Просмотр кода страницы Простое число Фибоначчи — Вифериха

{{unsolved|математики|Существуют ли простые числа Фибоначчи — Вифериха? Если да, конечно ли их количество?}}
'''Простое число Фибоначчи — Вифериха''' (также ''простое число Уолла — Суня — Суня'', {{lang-en|Wall – Sun – Sun}}) — одно из предположительно существующих [[Простое число|простых чисел]] определённого вида, связанных с [[Числа Фибоначчи|числами Фибоначчи]]. По состоянию на 2023 год ни одного такого числа не найдено.

== Определение ==
Простое <math>p>5</math> называется простым числом Фибоначчи — Вифериха, если <math>p^2</math> делит [[число Фибоначчи]] <math>F_{p - \left(\frac{{p}}{{5}}\right)}</math>, где [[символ Лежандра]] <math>\left(\tfrac{p}{5}\right)</math> определяется как:
: <math>\left(\frac{p}{5}\right) = \begin{cases} 1, &\text{if}\ p \equiv \pm1 \pmod 5\\ -1, &\text{if}\ p \equiv \pm2 \pmod 5 \end{cases}</math>

Эквивалентное определение: простое <math>p</math> называется простым числом Фибоначи — Вифериха, если <math>L_p \equiv 1 \pmod {p^2}</math>, где <math>L_p</math> — <math>p</math>-ое [[число Люка]].<ref>{{статья |заглавие=On Fibonacci powers |издание=Univ. Beograd Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. |том=17 |страницы=38—44 |ссылка=http://www.doiserbia.nb.rs/img/doi/0353-8893/2006/0353-88930617038A.pdf |doi=10.2298/PETF0617038A |язык=und |автор=Vladica, A. |год=2006 |archivedate=2013-12-02 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20131202235649/http://www.doiserbia.nb.rs/img/doi/0353-8893/2006/0353-88930617038A.pdf }}</ref>{{rp|42}}

== Существование ==

Существует гипотеза, что простых чисел Фибоначчи — Вифериха бесконечно много<ref>{{Citation |last=Klaška |first=Jiří |year=2007 |title=Short remark on Fibonacci−Wieferich primes |journal=Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis |volume=15 |issue=1 |pages=21–25 |url=http://dml.cz/dmlcz/137492 |access-date=2013-01-22 |archive-date=2011-07-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110718171530/http://dml.cz/dmlcz/137492 |url-status=dead }}</ref>, однако по состоянию на 2013 год ни одно такое простое число не обнаружено.

В [[2007 год]]у Ричард Макинтош (''Richard J. McIntosh'') и Эрик Рётгер (''Eric L. Roettger'') показали, что если они существуют, то должны быть больше 2{{e|14}}<ref>{{статья |заглавие=A search for Fibonacci−Wieferich and Wolstenholme primes |издание={{Нп3|Mathematics of Computation}} |том=76 |номер=260 |страницы=2087—2094 |ссылка=http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:vR220ldvztoJ:citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download%3Fdoi%3D10.1.1.105.9393%26rep%3Drep1%26type%3Dpdf+wolstenholme+prime+fermats+last+theorem&hl=de&gl=de&pid=bl&srcid=ADGEESirfd2SXu_6m_rBnSa9_J1FEV6pXYhaszGMjogRPDIU003Qu8eBknikKaTgUzQpx2vBJE8zxyIyu8c5bo_UgXpGYXP2PeSvMaXSqUrynptDXRktVJw28_i2Tm6GCdEtYWOt7e7E&sig=AHIEtbQRB1Z0Tpz9k0f8kYnzyJp1saeAPg |doi=10.1090/S0025-5718-07-01955-2 |язык=en |тип=journal |автор=McIntosh, R. J.; Roettger, E. L. |год=2007 |archivedate=2012-11-12 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20121112190246/https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache%3AvR220ldvztoJ%3Aciteseerx.ist.psu.edu%2Fviewdoc%2Fdownload%3Fdoi%3D10.1.1.105.9393&rep=rep1&type=pdf+wolstenholme+prime+fermats+last+theorem&hl=de&gl=de&pid=bl&srcid=ADGEESirfd2SXu_6m_rBnSa9_J1FEV6pXYhaszGMjogRPDIU003Qu8eBknikKaTgUzQpx2vBJE8zxyIyu8c5bo_UgXpGYXP2PeSvMaXSqUrynptDXRktVJw28_i2Tm6GCdEtYWOt7e7E&sig=AHIEtbQRB1Z0Tpz9k0f8kYnzyJp1saeAPg }}</ref>, в 2010 году Франсуа Дорэ (''François G. Dorais'') и Доминик Клайв (''Dominic Klyve'') довели границу до 9,7{{e|14}}<ref>{{статья |ссылка=http://www-personal.umich.edu/~dorais/docs/wieferich.pdf |заглавие=Near Wieferich primes up to 6.7&nbsp;×&nbsp;10<sup>15</sup> |accessdate=2013-01-22 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110806041844/http://www-personal.umich.edu/~dorais/docs/wieferich.pdf |archivedate=2011-08-06 |deadlink=yes |язык=en |тип=journal |автор=Dorais, F. G.; Klyve, D. W. |год=2010}}</ref>. В [[Декабрь 2011 года|декабре 2011 года]] был начат поиск в проекте [[PrimeGrid]]<ref>PrimeGrid [http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=3894 Announcement of Wieferich and Wall-Sun-Sun searches] {{Wayback|url=http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=3894 |date=20130314050747 }}</ref>,
в декабре 2012 года PrimeGrid дошёл до границы 1,5{{e|16}}<ref name="primegrid3008">[http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=3008&nowrap=true#45946 Wall-Sun-Sun Prime Search project] {{Wayback|url=http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=3008&nowrap=true#45946 |date=20110926235241 }} at PrimeGrid</ref>. По состоянию на апрель 2014 года PrimeGrid дошёл до границы 2.8{{e|16}} и продолжает поиск<ref name="primegrid3008" />.

== История ==
Простые числа Уолла — Суня — Суня названы в честь [[Дональд Уолл|Дональда Уолла]] (''Donald Dines Wall'')<ref>{{Citation |first=D. D. |last=Wall |title=Fibonacci Series Modulo m |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=67 |issue=6 |year=1960 |pages=525–532 |doi=10.2307/2309169 }}</ref>, [[Сунь Чжихун]]а (''Sūn Zhìhóng'') и [[Сунь Чживэй|Сунь Чживэя]] (''Sūn Zhìwěi''), которые в [[1992 год]]у показали, что если первый случай [[Великая теорема Ферма|великой теоремы Ферма]] неверен для некоторого простого <math>p,</math> то <math>p</math> должно быть простым числом Фибоначи — Вифериха<ref>{{Citation |first=Zhi-Hong |last=Sun |first2=Zhi-Wei |last2=Sun |year=1992 |title=Fibonacci numbers and Fermat’s last theorem |journal=[[Acta Arithmetica]] |volume=60 |issue=4 |pages=371–388 |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa60/aa6046.pdf |access-date=2013-01-22 |archive-date=2020-09-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200930182354/http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa60/aa6046.pdf |url-status=dead }}</ref>. Таким образом, до доказательства великой теоремы Ферма [[Уайлс, Эндрю Джон|Эндрю Уайлсом]], поиск простых Фибоначчи — Вифериха преследовал цель найти потенциальный [[контрпример]].

== Обобщения ==
'''Простое (число) трибоначчи — Вифериха''' ({{lang-en|Tribonacci-Wieferich prime}})<ref name="dmlcz/137497" /> — [[простое число]], удовлетворяющее условию
: <math>h(p) = h(p^2),</math>
где <math>h(m)</math> — наименьшее положительное целое, для которого выполняется условие
: <math>\left[ T_h, T_{h+1}, T_{h+2} \right] \equiv \left[ T_0,T_1,T_2 \right] \pmod{m} ,</math>
<math>T_n</math> — [[число трибоначчи]] с номером ''n'', определённое как
: <math>T_{n+3} = T_{n+2} + T_{n+1} + T_n,</math>
: <math>T_0 = 0, T_1 = 0, T_2 = 1.</math>

Простых трибоначчи — Вифериха, меньших 10<sup>11</sup>, не существует<ref name="dmlcz/137497">{{статья |заглавие=A search for Tribonacci–Wieferich primes |издание=Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis |том=16 |номер=1 |страницы=15—20 |ссылка=http://dml.cz/dmlcz/137497 |язык=und |автор=Klaška, Jiří |год=2008 |archivedate=2016-03-07 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160307055606/http://dml.cz/dmlcz/137497 }}</ref>.

== См. также ==
* [[Простое число Вифериха]]
* [[Число Вильсона]]
* [[Простое число Вольстенхольма]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{Citation |title=Prime Numbers: A Computational Perspective |first=Richard E. |last=Crandall |first2=Carl |last2=Pomerance |publisher=Springer |year=2001 |page=29 |isbn=0-387-94777-9 }}

== Ссылки ==
* Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=WallSunSunPrime The Prime Glossary: Wall-Sun-Sun prime] at the [[Prime Pages]].
* {{MathWorld|urlname=Wall-Sun-SunPrime|title=Wall–Sun–Sun prime}}
* Richard McIntosh, [http://www.loria.fr/~zimmerma/records/Wieferich.status Status of the search for Wall-Sun-Sun primes (October 2003)]

{{rq|checktranslate|style}}

[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Научные проблемы]]