Просмотр кода страницы Распределение Стьюдента

{{Вероятностное распределение
| notation = <math>\mathrm{t}(n)</math>
| name = Распределение Стьюдента
| type = Плотность
| pdf_image = [[Файл:Student densite best.JPG|325px]]
| cdf_image = [[Файл:T distributionCDF.png|325px]]
| parameters = <math>n > 0</math> — число степеней свободы
| support = <math>x \in (-\infty; +\infty)</math>
| pdf = <math>\frac{\Gamma\left(\frac{ n+1}{2}\right) \left(1+\frac{ x^2}{ n}\right)^{-\frac{ n+1}{2}}}{\sqrt{ n\pi} \ \Gamma\left(\frac{ n}{ 2}\right)}  </math>
| cdf = <math>\frac{1}{2} + {x \Gamma \left( \frac{n+1}2 \right)}\times</math> <math>\frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},\frac{n+1}2;\frac{3}{2};-\frac{x^2}{n} \right)} {\sqrt{\pi n}\,\Gamma (\frac{n}2)}</math> где <math>_2F_1 </math> — [[гипергеометрическая функция]]
| mean = <math>0</math>, если <math>n>1</math>
| median = <math>0</math>
| mode = <math>0</math>
| variance = <math>\frac{n}{n-2}</math>, если <math>n>2</math>
| skewness = <math>0</math>, если <math>n>3</math>
| kurtosis = <math>\frac{6}{n-4}</math>, если <math>n>4</math>
| entropy = <math>\begin{matrix}
         \frac{n+1}{2}\left[ 
             \psi(\frac{1+n}{2}) 
               - \psi(\frac{n}{2})
         \right] \\[0.5em]
+ \log{\left[\sqrt{n}B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})\right]}
\end{matrix}</math>
* <math>\psi = \Gamma' / \Gamma</math>, 
* <math>B</math>: [[бета-функция]]|
| mgf = не определена
| char = |
}}

'''Распределе́ние Стью́дента''' ('''<math>t</math>-распределение''') в [[Теория вероятностей|теории вероятностей]] — это однопараметрическое семейство [[Абсолютно непрерывное распределение|абсолютно непрерывных распределений]]. [[Госсет, Уильям Сили|Уильям Сили Госсет]] (1876—1937) первым опубликовал работы, посвящённые этому распределению, под псевдонимом «Стьюдент».

Распределение Стьюдента играет важную роль в [[математическая статистика|статистическом анализе]] и используется, например, в [[T-Критерий Стьюдента|''t''-критерии Стьюдента]] для оценки [[статистическая значимость|статистической значимости]] разности двух выборочных средних, при построении [[Доверительный интервал|доверительного интервала]] для математического ожидания нормальной совокупности при неизвестной дисперсии, а также в [[Регрессионный анализ|линейном регрессионном анализе]]. Распределение Стьюдента также появляется в [[Байесовский вывод|байесовском]] [[Анализ данных|анализе данных]], распределённых по [[Нормальное распределение|нормальному закону]].

График плотности распределения Стьюдента, как и нормального распределения, является симметричным и имеет вид колокола, но с более «тяжёлыми» хвостами, то есть реализациям случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, более свойственно сильно отличаться от [[Математическое ожидание|математического ожидания]]. Это делает его важным для понимания статистического поведения определённых типов отношений [[случайная величина|случайных величин]], в которых отклонение в знаменателе увеличено и может производить отдалённые величины, когда знаменатель соотношения близок к нулю.

Распределение Стьюдента — частный случай [[Обобщённое гиперболическое распределение|обобщённого гиперболического распределения]].

== История и этимология ==
В статистике ''t''-распределение было впервые получено как [[Апостериорная вероятность|апостериорное]] распределение в 1876 году [[Гельмерт, Фридрих Роберт|Фридрихом Гельмертом]]<ref name=HFR1/><ref name=HFR2/><ref name=HFR3/> и {{iw|Якоб Люрот|Якобом Люротом||Jacob Lüroth}}<ref name=L1876/><ref>{{статья |заглавие=A forerunner of the ''t''-distribution  (Studies in the history of probability and statistics XLIV) |ссылка=https://archive.org/details/sim_biometrika_1996-12_83_4/page/891 |издание=[[Biometrika]] |том=83 |номер=4 |страницы=891—898 |doi=10.1093/biomet/83.4.891 <!-- abstract = “The t-distribution first occurred in a paper by Lüroth (1876) on the classical theory of errors in connection with a Bayesian result.” --> |mr=1766040 |язык=en |тип=journal |автор=Pfanzagl, J.; Sheynin, O. |год=1996}}</ref><ref>{{статья |doi=10.1007/BF00374700 |заглавие=Helmert’s work in the theory of errors |издание=[[Archive for History of Exact Sciences|Arch. Hist. Exact Sci.]] |том=49 |страницы=73—104 |язык=en |автор=Sheynin, O. |год=1995 |тип=journal}}</ref>.

В англоязычной литературе распределение берёт название из статьи Уильяма Госсета в журнале [[Пирсон, Карл|Пирсона]] «Биометрика», опубликованной под псевдонимом «Стьюдент»<ref>{{статья |заглавие=The probable error of a mean |издание=[[Biometrika]] |том=6 |номер=1 |страницы=1—25 |ссылка=http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/student.pdf |doi=10.1093/biomet/6.1.1 |язык=en |автор=“Student” [ [[Госсет, Уильям Сили|William Sealy Gosset]] ] |месяц=3 |год=1908 |тип=journal |archivedate=2008-03-08 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080308122324/http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/student.pdf }}</ref><ref>«Student» (William Sealy Gosset), original Biometrika paper as a [http://www.atmos.washington.edu/~robwood/teaching/451/student_in_biometrika_vol6_no1.pdf scan] {{Wayback|url=http://www.atmos.washington.edu/~robwood/teaching/451/student_in_biometrika_vol6_no1.pdf |date=20160305190542 }}</ref>.

Госсет работал в пивоварне [[Гиннесс]] в [[Дублин]]е, [[Ирландия]], и применял свои знания в области [[Математическая статистика|статистики]] как при варке пива, так и на полях — для выведения самого урожайного сорта ячменя. Исследования были обращены к нуждам пивоваренной компании и проводились на малом количестве наблюдений, что послужило толчком для развития методов, работающих на малых выборках.

Госсету пришлось скрывать свою личность при публикации из-за того, что ранее другой исследователь, работавший на Гиннесс, опубликовал в своих материалах сведения, составлявшие коммерческую тайну компании, после чего Гиннесс запретил своим работникам публикацию любых материалов, независимо от содержавшейся в них информации.

Статья Госсета описывает распределение как «[[Частотное распределение]] [[Среднеквадратическое отклонение|стандартных отклонений]] выборок, извлечённых из [[Генеральная совокупность|генеральной совокупности]]». Оно стало известным благодаря работе [[Фишер, Рональд Эйлмер|Роналда Фишера]], который называл распределение «распределением Стьюдента», а величину — буквой t<ref name=":0">{{Статья|автор=Рональд Фишер|заглавие=Applications of “Student’s” distribution|ссылка=http://www.sothis.ro/user/content/4ef6e90670749a86-student_distribution_1925.pdf|язык=en|издание=metron|тип=|год=1925|месяц=|число=|том=5|номер=|страницы=90—104|issn=|deadlink=да|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160305130235/http://www.sothis.ro/user/content/4ef6e90670749a86-student_distribution_1925.pdf|archivedate=2016-03-05}}</ref>.

== Определение ==
Пусть <math>Y_0,Y_1,\ldots, Y_n</math> — [[Независимость (теория вероятностей)|независимые]] [[Нормальное распределение|стандартные нормальные]] [[Случайная величина|случайные величины]], такие что <math>Y_i \sim \mathcal{N}(0,1),\; i=0,\ldots, n</math>. Тогда [[Распределение вероятностей|распределение]] случайной величины <math>t</math>, где
: <math>t = \frac{Y_0}{\sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n Y_i^2}},</math>
называется распределением Стьюдента с <math>n</math> [[Степени свободы (теория вероятностей)|степенями свободы]] <math>t \sim \mathrm{t}(n)</math>.

Это распределение абсолютно непрерывно с [[Плотность вероятности|плотностью]]:
: <math>f_t(y) = \frac{\Gamma\left(\frac{ n+1}{2}\right)}{\sqrt{ n\pi} \, \Gamma\left(\frac{ n}{2}\right)}\, \left(1+\frac{y^2}{ n}\right)^{-\frac{ n+1}{2}}</math>,
где <math>\Gamma</math> — [[гамма-функция]] Эйлера. Таким образом:

: <math>\frac{\Gamma(\frac{ n+1}{2})} {\sqrt{ n\pi}\,\Gamma(\frac{ n}{2})} =  \frac{( n -1)( n -3)\cdots 5 \cdot 3} {2\sqrt{ n}( n -2)( n -4)\cdots 4 \cdot 2\,}, </math> для чётных <math> n</math>
и соответственно

: <math>\frac{\Gamma(\frac{ n+1}{2})} {\sqrt{ n\pi}\,\Gamma(\frac{ n}{2})} =  \frac{( n -1)( n -3)\cdots 4 \cdot 2} {\pi \sqrt{ n}( n -2)( n -4)\cdots 5 \cdot 3\,},</math> для нечётных <math> n</math>.
Также плотность распределения Стьюдента можно выразить воспользовавшись [[Бета-функция|бета-функцией Эйлера]] <math>\mathrm{B}</math>:
: <math>f_t(y) = \frac{1}{\sqrt{ n}\,\mathrm{B} (\frac{1}{2}, \frac{ n}{2})} \left(1+\frac{y^2}{ n} \right)^{\!-\frac{ n+1}{2}}</math>.

График функции плотности ''t''-распределения симметричен, а его форма напоминает форму колокола, как у стандартного нормального распределения, но он ниже и шире.

Следующие графики отражают плотность ''t''-распределения при увеличении числа <math> n</math> степеней свободы. Можно наблюдать как по мере возрастания <math> n</math>, кривая функции плотности все больше напоминает стандартное нормальное распределение.

{| align="center"
|+ Плотность t-распределения (красная линия) для 1, 2, 3, 5, 10 и 30 степеней свободы<br>в сравнении со стандартным нормальным распределением (синяя линия).
Предыдущие графики показаны зеленым.
|-
| [[Файл:T distribution 1df enhanced.svg|thumb|center|240x240px|alt=1df|1 степень свободы]]
| [[Файл:T distribution 2df enhanced.svg|thumb|center|240x240px|alt=2df|2 степени свободы]]
| [[Файл:T distribution 3df enhanced.svg|thumb|center|240x240px|alt=3df|3 степени свободы]]
|-
| [[Файл:T distribution 5df enhanced.svg|thumb|center|240x240px|alt=5df|5 степеней свободы]]
| [[Файл:T distribution 10df enhanced.svg|thumb|center|240x240px|alt=10df|10 степеней свободы]]
| [[Файл:T distribution 30df enhanced.svg|thumb|center|240x240px|alt=30df|30 степеней свободы]]
|}

=== Функция распределения ===
[[Функция распределения]] может быть выражена через [[Регуляризованная неполная бета-функция|регуляризованную неполную бета-функцию]] <math>I</math>.
Для <math>t > 0</math>,

: <math>F(t) = \int_{-\infty}^t f(u)\,du = 1- \tfrac{1}{2} I_{x(t)}\left(\tfrac{ n}{2}, \tfrac{1}{2}\right), </math> где <math>x(t) = \frac{ n}{{t^2+ n}}.</math><ref name=":1">{{Книга|автор=Johnson, N.L., Kotz, S., Balakrishnan, N.|часть=глава 28|заглавие=Continuous Univariate Distributions, Volume 2, 2nd Edition.|ответственный=|издание=|место=|издательство=|год=1995|страницы=|страниц=|isbn=0-471-58494-0}}</ref>

Для <math>t < 0</math> значения можно получить в силу симметричности распределения.

Другая формула верна для <math>t^2 <  n</math><ref name=":1" />:
: <math>\int_{-\infty}^t f(u)\,du =\tfrac{1}{2} + t\frac{\Gamma \left( \tfrac{1}{2}( n+1) \right)} {\sqrt{\pi n}\,\Gamma \left(\tfrac{ n}{2}\right)}  {}_2F_1 \left ( \tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}( n+1); \tfrac{3}{2};  -\tfrac{t^2}{ n} \right)</math>,

где <sub>2</sub>''F''<sub>1</sub> является частным случаем [[Гипергеометрическая функция|гипергеометрической функции]].

=== Частные случаи ===
* Распределение Стьюдента с одной степенью свободы (<math> n = 1</math>) это стандартное [[распределение Коши]].

:: Функция распределения: <math>F(t) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{\pi}\arctan(t)</math>
:: Плотность вероятности: <math>f(t) =  \frac{1}{\pi (1+t^2)}</math>

* Распределение Стьюдента с двумя степенями свободы (<math> n = 2</math>):
:: Функция распределения: <math>F(t) = \tfrac{1}{2}+\frac{t}{2\sqrt{2+t^2}}</math>
:: Плотность вероятности: <math>f(t) = \frac{1}{\left(2+t^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>;

* Распределение Стьюдента с тремя степенями свободы (<math> n = 3</math>):

:: Плотность вероятности: <math>f(t) = \frac{6\sqrt{3}}{\pi\left(3+t^2\right)^2}</math>

* Распределение Стьюдента с бесконечным числом степеней свободы (<math> n = \infty</math>):

:: Плотность вероятности <math>f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}}</math>
совпадает с плотностью вероятности стандартного нормального распределения.

== Свойства распределения Стьюдента ==
* Распределение Стьюдента симметрично. В частности если <math>t \sim \mathrm{t}(n)</math>, то <math>- t \sim \mathrm{t}(n)</math>.
* Существуют только моменты порядка <math>k < n</math>, и не существуют моменты порядка <math>k \ge n</math>. При этом все существующие моменты нечетного порядка равны нулю.
:: <math>\mathbb{E}\left[t^k\right] = 0</math>, если <math>k</math> [[Чётные и нечётные числа|нечётно]];
:: <math>\mathbb{E}\left[t^k\right] = \frac{1}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{ n}{2}\right)}\left[\Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{ n-k}{2}\right) n^{\frac{k}{2}}\right] </math>, если <math>k</math> чётно. В частности,
* Математическое ожидание <math>\mathbb{E}[t] = 0</math>, если <math>n > 1 </math>.
* Дисперсия <math>\mathrm{D}[t] = {n \over n - 2}</math>, если <math>n > 2 </math>.

== Характеристики ==
Распределение Стьюдента с <math>k</math> степенями свободы может быть определено как распределение случайной величины <math>T</math><ref name=":1" /><ref>Hogg & Craig (1978, Sections 4.4 and 4.8.)</ref>

: <math>T=\frac{Z}{\sqrt{V/k}} = Z \sqrt{\frac{k}{V}} </math>,

где
* <math>Z</math> — случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение <math>\mathcal{N}(0,1)</math>;
* <math>V</math> — случайная величина, имеющая распределение хи-квадрат с <math>k</math> степенями свободы;
* ''<math>Z</math>'' и <math>V</math> — [[независимые случайные величины ]].
Пусть, <math>X_1, \ldots, X_n</math>, независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение <math>\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math>,

<math>\overline{X}_n = \frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)</math> — выборочное среднее,

: <math>S_n^{\;2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}_n\right)^2</math> — несмещённая оценка дисперсии.

Тогда случайная величина

: <math>V = (n-1)\frac{S_n^2}{\sigma^2}</math>

имеет распределение хи-квадрат с <math> k = n-1</math> степенями свободы<ref>{{Статья|автор=W. G. Cochran|заглавие=The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance|ссылка=http://journals.cambridge.org/article_S0305004100016595|издание=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|год=1934-04-01|том=30|выпуск=02|страницы=178—191|issn=1469-8064|doi=10.1017/S0305004100016595}}</ref>.

Случайная величина <math>Z = \left(\overline{X}_n-\mu\right)\frac{\sqrt{n}}{\sigma}</math> имеет стандартное нормальное распределение, <math>Z \sim \mathcal{N}(0,1)</math>, так как выборочное среднее <math>\overline{X}_n</math> имеет нормальное распределение <math>\mathcal{N}(\mu, \frac{\sigma^2}{n})</math>. Более того, можно показать, что эти две случайные величины (нормальная <math>Z</math> и хи-квадрат <math>V</math>) независимы.

Подставим получившиеся величины в величину

: <math>T \equiv \frac{Z}{\sqrt{V/k}} = \left(\overline{X}_n-\mu\right)\frac{\sqrt{n}}{S_n}</math>,

которая имеет распределение Стьюдента и отличается от <math>Z</math> тем, что стандартное отклонение <math>\sigma </math> заменено случайной величиной <math>S_n</math>, . Заметим, что неизвестная дисперсия <math>\sigma^2</math> не появляется в <math>T</math>, так как она была и в числителе, и в знаменателе. Госсет интуитивно получил плотность вероятности, установленную выше, где <math>k</math> соответствует <math>n-1</math>; Фишер доказал это в 1925 году<ref name=":0" />.

Распределение статистики критерия <math>T</math>, зависит от <math>k</math>, но не зависит от μ или σ<sup>2</sup>, что и делает распределение важным как в теории, так и на практике.

== Как возникает ''t''-распределение ==

=== Выборочная дисперсия ===
Распределение Стьюдента возникает в связи с распределением [[Выборочная дисперсия|выборочной дисперсии]].
Пусть <math>X_1,\ldots, X_n</math> независимые случайные величины, такие что <math>X_i \sim \mathrm{N}(\mu, \sigma^2),\; i=1,\ldots, n</math>. Обозначим <math>\bar{X}</math> [[выборочное среднее]] этой выборки, а <math>S^2</math> её [[Выборочная дисперсия|выборочную дисперсию]]. Тогда
: <math>\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim \mathrm{t}(n-1)</math>.

С этим фактом связано использование распределения Стьюдента в [[Статистика|статистике]] для [[Точечная оценка|точечного оценивания]], построения [[Доверительный интервал|доверительных интервалов]] и [[Статистическая гипотеза|тестирования гипотез]], касающихся неизвестного [[Математическое ожидание|среднего]] [[Выборка|выборки]] из нормального распределения.

=== Байесовская статистика ===
В байесовской статистике, нецентральное ''t''-распределение встречается как маргинальное распределение коэффициента <math>m</math> нормального распределения <math>\mathcal{N}(m, \sigma^2)</math>.

Зависимость неизвестной дисперсии выражается через:

: <math>\begin{align}
p(\mu\mid D, I) = & \int p(\mu,\sigma^2\mid D, I) \; d \sigma^2 = \int p(\mu\mid D, \sigma^2, I) \; p(\sigma^2\mid D, I) \; d \sigma^2
\end{align}</math>

где <math>D</math> — это данные {''x''<sub>i</sub>}, а <math>I</math> представляет собой любую другую информацию, которая могла быть использована для создания модели.

Когда данные [[Априорная вероятность Джеффриса|неинформативны]] из [[теорема Байеса|теоремы Байеса]] следует

: <math>\begin{align}
p(\mu\mid D, \sigma^2, I) \sim & N(\bar{x}, \frac{\sigma^2}{n})
\end{align}</math>
: <math>\begin{align}
p(\sigma^2 \mid  D, I) \sim & \operatorname{Scale-inv-\chi^2}( n, s^2)
\end{align}</math>

нормальное распределение и масштабированное обратное хи-квадрат распределение, где

: <math>s^2 = \sum \frac{(x_i - \bar{x})^2}{n-1}</math>.

Маргинализованный интеграл в таком случае имеет вид

: <math>\begin{align}
p(\mu|D, I) &\propto \int_0^{\infty} \frac{1}{\sqrt{\sigma^2}} \exp \left(-\frac{1}{2\sigma^2} n(\mu - \bar{x})^2\right) \;\cdot\; \sigma^{- n-2}\exp(- n s^2/2 \sigma^2) \; d\sigma^2 \\
&\propto \int_0^{\infty} \sigma^{- n-3} \exp \left(-\frac{1}{2 \sigma^2} \left(n(\mu - \bar{x})^2 +  n s^2\right) \right)  \; d\sigma^2
\end{align}</math>

после замены <math>z = A / 2\sigma^2</math>, где <math>A = n(\mu - \bar{x})^2 +  n s^2</math>,

получим <math>dz = -\frac{A}{2 \sigma^4} d \sigma^2</math>

и оценку <math>p(\mu|D, I) \propto \; A^{-\frac{ n + 1}{2}} \int_0^\infty z^{( n-1)/2} \exp(-z) \, dz </math>

<math>\int_0^\infty z^{( n-1)/2} \exp(-z) \, dz</math> теперь стандартный Гамма интеграл, который оценивается константой

<math>\begin{align}p(\mu\mid D, I) \propto & \; A^{-\frac{ n + 1}{2}}
\propto & \left( 1 + \frac{n(\mu - \bar{x})^2}{ n s^2} \right)^{-\frac{ n + 1}{2}} \end{align}</math>

это нестандартизированное t-распределение. 

С помощью замены <math>t = \frac{\mu - \bar{x}}{s / \sqrt{n}}</math> получаем стандартизированное t-распределение. 

Дифференцирование выше было представлено для случая неинформативной априорной вероятности для <math>\scriptstyle{\mu}</math> и <math>\scriptstyle{\sigma^2}</math>; но очевидно, что любая априорная вероятность, ведет к смешению нормального распределения и масштабированного обратного хи-квадрат распределение, что нецентральному ''t''-распределению с масштабированием и смещением на <math>\scriptstyle{P(\mu|D,I)}</math>, параметр масштабирования <math>\scriptstyle{\frac{S^2}{n}}</math> будет в находиться под влиянием априорной информации и данных, а не только данных, как в примере выше.

== Обобщения распределения Стьюдента ==

=== Нестандартизированное распределение Стьюдента ===
Распределение Стьюдента можно обобщить до семейства функций с тремя параметрами, включающими [[коэффициент сдвига]] <math>\mu</math> и [[коэффициент масштаба]] <math>\sigma</math>, через отношение
: <math>X = \mu + \sigma T</math>
или
: <math>T  = \frac{X - \mu}{ \sigma} </math>,
где <math>\frac{x - \mu}{ \sigma} </math> классическое распределение Стьюдента с <math> n </math> степенями свободы.

Плотность нестандартизированного распределения Стьюдента представляет собой репараметризованное распределение Пирсона типа VII и определяется следующим выражением<ref name=":2">{{Книга|автор=Simon Jackman|заглавие=Bayesian Analysis for the Social Sciences|ссылка=https://archive.org/details/bayesianmodeling00jack|ответственный=|издание=Wiley|место=|издательство=|год=2009|страницы=[https://archive.org/details/bayesianmodeling00jack/page/n542 507]|страниц=|isbn=}}</ref>
: <math>p(x\mid  n,\mu,\sigma) = \frac{\Gamma(\frac{ n + 1}{2})}{\Gamma(\frac{ n}{2})\sqrt{\pi n}\sigma} \left(1+\frac{1}{ n}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)^{-\frac{ n+1}{2}} </math>
Здесь <math>\sigma</math> не является стандартным отклонением, как в нормальном распределении, это, вообще говоря, другой параметр масштаба. Однако при <math>n \to \infty</math> плотность распределения Пирсона типа VII стремится к плотности [[Нормальное распределение|нормального распределения]] со стандартным отклонением <math>\sigma</math>.

В байесовском выводе предельное распределение неизвестного среднего значения <math>\mu</math> выше чем <math>\sigma</math>, и соответствует <math>\scriptstyle{s/\sqrt{n}}</math>, где

: <math>s^2 = \sum \frac{(x_i - \bar{x})^2}{n-1}.</math>

<math>\operatorname{E}(X) = \mu</math> для <math> n > 1</math>,

<math>\text{var}(X) = \sigma^2\frac{ n}{ n-2}</math> для <math> n > 2</math>

<math>\text{mode}(X) = \mu.</math>

Такое распределение является результатом комбинации [[Распределение Гаусса|распределения Гаусса]] (нормального распределения) со средним значением <math>\mu</math> и неизвестной дисперсией, с обратным гамма-распределением, с дисперсией, имеющей параметры <math>a =  n/2</math> и <math>b =  n\sigma^2/2</math>. Другими словами, предполагается, что случайная величина X обладает нормальным распределением с неизвестной дисперсией, распределенной как обратная гамма, а затем дисперсия исключается. Такое свойство полезно из-за того, что обратное гамма-распределение — это сопряженное априорное распределение дисперсии распределения Гаусса, именно поэтому нестандартизированное распределение Стьюдента естественным образом возникает во многих байесовских задачах. 

Эквивалентно, это распределение является результатом комбинации распределения Гаусса с масштабированным обратным хи-квадрат распределением с параметрами <math> n</math> and <math>\sigma^2</math>. Масштабированное обратное хи-квадрат распределение — точно то же самое распределение, что и обратное гамма-распределение, но с другой параметризацией, а именно <math> n = 2a, \sigma^2 = b/a</math>.

Альтернативная параметризация на основании обратного параметра масштабирования λ<ref>{{Книга|автор=Bishop C.M.|заглавие=Pattern recognition and machine learning|ответственный=|издание=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|место=|издательство=|год=2006|страницы=|страниц=|isbn=}}</ref> (аналогично тому, как мера точности обратна дисперсии), определенная отношением <math>\lambda = \frac{1}{\sigma^2}</math>,

тогда плотность определяется как
: <math>p(x| n,\mu,\lambda) = \frac{\Gamma(\frac{ n + 1}{2})}{\Gamma(\frac{ n}{2})} \left(\frac{\lambda}{\pi n}\right)^{\frac{1}{2}} \left(1+\frac{\lambda(x-\mu)^2}{ n}\right)^{-\frac{ n+1}{2}}.</math>
Свойства:

<math>\operatorname{E}(X) = \mu</math> для <math> n > 1</math>,

<math>\text{var}(X) = \frac{1}{\lambda}\frac{ n}{ n-2}</math> для <math> n > 2</math>

<math>\text{mode}(X) = \mu.</math>

Это распределение является результатом комбинации распределения Гаусса со средним <math>\mu</math> и неизвестной мерой точности (обратной дисперсии), с гамма-распределением с параметрами <math>a =  n/2</math> and <math>b =  n/(2\lambda)</math>. Другими словами, предполагается, что случайная величина ''X'' обладает нормальным распределением с неизвестной гамма-распределённой мерой точности.

=== Нецентральное распределение Стьюдента ===
Нецентральное распределение Стьюдента, это один способов обобщения стандартного распределения Стьюдента, включающий дополнительный коэффициент сдвига (параметр нецентральности) <math>\mu</math>.

<math>(Z+\mu)\sqrt{\frac{ n}{V}}.</math>

В нецентральном распределении Стьюдента медиана не совпадает с модой, то есть оно не симметрично (в отличие от нестандартизированного).

Это распределение важно для изучения статистической мощности t-критерия Стьюдента.

=== Дискретное распределение Стьюдента ===
Дискретное распределение Стьюдента имеет следующую функцию распределения с ''r'' пропорциональным:<ref>Ord, J.K. (1972) ''Families of Frequency Distributions'', Griffin. ISBN 0-85264-137-0 (Table 5.1)</ref>
: <math> \prod_{j=1}^k \frac{1}{(r+j+a)^2+b^2}  \quad \quad r=\ldots, -1, 0, 1, \ldots  .</math>
Где ''a'', ''b'', и ''k'' — параметры. Такое распределение возникает при работе с системами из дискретных распределений, таких как [[распределение Пирсона]].<ref>Ord, J.K. (1972) ''Families of Frequency Distributions'', Griffin. ISBN 0-85264-137-0 (Chapter 5)</ref>

== Связь с другими распределениями ==
:* Распределение Стьюдента является [[распределение Пирсона|распределением Пирсона]] типа VII{{sfn|Королюк|с=134|1985}}.
:* Распределение Стьюдента с одной степенью свободы (<math> n = 1</math>) это стандартное [[распределение Коши]]: <math>\mathrm{t}(1) \equiv \mathrm{C}(0,1) </math>.
:* Распределение Стьюдента [[Сходимость по распределению|сходится]] к стандартному нормальному при <math>n \to \infty</math>. Пусть дана последовательность случайных величин <math>\{t_n\}_{n=1}^{\infty}</math>, где <math>t_n \sim \mathrm{t}(n),\; n \in \mathbb{N}</math>. Тогда: <math>t_n \to \mathcal{N}(0,1)</math> по распределению при <math>n \to \infty</math>.
:* Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, также имеет [[распределение Фишера]]. Пусть <math>t \sim \mathrm{t}(n)</math>. Тогда: <math>t^2 \sim \mathrm{F}(1,n)</math>.

==== Обобщение распределения Гаусса ====
Мы можем получить выборку с t-распределением, взяв отношение величин из нормального распределения и квадратный корень из распределения хи-квадрат.

где <math>X_0,X_1,\ldots, X_n</math> — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что <math>X_i \sim \mathcal{N}(0,1),\; i=0,\ldots, n</math>

<math>t = \frac{X_0}{\sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i^2}}.</math>

Если мы вместо нормального распределения, возьмём например, [[:en:Irwin–Hall distribution|Ирвин-Холл]], получится симметричное распределение с 4 параметрами, которое включает в себя нормальное, равномерное, треугольное, а также распределения Стьюдента и Коши; таким образом, это обобщение более гибкое, чем многие другие симметричные обобщения распределения Гаусса.

== Применение распределения Стьюдента ==

=== Проверка гипотезы ===
Некоторые статистики могут иметь распределение Стьюдента на выборках небольшого размера, поэтому распределение Стьюдента формирует основу критериев значимости. Например, тест ранговой корреляции Спирмена ''ρ'', в нулевом случае (нулевая корреляция) хорошо аппроксимируется распределением Стьюдента при размере выборки больше 20.

=== Построение доверительного интервала ===
 
Распределение Стьюдента может быть использовано для оценки того, насколько вероятно, что истинное среднее находится в каком-либо заданном диапазоне.

Предположим, что число A выбрано так, что

<math>\Pr(-A < T < A)=0.9</math>.

Тогда T имеет t-распределение с ''n''-1 степенями свободы. В силу симметрии распределения, это равноценно утверждению, что ''А'' удовлетворяет

<math>\Pr(T < A) = 0.95,</math> или <math>A=t_{(0.05,n-1)}</math>, тогда

<math>\Pr \left (-A < \frac{\overline{X}_n - \mu}{\frac{S_n}{\sqrt{n}}} < A \right)=0.9,</math>

что эквивалентно

<math>\Pr\left(\overline{X}_n - A \frac{S_n}{\sqrt{n}} < \mu < \overline{X}_n + A\frac{S_n}{\sqrt{n}}\right) = 0.9.</math>

таким образом, интервал с [[Доверительный предел|доверительным пределом]] в точках <math>\overline{X}_n\pm A\frac{S_n}{\sqrt{n}}</math> — это 90 % доверительный интервал для μ. Следовательно, если мы находим среднее множества наблюдений (нормально распределённых), мы можем использовать распределение Стьюдента, чтобы определить, включают ли доверительные пределы по этому среднему какое-либо теоретически предсказанное значение, например, значение, предсказанное, исходя из нулевой гипотезы.

Такой подход применяется в [[T-Критерий Стьюдента|t-критерии Стьюдента]]: если разность между средними значениями выборок из двух нормальных распределений сама может быть нормально распределена, распределение Стьюдента может быть использовано для исследования того, можно ли с большой долей вероятности полагать эту разность равной нулю.

Для нормально распределённых выборок односторонний (1−''a'') верхний доверительный предел (UCL) среднего значения равен

<math>\mathrm{UCL}_{1-a} = \overline{X}_n + t_{a,n-1}\frac{S_n}{\sqrt{n}}</math>.

Полученный в результате верхний доверительный предел будет наибольшим средним значением для данного доверительного интервала и размера выборки. Другими словами, если <math>\overline{X}_n</math> среднее значение множества наблюдений, вероятность того, что среднее значение распределения уступает <math>\mathrm{UCL}_{1-n}</math> равна уровню значимости 1-''a.''

=== Построение интервала-предиктора ===
Распределение Стьюдента может быть использовано для получения интервала-предиктора для ненаблюдаемой выборки из нормального распределения с неизвестным средним и дисперсией.

=== В байесовской статистике ===
Распределение Стьюдента, особенно нецентральное, часто возникает в байесовской статистике как результат связи с нормальным распределением.

Действительно, если нам неизвестна дисперсия нормально распределенной случайной величины, но известно сопряженное априорное распределение, можно будет подобрать такое гамма-распределение, что полученные в результате величины будут обладать распределением Стьюдента.

Эквивалентные конструкции с теми же результатами включают сопряжённое масштабированное обратное хи-квадратное распределение. Если некорректное априорное распределение, пропорциональное <math>\sigma^2</math>, расположено над дисперсией, то также возникает распределение Стьюдента. Это происходит независимо от того, известно ли среднее нормально распределенной величины, распределённое с сопряжённым априорным распределением, или нет.

=== Параметрическое моделирование, устойчивое к нарушениям исходных предпосылок ===
Распределение Стьюдента часто используется в качестве альтернативы нормальному распределению для модели данных.<ref>{{Статья|автор=Kenneth L. Lange, Roderick J. A. Little, Jeremy M. G. Taylor|заглавие=Robust Statistical Modeling Using the t Distribution|ссылка=https://dx.doi.org/10.1080/01621459.1989.10478852|издание=[[Journal of the American Statistical Association]]|год=1989-12-01|том=84|выпуск=408|страницы=881—896|issn=0162-1459|doi=10.1080/01621459.1989.10478852}}</ref> Это происходит из-за того, что довольно часто настоящие данные имеют более тяжелые хвосты, чем позволяет нормальное распределение. Классический подход заключается в определении выбросов и их исключении (или понижении их веса). Однако не всегда легко определить выброс (особенно в задачах с [[Проклятие размерности|большой размерностью]]), и распределение Стьюдента является естественным выбором, обеспечивающим параметрический подход к [[Робастная статистика|робастной статистике]].

Ланж и другие исследовали использование распределения Стьюдента для робастного (устойчивого к нарушениям исходных предпосылок) моделирования данных. Байесовский расчет обнаруживается у Гельмана и др.

Количество степеней свободы контролирует эксцесс распределения и коррелируется с параметром масштабирования.

== Некоторые другие свойства распределения Стьюдента ==
Пусть, <math>A(t| n)</math> — интеграл функции плотности вероятности Стьюдента, 
<math>F(t)</math> — вероятность того, что значение ''t'', меньше, чем значение, рассчитанное по данным наблюдений. 

Функция <math>A(t| n)</math> может быть использована для тестировании того, является ли разница между средними значениями двух наборов данных взятых из одной совокупности, статистически значимой, это достигается путём вычисления соответствующего значения t и вероятности его возникновения. 

Это используется например, в [[T-Критерий Стьюдента|T-критерии Стьюдента]]. Для ''t''-распределения с <math> n</math> степенями свободы, <math>A(t| n)</math> — вероятность того, что t будет меньше наблюдаемого значения, если два средних значения были одинаковыми. Его можно легко вычислить из кумулятивной функции распределения <math>F_{ n}(t)</math> распределения Стьюдента: 
: <math>A(t| n) = F_ n(t) - F_ n(-t) = 1 - I_{\frac{ n}{ n +t^2}}\left(\frac{ n}{2},\frac{1}{2}\right),</math>
где ''I<sub>x</sub>'' — регуляризированная [[Неполная бета-функция|неполная бета функция]] (a, b). 

При статистической проверки гипотез эта функция используется для построения [[P-значение|р-значения]].

=== Выборка по методу Монте-Карло ===
Есть разные подходы к получению случайных величин из распределения Стьюдента. Всё зависит от того, требуются независимые выборки, или они могут быть построены путём применения обратной функции распределения над выборкой с однородным распределением.

В случае с независимой выборкой легко применить расширение [[Преобразование Бокса — Мюллера|метода Бокса-Мюллера]] в его полярной (тригонометрической) форме<ref name=autogenerated1>{{статья|автор=Ralph W. Bailey|заглавие=Polar Generation of Random Variates with the t-Distribution|jstor=2153537|издание=Mathematics of Computation|год=1994-01-01|том=62|выпуск=206|страницы=779—781|doi=10.2307/2153537|archivedate=2016-04-03|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160403180601/http://www.jstor.org/stable/2153537}}</ref>. Преимущество этого метода в том, что он одинаково относится ко всем положительным степеням свободы <math> n</math>, в то время как многие другие методы не будут работать, если <math> n</math> близка к нулю.<ref name=autogenerated1 />

=== Плотность распределения Стьюдента через решение дифференциального уравнения ===
Плотность распределения Стьюдента можно получить, решив следующее [[дифференциальное уравнение]]:

<math>\left\{\begin{array}{l}
\left( n+x^2\right) f'(x)+( n +1) x f(x)=0, \\
f(1)=\frac{ n^{ n/2}
  ( n +1)^{-\frac{ n}{2}-\frac{1}{2}}}{B\left(\frac{ n}{2}, \frac{1}{2}\right)}
\end{array}\right\}</math>

== Процентили ==
{{main|Процентили распределения Стьюдента}}

== Таблицы значений ==
Многие учебники по статистике включают в себя таблицы распределения Стьюдента.

В наши дни лучший способ узнать полностью точное критическое значение t или кумулятивную вероятность — это использование статистической функции, встроенной в электронные таблицы (Office Excel, OpenOffice Calc и т. д.), или интерактивного веб-калькулятора. Нужные функции электронных таблиц — TDIST и TINV.

Таблица ниже включает в себя значения некоторых значений для распределений Стьюдента с v степенями свободы для ряда ''односторонних'' или ''двусторонних'' критических областей.

В качестве примера того, как читать эту таблицу, возьмём четвёртый ряд, который начинается с 4; это означает, что v, количество степеней свободы, равно 4 (и если мы работаем, как это показано выше, с ''n'' величин с фиксированной суммой, то ''n'' = 5). Возьмём пятое значение в колонке 95 % для ''односторонних''(90 % для ''двусторонних''). Значение это равно «2.132». Значит, вероятность, что T меньше 2.132 равна 95 % или Pr(−∞ <''T''< 2.132) = 0.95; это также означает, что Pr(−2.132 <''T''< 2.132) = 0.9.

Это может быть вычислено по симметрии распределения,
: Pr(''T'' < −2.132) = 1 − Pr(''T'' > −2.132) = 1 − 0.95 = 0.05,
получаем
: Pr(−2.132 < ''T'' < 2.132) = 1 − 2(0.05) = 0.9.

'''Обратите внимание''', что последний ряд также даёт критические точки: распределение Стьюдента с бесконечным количеством степеней — это нормальное распределение.

Первая колонка отображает число степеней свободы.
{| class="wikitable"
!односторонний
!'''75 %'''
!'''80 %'''
!'''85 %'''
!'''90 %'''
!'''95 %'''
!'''97.5 %'''
!'''99 %'''
!'''99.5 %'''
!'''99.75 %'''
!'''99.9 %'''
!'''99.95 %'''
|-
!двусторонний
!'''50 %'''
!'''60 %'''
!'''70 %'''
!'''80 %'''
!'''90 %'''
!'''95 %'''
!'''98 %'''
!'''99 %'''
!'''99.5 %'''
!'''99.8 %'''
!'''99.9 %'''
|-
!'''1'''
|1.000
|1.376
|1.963
|3.078
|6.314
|12.71
|31.82
|63.66
|127.3
|318.3
|636.6
|-
!'''2'''
|0.816
|1.080
|1.386
|1.886
|2.920
|4.303
|6.965
|9.925
|14.09
|22.33
|31.60
|-
!'''3'''
|0.765
|0.978
|1.250
|1.638
|2.353
|3.182
|4.541
|5.841
|7.453
|10.21
|12.92
|-
!'''4'''
|0.741
|0.941
|1.190
|1.533
|2.132
|2.776
|3.747
|4.604
|5.598
|7.173
|8.610
|-
!'''5'''
|0.727
|0.920
|1.156
|1.476
|2.015
|2.571
|3.365
|4.032
|4.773
|5.893
|6.869
|-
!'''6'''
|0.718
|0.906
|1.134
|1.440
|1.943
|2.447
|3.143
|3.707
|4.317
|5.208
|5.959
|-
!'''7'''
|0.711
|0.896
|1.119
|1.415
|1.895
|2.365
|2.998
|3.499
|4.029
|4.785
|5.408
|-
!'''8'''
|0.706
|0.889
|1.108
|1.397
|1.860
|2.306
|2.896
|3.355
|3.833
|4.501
|5.041
|-
!'''9'''
|0.703
|0.883
|1.100
|1.383
|1.833
|2.262
|2.821
|3.250
|3.690
|4.297
|4.781
|-
!'''10'''
|0.700
|0.879
|1.093
|1.372
|1.812
|2.228
|2.764
|3.169
|3.581
|4.144
|4.587
|-
!'''11'''
|0.697
|0.876
|1.088
|1.363
|1.796
|2.201
|2.718
|3.106
|3.497
|4.025
|4.437
|-
!'''12'''
|0.695
|0.873
|1.083
|1.356
|1.782
|2.179
|2.681
|3.055
|3.428
|3.930
|4.318
|-
!'''13'''
|0.694
|0.870
|1.079
|1.350
|1.771
|2.160
|2.650
|3.012
|3.372
|3.852
|4.221
|-
!'''14'''
|0.692
|0.868
|1.076
|1.345
|1.761
|2.145
|2.624
|2.977
|3.326
|3.787
|4.140
|-
!'''15'''
|0.691
|0.866
|1.074
|1.341
|1.753
|2.131
|2.602
|2.947
|3.286
|3.733
|4.073
|-
!'''16'''
|0.690
|0.865
|1.071
|1.337
|1.746
|2.120
|2.583
|2.921
|3.252
|3.686
|4.015
|-
!'''17'''
|0.689
|0.863
|1.069
|1.333
|1.740
|2.110
|2.567
|2.898
|3.222
|3.646
|3.965
|-
!'''18'''
|0.688
|0.862
|1.067
|1.330
|1.734
|2.101
|2.552
|2.878
|3.197
|3.610
|3.922
|-
!'''19'''
|0.688
|0.861
|1.066
|1.328
|1.729
|2.093
|2.539
|2.861
|3.174
|3.579
|3.883
|-
!'''20'''
|0.687
|0.860
|1.064
|1.325
|1.725
|2.086
|2.528
|2.845
|3.153
|3.552
|3.850
|-
!'''21'''
|0.686
|0.859
|1.063
|1.323
|1.721
|2.080
|2.518
|2.831
|3.135
|3.527
|3.819
|-
!'''22'''
|0.686
|0.858
|1.061
|1.321
|1.717
|2.074
|2.508
|2.819
|3.119
|3.505
|3.792
|-
!'''23'''
|0.685
|0.858
|1.060
|1.319
|1.714
|2.069
|2.500
|2.807
|3.104
|3.485
|3.767
|-
!'''24'''
|0.685
|0.857
|1.059
|1.318
|1.711
|2.064
|2.492
|2.797
|3.091
|3.467
|3.745
|-
!'''25'''
|0.684
|0.856
|1.058
|1.316
|1.708
|2.060
|2.485
|2.787
|3.078
|3.450
|3.725
|-
!'''26'''
|0.684
|0.856
|1.058
|1.315
|1.706
|2.056
|2.479
|2.779
|3.067
|3.435
|3.707
|-
!'''27'''
|0.684
|0.855
|1.057
|1.314
|1.703
|2.052
|2.473
|2.771
|3.057
|3.421
|3.690
|-
!'''28'''
|0.683
|0.855
|1.056
|1.313
|1.701
|2.048
|2.467
|2.763
|3.047
|3.408
|3.674
|-
!'''29'''
|0.683
|0.854
|1.055
|1.311
|1.699
|2.045
|2.462
|2.756
|3.038
|3.396
|3.659
|-
!'''30'''
|0.683
|0.854
|1.055
|1.310
|1.697
|2.042
|2.457
|2.750
|3.030
|3.385
|3.646
|-
!'''40'''
|0.681
|0.851
|1.050
|1.303
|1.684
|2.021
|2.423
|2.704
|2.971
|3.307
|3.551
|-
!'''50'''
|0.679
|0.849
|1.047
|1.299
|1.676
|2.009
|2.403
|2.678
|2.937
|3.261
|3.496
|-
!'''60'''
|0.679
|0.848
|1.045
|1.296
|1.671
|2.000
|2.390
|2.660
|2.915
|3.232
|3.460
|-
!'''80'''
|0.678
|0.846
|1.043
|1.292
|1.664
|1.990
|2.374
|2.639
|2.887
|3.195
|3.416
|-
!'''100'''
|0.677
|0.845
|1.042
|1.290
|1.660
|1.984
|2.364
|2.626
|2.871
|3.174
|3.390
|-
!'''120'''
|0.677
|0.845
|1.041
|1.289
|1.658
|1.980
|2.358
|2.617
|2.860
|3.160
|3.373
|-
!∞
|0.674
|0.842
|1.036
|1.282
|1.645
|1.960
|2.326
|2.576
|2.807
|3.090
|3.291
|}
Например, если нам дана выборка с выборочной дисперсией 2 и выборочным средним 10, взятая из выборочного набора 11 (10 степеней свободы), используя формулу

<math>\overline{X}_n\pm A\frac{S_n}{\sqrt{n}}.</math>

Мы можем определить с 90 % уровнем доверия, что истинное среднее таково:

<math>10+1.37218 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}=10.58510,</math>

(то есть, в среднем, в 90 % случаев верхний предел превышает истинное среднее)

и, всё также с 90 % уверенностью, мы находим истинное среднее значение, превышающее

<math>10-1.37218 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}=9.41490.</math>

(В среднем, в 90 % случаев нижний предел меньше истинного среднего)

Так что с 80 % уверенностью (1-2*(1-90 %) = 80 %), мы находим истинное значение, лежащее в интервале

<math>\left(10-1.37218 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}, 10+1.37218 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}\right) = \left(9.41490, 10.58510\right). </math>

Другими словами, в 80 % случаев истинное среднее ниже верхнего предела и выше нижнего предела.

Это не эквивалентно утверждению, что с 80 % вероятностью истинное среднее лежит между определенной парой верхних и нижних пределов.

== Обобщение ==
Обобщением распределения Стьюдента является [[обобщённое гиперболическое распределение]].

== Примечания ==
{{Примечания|refs=
<ref name=HFR1>Helmert, F. R. (1875). "Über die Bestimmung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler". ''Z. Math. Phys.'', 20, 300–3.</ref>
<ref name=HFR2>Helmert, F. R. (1876a). "Über die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler und uber einige damit in Zusammenhang stehende Fragen". ''Z. Math. Phys.'', 21, 192–218.</ref>
<ref name=HFR3>Helmert, F. R. (1876b). "Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers directer Beobachtungen gleicher Genauigkeit", ''Astron. Nachr.'', 88, 113–32.</ref>
<ref name=L1876>{{статья |doi=10.1002/asna.18760871402 |заглавие=Vergleichung von zwei Werten des wahrscheinlichen Fehlers |издание=[[Astronomische Nachrichten|Astron. Nachr.]] |том=87 |страницы=209—220 |номер=14 |bibcode=1876AN.....87..209L |язык=de |тип=magazin |автор=Lüroth, J. |год=1876}}</ref>
}}

== Литература ==
* {{книга | автор = [[Королюк, Владимир Семёнович|Королюк В. С.]], [[Портенко, Николай Иванович|Портенко Н. И.]], [[Скороход, Анатолий Владимирович|Скороход А. В.]], [[Турбин, Анатолий Федорович|Турбин А. Ф.]] | заглавие = Справочник по теории вероятностей и математической статистике | место = М. | издательство = Наука | год = 1985 | страниц = 640 | ref = Королюк}}

{{внешние ссылки}}
{{Список вероятностных распределений}}

[[Категория:Непрерывные распределения]]
[[Категория:Распределения вероятностей|*]]