Просмотр кода страницы Ренормализационная группа

'''Метод ренормализационной группы''' ('''методом ренормгруппы'''{{sfn|Боголюбов, Ширков|1984|с=3}}, '''методом РГ'''{{sfn|Боголюбов, Ширков|1984|с=3}}) в [[квантовая теория поля|квантовой теории поля]] — [[итератив]]ный метод [[перенормировка (метод)|перенормировки]], в котором переход от областей с меньшей [[Энергия|энергией]] к областям с большей вызван изменением масштаба рассмотрения системы. В теоретической физике '''метод ренормализационной группы''' относится к математическому аппарату, который позволяет систематическое исследование изменений физической системы при рассмотрении системы на разных пространственных масштабах. В [[физика элементарных частиц|физике элементарных частиц]] он отражает зависимость законов взаимодействия от масштаба энергий, при которых физические процессы начинают меняться.

Изменение масштаба называется «масштабным преобразованием», или [[скейлинг]]ом. Ренормгруппа тесно связана с «[[Масштабная инвариантность|масштабной инвариантностью]]» и «конформной инвариантностью» [[Симметрия|симметрии]], в которой система выглядит одинаково на всех уровнях (так называемое [[самоподобие]]). Масштабные преобразования включены в группу конформных преобразований в целом: последние включают дополнительные [[Генераторы группы|генераторы]], связанные с симметрией специальных конформных преобразований.

При изменении масштаба меняется и сила взаимодействия, как если бы менялось увеличение условного микроскопа, под которым рассматривается система. В так называемых перенормируемых теориях система при одном масштабе, как правило, будет выглядеть составленной из самоподобных копий, если смотреть в меньшем масштабе, с другими параметрами, описывающими компоненты системы. Компоненты, или основные переменные, могут быть связаны с [[атом]]ами, [[Элементарная частица|элементарными частицами]], атомными спинами и т. д. Параметры теории описывают взаимодействие компонентов. Это может быть переменные параметры связи, от которых зависит влияние различных сил или масс. Сами компоненты системы, может оказаться, состоят из подобных компонентов, но меньшего размера.

Например, в [[квантовая электродинамика|квантовой электродинамике]] (КЭД) представляется, что [[электрон]] состоит из электронов, [[позитрон]]ов и [[фотон]]ов, если рассматривать его с более высоким разрешением, на очень коротких расстояниях. Электрон на таких малых расстояниях имеет несколько иной электрический заряд, чем «одетый электрон» на больших расстояниях, и это изменение электрического заряда определяется уравнением ренормгруппы.

Сформировалось{{Нет АИ|5|2|2025}} два различных подхода к методу ренормгруппы:

* Подход [[Вильсон, Кеннет|Вильсона]]: Ренормгруппа не является [[Группа (математика)|группой]] в строгом математическом смысле, так как отсутствует обратный элемент относительно групповой операции ренормировки. Система рассматривается как состоящая из таких же систем меньшего размера, что, однако, не означает, что начальная «большая» система получена при смешивании «малых» — при рассмотрении систем многих тел в первую очередь представляют интерес усреднённые величины. При усреднении информация, связанная со взаимодействием подсистем, теряется.
* Подход [[Боголюбов, Николай Николаевич|Боголюбова]]: Ренормгруппа полностью соответствует [[Группа (математика)|группе]] в строгом смысле.

Эти подходы различаются последовательностью действий: в подходе Вильсона входящие в [[действие (физическая величина)|действие]] величины ренормируются и сразу же усредняются, а в подходе Боголюбова сначала ищутся функции Грина, которые затем ренормируются.

== История ==
Идея ренормгруппы была первоначально разработана в [[Физика элементарных частиц|физике элементарных частиц]], но в настоящее время она получила распространение в [[Физика твёрдого тела|физике твёрдого тела]], [[Гидродинамика|гидродинамике]], [[Космология|космологии]]{{sfn|Боголюбов, Ширков|1984|с=3}} и даже в [[эконометрика|эконометрике]]{{Нет АИ|5|2|2025}}. Первая работа по этой теме была написана [[Штюкельберг, Эрнст|Штюкельбергом]] и Петерманом в 1953 году. Они заметили, что перенормировка образует группу преобразований{{sfn|Боголюбов, Ширков|1984|с=6}}. Они ввели функцию {{math|''h''(''e'')}} в квантовой электродинамике, которая сейчас называется [[бета-функция|бета-функцией]].

[[Гелл-Ман, Марри|Мюррей Гелл-Ман]] и {{iw|Лоу, Френсис|Френсис Лоу|en|Francis E. Low}} в 1954 году заинтересовались идеей масштабных преобразований в квантовой электродинамике, которые являются физически наиболее значимыми, и сосредоточились на [[Асимптотика|асимптотике]] [[пропагатор]]а [[фотон]]а при высоких энергиях. Они определили вариации [[электромагнитное взаимодействие|электромагнитного взаимодействия]] в квантовой электродинамике, оценив простоту масштабирования структуры этой теории. Таким образом, они обнаружили, что параметр связи {{math|''g''(''μ'')}} при энергетическом масштабе μ описывается групповым уравнением

: <math>g(\mu) = G^{-1}\Big((\mu/M)^d G\big(g(M)\big)\Big)</math>

для некоторой скейлинговой функции {{math|''G''}} и константы {{math|''d''}} в терминах параметра связи {{math|''g''(''M'')}}, зависящего от опорного масштаба {{math|''М''}}.

Гелл-Ман и Лоу показали в этих результатах, что эффективный масштаб {{math|''μ''}} может быть выбран произвольно и может варьироваться для определения теории на любом другом масштабе:

: <math>g(\varkappa) = G^{-1}\Big((\varkappa/\mu)^d G\big(g(\mu)\big)\Big) = G^{-1}\Big((\varkappa/M)^d G\big(g(M)\big)\Big).</math>

Суть РГ состоит в групповом свойстве: в зависимости от масштаба {{math|''μ''}} теория представляется самоподобной, и ''теория для любого масштаба может быть получена аналогично из теории на любом другом'' при помощи группового преобразования.

Бета-функция была введена [[Каллан, Кёртис|К. Калланом]] и {{iw|Симанзик, Курт|К. Симанзиком||Kurt Symanzik}} в начале 1970-х годов{{Нет АИ|5|2|2025}}. Поскольку бета-функция является простой функцией {{math|''g''}}, интегрирование по {{math|''g''}} возмущённой бета-функции позволяет подробно описать ренормализационную траекторию параметра связи, то есть её изменение при изменении энергии равносильно рассмотрению эффективной функции {{math|''G''}} в этом приближении возмущения. Предсказания теории ренормгруппы (работы Штюкельберг, Петерман и Гелл-Ман, Лоу{{Нет АИ|5|2|2025}}) были подтверждены 40 годами позже, в экспериментах на [[LEP]]: [[постоянная тонкой структуры]] КЭД была равной примерно 1/127 при энергиях вблизи 200 ГэВ, в отличие от значения физики низких энергий, равного 1/137{{Нет АИ|5|2|2025}}. (Ранние применения к квантовой электродинамике обсуждались в основополагающей книге [[Боголюбов, Николай Николаевич|Николая Боголюбова]] и [[Ширков, Дмитрий Васильевич|Дмитрия Ширкова]] 1959 года).

Ренормгруппа получается при перенормировке переменных квантового поля, которая, как правило{{Нет АИ|5|2|2025}}, снимает проблему расходимостей в квантовой теории поля (хотя РГ существует независимо от расходимостей). Эта проблема систематического ухода от бесконечностей в квантовой теории поля для получения конечных физических величин решалась для КЭД [[Фейнман, Ричард Филлипс|Фейнманом]], [[Швингер, Джулиан|Швингером]] и [[Томонага, Синъитиро|Томонагой]]{{Нет АИ|5|2|2025}}, которые получили в [[Список лауреатов Нобелевской премии по физике#1960-е годы|1965 году Нобелевскую премию]] за вклад в квантовую теорию поля. Они разработали теорию перенормировки массы и заряда, в которой бесконечность в импульсном представлении переносится на большой регуляризатор {{math|''Λ''}} (который в конечном счёте можно считать бесконечным — бесконечность отражает накопление вкладов от бесконечного количества степеней свободы в бесконечно большом энергетическом масштабе). Зависимость физических величин, таких как электрический заряд или масса электрона, скрыта на масштабе {{math|''Λ''}}, который заменяется на масштаб больших расстояний, в которых физические величины измеримы, и, как следствие, все наблюдаемые величины конечны даже для бесконечного {{math|''Λ''}}. Гелл-Ман и Лоу показали, что малое изменение {{math|''g''}}, обеспеченное приведённым выше уравнением РГ, даётся функцией {{math|''ψ''(''g'')}}; самоподобие выражается в том, что {{math|''ψ''(''g'')}} явно зависит только от параметров теории, а не от масштаба {{math|''μ''}}. Следовательно, приведённое выше уравнение РГ может быть решено для {{math|''g''(''μ'')}}.

Более глубокое понимание физического смысла и обобщения метода ренормализации, который выходит за рамки расширения группы обычных перенормируемых теорий, пришло из физики конденсированных сред. [[Каданов, Лео|Лео Каданов]] в статье 1966 года предложил ренормгруппу «блок-спина»{{Нет АИ|5|2|2025}}. Идея разбиения на блоки — это способ для определения компонентов теории на больших расстояниях как совокупности компонентов на малых расстояниях.

Этот подход был использован для решения давней проблемы Кондо{{Нет АИ|5|2|2025}} и описания переходов второго рода Кеннетом Уильсоном{{Нет АИ|5|2|2025}}. Он был удостоен [[Список лауреатов Нобелевской премии мира#1980-е годы|Нобелевской премии 1982 года]] за «теорию критических явлений в связи с фазовыми переходами».

Между тем, РГ в физике элементарных частиц была переформулирована К. Калланом и К. Симанзиком в 1970 году{{Нет АИ|5|2|2025}}. Упомянутая выше бета-функция, которая описывает бегущие константы связи с изменением параметра масштаба, как оказалась, также равна значению «канонической аномалии следа», который представляет собой квантово-механического нарушение симметрии масштаба в теории поля. Приложения РГ для физики элементарных частиц привело в 1970-х годах к созданию Стандартной модели.

В 1973 году было обнаружено, что теория взаимодействующих цветных [[кварк]]ов, названная [[квантовая хромодинамика|квантовой хромодинамикой]], имела ''отрицательную бета-функцию{{Нет АИ|5|2|2025}}''. Это означает, что начальное значение высокоэнергетического параметра связи будет приводить к появлению особой точки {{math|''μ''}}, в которой параметр связи резко возрастает (расходится). Это особое значение является масштабом сильного взаимодействия, {{math|''μ'' {{=}} ''Λ''}} КХД и происходит при энергии около 200 МэВ. И наоборот, связь становится слабой при очень высоких энергиях (асимптотической свободы), а кварки становятся наблюдаемыми как точечные частицы. Тем самым, КХД была получена как квантовая теория поля, описывающая сильное взаимодействие частиц.

РГ в импульсном пространстве также стала{{Нет АИ|5|2|2025}} высокоразвитым инструментом в физике твёрдого тела, но её успеху помешало широкое использование теории возмущений, что не позволило{{Нет АИ|5|2|2025}} достичь успеха в теории сильно коррелированных систем. Для того, чтобы изучать сильно коррелированне системы, вариационный принцип оказался лучшей альтернативой{{Нет АИ|5|2|2025}}. В 1980-х годах некоторые техники РГ были разработаны для применения в вещественном пространстве, наиболее успешным оказался метод ренормгруппы матрицы плотности (DMRG), разработанный [[:en:Steven R. White|С. Р. Уайтом]] и [[Р. М. Ноак]]ом в 1992 году{{Нет АИ|5|2|2025}}.

Конформная симметрия связана с исчезновением бета-функции. Это может произойти, если константа связи притягивается к неподвижной точке, на которой {{math|''β''(''g'') {{=}} 0}}. В КХД неподвижная точка появляется на малых расстояниях, где {{math|''g''}} → 0, и называется (тривиальной) ультрафиолетовой неподвижной точкой. Для тяжелых кварков, например, [[топ-кварк]]а, было подсчитано, что связь с дающим массу [[бозон Хиггса|бозоном Хиггса]] стремится к фиксированной ненулевой инфракрасной неподвижной точке{{Нет АИ|5|2|2025}}.

== Пример расчёта по схеме Вильсона ==
{{нет источников в разделе|дата=2020-03-15}}
Рассмотрим теорию <math>\phi^4</math> в [[Евклидово пространство|евклидовом ''d''-мерном пространстве]]. Для функций и их [[Преобразование Фурье|фурье-образов]] далее используются одни и те же обозначения, изменяется только аргумент функции: ''x'' — для координатного представления, ''p'' — для импульсного. При взятии интегралов используется координатное представление. [[Лагранжиан]] в этой теории записывается как

: <math>\mathcal{L}(\phi) = \frac{m^2}{2} \phi^2 + \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)^2 + \frac{\lambda}{4!} \phi^4.</math>

[[Статистическая сумма]] в этом случае представляется в виде [[Функциональный интеграл|функционального интеграла]]

: <math>Z = \int \mathcal{D}\phi \exp\left[-\int d^{(d)}x \left(\frac{m^2}{2} \phi^2 + \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)^2 + \frac{\lambda}{4!} \phi^4\right) \right].</math>

В [[Перенормировка (метод)|перенормируемой]] квантовой теории на процессы с энергией ~ ''M'' степени свободы с энергией <math>\Lambda \gg M</math> влияют лишь косвенно: через перенормировку констант теории. Поэтому целесообразно «обрезать» импульс некоторым значением <math>\Lambda</math>:

: <math>[D \phi]_\Lambda = \prod_{|p|<\Lambda} d\phi(p)</math>.

Тогда регуляризованная статсумма запишется в виде

: <math>Z = \int \left[\mathcal{D}\phi \right]_\Lambda \exp\left[-\int d^{(d)}x \left(\frac{m^2}{2} \phi^2 + \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)^2 + \frac{\lambda}{4!} \phi^4\right) \right].</math>

Переменные интегрирования возможно разделить на две группы (<math>0 < b < 1</math>):

: <math>\hat{\phi}(p) = \begin{cases}
  \phi(p), & b \Lambda \leqslant |p| < \Lambda, \\
  0, & |p| < b \Lambda.
\end{cases}</math>

: <math>\phi(p) = \begin{cases}
  0, & b \Lambda \leqslant |p| < \Lambda, \\
  \phi(p), & |p| < b \Lambda.
\end{cases}</math>

Затем они подставляются в выражение для регуляризованной статсуммы:

: <math>Z = \int \left[\mathcal{D}\phi \right]_{b \Lambda} \int \mathcal{D}\hat{\phi} \exp\left[-\int d^{(d)}x \left(\frac{m^2}{2} (\phi + \hat{\phi})^2 + \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi + \partial_\mu \hat{\phi})^2 + \frac{\lambda}{4!} (\phi + \hat{\phi})^4\right) \right].</math>

При раскрытии скобок и перегруппировке слагаемых вклады от <math>\phi \hat{\phi}</math> исчезают вследствие свойств преобразований Фурье (прежде, чем брать интеграл действия, стоит перейти в импульсное пространство) и определения функций <math>\phi</math> и <math>\hat{\phi}</math> в импульсном виде.

: <math>Z = \int \left[\mathcal{D}\phi \right]_{b \Lambda} e^{-\int d^{(d)}x \mathcal{L}(\phi)} \int \mathcal{D}\hat{\phi} \exp\left[-\int d^{(d)}x \left(\frac{m^2}{2} \hat{\phi}^2 + \frac{1}{2} (\partial_\mu \hat{\phi})^2 + \lambda (\frac{1}{6}\phi^3 \hat{\phi} + \frac{1}{4}\phi^2 \hat{\phi}^2 + \frac{1}{6}\phi \hat{\phi}^3 + \frac{1}{4!} \hat{\phi}^4)\right) \right].</math>

Здесь лагранжиан <math>\mathcal{L}(\phi)</math> имеет тот же вид, что и начальный лагранжиан. Интегрирование по полю <math>\hat{\phi}</math> даёт:

: <math>Z = \int \left[ \mathcal{D}\phi \right]_{b \Lambda} \exp{\left[ -\int d^{(d)}x \mathcal{L}_\text{eff}(\phi) \right]},</math>

где <math>\mathcal{L}_\text{eff}(\phi)</math> отличается от <math>\mathcal{L}(\phi)</math> на поправки, пропорциональные степеням <math>\lambda, \phi</math> и их производных. Поправки могут быть представлены в диаграммной форме. Получившееся эффективное действие <math>\int d^{(d)}x \mathcal{L}_\text{eff}(\phi)</math> исследуется методом ренормгруппы. Для этого изменяется масштаб расстояний и импульсов по правилу <math>x' = b x,\ p'= p/b,\ |p| < \Lambda</math>.

: <math>\int d^{(d)}x \mathcal{L}_\text{eff}(\phi) = \int d^{(d)}x' b^{-d} \left[\frac{1}{2}(1 + \Delta Z) b^2(\partial'_\mu \phi)^2 + \frac{1}{2}(m^2 + \Delta m^2) \phi^2 + \frac{1}{4!}(\lambda + \Delta \lambda)\phi^4 + \Delta B b^4 (\partial'_\mu \phi)^4 + \Delta C \phi^6 + \ldots \right].</math>

При следующих заменах действие принимает изначальный вид:

: <math>\phi' = [b^{(2-d)}(1 + \Delta Z)]^{1/2} \cdot \phi,</math>
: <math>m'^2 = (1 + \Delta Z)^{-1}(m^2 + \Delta m^2)b^{-2},</math>
: <math>\lambda' = (1 + \Delta Z)^{-2}(\lambda + \Delta\lambda)b^{d-4},</math>
: <math>B' = (1 + \Delta Z)^{-2}(B + \Delta B)b^{d},</math>
: <math>C' = (1 + \Delta Z)^{-3}(C + \Delta C)b^{2d-6}.</math>

Следовательно

: <math>\int d^{(d)}x \mathcal{L}_\text{eff}(\phi) = \int d^{(d)}x' \left[\frac{1}{2}(\partial'_\mu \phi')^2 + \frac{1}{2}m'^2 \phi'^2 + \frac{1}{4!}\lambda' \phi^4 + \Delta B (\partial'_\mu \phi')^4 + \Delta C' \phi'^6 + \ldots \right].</math>

Таким образом зависимость от размерности была перенесена на параметры модели. В малой окрестности неподвижной точки можно пренебречь приращениями параметров <math>\Delta m^2, \Delta Z, \Delta \lambda</math>. В статистической физике это соответствует рассмотрению динамики системы вблизи критической точки.

: <math>m'^2 = m^2 b^{-2},\ \lambda' = \lambda b^{d-4},\ B' = B b^d,\ C' = C b^{2d-6}.</math>

Так как <math>b < 1</math>, то параметры, которые умножаются на отрицательные степени <math>b</math>, растут, и наоборот.
* Параметры модели, которые повышаются при описанной процедуре, называются ''существенными''.
* Параметры модели, которые понижаются при описанной процедуре, называются ''несущественными''.
* Параметры модели, которые не изменяются при описанной процедуре, называются ''маргинальными''.

Последние два параметра являются несущественными, и теория <math>\phi^4</math> при <math>d = 4</math> является перенормируемой. Эта картина справедлива до тех пор, пока массовый оператор не становится преобладающим.

== Ренормализационная группа в [[физика твердого тела|физике твердого тела]] ==
{{Нет источников в разделе|дата=2025-02-05}}
В физике твёрдого тела ренормализационная группа используется для построения математических моделей фазовых переходов{{Нет АИ|5|2|2025}}.

Разложим в [[ряд Тейлора]] приращение энергии в зависимости от локальной намагниченности <math>\Delta E = a \bar{m^2} + b \bar{m^4}</math>. В критической области коэффициент <math>b</math> играет важную роль, поскольку <math>a</math> стремится к нулю. Локальная намагниченность раскладывается в ряд Фурье как сумма бесконечного числа синусоидальных волн с различными волновыми векторами и частотами. Кванты волн намагниченности называются [[флуктуон]]ами. Подобно квантам световых волн [[фотон]]ам, флуктуоны обладают энергией <math>\omega</math> и импульсом <math>\hbar \bar{k}</math>. Флуктуоны в ферромагнетике взаимодействуют, рассеиваясь друг на друге. Процессы рассеяния флуктуонов удобно вычислять при помощи [[Диаграммы Фейнмана|диаграмм Фейнмана]]. На этих диаграммах линиям соответствуют движущиеся частицы (флуктуоны), а точкам — их столкновения. Реальная сила взаимодействия флуктуаций называется эффективной константой связи <math>g</math>. Разрезаем диаграмму Фейнмана процессов рассеяния два в два на том месте, где проходят две промежуточные частицы. Рассмотрим справа все возможные блоки, изображающие процессы рассеяния два в два. После суммирования правую часть представляет сумма с бесконечным числом членов, которые представляют константу <math>g</math>. Рассмотрим слева все возможные блоки, изображающие процессы рассеяния два в два. После суммирования левую часть представляет сумма с бесконечным числом членов, которые представляют константу <math>g</math>. В результате вместо бесконечного набора слагаемых, каждое из которых зависит от константы связи <math>b</math>, приходим к одному члену, зависящему от константы <math>g</math>. Такая процедура замены одной константы связи на другую называется перенормировкой. Метод ренормализационной группы позволяет объяснить независимость вида критических асимптотик от материала и физической природы фазового перехода.

== Ренормализационная группа в статистической физике ==
{{нет источников в разделе|дата=2020-03-15}}
Метод ренормгруппы является общепризнанным инструментом для изучения фазовых переходов второго рода и критических явлений{{Нет АИ|5|2|2025}}.

К задачам статистической физики относятся задачи с бесконечным числом степеней свободы. К примеру: задачи теории критического поведения или стохастической динамики с зависящими от времени классическими случайными полями. Соответственно, система задаётся бесконечным семейством функций Грина. Точного решения таких задач, как правило, не существует. Поэтому приходится говорить об асимптотиках в областях. Техника РГ как раз будет показывать существование соответствующего скейлинга. И если он существует, то мы получим явные формулы для расчёта критических индексов через <math>\varepsilon</math>-разложение (<math>d = 4 -\varepsilon</math>). Критические индексы описывают аномалии различных термодинамических характеристик системы во флуктуационной области, то есть в окрестности точки фазового перехода.

То есть техника РГ — это метод расчёта асимптотики функции Грина в области больших (УФ) и малых (ИК) импульсов. Мы рассматриваем нетривиальную асимптотику: существуют члены ряда теории возмущений с особенностью по импульсам. Тем самым, в таких случаях нам недостаточно просуммировать кусок ряда. Необходимо суммировать весь ряд. Такие операции выполняются с помощью РГ-техники. В результате получим линейное дифференциальное уравнение в частных производных для функции Грина. Но, как сказано ранее, у нас есть две области. И полученное решение верно только в одной из них. Как нам найти эту область применимости? Рассмотрим <math>\beta</math>-функцию — коэффициент при производной <math>\partial_g</math> в РГ операторе. Она обычно имеет вид

: <math>\beta(g) = \alpha g + \beta g^2 + \gamma g^3 + \delta g^4 + \epsilon g^5 + \phi g^6 \ldots,</math>

: <math>\beta(g^*) = 0 \quad\Rightarrow\quad g^*</math> — фиксированная точка.

Всегда существует тривиальное решение <math>g^* = 0</math>. Тем самым в зависимости от поведения функции <math>\beta(g)</math> в окрестности <math>g^* = 0</math> различаются УФ-притягивающая и ИК-притягивающая фиксированные точки.

Так же стоит упомянуть об универсальности и гипотезе подобия.
# Системы принадлежат к одному классу, если для этих систем совпадают критические индексы и нормированные скейлинговые функции. К примеру системы «переход газ — жидкость» и «ферромагнетики» относятся к одному классу.
# Гипотеза подобия состоит в том, что асимптотики интересующих нас термодинамических функций в окрестности критической точки обладают свойством однородности.

Рассмотрим схему РГ-анализа для любой модели.

Задача РГ-анализа состоит в том, чтобы обосновать критический скейлинг и рассчитать критические индексы. Интересны результаты, которые не зависят от произвола конечной ренормировки. Далее мы как раз рассмотрим схему расчёта.

# Определение размерностей всех величин в функционале действия и отбрасывание ИК-несущественные по сравнению с главным взаимодействием.
# Определение расходимостей диаграмм всех 1-неприводимых функций (при <math>d = d^*</math>) и структур необходимых контрчленов.
# Получение уравнений РГ для ренормированных объектов и формул, выражающих РГ-функции через константы ренормировки <math>Z</math>.
# Расчёт по диаграммам констант ренормировки <math>Z</math> в форме начальных отрезков рядов по заряду <math>g</math>.
# Расчёт РГ-функций <math>\beta</math> и <math>\gamma</math> в форме начальных отрезков рядов по ''g'' по формулам, которые выражают их через <math>Z</math>. <math>\beta</math> — функции всех зарядов, <math>\gamma</math> — аномальные размерности.
# Расчёт по <math>\beta</math>-функциям координат фиксированных точек <math>g^*</math> и соответствующих индексов <math>\omega</math> в форме начальных отрезков ε-разложения. Если среди точек <math>g^*</math> нет ИК-устойчивых, то критического скейлинга не будет. Если такие точки есть, то делаем следующий шаг.
# Для каждой <math>g^*</math> вычисляются <math>\gamma(g^*)</math> и соответствующие критические индексы. В сложных моделях удаётся вычислить 1—2 порядка <math>\varepsilon</math>-разложения индексов и понять общую картину поведения фазовых траекторий.
# Вычисление начальных отрезков <math>\varepsilon</math>-разложения различных скейлинговых функций.
# Анализ их особенностей вне рамок <math>\varepsilon</math>-разложения с помощью техники РГ и операторного разложения Вильсона.
# Анализ ренормировки и вычисления критических размерностей различных систем составных операторов.

== См. также ==
* [[Квантовополевая теория возмущений в статистической физике]]
* [[Уравнение Гелл-Манна — Лоу]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В.|заглавие=Квантовые поля|издание=3-е изд.|город=М.|издательство = Физматлит|год=2005|страниц=384|isbn = 5-9221-0580-9|ref = Боголюбов и Ширков}}
* {{книга|автор=Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В.|заглавие=Введение в теорию квантованных полей|город=М.|издательство=Наука|год=1984|страниц=600|ref = Боголюбов и Ширков}}
* {{книга|автор= [[Васильев, Александр Николаевич (физик, СПбГУ)|Васильев А. Н.]]|заглавие= Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике|место= {{СПб.}}|издательство= Издательство ПИЯФ|год= 1998|страниц=774|isbn= 5-86763-122-2|ref=Васильев}}
* {{статья|автор=[[Боголюбов, Николай Николаевич|Боголюбов Н. Н.]], [[Ширков, Дмитрий Васильевич|Ширков Д. В.]]|заглавие =  Ренормгруппа? Это очень просто |издание = [[Природа (журнал)|Природа]]|год = 1984|месяц = 06 |номер = 8|страницы = 3—13|ref=Боголюбов, Ширков}}

== Ссылки ==
* [http://xstructure.inr.ac.ru/x-bin/theme2.py?arxiv=hep-th&level=2&index1=7 Ренормализационная группа] на [http://arxiv.org arxiv.org]
* ''Вергелес С. Н.'' Лекции по квантовой электродинамике. — {{М.}}: Физматлит, 2006. — ISBN 5-9221-0634-1
* [[Ширков, Дмитрий Васильевич|Shirkov D. V.]] [http://arxiv.org/abs/hep-th/9602024 The Bogoliubov Renormalization Group.]{{en icon}}.
* ''Соколов А. И.'' [http://stat.phys.spbu.ru/Metod/Sok.pdf Критические флуктуации и ренормализационная группа] // [[Соросовский образовательный журнал]], 2000, № 12. — С. 98.
* ''Соколов А. И.'' [https://lns.pnpi.spb.ru/media/fks2011/Sokolov.pdf Ренормализационная группа в теории фазовых переходов] // Школа ПИЯФ ФКС-2011

{{стиль статьи|дата=2013-10-14}}

[[Категория:Квантовая теория поля]]
[[Категория:Теоретическая физика]]
[[Категория:Ренормализационная группа| ]]