Просмотр кода страницы Пустое множество

[[Файл:Empty set symbol.svg|thumb|right|Обозначение пустого множества]]
'''Пусто́е мно́жество''' (в [[Математика|математике]]) — [[множество]], не содержащее ни одного [[элемент множества|элемента]]. Из [[Аксиома объёмности|аксиомы объёмности]] следует, что есть только одно множество, обладающее таким свойством. Пустое множество является своим (тривиальным) [[подмножество]]м, но не является своим элементом.

Пустое множество является [[Конечное множество|конечным множеством]] и имеет наименьшую [[Мощность множества|мощность]] среди всех множеств. Пустое множество — единственное множество, для которого [[Класс (теория множеств)|класс]] множеств, равномощных ему, состоит из единственного элемента (самого́ пустого множества). Также, пустое множество — единственное множество, имеющее ровно 1 подмножество (само себя), и единственное множество, равномощное любому своему подмножеству.

Пустое множество тривиальным образом является [[Разрешимое множество|разрешимым]] (а значит, [[Перечислимое множество|перечислимым]] и [[Арифметическое множество|арифметическим]]), [[Транзитивное множество|транзитивным]] и [[Вполне упорядоченное множество|вполне упорядоченным множеством]] (для любого отношения порядка). Пустое множество является наименьшим [[Порядковое число|порядковым числом]] и наименьшим [[Кардинальное число|кардинальным числом]]. В [[Топология|топологии]], пустое множество является одновременно [[Замкнутое множество|замкнутым]] и [[Открытое множество|открытым]] множеством.

<math>\in</math>-цепочка, начинающаяся с произвольного множества, каждый последующий член которой является элементом предыдущего, всегда через конечное число шагов завершается пустым множеством (см. [[Аксиома регулярности|аксиому регулярности]]). Таким образом, пустое множество является «строительным кирпичиком», из которого строятся все остальные множества.

В некоторых формулировках [[аксиоматика теории множеств|теории множеств]] существование пустого множества постулируется (см. [[аксиома пустого множества|аксиому пустого множества]]), в других — доказывается.

Пустое множество играет исключительно важную роль в математике<ref>{{начало цитаты}}Если — как это и предполагается в нашей системе — члены любого множества также суть множества (в том числе пустое множество), а не индивиды, то само собой разумеется, что единственным первичным конституентом…любого множества оказывается пустое множество.{{Конец цитаты}} ''[[Френкель, Абрахам|Френкель А. А.]], [[Йегошуа Бар-Хиллел|Бар-Хиллел И.]]'' Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — С. 117.</ref>.

== Обозначения пустого множества ==
{{похожие буквы|Диаметр}}
{{Графема
 |Название       = 
 |Изображение    = Empty set.svg
 |Оригинал       = EMPTY SET
 |HTML           = 8709
 |Мнемоника      = empty
}}
Обычно пустое множество обозначают как <math>\varnothing</math>, <math>\emptyset</math> или <math>\{\}</math>.
Реже пустое множество обозначают одним из следующих символов: <math>\Lambda</math> и <math>0</math><ref>{{Cite book|url=https://archive.org/details/1979RudinW|title=Principles of Mathematical Analysis|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGraw-Hill|year=1976|isbn=007054235X|edition=3rd|pages=300}}</ref>.

Символы <math>\varnothing</math> и <math>\emptyset</math> введены в употребление [[Группа Бурбаки|группой Бурбаки]] (в частности, [[Андре Вейль|Андре Вейлем]]) в 1939 году. Прообразом послужила буква [[Ø]] из [[Датско-норвежский алфавит|датско-норвежского алфавита]]<ref>{{cite web
 |url         = http://jeff560.tripod.com/set.html
 |title       = Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic
 |accessdate  = 2010-09-28
 |lang        = en
 |description = История появления символов теории множеств и логики
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/6171d1KcD?url=http://jeff560.tripod.com/set.html
 |archivedate = 2011-08-21
 |deadlink    = no
}}</ref>.

Символ «пустое множество» представлен в [[Юникод]]е ({{unichar|2205|EMPTY SET|ulink=Математические операторы}})<ref>{{cite web |url=https://www.unicode.org/charts/PDF/U2200.pdf |title=The Unicode Standard, Version 13.0 |subtitle=Mathematical Operators, Range: 2200–22FF |lang=en |format=PDF |website={{iw|Unicode Consortium|Unicode Inc||Unicode Consortium}} |date=2020 |accessdate=2020-08-06 |archive-date=2018-06-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180612210306/http://www.unicode.org/charts/PDF/U2200.pdf |deadlink=no }}</ref> и, хотя он отсутствует в стандартных [[Раскладка клавиатуры|раскладках клавиатуры]], может быть введён с клавиатуры:
* в [[Мнемоники в HTML#Математические операции|HTML]] как <code>&amp;empty;</code> или <code>&amp;#8709;</code> или <code>&amp;#x2205;</code>;
* в [[LaTeX]] его код <code>\varnothing</code> (символ <math>\emptyset</math> кодируется <code>\emptyset</code>);
* в [[Microsoft Word]] символ можно получить, введя {{key press|2205}} и нажав {{key press|Alt|X}};
* в [[Windows]] с помощью [[Alt-код]]а {{key press|Alt}}+{{key press|8709}};
* в системах, использующих [[X Window System]] ([[Unix]]/[[Linux]]/[[ChromeOS]] и др.), с помощью комбинации {{keypress|Ctrl|Shift|u}}{{nbsp}}{{key press|2205}}{{key press|Пробел}} или с использованием клавиши [[Compose]], нажав поочерёдно {{key press|Compose}}{{key press|&#123;}}{{key press|&#125;}}<ref>{{cite web
 |url       = http://cgit.freedesktop.org/xorg/lib/libX11/plain/nls/en_US.UTF-8/Compose.pre
 |title       = UTF-8 (Unicode) compose sequence
 |lang       = en
 |last       = Monniaux
 |first       = David
 |description       = Файл конфигурации вводимых с помощью клавиши Compose символов
 |access-date       = 2020-06-25
 |archive-date       = 2020-08-03
 |archive-url       = https://web.archive.org/web/20200803052019/https://cgit.freedesktop.org/xorg/lib/libX11/plain/nls/en_US.UTF-8/Compose.pre
 |deadlink       = no
 }}</ref>.

В текстах на таких языках, как датский или норвежский, где символ пустого множества может быть спутан с буквой алфавита Ø (при использовании в лингвистике), вместо него может быть использован символ Юникода {{unichar|29B0|REVERSED EMPTY SET|html=|ulink=Разные математические символы — B}}<ref>Например, {{cite book
 |title     = Fonetik og Fonologi: Almen og dansk
 |lang      = da
 |last      = Grønnum
 |first     = Nina
 |year      = 2013
 |publisher = Akademisk forlag
 |location  = Copenhagen
 |isbn      = 978-87-500-4045-3, 87-500-4045-6
}}</ref>.

== Свойства пустого множества ==
* Ни одно множество не является элементом пустого множества. Иначе говоря, <math>\forall a \ (a \notin \varnothing)</math> и, в частности, <math>\varnothing \notin \varnothing</math>.
* Пустое множество является [[подмножество]]м любого множества. Иначе говоря, <math>\forall a \ (\varnothing \subseteq a)</math> и, в частности, <math>\varnothing \subseteq \varnothing</math>.
* [[Объединение множеств|Объединение]] пустого множества с любым множеством равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря,<math>\forall a \ (\varnothing \cup a = a) </math> и, в частности, <math>\varnothing \cup \varnothing = \varnothing</math>.
* [[Пересечение множеств|Пересечение]] пустого множества с любым множеством равно пустому множеству. Иначе говоря, <math>\forall a \ (\varnothing \cap a = \varnothing)</math> и, в частности, <math>\varnothing \cap \varnothing = \varnothing</math>.
* [[Пересечение множеств|Пересечение]] любого множества с его дополнением равно пустому множеству. Иначе говоря, <math>\forall a \ (a \cap \overline{a} = \varnothing)</math>.
* [[Разность множеств|Исключение]] пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, <math>\forall a \ (a \setminus \varnothing = a) </math> и, в частности, <math>\varnothing \setminus \varnothing = \varnothing</math>.
* Исключение любого множества из пустого множества равно пустому множеству. Иначе говоря, <math>\forall a \ (\varnothing \setminus a = \varnothing)</math> и, в частности, <math>\varnothing \setminus \varnothing = \varnothing</math>.
* [[Симметрическая разность]] пустого множества с любым множеством равна последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, <math>\forall a \ (\varnothing \triangle a = a \ \land \ a \triangle \varnothing = a)</math> и, в частности, <math>\varnothing \triangle \varnothing = \varnothing</math>
* [[Декартово произведение]] пустого множества на любое множество равно пустому множеству. Иначе говоря, <math>\forall a \ (\varnothing \times a = \varnothing \ \land \ a \times \varnothing = \varnothing)</math> и, в частности, <math>\varnothing \times \varnothing = \varnothing</math>.
* Пустое множество — транзитивно. Иначе говоря, <math>\mathrm{Trans}(\varnothing)</math>, где <math>\mathrm{Trans}(\varnothing) \Leftrightarrow \forall b \ (b \in \varnothing \to b \subseteq \varnothing)</math>.
* Пустое множество — не рефлективно, симметрично, антисимметрично.
* Пустое множество — [[Порядковое число|ординал]]. Иначе говоря, <math>\mathrm{Ord}(\varnothing)</math>, где <math>\mathrm{Ord}(\varnothing) \Leftrightarrow \mathrm{Trans}(\varnothing) \ \land \ \forall b \ (b \in \varnothing \to \mathrm{Trans}(b))</math>.
* [[Мощность множества|Мощность]] пустого множества равна [[Ноль (число)|нулю]]. Иначе говоря, <math>|\varnothing| = 0</math>.
*[[Мера множества|Мера]] пустого множества равна нулю. Иначе говоря, <math>\mu(\varnothing) = 0</math>.

== См. также ==
* [[Аксиома пустого множества]]
* [[Аксиоматика теории множеств]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга | автор = [[Столл, Роберт|Столл Р.]]| заглавие = Множества, логика, аксиоматические теории| место = М. | издательство  = Мир | год = 1968 | страниц = 231| isbn = | ref = Столл}}
* {{книга | автор = [[Нефедов, Виктор Николаевич|Нефедов В.Н.]], [[Осипова, Виктория Аркадьевна|Осипова В.А.]]| заглавие = Курс дискретной математики| место = М. | издательство  = МАИ | год = 1992 | страниц = 264| isbn = 5-7035-0157-X | ref = Нефедов}}
* [[Paul Halmos|Halmos, Paul]], ''[[Naive Set Theory (book)|Naive Set Theory]]''. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. {{ISBN|0-387-90092-6}} (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. {{ISBN|978-1-61427-131-4}} (paperback edition).
* {{Citation|last=Jech|first=Thomas|authorlink=Thomas Jech|year=2002|title=Set Theory|edition=3rd millennium|series=Springer Monographs in Mathematics|publisher=Springer|isbn=3-540-44085-2}}
* {{Citation|last=Graham|first=Malcolm|title=Modern Elementary Mathematics|date=1975|publisher=[[Harcourt Brace Jovanovich]]|isbn=0155610392|edition=2nd}}

{{Теория множеств}}

[[Категория:Теория множеств]]
[[Категория:Мощность множеств]]