Просмотр кода страницы Распределение Лапласа

{{Вероятностное распределение
| name = Распределение Лапласа
| type = Плотность
| pdf_image = [[Файл:Laplace distribution (2) cdf.png|325px|Плотности распределений Лапласа]]
| cdf_image = [[Файл:Laplace distribution (2) pdf.png|325px|Функции распределений Лапласа]]
| parameters = <math>\textstyle\alpha>0</math> — [[коэффициент масштаба]]<br /><math>\beta\in\mathbb{R}</math> — [[коэффициент сдвига]]
| support = <math>x \in (-\infty; \infty)</math>
| pdf = <math>\frac{\alpha}{2}\,e^{-\alpha|x-\beta|}</math>
| cdf = <math>\begin{cases}\frac{1}{2}e^{\alpha(x-\beta)}, & x\leqslant\beta \\ 1-\frac{1}{2}e^{-\alpha(x-\beta)}, & x>\beta \end{cases}</math>
| mean = <math>\beta</math>
| median = <math>\beta</math>
| mode = <math>\beta</math>
| variance = <math>\frac{2}{\alpha^{2}}</math>
| skewness = <math>0</math>
| kurtosis = <math>3</math>
| entropy = <math>\ln\frac{2e}{\alpha}</math>
| mgf = ?
| char = <math>\frac{\alpha^{2}e^{it\beta}}{\alpha^{2}+t^{2}}</math>|
}}
'''Распределе́ние Лапла́са''' ('''двойно́е экспоненциа́льное''') — в [[теория вероятностей|теории вероятностей]] это [[Абсолютно непрерывное распределение|непрерывное]] [[Распределение вероятностей|распределение]] [[случайная величина|случайной величины]], при котором [[плотность вероятности]] есть

:<math>f(x) = \frac{\alpha}{2} \, e^{-\alpha|x - \beta|}, \quad -\infty < x < +\infty,</math>

где <math>\alpha > 0</math> — параметр масштаба, <math>-\infty<\beta<+\infty</math> — параметр сдвига.

== Функция распределения ==
По определению, функция распределения — это [[интеграл]] от плотности распределения:

:<math>F(x) = \int\limits_{-\infty}^{x} f(t) \,dt = \frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{x} e^{-\alpha|t-\beta|} \,dt.</math>

Для интегрирования необходимо рассмотреть два случая:

:<math>F(x)=
\begin{cases}      
  \frac{1}{2}e^{\alpha(x-\beta)}, & x \leqslant \beta, \\
  1-\frac{1}{2}e^{-\alpha(x-\beta)}, & x > \beta.
\end{cases}</math>

Проверка свойств полученной функции:
#<math>F(x)</math> не убывает, так как <math>f(x)</math> положительна.
#<math>F(\beta - 0) = F(\beta + 0) = \frac{1}{2}</math>, следовательно, <math>F(x)</math> непрерывна в точке <math>\beta</math>
#<math>F(x)</math> ограничена.
#Пределы на бесконечностях:
::{|
 |<math>\lim_{x \to -\infty} F(x) = \frac{1}{2} \lim_{x \to -\infty}e^{-\alpha|x - \beta|}= 0,</math>
 |-
 |<math>\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 - \frac{1}{2} \lim_{x \to +\infty}e^{-\alpha(x - \beta)} = 1.</math>
 |}

== [[Математическое ожидание]] и [[Дисперсия случайной величины|дисперсия]] ==
В показателе экспоненты функции плотности содержится [[Абсолютная величина|модуль]] разности, поэтому интервал <math>(-\infty,+\infty)</math> при вычислениях необходимо разбить на <math>(-\infty,\beta)</math> и <math>[\beta,+\infty)</math>. Интегралы берутся [[Интегрирование по частям|по частям]], при подстановке бесконечностей (<math>\pm\infty</math>) рассматриваются [[Предел функции|пределы]] вида <math>\lim_{x\to\pm\infty}r(x)</math>. В результате
: <math>\operatorname{E}\xi=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx= \beta</math>
{{начало скрытого блока|детали расчёта}}
<math>\operatorname{E}\xi=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{\beta}x e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\infty}x e^{-\alpha(x-\beta)}dx=</math>
<math>=\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha} x e^{\alpha(x-\beta)}\bigg|_{-\infty}^{\beta}-\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\beta}e^{\alpha(x-\beta)}dx-\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha} x e^{-\alpha(x-\beta)}\bigg|_{\beta}^{+\infty}+\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha}\int\limits_{\beta}^{+\infty}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=</math>
<math>=\frac{\beta}{2}-\frac{1}{2\alpha}e^{\alpha(x-\beta)}\bigg|_{-\infty}^{\beta}+\frac{\beta}{2}-\frac{1}{2\alpha}e^{-\alpha(x-\beta)}\bigg|_{\beta}^{+\infty}=\beta-\frac{1}{2\alpha}+\frac{1}{2\alpha}=\beta</math>
{{конец скрытого блока}}
: <math>\operatorname{E}\xi^{2}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^{2}f(x) dx = \beta^{2}+\frac{2}{\alpha^{2}}</math>
{{начало скрытого блока|детали расчёта}}
<math>\operatorname{E}\xi^{2}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^{2}f(x) dx=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{\beta}x^{2}e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\infty}x^{2}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=</math>
<math>=\frac{\alpha}{2}\frac{x^{2}e^{\alpha(x-\beta)}}{\alpha}\bigg|_{-\infty}^{\beta}-\frac{\alpha}{2}\frac{2}{\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\beta}x e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\frac{x^{2}e^{-\alpha(x-\beta)}}{-\alpha}\bigg|_{\beta}^{+\infty}+\frac{\alpha}{2}\frac{2}{\alpha}\int\limits_{\beta}^{+\infty}x e^{-\alpha(x-\beta)}dx=</math>
<math>=\frac{\beta^{2}}{2}-\frac{\beta}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{\beta^{2}}{2}+\frac{\beta}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^{2}}=\beta^{2}+\frac{2}{\alpha^{2}}</math>
{{конец скрытого блока}}
: <math>\operatorname{D}\xi=\operatorname{E}\xi^{2}-(\operatorname{E}\xi)^{2}=\beta^{2}+\frac{2}{\alpha^{2}}-\beta^{2}=\frac{2}{\alpha^{2}}</math>

== [[Моменты случайной величины|Моменты]] ==
: <math>\operatorname{E}\xi^{k}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^{k}f(x)dx=
\sum_{i=0}^{\left \lfloor k/2\right\rfloor}\frac{\beta^{k-2i}}{\alpha^{2i}}\frac{k!}{(k-2i)!}</math>, 
где <math>\left\lfloor s \right\rfloor</math> — целая часть s.

{{начало скрытого блока|детали расчёта}}
<math>\operatorname{E}\xi^{k}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^{k}f(x)dx=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{\beta}x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\infty}x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}dx</math>

Применяя формулу интегрирования по частям несколько раз, получаем:

<math>\int x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}dx=\frac{1}{\alpha}x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}-\frac{k}{\alpha^{2}}x^{k-1}e^{\alpha(x-\beta)}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}x^{k-2}e^{\alpha(x-\beta)}-</math><math>\ldots+(-1)^{k-1}\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}x e^{\alpha(x-\beta)}+(-1)^{k}\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}e^{\alpha(x-\beta)}</math>

<math>\int x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=-\frac{1}{\alpha}x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}-\frac{k}{\alpha^{2}}x^{k-1}e^{-\alpha(x-\beta)}-\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}x^{k-2}e^{-\alpha(x-\beta)}-</math><math>\ldots-\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}x e^{-\alpha(x-\beta)}-\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}e^{-\alpha(x-\beta)}</math>

После подстановок пределов интегрирования:

<math>\int\limits_{-\infty}^{\beta}x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}dx=\frac{1}{\alpha}\beta^{k}-\frac{k}{\alpha^{2}}\beta^{k-1}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}\beta^{k-2}-</math>
<math>\ldots+(-1)^{k-1}\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}\beta+(-1)^{k}\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}</math>

<math>\int\limits_{\beta}^{+\infty}x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=\frac{1}{\alpha}\beta^{k}+\frac{k}{\alpha^{2}}\beta^{k-1}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}\beta^{k-2}+\ldots+\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}\beta+\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}</math>

Так как первый интеграл зависит от чётности k рассматриваются два случая: k — чётное и k — нечётное:

<math>\operatorname{E}\xi^{k}=
\begin{cases} 
  \beta^{k}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{2}}\beta^{k-2}+\ldots+\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k}}, & k=2n \\
  \beta^{k}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{2}}\beta^{k-2}+\ldots+\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k-1}}\beta, & k=2n+1
\end{cases}</math>

Или, в общем виде:

<math>\operatorname{E}\xi^{k}=\sum_{i=0}^{\left \lfloor k/2\right\rfloor}\frac{\beta^{k-2i}}{\alpha^{2i}}\frac{k!}{(k-2i)!}</math>, где <math>\left\lfloor s\right\rfloor</math> — целая часть s.
{{конец скрытого блока}}

== [[Характеристическая функция случайной величины|Характеристическая функция]] ==

: <math>\phi(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}f(x)dx = \frac{\alpha^{2}e^{it\beta}}{\alpha^{2}+t^{2}}</math>

{{начало скрытого блока|детали расчёта}}
<math>\phi(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}f(x)dx=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{\beta}e^{itx}e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\infty}e^{itx}e^{-\alpha(x-\beta)}dx</math>

Оба интеграла находятся, используя формулу Эйлера <math>\textstyle e^{ix}=\cos x+i\sin x</math> и классический пример нахождения интегралов вида <math>\int e^{\alpha x}\sin \beta x\,dx</math> и <math>\int e^{\alpha x}\cos \beta x\,dx</math> (см. [[Интегрирование по частям#Примеры|Интегрирование по частям:Примеры]]):

<math>\int\limits_{-\infty}^{\beta}e^{itx}e^{\alpha(x-\beta)}dx=\int\limits_{-\infty}^{\beta}(\cos tx + i\sin tx)e^{\alpha(x-\beta)}dx=\int\limits_{-\infty}^{\beta}\cos tx\,e^{\alpha(x-\beta)}dx + i\int\limits_{-\infty}^{\beta}\sin tx\,e^{\alpha(x-\beta)}dx=</math>
<math>=\frac{e^{\alpha(x-\beta)}}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha\cos tx+t\sin tx\Big)\bigg|_{-\infty}^{\beta}+i\frac{e^{\alpha(x-\beta)}}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(a\sin tx-t\cos tx\Big)\bigg|_{-\infty}^{\beta}=</math>
<math>=\frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha e^{it\beta}+t(i\cos t \beta-\sin t \beta)\Big)</math>

<math>\int\limits_{\beta}^{+\infty}e^{itx}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=\int\limits_{\beta}^{+\infty}(\cos tx + i\sin tx)e^{-\alpha(x-\beta)}dx=\int\limits_{\beta}^{+\infty}\cos tx\,e^{-\alpha(x-\beta)}dx + i\int\limits_{\beta}^{+\infty}\sin tx\,e^{-\alpha(x-\beta)}dx=</math>
<math>=\frac{e^{-\alpha(x-\beta)}}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(-\alpha\cos tx+t\sin tx\Big)\bigg|_{\beta}^{+\infty}+i\frac{e^{-\alpha(x-\beta)}}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(-a\sin tx-t\cos tx\Big)\bigg|_{\beta}^{+\infty}=</math>
<math>\frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha e^{it\beta}-t(i\cos t\beta-\sin t\beta)\Big)</math>

Окончательно характеристическая функция есть:

<math>\phi(t)=\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(ae^{it\beta}+t(i\cos t\beta-\sin t\beta)\Big)+\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha e^{it\beta}-t(i\cos t\beta-\sin t\beta)\Big)=\frac{\alpha^{2}e^{it\beta}}{\alpha^{2}+t^{2}}</math>
{{конец скрытого блока}}

== Применение   ==
Распределение применяется для моделирования обработки сигналов, в моделировании биологических процессов, экономике и финансах. Распределение можно применить:   

* к кредитным рискам;
* к страховым случаям;   
* при работе с [[Фильтр Кальмана|фильтром Кальмана]].
{{вс}}
{{Список вероятностных распределений}}
{{rq|source|cleanup|topic=math}}

[[Категория:Непрерывные распределения]]