaler | first1=C. | last2=Rivoal | first2=T. | title=On the integrality of the Taylor coefficients of mirror maps, II | year=2009 | journal=Communications in Number Theory and Physics | volume=3 | issue=  | arxiv=0907.2578}}
* {{Citation | last1=Babbage | first1=C. | title=Demonstration of a theorem relating to prime numbers | journal=The Edinburgh Philosophical Journal | volume=1 | year=1819 | pages=46–49 | url=https://books.google.com/books?id=KrA-AAAAYAAJ&pg=PA46 }}
* {{Citation | last1=Wolstenholme | first1=J. | title=On Certain Properties of Prime Numbers | year=1862 | journal=The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics | volume=5 | pages=35–39 | url=https://books.google.com/books?id=vL0KAAAAIAAJ&pg=PA35#v=onepage&q&f=false}}
{{Refend}}

== Ссылки ==
* ''Caldwell, Chris K.'' [http://primes.utm.edu/glossary/xpage/Wolstenholme.html  Wolstenholme prime] — из справочника простых чисел
* ''McIntosh, R. J.'' [http://www.loria.fr/~zimmerma/records/Wieferich.status Wolstenholme Search Status as of March 2004] e-mail to Paul Zimmermann
* ''Bruck, R.'' [http://imperator.usc.edu/~bruck/research/stirling/ Wolstenholme’s Theorem, Stirling Numbers, and Binomial Coefficients]
* ''Conrad, K.'' [http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/ugradnumthy/padicharmonicsum.pdf The ''p''-adic Growth of Harmonic Sums] — интересное наблюдение, связанное с простыми числами Вольстенхольма.

{{rq|checktranslate|style}}

[[Категория:Классы простых чисел|Вольстенхольм]]
[[Категория:Гипотезы о простых числах|Вольстенхольм]]