Просмотр кода страницы Прямая

{{Значения|Прямая (значения)}}
{{←|Прямая линия|Прямая линия (фильм)|о фильме}}
[[Файл:Straight lines.svg|thumb|300px|right|Изображение прямых в [[Прямоугольная система координат|прямоугольной системе координат]]]]
'''Пряма́я''' — одно из фундаментальных понятий [[Евклидова геометрия|евклидовой геометрии]]. При систематическом изложении геометрии прямые линии обычно принимаются за одно из исходных ([[Неопределяемое понятие|неопределяемых]]) понятий<ref>{{harvnb|Coxeter|1969|loc=p. 4}}</ref>, их свойства и связь с другими понятиями (например, [[Точка (геометрия)|точки]] и [[Плоскость|плоскости]]) определяются [[Основания геометрии|аксиомами геометрии]]{{sfn |Математическая энциклопедия|1984|с=721—722}}.

Прямая, наряду с [[окружность]]ю, относится к числу древнейших геометрических фигур. Античные геометры считали эти две кривые «совершенными» и поэтому признавали только [[Построение с помощью циркуля и линейки|построения с помощью циркуля и линейки]]. [[Евклид]] описал линию как «длину без ширины», которая «равно лежит на всех своих точках»<ref>{{публикация|книга|автор=Прокл Диадох|заглавие=Комментарий к первой книге «Начал» Евклида|ссылка= https://books.google.ru/books?id=EqZWDwAAQBAJ&pg=PA116|ответственный=Университет Дмитрия Пожарского|место=М.|год=2013|страницы=116|страниц=368}}</ref>.

Аналоги прямых могут быть определены также в некоторых типах неевклидовых пространств. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то отрезок прямой можно определить как самую короткую кривую, соединяющую эти точки. Например, в [[Риманова геометрия|римановой геометрии]] роль прямых играют [[Геодезическая|геодезические линии]], которые являются кратчайшими; на сфере кратчайшими являются дуги [[Большой круг|больших кругов]]<ref>{{книга|автор=[[Норден, Александр Петрович|Норден А. П.]] |заглавие=Краткий курс дифференциальной геометрии |место=М. |издательство=Физматгиз|год=1958|страницы=214—215|страниц=244}}</ref>.

== Свойства прямой в евклидовой геометрии ==
Участки прямой, ограниченные двумя её точками, называются [[Отрезок|отрезками]].
* Через любую [[Точка (геометрия)|точку]] можно провести [[бесконечное множество|бесконечно много]] прямых.
* Через любые две несовпадающие [[Точка (геометрия)|точки]] можно провести единственную прямую.
* Две несовпадающие прямые на [[Плоскость (математика)|плоскости]] или пересекаются в единственной точке<ref>Faber, Appendix B, p. 300.</ref>, или являются параллельными (следует из предыдущего).
* В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух несовпадающих прямых:
** прямые пересекаются;
** прямые [[Параллельные прямые|параллельны]];
** прямые [[Скрещивающиеся прямые|скрещиваются]].
* Прямая линия — [[алгебраическая кривая]] первого порядка: в [[Прямоугольная система координат|декартовой системе координат]] прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени ([[линейное уравнение]]).

== Уравнения прямой на плоскости ==
[[Файл:Straight line definition.svg|thumb|right|325px|Способы задания прямой:<br><math>y = kx + b,\;\frac xa + \frac yb = 1</math> или <math>x\cos\theta + y\sin\theta - p = 0</math>]]

=== Общее уравнение прямой ===
''Общее уравнение прямой'' линии на плоскости в [[декартовы координаты|декартовых координатах]]:
: <math>Ax+By+C=0,</math>
где <math>A, B</math> и <math>C</math> — произвольные постоянные, причём постоянные <math>A</math> и <math>B</math> не равны нулю одновременно.

При <math>A = 0</math> прямая параллельна оси <math>Ox</math>, при <math>B = 0</math> — параллельна оси <math>Oy</math>.

[[Вектор (математика)|Вектор]] с координатами <math>(A, B)</math> называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.

При <math>C=0</math> прямая проходит через [[начало координат]].

Также уравнение можно переписать в виде
: <math> A(x-x_0)+B(y-y_0)=0.</math>

=== Уравнение прямой с угловым коэффициентом ===
Уравнение прямой линии, пересекающей ось <math>Oy</math> в точке <math>(0,\;b)</math> и образующей угол <math>\varphi</math> с положительным направлением оси <math>Ox</math>:
: <math>y=kx+b,\quad k=\mathrm{tg}\,\varphi.</math>
Коэффициент <math>k</math> называется '''[[Угловой коэффициент прямой|угловым коэффициентом]]''' прямой.

В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси <math>Oy.</math> (Иногда в этом случае формально говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконечность».)

[[Файл:Rownanie odcinkowe.svg|thumb|left|300px|Получение уравнения прямой в отрезках]]

=== Уравнение прямой в отрезках ===
Уравнение прямой линии, пересекающей ось <math>Ox</math> в точке <math>(a,\;0)</math> и ось <math>Oy</math> в точке <math>(0,\;b)</math>:
: <math>\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\quad(a\ne 0,\;b\ne 0).</math>
В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

=== Нормальное уравнение прямой ===
: <math>x\cos\theta+y\sin\theta-p=0,</math>
где <math>p</math> — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а <math>\theta</math> — угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением оси <math>Ox</math> и направлением этого перпендикуляра. Если <math>p=0</math>, то прямая проходит через начало координат, а угол <math>\theta=\varphi+\frac{\pi}{2}</math> задаёт угол наклона прямой.

{{Доказ1|title=Вывод нормального уравнения прямой|
Пусть дана прямая <math>L.</math> Тогда <math>OP \perp L</math> и <math>|\overrightarrow{OP}| = p.</math> Рассмотрим для этого перпендикуляра его орт <math>\overrightarrow{e_p}, |\overrightarrow{e_p}|=1. </math> Допустим, что угол между  <math>|\overrightarrow{e_p}|</math> и осью <math>Ox</math> равен <math>\theta.</math> Так как <math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,</math> то можно записать: <math>\overrightarrow{e_p} = (\cos\theta;\sin\theta). </math>  Теперь рассмотрим произвольную точку <math>M(x,y).</math> Проведём радиус-вектор <math>\overrightarrow{OM}=(x,y).</math> Теперь найдём проекцию <math>\overrightarrow{OM}</math> на вектор <math>\overrightarrow{e_p}.</math> <math>(\overrightarrow{e_p},\overrightarrow{OM})=x\cos\theta+y\sin\theta=p.</math> Следовательно,  <math>x\cos\theta+y\sin\theta-p=0.</math> Это и есть нормальное уравнение прямой.
}}

Если прямая задана общим уравнением <math>Ax+By+C=0,</math> то отрезки <math>a</math> и <math>b,</math> отсекаемые ею на осях, угловой коэффициент <math>k,</math> расстояние прямой от начала координат <math>p,</math> <math>\cos\theta</math> и <math>\sin\theta</math> выражаются через коэффициенты <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> следующим образом:
: <math>a=-\frac{C}{A},\quad b=-\frac{C}{B},\quad k=\mathrm{tg}\,\varphi=-\frac{A}{B},\quad\varphi=\theta-\frac{\pi}{2},</math>
: <math>p=\frac{C}{\pm\sqrt{A^2+B^2}},\quad\cos\theta=\frac{A}{\pm\sqrt{A^2+B^2}},\quad\sin\theta=\frac{B}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}.</math>
Во избежание неопределённости знак перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие <math>p>0.</math> В этом случае <math>\cos\theta</math> и <math>\sin\theta</math> являются направляющими косинусами положительной нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Если <math>C=0,</math> то прямая проходит через начало координат и выбор положительного направления произволен.

=== Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки ===
==== Уравнение прямой, проходящей через две точки на вещественной плоскости ====
Если заданы две несовпадающие точки на вещественной плоскости с координатами <math>(x_1,\;y_1)</math> и <math>(x_2,\;y_2)</math>, то прямая, проходящая через них, задаётся уравнением
: <math>\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{vmatrix} = 0</math>
или
: <math>\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}</math>
или в общем виде
: <math>\left(y_1-y_2\right)x+\left(x_2-x_1\right)y+\left(x_1y_2-x_2y_1\right)=0.</math>

==== Уравнение прямой, проходящей через две точки на комплексной плоскости ====
Если заданы две несовпадающие точки на комплексной плоскости <math>z_1</math> и <math>z_2</math>, то прямая, проходящая через них, задаётся следующим уравнением:
: <math>\begin{vmatrix} z & \bar z & 1 \\ z_1 & \bar z_1 & 1 \\ z_2 & \bar z_2 & 1 \end{vmatrix} = 0</math>
или в одну строку{{sfn|''Zwikker C.'' The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963|loc=Chapter III. The straight line, p. 37}}:
: <math>(\bar z_1 - \bar z_2)z + (z_2 - z_1)\bar z + (z_1\bar z_2 - z_2\bar z_1) = 0.</math>

Упростим запись этого уравнения{{sfn|''Zwikker C.'' The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963|loc=Chapter III. The straight line, p. 37}}:
: <math>\bar pz + p\bar z - 2 = 0</math> (или <math>\operatorname{Re} (\bar pz) = 1)</math>,
положив
: <math>p = 2\frac{z_2 - z_1}{\bar z_1z_2 - z_1\bar z_2},</math> <math>\bar p = 2\frac{\bar z_2 - \bar z_1}{z_1\bar z_2 - \bar z_1z_2}.</math>

Следовательно, прямая линия полностью определяется выбором комплексного числа <math>p</math>. Как точка на комплексной плоскости, так и прямая определяются одним вектором или двумя координатами. Комплексное числе <math>p</math> называется '''''вектором прямой''''', а его компоненты называются '''''координатами прямой'''''{{sfn|''Zwikker C.'' The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963|loc=Chapter III. The straight line, p. 37}}.

Определим геометрическую природу вектора прямой <math>p</math>, определяющего просто точку <math>P</math> на комплексной плоскости, рассмотрев два его свойства{{sfn|''Zwikker C.'' The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963|loc=Chapter III. The straight line, p. 38—39}}:
* из того, что в определении <math>p</math>
:: <math>p = 2\frac{z_2 - z_1}{\bar z_1z_2 - z_1\bar z_2}</math>
: знаменатель есть чисто мнимое комплексное число, следует, что вектор <math>p</math> нормален к вектору <math>z_2 - z_1</math>, то есть нормален к прямой <math>z_1z_2;</math>

* абсолютная величина знаменателя в определении <math>p</math> равна удвоенной [[Треугольник#Вычисление площади треугольника через комплексные декартовы координаты его вершин|площади треугольника]] <math>\triangle Oz_1z_2</math> с основанием <math>z_1z_2</math>, следовательно, абсолютная величина <math>p</math> обратно пропорционален длине перпендикуляра, опущенного из начала координат <math>O</math> к прямой <math>z_1z_2.</math> Другими словами, точка <math>P</math> есть [[Инверсия (геометрия)|инверсия]] основания этого перпендикуляра.

[[Файл:Line in vector form,R3.svg|thumb|250px|Получение векторного параметрического уравнения прямой]]

=== Векторное параметрическое уравнение прямой ===
Векторное параметрическое уравнение прямой задается вектором <math>\vec{r}_0,</math> конец которого лежит на прямой, и направляющим вектором прямой <math>\vec{u}.</math> Параметр <math>t</math> пробегает все действительные значения.
: <math>\vec{r}=\vec{r_0}+t\vec{u}.</math>

=== Параметрические уравнения прямой ===
''Параметрические уравнения прямой'' могут быть записаны в виде:
: <math>\begin{cases} x=x_0+a_xt, \\
 y=y_0+a_yt,
\end{cases}</math>
где <math>t</math> — произвольный параметр, <math>a_x,\; a_y</math> — координаты <math>x</math> и <math>y</math> направляющего вектора прямой. При этом
: <math>k=\frac{a_y}{a_x},\quad a=\frac{a_yx_0-a_xy_0}{a_y},\quad b=\frac{a_xy_0-a_yx_0}{a_x},</math>
: <math>p=\frac{a_xy_0-a_yx_0}{\pm\sqrt{a_x^2+a_y^2}},\quad\cos\theta=\frac{a_x}{\pm\sqrt{a_x^2+a_y^2}},\quad\sin\theta=\frac{a_y}{\pm\sqrt{a_x^2+a_y^2}}.</math>

Смысл параметра <math>t</math> аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.

=== Каноническое уравнение прямой ===
Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:
{{Вывод|
: <math>\begin{cases}
  x=x_0+a_xt \\
  y=y_0+a_yt  
\end{cases}  </math>

: <math> \begin{cases}
   x-x_0=a_xt  \\
  y-y_0=a_yt
\end{cases}
</math>

: <math> \frac{x-x_0}{y-y_0}=\frac{a_x}{a_y}</math>
}}

: <math> \frac{x-x_0}{y-y_0}=\frac{a_x}{a_y}  \Longleftrightarrow  \frac{x-x_0}{a_x}=\frac{y-y_0}{a_y} </math>
где <math>a_x, a_y</math> — координаты <math>x</math> и <math>y</math> направляющего вектора прямой, <math>x_0</math> и <math>y_0</math> координаты точки, принадлежащей прямой.

=== Уравнение прямой в полярных координатах ===
''Уравнение прямой в [[полярные координаты|полярных координатах]]'' <math>\rho</math> и <math>\varphi</math>:
: <math>\rho(A\cos\varphi+B\sin\varphi)+C=0</math>
или
: <math>\rho\cos(\varphi-\theta)=p.</math>

=== Тангенциальное уравнение прямой ===
''Тангенциальное уравнение прямой'' на плоскости:
: <math>\xi x+\eta y=1.</math>
Числа <math>\xi</math> и <math>\eta</math> называются её '''тангенциальными''', '''линейными''' или '''[[Плюккеровы координаты|плюккеровыми]] координатами'''.

== Уравнения прямой в пространстве ==
''Векторное параметрическое уравнение прямой'' в пространстве:
: <math>\vec r=\vec{r}_0+t\vec a,\quad t\in(-\infty,\;+\infty),</math>
где <math>\vec{r}_0</math> — [[радиус-вектор]] некоторой фиксированной точки <math>M_0,</math> лежащей на прямой, <math>\vec a</math> — ненулевой [[Вектор (математика)|вектор]], [[Коллинеарность|коллинеарный]] этой прямой (называемый её направляющим вектором), <math>\vec r</math> — [[радиус-вектор]] произвольной точки прямой.

''Параметрические уравнения прямой'' в пространстве:
: <math>x=x_0+t\alpha,\;y=y_0+t\beta,\;z=z_0+t\gamma,\quad t\in(-\infty,\;+\infty),</math>
где <math>(x_0,\;y_0,\;z_0)</math> — [[Прямоугольная система координат#Прямоугольная система координат в пространстве|координаты]]
некоторой фиксированной точки <math>M_0,</math> лежащей на прямой; <math>(\alpha,\;\beta,\;\gamma)</math> — [[координаты вектора]], [[Коллинеарность|коллинеарного]] этой прямой.

''Каноническое уравнение прямой'' в пространстве:
: <math>\frac{x-x_0}{\alpha}=\frac{y-y_0}{\beta}=\frac{z-z_0}{\gamma},</math>
где <math>(x_0,\;y_0,\;z_0)</math> — [[Прямоугольная система координат#Прямоугольная система координат в пространстве|координаты]]
некоторой фиксированной точки <math>M_0,</math> лежащей на прямой; <math>(\alpha,\;\beta,\;\gamma)</math> — [[координаты вектора]], [[Коллинеарность|коллинеарного]] этой прямой.

''Общее векторное уравнение прямой''{{уточнить}} в пространстве:
: Поскольку прямая является пересечением двух различных [[Плоскость (геометрия)|плоскостей]], заданных соответственно [[Плоскость (геометрия)#Уравнения плоскости|общими уравнениями]]:
: <math>(\vec r,\;\vec N_1)+D_1=0</math> и <math>(\vec r,\;\vec N_2)+D_2=0,</math>
то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:
: <math>\begin{cases}(\vec r,\;\vec N_1)+D_1=0,\\
(\vec r,\;\vec N_2)+D_2=0.\end{cases}</math>

''Векторное уравнение прямой в пространстве''<ref>{{книга|автор=Гусятников П.Б., Резниченко С.В.|заглавие=Векторная алгебра в примерах и задачах|место=М.|издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|год=1985|страниц=232|ссылка=http://reslib.com/book/Vektornaya_algebra_v_primerah_i_zadachah|archive-date=2014-01-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20140110162343/http://reslib.com/book/Vektornaya_algebra_v_primerah_i_zadachah}}</ref>{{rp|196-199}}:
: Уравнение прямой в пространстве можно записать в виде [[векторное произведение|векторного произведения]] радиуса-вектора произвольной точки этой прямой <math>\vec r</math> на фиксированный направляющий вектор прямой <math>\vec a</math>:
: <math>[\vec r, \vec a]=\vec M,</math>
где фиксированный вектор <math>\vec M</math>, ортогональный вектору <math>\vec a</math>, можно найти, подставляя в это уравнение радиус-вектор какой-нибудь одной известной точки прямой.

== Взаимное расположение точек и прямых на плоскости ==
Три точки <math>(x_1,\;y_1)</math>, <math>(x_2,\;y_2)</math> и <math>(x_3,\;y_3)</math> лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие
: <math>\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}=0.</math>
''Отклонение'' точки <math>(x_1,\;y_1)</math> от прямой <math>Ax+By+C=0</math> может быть найдено по формуле
: <math>\delta=\frac{Ax_1+By_1+C}{\pm\sqrt{A^2+B^2}},</math>
где знак перед радикалом противоположен знаку <math>C.</math> Отклонение по модулю равно ''расстоянию между точкой и прямой''; оно положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону.

В пространстве расстояние от точки <math>(x_1,\;y_1,\;z_1)</math> до прямой, заданной параметрическим уравнением
: <math>\begin{cases}x=x_0+t\alpha,\\
y=y_0+t\beta,\quad t\in\R\\
z=z_0+t\gamma,\end{cases}</math>
можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент <math>t</math> этой точки может быть найден по формуле
: <math>t_\min=\frac{\alpha(x_1-x_0)+\beta(y_1-y_0)+\gamma(z_1-z_0)}{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}.</math>

== Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости ==
Две прямые, заданные уравнениями
: <math>A_1x+B_1y+C_1=0,\quad A_2x+B_2y+C_2=0</math>
или
: <math>y=k_1x+b_1,\quad y=k_2x+b_2</math>
пересекаются в точке
: <math>x=\frac{B_1C_2-B_2C_1}{A_1B_2-A_2B_1}=\frac{b_1-b_2}{k_2-k_1},\quad y=\frac{C_1A_2-C_2A_1}{A_1B_2-A_2B_1}=\frac{k_2b_1-k_1b_2}{k_2-k_1}.</math>
Угол <math>\gamma_{12}</math> между пересекающимися прямыми определяется формулой
: <math>\mathrm{tg}\,\gamma_{12}=\frac{A_1B_2-A_2B_1}{A_1A_2+B_1B_2}=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}.</math>
При этом под <math>\gamma_{12}</math> понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами <math>A_1</math>, <math>B_1</math>, <math>C_1</math>, <math>k_1</math> и <math>b_1</math>) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.

Эти прямые [[Параллельность|параллельны]], если <math>A_1B_2-A_2B_1=0</math> или <math>k_1=k_2</math>, и [[Перпендикулярность|перпендикулярны]], если <math>A_1A_2+B_1B_2=0</math> или <math>k_1=-\frac{1}{k_2}</math>.

Любую прямую, параллельную прямой с уравнением <math>A_1x+B_1y+C_1=0,</math> можно выразить уравнением <math>A_1x+B_1y+C=0.</math> При этом расстояние между этими прямыми будет равно
: <math>\delta=\frac{C_1-C}{\pm\sqrt{A_1^2+B_1^2}};</math>
Если же уравнение прямой задано как <math>y_1=kx_1+b_1</math>, а уравнение прямой параллельной ей <math>y=kx+b</math>, то расстояние можно вычислить, как
: <math>\delta=\frac{|b_1-b|}{\sqrt{1+k^2}}.</math>
Если знак перед радикалом противоположен <math>C_1,</math> то <math>\delta</math> будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.

Для того, чтобы три прямые
: <math>A_1x+B_1y+C_1=0,\quad A_2x+B_2y+C_2=0,\quad A_3x+B_3y+C_3=0</math>
пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
: <math>\begin{vmatrix}A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{vmatrix}=0.</math>

Если <math>A_2=-B_1</math> и <math>B_2=A_1</math>, то прямые <math>A_1x+B_1y+C_1=0 </math> и <math>A_2x+B_2y+C_2=0</math> [[Перпендикулярность|перпендикулярны]].

== Некоторые специальные типы прямых ==
* [[Прямая Александрова]]
* [[Прямая Симсона]]
* {{нп5|Прямая Суслина|||Souslin line}}
* [[Прямая Эйлера]]
* [[Числовая прямая]]

== Ориентированная прямая ==
=== Определение ориентированной прямой ===
{{Основная статья|Аналлагматическая геометрия#Направленная окружность и направленная прямая}}
{{Обзорная статья|Ориентация}}
[[Файл:Otrezok.svg|right|thumb|250px|Горизонтальная прямая <math>AB</math>]]

{{Якорь|Противоположные направления}}
На прямой [[Точка (геометрия)|точка]] может [[Движение (математика)|двигаться]] в двух '''''противоположных направлениях'''''. Например, если прямая <math>AB</math> расположена горизонтально (см. рисунок справа с горизонтальной прямой), то на ней возможны два движения в противоположных направлениях{{sfn|''Колмогоров А. Н.'' Ориентация, 1988|loc=с. 436}}{{sfn|''Ориентация 2'', 1974|loc=с. 509}}{{sfn|Ориентация в математике'', 2022}}:
* слева направо,
* справа налево.

'''''Ориентированная прямая''''', или [[направленная прямая]], или [[Ось (прямая)|ось]] — прямая вместе с фиксированным направлением на ней{{sfn|''Колмогоров А. Н.'' Ориентация, 1988|loc=с. 436}}{{sfn|''Ориентация 2'', 1974|loc=с. 509}}{{sfn|Ориентация в математике'', 2022}}.

Две ориентированные прямые '''''параллельны''''', если их направления совпадают{{sfn|''Яглом И. М.'' Окружности, 1963|loc=6.1. Аналогия между свойствами точек и прямых, с. 480, 482}}.

=== Линейный элемент ===
{{Основная статья|Аналлагматическая геометрия#Линейный элемент}}
[[Файл:Linear element.svg|thumb|right|200px|Линейный элемент]]

'''''Линейный элемент''''' — пара геометрических образов: точка и направленная прямая, проходящая через эту точку{{sfn|''Яглом И. М., Атанасян Л. С.'' Геометрические преобразования, 1963|loc=8.4. Подерное преобразование, с. 136}}{{sfn|''Яглом И. М.'' Окружности, 1963|loc=11.1. Плоскость как множество линейных элементов, с. 509}}. Другими словами, линейный элемент — это точка и направление, заданное в этой точке. '''''Бесконечно удалённый линейный элемент''''' — пара геометрических образов: бесконечно удалённая точка плоскости и направление, которое определяется любой направленной прямой (параллельные прямые задают одно направление){{sfn|''Яглом И. М.'' Окружности, 1963|loc=11.1. Плоскость как множество линейных элементов, с. 509}}.

Окружности, точки и прямые в касательной аналлагматической геометрии понимаются следующим образом{{sfn|''Яглом И. М.'' Окружности, 1963|loc=11.1. Плоскость как множество линейных элементов, с. 509}}:
* '''''направленной окружностью''''' называется множество всех линейных элементов, каждый из которых определяется точкой этой окружности и [[Касательная прямая к окружности|касательной прямой к окружности]] в этой точке, причем направление линейного элемента совпадает с направлением окружности; 
* '''''точкой''''' называется множество всех линейных элементов, каждый из которых имеет в своём составе эту точку; 
* '''''направленной прямой''''' называется множество всех линейных элементов, каждый из которых определяется точкой этой прямой и направлением прямой.
На следующем рисунке показаны направленная окружность, точка и направленная прямая, задаваемые линейными элементами.

<gallery mode="packed" heights=150px caption="Геометрические образы, определяемые линейными элементами">
Изображение:Circle of linear elements.svg|Направленная окружность
Изображение:Point of linear elements.svg|Точка
Изображение:Line of linear elements.svg|Направленная прямая
</gallery>
{{clear}}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Источники ==
* {{h|''Колмогоров А. Н.'' Ориентация, 1988|3=
''[[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров А. Н.]]'' Ориентация // ''[[Математический энциклопедический словарь]]'' / Гл. ред. [[Прохоров, Юрий Васильевич|Ю. В. Прохоров]]; Ред. Кол.: [[Адян, Сергей Иванович|С. И. Адян]], [[Бахвалов, Николай Сергеевич|Н. С. Бахвалов]], В. И. Битюцков, [[Ершов, Андрей Петрович|А. П. Ершов]], [[Кудрявцев, Лев Дмитриевич|Л. Д. Кудрявцев]], [[Онищик, Аркадий Львович|А. Л. Онищик]], [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевич]]. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1988. 847 с., ил. С. 436—437.
}}
* {{h|''Ориентация 2'', 1974|3=
''Ориентация 2'' // ''[[Большая советская энциклопедия]].'' (В 30 томах) Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]]. Изд. 3-е. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1974. Т. 18. Никко — Отолиты. 1974. 632 с. с илл., 24 л. илл., 6 л. карт, 1 карта — вкладка. С. 509—510. [http://bse.uaio.ru/BSE/1803.htm Ориентация 2] // [http://bse.uaio.ru/BSE/bse30.htm#x000 БСЭ 3-е издание. Основной вариант] {{Wayback|http://bse.uaio.ru/BSE/1803.htm |date=20240808}}
}}
* {{h|''Ориентация в математике'', 2022|3=
[https://bigenc.ru/c/orientatsiia-v-matematike-2a4f15 Ориентация в математике. 2022] // [https://bigenc.ru/ Большая российская энциклопедия] {{Wayback|https://bigenc.ru/c/orientatsiia-v-matematike-2a4f15 |date=20240929}}
}}
* {{h|''Яглом И. М.'' Окружности, 1963|3=
''[[Яглом, Исаак Моисеевич|Яглом И. М.]]'' Окружности // ''Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия'' / Гл. ред. [[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александров]], [[Маркушевич, Алексей Иванович|А. И. Маркушевич]], [[Хинчин, Александр Яковлевич|А. Я. Хинчин]]. Ред. книги 4: [[Болтянский, Владимир Григорьевич|В. Г. Болтянский]], И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 448—517.
}}
* {{h|''Яглом И. М., Атанасян Л. С.'' Геометрические преобразования, 1963|3=
''[[Яглом, Исаак Моисеевич|Яглом И. М.]], [[Атанасян, Левон Сергеевич|Атанасян Л. С.]]'' Геометрические преобразования // ''Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия'' / Гл. ред. [[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александров]], [[Маркушевич, Алексей Иванович|А. И. Маркушевич]], [[Хинчин, Александр Яковлевич|А. Я. Хинчин]]. Ред. книги 4: [[Болтянский, Владимир Григорьевич|В. Г. Болтянский]], И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 49—158.
}}
* {{h|''Zwikker C.'' The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963|3=
''{{iw|Цвиккер, Корнелис|Zwikker C.|en|Cornelis Zwikker}}'' {{iw|Цвиккер, корнелис|The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications|en|Cornelis Zwikker#Books}}The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 0486610780. ISBN 9780486610788.
}}

== Литература ==
* ''[[Маркушевич, Алексей Иванович|Маркушевич А. И.]]'' [https://web.archive.org/web/20080914045448/http://ilib.mirror1.mccme.ru/plm/ann/a04.htm Замечательные кривые], [http://ilib.mccme.ru/plm/ Популярные лекции по математике]. — Выпуск 4. — [[Гостехиздат]], [[1952]] г. — 32 стр.
* {{книга |часть=Прямая |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах)
  |ref=Математическая энциклопедия |место=М. |том=4 |год=1984
  |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}
* {{citation|last=Coxeter|first=H.S.M|title=Introduction to Geometry|edition=2nd|publisher=John Wiley & Sons|year=1969|place=New York|isbn=0-471-18283-4}}
* {{citation |title=Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry |last=Faber |first=Richard L. |year=1983 |publisher=Marcel Dekker |location=New York|isbn=0-8247-1748-1 }}
* {{citation|last=Pedoe|first=Dan|title=Geometry: A Comprehensive Course|year=1988|publisher= Dover|place=Mineola, NY|isbn=0-486-65812-0}}
* {{citation|last=Wylie, Jr.|first=C.R.|title=Foundations of Geometry|publisher=McGraw-Hill|place=New York|year=1964|isbn=0-07-072191-2}}

== Ссылки ==
{{Навигация}}
* [http://www.pm298.ru/pryamaya.php Прямая на плоскости, справочник математических формул «Прикладная математика»]
* [http://www.pm298.ru/prostr.php Прямая в пространстве, справочник математических формул «Прикладная математика»]

{{ВС}}
{{Кривые}}
{{Конические сечения}}

[[Категория:Классическая геометрия]]
[[Категория:Алгебраические кривые]]
[[Категория:Планиметрия]]
[[Категория:Стереометрия]]
[[Категория:Аксиоматические термины]]