Просмотр кода страницы Пространство Калаби — Яу

{{Теория струн|cTopic=Пространство Калаби — Яу}}
{{проще|дата=2020-12-15}}
'''Пространство Кала́би — Яу''' (''многообразие Калаби — Яу'') — [[компактное пространство|компактное]] [[комплексное многообразие]] с [[Кэлерова метрика|кэлеровой метрикой]], для которой [[тензор Риччи]] обращается в ноль.
В [[Теория суперструн|теории суперструн]] иногда предполагают, что дополнительные измерения [[Пространство-время|пространства-времени]] принимают форму 6-мерного многообразия Калаби — Яу, что привело к идее [[Зеркальная симметрия (теория струн)|зеркальной симметрии]]. Название было придумано в 1985 году<ref>{{citation|last1=Candelas|first1=Philip|last2=Horowitz|first2=Gary|last3=Strominger|first3=Andrew|last4=Witten|first4=Edward|year=1985|title=Vacuum configurations for superstrings|journal=Nuclear Physics B|volume=258|pages=46–74|doi=10.1016/0550-3213(85)90602-9|bibcode=1985NuPhB.258...46C}}</ref>, в честь [[Калаби, Эудженио|Эудженио Калаби]], который впервые предположил<ref>{{Citation | last1=Calabi | first1=Eugenio | chapter=The space of Kähler metrics|title= Proc. Internat. Congress Math. Amsterdam |year=1954|pages= 206–207}}</ref><ref>{{Citation | last1=Calabi | first1=Eugenio | title=Algebraic geometry and topology. A symposium in honor of S. Lefschetz | publisher=[[Princeton University Press]] | id={{MathSciNet | id = 0085583}} | year=1957 | chapter=On Kähler manifolds with vanishing canonical class | pages=78—89}}</ref>, что такие размерности могут существовать, и [[Яу Шинтун]]а, который в 1978 году доказал<ref>{{Citation | last1=Yau | first1=Shing Tung | title=On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation. I | doi=10.1002/cpa.3160310304  | id={{MathSciNet | id = 480350}} | year=1978 | journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]] | issn=0010-3640 | volume=31 | issue=3 | pages=339—411}}</ref> {{iw|гипотеза Калаби|гипотезу Калаби|en|Calabi conjecture}}.

Комплексное <math>n</math>-мерное пространство Калаби — Яу является <math>2n</math>-мерным [[риманово многообразие|римановым многообразием]] с риччи-плоской метрикой и дополнительной [[симплектическое многообразие|симплектической]] структурой.

== Ориентируемость и голоморфная ориентируемость ==
Гладкие многообразия делятся на ориентируемые и неориентируемые. Исторически первым примером неориентируемого многообразия была [[лента Мёбиуса]] (и в каком-то смысле это самый важный пример: двумерное гладкое многообразие неориентируемо тогда и только тогда, когда оно содержит ленту Мёбиуса). В терминах [[дифференциальная форма|дифференциальных форм]] условие ориентируемости формулируется следующим образом: многообразие ориентируемо тогда и только тогда, когда оно допускает нигде не обращающуюся в нуль дифференциальную форму старшей степени ([[форма объёма|форму объёма]]). В геометрии неориентируемые многообразия являются скорее курьёзом, поскольку всякое неориентируемое многообразие допускает двойное [[накрытие]], тотальное пространство которого ориентируемо (так называемое ориентирующее накрытие). Его удобно построить при помощи теории [[векторное расслоение|векторных расслоений]]. Именно, надо рассмотреть старшую [[внешняя алгебра|внешнюю степень]] [[кокасательное расслоение|кокасательного расслоения]] — проще говоря, повесив над каждой точкой вещественную прямую, параметризующую всевозможные формы объёма на касательном пространстве в этой точке, выбрать в каждом слое [[скалярное произведение]] (например, воспользовавшись [[разбиение единицы|разбиением единицы]]), а затем рассмотрев в нём вектора единичной длины (то есть по два вектора над каждой точкой). Касательное пространство в точке <math>(p,\nu)</math>, где <tt>p</tt> — точка нашего многообразия, а <math>\nu \in \Lambda^nT^*_p</math> — ненулевой элемент объёма, изоморфно проецируется на <math>T_p</math>, и, заводя в нём элемент объёма, равный <math>\nu</math>, мы получаем нигде не обнуляющуюся форму старшей степени на тотальном пространстве этого накрытия. Подобная конструкция, когда каждая точка заменяется на пространство, параметризующее всевозможные структуры определённой природы в этой точке (в данном случае на пару точек), а потом на получившемся [[Расслоение|расслоённом пространстве]] вводится какая-либо структура, в более сложных случаях называется [[твистор|твисторной конструкцией]].

Всё вышеизложенное относится только к вещественным гладким многообразиям (то есть состоящим из карт, функции перехода между которыми бесконечно дифференцируемы). В комплексной геометрии можно дать следующее

{{Якорь|Каноническое расслоение}}{{Якорь|Голоморфная форма объёма}}
'''Определение.''' Пусть <math>X</math> — [[комплексное многообразие]] комплексной размерности <math>n</math>. Голоморфное расслоение <math>K_X</math>, слой <math>K_x</math> которого в точке <math>x \in X</math> есть комплексная внешняя степень <math>\Lambda^n_{\Complex}T^*_x</math>, называется '''''каноническим расслоением'''''. Если многообразие <math>X</math> допускает нигде не вырожденное голоморфное сечение канонического расслоения, оно называется '''многообразием Калаби — Яу''', а это сечение — '''''голоморфной формой объёма'''''.

К примеру, когда <math>X</math> — комплексная кривая, или же [[риманова поверхность]], каноническое расслоение это просто голоморфное кокасательное расслоение. Его сечения — это голоморфные 1-формы, или же [[абелев дифференциал|абелевы дифференциалы]]. Единственная риманова поверхность, допускающая абелев дифференциал без нулей, это тор, то есть [[эллиптическая кривая]].

Вместе с тем, в терминологии имеется некоторая путаница (которая будет объяснена ниже): иногда от многообразий Калаби — Яу требуют зануления (или хотя бы конечности) фундаментальной группы. Некоторые авторы идут ещё дальше, и относят определение «Калаби — Яу» только к тем многообразиям, у которых [[числа Ходжа]] <math>h^{p,0}</math> все равны нулю при <math>0<p<n</math> (адепты более слабой конвенции называют такие многообразия «строгими Калаби — Яу»). Почти все авторы требуют условия [[кэлерово многообразие|кэлеровости]], априори никак не связанное с наличием голоморфной формы объёма. Наконец, у математиков, если не оговорено обратное, многообразия Калаби — Яу подразумеваются компактными, но в приложениях также важны некомпактные многообразия Калаби — Яу: в таких случаях принято включать в определение условие на асимптотическое поведение голоморфной формы объёма на бесконечности. Имеются и другие вариации определения, связанные с дифференциально-геометрическими свойствами многообразий Калаби — Яу. В связи со всем этим многообразия, удовлетворяющие вышеприведённому определению, иногда жаргонно называются '''''голоморфно ориентируемыми'''''. Впредь будем подразумевать под понятием «Калаби — Яу» компактное кэлерово голоморфно ориентируемое многообразие.

Из общего комплексного многообразия, не являющегося голоморфно ориентируемым, получить многообразие Калаби — Яу никакой простой конструкцией типа ориентирующего накрытия нельзя. В самом деле, [[характеристический класс]] комплексного расслоения <math>K</math> есть первый [[класс Черна]] <math>c_1(K_X) \in H^2(X, \Z)</math>. Для наличия голоморфной формы объёма (то есть тривиализации <math>K_X</math>) необходимо зануление этого класса. Для сравнения, характеристические классы вещественных линейных расслоений, [[классы Штифеля — Уитни]], принимают значение в <math>H^1(X, \Z/2\Z)</math>, группе когомологий с коэффициентами в кольце вычетов по модулю два, и, что неудивительно, обнуляются после подходящего двулистного накрытия.

== Риччи-плоская метрика ==
[[Изображение:Eugenio_Calabi.jpeg|thumb|Эудженио Калаби]]
На кэлеровых многообразиях [[кривизна Риччи]] имеет примечательное свойство: если <math>I</math> — оператор комплексной структуры, то 2-форма, заданная как <math>\rho(x,y) = \mathrm{Ric}(Ix,y)</math>, замкнута и лежит в классе когомологий <math>c_1(K)</math>, классе Черна канонического расслоения. Это может быть проверено например явным координатным вычислением кривизны канонического расслоения на кэлеровом многообразии и доказано при помощи [[теория Черна — Вейля|теории Черна — Вейля]]. Форма <math>\rho</math> называется '''формой Риччи'''.

'''Гипотеза Калаби''' (1954, 1957) была им практически решена — ему не поддался лишь чрезвычайно тонкий аналитический момент, не имевший непосредственного отношения к геометрии. После того, как это аналитическое утверждение было доказано Яу (1977, 1978), она по справедливости называется '''теоремой Калаби — Яу''' (или '''решением Яу гипотезы Калаби''').

''Теорема.'' Пусть <math>(X, g)</math> — компактное кэлерово многообразие, <math>\omega</math> его кэлерова форма, и <math>R \in c_1(K_X)</math> — какая-то форма, представляющая первый класс Черна. Тогда на <math>X</math> существует кэлерова метрика <math>\tilde{g}</math> такая, что её кэлерова форма <math>\tilde{\omega}</math> принадлежит тому же классу когомологий, что и <math>\omega</math> (то есть форма <math>\tilde{\omega} - \omega</math> точна), и форма Риччи метрики <math>\tilde{g}</math> равняется <math>R</math>.

Для многообразия Калаби — Яу с <math>c_1(K_X) = 0</math> можно применить теорему к форме <math>R = 0</math>, и получить нетривиальное

''Следствие.'' На многообразии Калаби — Яу всякий кэлеров класс допускает риччи-плоскую метрику.

Вместе с тем, зануление кривизны Риччи у кэлерова многообразия ещё не влечёт тривиальности канонического расслоения (и соответственно наличия голоморфной формы объёма): конечно, класс формы Риччи <math>[\rho] \in H^2_{\mathrm{dR}}(X)</math> в [[когомологии де Рама|когомологиях де Рама]] будет нулевой, но это не исключает того, что целочисленный класс Черна <math>c_1(K_X)</math> является ненулевым классом в [[Кручение (алгебра)|подгруппе кручения]] в <math>H^2(X,\Z)</math>. Иногда такие многообразия также включают в определение многообразий Калаби — Яу.

[[Связность Леви-Чивиты]] риччи-плоской кэлеровой метрики сохраняет не только эрмитову структуру в касательных пространствах (то есть её [[голономия]] лежит не только в [[унитарная группа|группе <math>\mathrm{U}(n)</math>]]), как это происходит на любом кэлеровом многообразии, но и голоморфную форму объёма (то есть голономия лежит в [[специальная унитарная группа|группе <math>\mathrm{SU}(n)</math>]]). Это одна из групп в [[таблица Берже|таблице Берже]], и это составляет дифференциально-геометрическое определение многообразий Калаби — Яу. Дифференциальные геометры обыкновенно отказывают в названии «Калаби — Яу» многообразиям, группа голономии связности Леви-Чивиты на которых строго содержится в <math>\mathrm{SU}(n)</math> (как например в случае плоских метрик на торе), а не равняется в точности этой группе.

== Примеры и классификация ==
В одномерном случае любое пространство Калаби — Яу представляет собой [[тор (поверхность)|тор]] <math>\mathbf T^2</math>, который рассматривается как [[эллиптическая кривая]]. Вообще комплексный тор любой размерности является многообразием Калаби — Яу. Риччи-плоская метрика в этом случае есть просто плоская метрика, и это единственный известный случай, когда она может быть написана удобоваримой формулой.

Все двумерные пространства Калаби — Яу представляют собой торы <math>\mathbf T^4</math> и так называемые [[К3-поверхность|K3-поверхности]]. Классификация в бо́льших размерностях не завершена, в том числе в важном трёхмерном случае. Примером <math>n</math>-мерного многообразия Калаби — Яу может служить гладкая гиперповерхность степени <math>n+2</math> в <math>\Complex\mathrm{P}^{n+1}</math> (или вообще гладкий антиканонический дивизор — то есть нулевой уровень сечения расслоения, двойственного к каноническому — на любом многообразии, где антиканоническое расслоение допускает сечения).

== Теорема Богомолова о разложении ==
[[Изображение:Fedor Bogomolov.jpg|left|thumb|228px|Фёдор Алексеевич Богомолов]]
Важным структурным результатом теории многообразий Калаби — Яу является '''теорема [[Богомолов, Фёдор Алексеевич|Богомолова]]''' (иногда [[Бовиль, Арно|Бовиля]] — Богомолова) '''о разложении'''.

''Теорема.'' Всякое компактное кэлерово многообразие <math>X</math>, обладающее голоморфной формой объёма (и, соответственно, риччи-плоской метрикой), допускает конечное накрытие <math>X' \to X</math>, разлагающееся в ортогональное произведение <math>X' = T \times \prod_{i=1}^m Y_i \times \prod_{j=1}^k Z_j</math>, где:

* <math>T</math> — комплексный тор с плоской метрикой,
* <math>Y_i</math> — ''строгие'' многообразия Калаби — Яу, то есть такие, что <math>h^{p,0}(Y_i) = 0</math> при <math>0 < p < \dim Y_i</math> и <math>h^{0,0}(Y_i) = h^{\dim Y_i,0}(Y_i) = 1</math>,
* <math>Z_j</math> — ''неприводимо'' [[голоморфно симплектическое многообразие|голоморфно симплектические многообразия]], то есть такие, что <math>h^{2p,0}(Z_j) = 1</math> и <math>h^{2p+1,0}(Z_j) = 0</math>.

Здесь <math>h^{p,q}</math> — [[числа Ходжа]]. Голоморфно симплектические многообразия также известны в дифференциальной геометрии как [[гиперкэлерово многообразие|гиперкэлеровы многообразия]] (номенклатура в данном случае, как и в случае многообразий Калаби — Яу, несколько запутана).

Более ранняя теорема Калаби, доказанная в предположении гипотезы его имени, утверждала похожий факт, но без различения строгих Калаби-Яу и неприводимых голоморфно симплектических многообразий.<ref>E. Calabi. ''On Kähler manifolds with vanishing canonical class'', Algebraic geometry and topology. A symposium in honor of S. Lefschetz, pp. 78–89. Princeton University Press, Princeton, N. J., 1957.</ref> Теорема доказана (без замечания в скобках, на тот момент ещё не установленного) в 1974 году [[Богомолов, Фёдор Алексеевич|Богомоловым]] в статье ''О разложении кэлеровых многообразий с тривиальным каноническим классом''.<ref>Ф. А. Богомолов. [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=3482&option_lang=rus О разложении кэлеровых многообразий с тривиальным каноническим классом] {{Wayback|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=3482&option_lang=rus |date=20130727180628 }} [[Математический сборник|Матем. сб.]], 1974, том 93(135), номер 4, страницы 573—575</ref> В 1978 году Богомолов использовал этот результат при доказательстве того, что класс голоморфно симплектических многообразий исчерпывается [[K3-поверхность|K3-поверхностями]]. Это доказательство оказалось ошибочным: в 1983 году [[Бовиль, Арно|Бовиль]] привёл примеры голоморфно симплектических многообразий ([[схема Гильберта]] <math>n</math> точек на K3-поверхности или схема Гильберта <math>n+1</math> точки на абелевой поверхности, суммирующихся нулём, так называемое [[обобщённое куммерово многообразие]]). Тогда же он дал другое, дифференциально-геометрическое доказательство теоремы Богомолова, основанное на решении Яу гипотезы Калаби.<ref>A. Beauville. [https://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214438181 Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle] {{Wayback|url=https://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214438181 |date=20191221105504 }}, J. Differential Geom., Volume 18, Number 4 (1983), 755—782.</ref>

== Использование в теории струн ==
[[Файл:Calabi yau.jpg|thumb|Двумерная проекция трехмерной визуализации пространства Калаби — Яу]]
В [[теория струн|теории струн]] используются трёхмерные (имеющие вещественную размерность 6) многообразия Калаби — Яу, выступающие как слой компактификации [[Пространство-время|пространства-времени]], так что каждой точке четырёхмерного пространства-времени соответствует пространство Калаби — Яу.

[[File:CalabiYau5.jpg|left|thumb|Двумерная проекция трехмерной визуализации пятимерного пространства Калаби — Яу.]]
Известно более чем 470 миллионов трёхмерных пространств Калаби — Яу<ref>{{книга|автор=[[Яу Шинтун|Шинтан Яу]], Стив Надис |заглавие=Теория струн и скрытые измерения Вселенной |место=СПб |издательство=Издательский дом «Питер» |год=2016 |страниц= 400|страницы= |isbn=978-5-496-00247-9}}</ref>, которые удовлетворяют требованиям к дополнительным измерениям, вытекающим из теории струн.

Одной из основных проблем теории струн (учитывая современное состояние разработки) является такая выборка из указанного удовлетворительного подмножества трёхмерных пространств Калаби — Яу, которая давала бы наиболее адекватное обоснование количества и состава семейств всех известных частиц. Феномен свободы выбора пространств Калаби — Яу и возникновение в этой связи в теории струн огромного количества [[Ложный вакуум|ложных вакуумов]] известен как проблема [[ландшафт теории струн|ландшафта теории струн]]. При этом, если теоретические разработки в этой области приведут к выделению единственного пространства Калаби — Яу, удовлетворяющего всем требованиям для дополнительных измерений, это станет очень весомым аргументом в пользу истинности теории струн<ref>''[[Грин, Брайан Рэндолф|Б. Грин]]'' [[Элегантная Вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории]]. ''Пер. с англ., Общ. ред. В. О. Малышенко,'' — {{М}}: ЕдиториалУРСС, 2004. — 288 с. — ISBN 5-354-00161-7.</ref>.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{Citation| first1=Gang| last1=Tian| first2=Shing-Tung| last2=Yau|title=Complete Kähler manifolds with zero Ricci curvature, I| journal=Amer. Math. Soc.| volume=3| issue=3| pages=579–609|  year=1990|doi=10.2307/1990928}}
* {{Citation| first1=Gang| last1=Tian| first2=Shing-Tung| last2=Yau| title=Complete Kähler manifolds with zero Ricci curvature, II| journal=Invent. Math.| volume=106| issue=1| pages=27–60|  year=1991| doi=10.1007/BF01243902}}

[[Категория:Кэлерова геометрия]]
[[Категория:Теория струн]]
[[Категория:Структуры на многообразиях]]