Просмотр кода страницы Радиационное трение

{{значения|Трение}}
'''Радиационное трение''', '''реакция излучения''', '''лучистое трение''', '''торможение излучением''' — [[Сила (физическая величина)|сила]], действующая на [[электрический заряд|заряженную]] [[материальная точка|точечную частицу]] (например, [[электрон]]), со стороны её собственного [[электромагнитное излучение|электромагнитного излучения]], вызываемого неравномерностью движения этой частицы.

== Теоретическое обоснование ==
Система, излучающая [[электромагнитные волны]], не является [[замкнутая система|замкнутой]]. В частности, к ней не применимы [[закон сохранения энергии|законы сохранения энергии]] и [[закон сохранения импульса|импульса]]. Такая система является [[диссипативная система|диссипативной]] (рассеивающей свою энергию).

Радиационное трение можно рассчитать, рассматривая взаимодействие заряда и создаваемого им самим электромагнитного поля («самодействие»).

При строгой постановке задачи необходимо учитывать [[квантовая физика|квантовые]] эффекты. В частности, попытка рассчитать радиационное трение частицы, на которую действует внешняя сила, при помощи методов [[Классическая физика|классической физики]] приводит к парадоксам.

Методы [[Квантовая электродинамика|квантовой электродинамики]] позволяют учесть радиационное трение практически с любой степенью точности, причём не только его ''диссипативную'' часть (обусловливающую уширение [[Спектральная линия|спектральных линий]]), но и изменение внешнего поля, в котором движется частица.

== Формула Лоренца ==
Для скоростей, малых по сравнению со [[скорость света в вакууме|скоростью света]], для [[Мощность|мощности излучения]] частицы применима [[формула Лармора]], а сила радиационного трения выражается (в системе [[СГС]]) формулой
: <math>\vec{F} = \frac{2}{3} \frac{q^2}{c^3} \frac{d\vec{a}}{dt},</math>
где ''q'' — величина заряда частицы, а ''a'' — её (мгновенное) ускорение.
Эту формулу впервые вывел [[Лоренц, Хендрик Антон|Хендрик Лоренц]]<ref>{{книга |автор=[[Лоренц, Хендрик Антон|H. A. Lorentz]] |часть= |заглавие=The Theory of Electrons |ссылка= |ответственный= |место=Leipzig |издательство=Teubner |год=1909 |том= |страницы= |страниц= |isbn= }}</ref>.

Если выражать величины в системе [[СИ]], то формула содержит иные константы:
: <math>\vec{F} = \frac{q^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \frac{d\vec{a}}{dt}.</math>

Это довольно редкий случай, когда в формулы входит скорость изменения ускорения (или третья производная [[радиус-вектор]]а по времени), иногда называемая ''[[рывок (кинематика)|рывком]]''.

== Формула Лоренца — Абрагама — Дирака ==
Формула, полученная Лоренцем, справедлива только для случая нерелятивистской частицы. Впервые её обобщение на релятивистский случай было получено [[Абрагам, Макс|М. Абрагамом]] в [[1905 год в науке|1905 году]]<ref>{{книга|автор=[[Абрагам, Макс|M. Abraham]] |часть= |заглавие=Theorie der Elektrizitat |ссылка= |ответственный= |место=Leipzig |издательство=Teubner |год=1905 |том= |страницы= |страниц= |isbn= }}</ref>.

Релятивистское выражение для силы радиационного торможения можно получить из следующих соображений. Во-первых, следует иметь в виду, что в [[Специальная теория относительности|специальной теории относительности]] обобщением понятия силы является так называемый [[4-вектор]] силы <math>g^i</math>, который по определению должен удовлетворять условию <math>g^iu_i=0</math>, где <math>u^i=\frac{dx^i}{ds}</math> — [[4-скорость]], <math>ds=\sqrt{dx^idx_i} </math> — релятивистский [[Интервал (теория относительности)|интервал]], а <math>x^i=(ct,x,y,z)</math> — 4-вектор времени-координат. Здесь и далее используется релятивистский формализм, в рамках которого «опускание» векторного индекса достигается умножением на [[метрический тензор]] [[пространство Минковского|пространства Минковского]], <math>g_{ij}={\rm diag}(1,-1,-1,-1) </math>, например: <math>u_k=u^ig_{ik} </math>; по повторяющимся индексам <math>i=0,1,2,3 </math> подразумевается суммирование, например: <math>g^iu_i=g^0u^0-g^1u^1-g^2u^2-g^3u^3</math>.

Для определения 4-вектора <math>g^i</math> следует воспользоваться тем фактом, что при стремлении скорости тела к нулю выражение для <math>g^i</math> должно давать выражение для классической формулы Лоренца. Можно показать, что таким свойством обладает величина
{{EF|:|<math>g^i = \frac{2e^2}{3c}\frac{d^2u^i}{ds^2}</math>,|ref=LAD1}}
где <math>s</math> — так называемый [[Интервал (теория относительности)|интервал]]. Выражение ({{eqref|LAD1}}) не удовлетворяет, однако, условию <math>g^iu_i=0</math>. Для того, чтобы этому условию удовлетворить, необходимо дополнить выражение ({{eqref|LAD1}}) ещё одним слагаемым, которое стремилось бы к нулю при стремлении скорости частицы к нулю. Таким свойством обладает, в частности, любое выражение вида <math>\alpha u^i</math>, где <math>\alpha</math> — [[скаляр]], выбираемый таким образом, чтобы условие <math>g^iu_i=0</math> выполнилось. В результате выражение для радиационной силы, полученное Абрагамом, имеет вид:
{{EF|:|<math>g^i = \frac{2e^2}{3c}\left(\frac{d^2u^i}{ds^2} + \frac{du^k}{ds}\frac{du_k}{ds}u^i\right)</math>,|ref=LAD2}}
где, как и ранее, предполагается суммирование по повторяющемуся индексу <math>k</math>. Формулу ({{eqref|LAD2}}) можно переписать и в другом эквивалентном виде<ref>{{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля|2006|страницы=285}}</ref>:
{{EF|:|<math>g^i = \frac{2e^2}{3c}\left(\frac{d^2u^i}{ds^2} - (u^iu^k)\frac{d^2u_k}{ds^2}\right)</math>.|ref=LAD3}}

[[Дирак, Поль Адриен Морис|П. А. М. Дираком]] в [[1938 год в науке|1938 году]] была получена та же формула из более элементарных соображений<ref>{{статья|автор=[[Дирак, Поль Адриен Морис|Dirac, P. A. M.]]|заглавие=|ссылка=|язык=|издание=Proc. R. Soc. Lond. A|год=1938|volume=167|pages=148|doi=}}</ref>. Он рассмотрел совместную систему [[Уравнения Максвелла|уравнений Максвелла]] и выражения для [[Сила Лоренца|силы Лоренца]], действующей на электрон. При этом им учитывалось то, что электрон, вообще говоря, генерирует поля, которые действуют на сам же электрон. Если предположить, что электрон имеет некоторый неизвестный нам, но конечный размер <math>a</math> и массу <math>m_0</math>, и решить такую задачу, отбросив члены, исчезающе малые при малых <math>a</math>, то получится следующее уравнение движения электрона во внешнем поле, характеризующимся [[Тензор электромагнитного поля|тензором]] <math>F^{ik}</math>:
{{EF|:|<math>(m_0 + \delta m)c\frac{du^i}{ds} = \frac{e}{c}F^{ik}u_k + \frac{2e^2}{3c}\left(\frac{d^2u^i}{ds^2} + \frac{du^k}{ds}\frac{du_k}{ds}u^i\right)</math>,|ref=LAD4}}
где <math>\delta m = 4e^2/3c^2a</math> и формально расходится (то есть стремится к бесконечности) при стремлении <math>a</math> к нулю. Важным, однако, является то, что единственный расходящийся член пропорционален ускорению, что позволяет провести своеобразную классическую процедуру [[Перенормировка|перенормировки]]: поскольку величины <math>m_0</math> и <math>\delta m</math> не могут быть отличены друг от друга в любом из проводимых экспериментов, единственной величиной, имеющей физический смысл и поддающейся измерению является их сумма <math>m = m_0 + \delta m</math>, которая и равна массе электрона, наблюдаемой в опыте. При этом величину <math>m_0</math> называют «голой» массой электрона, то есть его массой без учёта массы электромагнитного поля, создаваемого этим электроном. С учётом последнего замечания из сравнения формул ({{eqref|LAD2}}) и ({{eqref|LAD4}}) видно, что Дираком была получена та же формула для радиационного трения, что и Абрагамом (первый член в правой части выражения ({{eqref|LAD4}}) отвечает за обычную силу Лоренца, действующую на электрон во внешних полях).

По именам сделавших вклад в его открытие учёных уравнение ({{eqref|LAD4}}) носит название уравнения Лоренца — Абрагама — Дирака.

== Приближение Ландау — Лифшица ==
{{дополнить раздел|дата=2010-11-23}}
Исходным выражением для вывода приближенного релятивистского уравнения для радиационной силы является уравнение (ЛАД4) с использованием полной («одетой») массы в левой части:
{{EF|:|<math>mc\frac{du^i}{ds} = \frac{e}{c}F^{ik}u_k + \frac{2e^2}{3c}\left(\frac{d^2u^i}{ds^2} + \frac{du^k}{ds}\frac{du_k}{ds}u^i\right).</math>|ref=LL1}}
Приближение [[Ландау, Лев Давидович|Ландау]] — [[Лифшиц, Евгений Михайлович|Лифшица]] (ЛЛ) основано на выражении
{{EF|:|<math>\frac{du^i}{ds} \approx \frac{e}{mc^2}F^{ik} u_k,</math>|ref=LL2}}
которое получается из (LL1) в пренебрежении выражением в скобках, то есть без учёта радиационной силы. Cоотношение (LL1) используется для преобразования выражения в скобках и исключения производных скорости из выражения для радиационной силы. Исключение ускорения с помощью (LL2) даёт
: <math>\frac{du^k}{ds}\frac{du_k}{ds} \approx -\frac{e^2}{m^2c^4}u_jF^{jk}F_{kl}u^l.</math>
Вторую производную скорости сначала выражаем через первую производную полученного ускорения:
: <math>\frac{d^2u^i}{ds^2} \approx \frac{d}{ds}\left(\frac{e}{mc^2}F^{ik}u_k\right).</math>
Далее скорость ещё раз дифференцируется с помощью (LL2), а для производной от тензора поля вдоль мировой линии частицы используем выражение
: <math>\frac{dF^{ik}}{ds} = \frac{dx^j}{ds} \frac{\partial F^{ik}}{\partial x^j} = u^j \frac{\partial F^{ik}}{\partial x^j},</math>
что даёт
: <math>\frac{d^2u^i}{ds^2} \approx \frac{e}{mc^2} u^j \frac{\partial F^{ik}}{\partial x^j} u_k + \frac{e^2}{m^2c^4} F^{ik} F_{kl} u^l.</math>
Окончательно получаем уравнение с радиационной силой ЛЛ в виде
{{EF|:|<math>mc\frac{du^i}{ds} = \frac{e}{c}F^{ik}u_k + \frac{2e^2}{3c}\left[\frac{e}{mc^2}u^j\frac{\partial F^{ik}}{\partial x^j}u_k+\frac{e^2}{m^2c^4}\left(F^{ik} - u^iu_jF^{jk}\right)F_{kl}u^l \right].</math>|ref=LL3}}

=== Свойства приближения ЛЛ ===
Уравнение (ЛЛ3) является системой <math>4 = 1 + 3</math> скалярных уравнений для энергии и трёх компонент импульса, которые не являются независимыми в силу релятивистского соотношения <math>u_i u^i \equiv 1</math>. Дифференцирование последнего соотношения по ''ds'' даёт необходимое условие ортогональности релятивистской силы к скорости: <math>u_i \frac{du^i}{ds} = 0</math>. При умножении (ЛЛ3) на <math>u_i</math> первый член в правой части и первый член в квадратных скобках обращаются в ноль в силу асимметрии полевого тензора, <math>u_i F^{ik} u_k \equiv 0</math>, а члены в круглых скобках взаимно уничтожаются. Тем самым, хотя при выводе уравнения (LL3) использовались приближённые соотношения, требование ортогональности релятивистской силы к скорости сохраняется точно.

Преимуществом приближения ЛЛ является возможность численного интегрирование уравнений движения, поскольку выражение для 3-мерной силы, хотя и чрезвычайно громоздкое и зависящее от пространственных и временных производных полей и от скорости частицы, всё-таки является явным и не зависящим от производных скорости.

== Приближение Соколова ==
{{пустой раздел|дата=2010-11-23}}

== См. также ==
* [[Лэмбовский сдвиг]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля|2006|страницы=279—288}}
* {{статья
| автор         = Eric Poisson
| заглавие      = An introduction to the Lorentz-Dirac equation
| ссылка        = http://arxiv.org/abs/gr-qc/9912045
| язык          = en
| издание       = [[arXiv.org]]
| год           = 1999
}}
* {{статья
| автор         = Igor V. Sokolov, Natalia M. Naumova, John A. Nees, [[Муру, Жерар|Gérard A. Mourou]], and Victor P. Yanovsky
| заглавие      = Dynamics of emitting electrons in strong laser fields
| ссылка        = http://dx.doi.org/10.1063/1.3236748
| язык          = en
| издание       = [[Phys. Plasmas]]
| год           = 2009
| том           = 16
| страницы      = 093115
}} ({{arXiv|0904.0405}})
* {{статья
| автор         = И. В. Соколов
| заглавие      = Перенормировка уравнения Лоренца — Абрагама — Дирака для радиационной силы в классической электродинамике
| ссылка        = http://www.jetp.ras.ru/cgi-bin/r/index/r/136/2/p247?a=list
| язык          = 
| издание       = [[ЖЭТФ]]
| год           = 2009
| том           = 136
| выпуск        = 2
| страницы      = 247
}} ({{arXiv|0906.1150}})
* {{статья
| автор         = Igor V. Sokolov, Natalia M. Naumova, John A. Nees, Victor P. Yanovsky, and [[Муру, Жерар|Gérard A. Mourou]]
| заглавие      = Radiation back-reaction in relativistically strong and QED-strong pulsed laser fields
| ссылка        = http://dx.doi.org/10.1063/1.3426068
| язык          = en
| издание       = [[AIP Conf. Proc.]]
| год           = 2010
| том           = 1228
| выпуск        = 1
| страницы      = 305—322
}} ({{arXiv|0910.4268}})
* ''D. B. Zot'ev'', Critical remarks on Sokolov's equation of the dynamics of a radiating electron // [[Phys. Plasmas]]. — 2016. — Vol. 23. — № 9, http://dx.doi.org/10.1063/1.4962692. Перевод на русский язык: http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2016/06/Sokolov_LAD_Russian.pdf

[[Категория:Электромагнитные явления]]
[[Категория:Электродинамика]]