Просмотр кода страницы Решение Керра — Ньюмена

{{ОТО}}
'''Реше́ние Ке́рра — Нью́мена''' — [[точное решение уравнений Эйнштейна|точное решение]] [[уравнения Эйнштейна|уравнений Эйнштейна]], описывающее невозмущённую [[электрический заряд|электрически заряженную]] вращающуюся [[чёрная дыра|чёрную дыру]] без космологического члена. Астрофизическая значимость решения неясна, так как предполагается, что встречающиеся в природе [[коллапсар]]ы не могут быть существенно электрически заряжены.

== Форма решения и его свойства ==

Трёхпараметрическое семейство Керра — Ньюмена — наиболее общее решение, соответствующее конечному состоянию равновесия не возмущаемой внешними полями чёрной дыры (согласно [[#Теоремы об «отсутствии волос»|теоремам об «отсутствии волос»]] для известных [[Поле (физика)|физических полей]]). В координатах Бойера — Линдквиста (Boyer — Lindquist) метрика Керра — Ньюмена даётся выражением:{{sfn|Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация, Т. 3|1977|loc=Дополнение 33.2. ГЕОМЕТРИЯ КЕРРА — НЬЮМАНА И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ, c. 88}}
: <math>ds^2 = -\left(1-{2\,Mr-Q^2\over\Sigma}\right)\,dt^2-2(2\,Mr-Q^2)a{\sin^2\theta\over\Sigma}\,dt\,d\varphi\,+</math>
:: <math>+\left(r^2+a^2+{(2\,Mr-Q^2)a^2\sin^2\theta\over\Sigma}\right)\sin^2\theta\,{d\varphi^2}+{\Sigma\over\Delta}\,dr^2+{\Sigma\,{d\theta^2}},</math>
где <math> \Sigma \equiv r^2 + a^2 \cos^2\theta</math>; <math>\Delta \equiv r^2 - 2 Mr + a^2 + Q^2</math> и <math>a \equiv L/M</math>, где <math>L</math> — [[Угловой_момент|момент импульса]], нормированный на скорость света, а <math>Q</math> — аналогично нормированный заряд.

Из этой простой формулы легко вытекает, что [[горизонт событий]] находится на радиусе: <math>r_+ = M + \sqrt{M^2 - Q^2 - a^2}</math>, и следовательно параметры чёрной дыры не могут быть произвольными: [[электрический заряд]] и [[угловой момент]] не могут быть больше значений, соответствующих исчезновению горизонта событий. Должны выполняться следующие ограничения:
: <math>a^2 + Q^2 \leqslant M^2</math> — это '''ограничение для ЧД Керра — Ньюмена'''.

Если эти ограничения нарушатся, горизонт событий исчезнет, и решение вместо чёрной дыры будет описывать так называемую [[Голая сингулярность|«голую» сингулярность]], но такие объекты, согласно распространённым убеждениям, в реальной Вселенной существовать не должны (согласно пока не доказанному, но правдоподобному [[Принцип космической цензуры|принципу космической цензуры]]). Альтернативно, под горизонтом может находиться источник сколлапсировавшей материи, которая закрывает сингулярность, и поэтому внешнее решение Керра или Керра — Ньюмена должно быть непрерывно состыковано с внутренним решением уравнений Эйнштейна с тензором энергии-импульса этой материи. Сингулярность исчезает вместе с ограничением на параметры ЧД решения Керра-Ньюмена.

Ещё в 1970 году В. Израэль рассмотрел источник решения Керра — Ньюмена в виде вращающегося диска, закрывающего этот ход. Это направление было развито К. Лопезом (C. L`opez), показавшим, что керровская сингулярность может быть закрыта вращающейся оболочкой (bubble), и в этом случае ограничение на параметры решения Керра — Ньюмена не действует. Более того, как заметил Б. Картер (1968), решение Керра — Ньюмена обладает таким же гиромагнитным отношением, как у электрона согласно уравнению Дирака. История этого направления для решения Керра — Ньюмена излагается в работе [https://arxiv.org/abs/0910.5388 <nowiki>arXiv:0910.5388[hep-th]</nowiki>].

Метрику Керра — Ньюмена (и просто Керра, но не Шварцшильда) можно аналитически продолжить через горизонт таким образом, чтобы соединить в чёрной дыре бесконечно много «независимых» пространств. Это могут быть как «другие» вселенные, так и удалённые части нашей Вселенной. В таким образом полученных пространствах есть замкнутые времениподобные кривые: путешественник может, в принципе, попасть в своё прошлое, то есть встретиться с самим собой. Вокруг горизонта событий вращающейся чёрной дыры также существует область, называемая [[эргосфера|эргосферой]], практически эквивалентная эргосфере из решения Керра; находящийся там стационарный наблюдатель обязан вращаться с положительной угловой скоростью (в сторону вращения чёрной дыры).

== Координаты Керра — Шильда ==

Наиболее простое выражение решения Керра и Керра — Ньюмена принимают в форме Керра — Шильда (КШ)<ref name="ksch">{{статья
|автор = Debney G. C., Kerr R. P. and Schild A.
|заглавие = Solutions of the Einstein and Einstein-Maxwell Equations
|издание = [[Journal of Mathematical Physics]]
|год = 1969
|том = 10
|страницы = 1842—1854
|doi = 10.1063/1.1664769
|ссылка = http://adsabs.harvard.edu/abs/1969JMP....10.1842D
|язык = en
|archivedate = 2017-09-01
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20170901024642/http://adsabs.harvard.edu/abs/1969JMP....10.1842D
}}</ref>, в которой метрика имеет вид

: <math>  g_{\mu \nu} =\eta_{\mu \nu} + 2H k_\mu k_\nu  </math>,

где <math>  \eta_{\mu \nu} </math> является метрикой вспомогательного пространства Минковского с декартовыми координатами <math> x= x^\mu (x)= (t,x,y,z) </math>.

В этой форме <math>  k^\mu (x) </math> является векторным полем светоподобных направлений. Часто говорят «нулевых» направлений, поскольку <math>  k_\mu k^\mu = g_{\mu \nu} k^\mu k^\nu =0 </math>. Заметим, что специфическая структура формы метрики КШ гарантирует, что поле <math>  k^\mu (x) </math> является также нулевым относительно вспомогательного плоского пространства, то есть <math> \eta_{\mu \nu} k^\mu k^\nu =0 </math> .

Функция H имеет вид

: <math> H =\frac {Mr - |Q|^2/2}
{r^2+ a^2 \cos^2\theta} ,  </math>
 
где <math>  r, \theta </math> — это сплюснутые сфероидальные координаты Керра, которые определяются соотношением

: <math> x+iy = (r + ia) e^{i\phi} \sin \theta , \  z=r\cos \theta . </math>

и переходят вдали от ЧД в обычные сферические координаты.
В этих координатах компоненты вектора <math> k_\alpha </math> определяются из дифференциальной формы

: <math> k_\alpha dx^\alpha = dr - dt - a \sin ^2 \theta d\phi </math>

путём сравнения коэффициентов перед дифференциалами. Это один из примеров вычисления с применением очень удобного аппарата внешних форм, который и был использован Керром для получения решения в первой и последующих работах.

В действительности, Керровская угловая координата <math> \phi </math> очень необычна, и простая форма КШ связана с тем, что вся сложность решения скрыта в форме векторного поля <math>  k^\mu (x) </math>, которое представляет собой вихревой светоподобный поток, образующий так называемую Главную Нулевую Конгруэнцию (ГНК).
В декартовых координатах компоненты векторного поля <math> k_\mu </math> определяются формой

: <math>  k_\mu dx^\mu = - dt +\frac z r dz + \frac r {r^2 +a^2} (xdx+ydy) - \frac a {r^2 +a^2} (xdy-ydx)  </math>.

В теории КШ для определения этого поля используются также «нулевые» (световые) декартовы координаты

<math>  u=(z-t)/\sqrt {2},\quad v=(z+t)/\sqrt {2},\quad  \zeta=(x+iy)/\sqrt {2},\quad \bar\zeta=(x-iy)/\sqrt {2} </math>,

в которых конгруэнция имеет компоненты, определяемые дифференциальной формой

: <math> k_\mu^{(\pm)} dx^\mu = P^{-1}(du +\bar Y^\pm d\zeta + Y^\pm d\bar\zeta - Y^\pm \bar Y^{(\pm)} dv)  </math>.

Это выражение определяется комплексной функцией <math> Y (x) </math>, которая имеет два решения <math>  Y^\pm (x) </math>, что даёт для векторного поля <math>  k^\mu (x) </math> две различные конгруэнции (ГНК). Таким образом, решение для вращающихся ЧД может быть записано в двух различных формах, которые базируются на «входящей в» ЧД или «исходящей из» ЧД конгруэнции, что соответствует так называемым алгебраически специальным решениям типа D (по [[классификация Петрова|классификации Петрова]]).

Представление в форме КШ обладает рядом преимуществ, так как конгруэнция, все координаты и форма решений для электромагнитного (ЭМ) поля и метрики оказываются жёстко связанными с координатами вспомогательного плоского пространства и не зависят от положения горизонта и границы эргосферы. Более того, решения КШ однозначно продолжаются аналитически через горизонт внутрь ЧД и далее на «отрицательный» лист — область отрицательных значений сплюснутой радиальной координаты <math> r </math>.

В координатах Керра <math>  \theta , \phi </math> функция <math>  Y (x) </math> имеет вид

: <math>  Y(x) = e^{i\phi} \tan \frac \theta 2 </math> .

Геометрически, она представляет собой проекцию небесной сферы с координатами <math>  \theta , \phi </math> на комплексную плоскость
<math> Y </math> , однако зависимость <math>  x \to Y(x) </math> очень нетривиальна и задаётся тесно связанной с [[твистор]]ами теоремой Керра. Фактически, ГНК формирует костяк решения Керра как вихрь твисторных лучей. Функция <math>  P </math> для покоящегося решения имеет вид

<math> P = \frac 1 {\sqrt 2} (1+ Y \bar Y ) </math>.

Подобно форме метрики КШ, все тензорные характеристики решения должны быть согласованными с векторным полем ГНК, и в частности, вектор-потенциал ЭМ поля решения Керра — Ньюмена выражается в виде

: <math> A^\mu = \Re e \frac {Q r}{r^2 + a^2 \cos ^2 \theta} k^\mu </math>.
 
Керровская сингулярность находится под горизонтом. Она связана с сингулярностью функции H и соответствует значениям <math>  r = 0 </math> и одновременно <math>  \theta = 0 </math>. Она представляет собой кольцо, открывающее проход к отрицательному листу геометрии Керра, <math>  r < 0 </math>, на котором значения массы и заряда, а также направления полей меняются на обратные. (Не путайте с максимальным аналитическим расширением решений через горизонт ЧД, описанным несколько ниже.) Этот второй лист («Алисово зазеркалье») долгое время был загадкой решения Керра.

== Литература ==
* {{книга
|автор          = Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер.
|заглавие       = Гравитация
|издательство   = Мир
|год            = 1977
|страниц        = 512
|том            = 3
|ref            = Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация, Т. 3
}}
* {{книга
 |автор          = [[Чандрасекар, Субраманьян|Субраманьян Чандрасекар]].
 |заглавие       = Математическая теория черных дыр. В 2-х томах
 |оригинал       = Mathematical theory of black holes
 |ссылка         = http://ivanik3.narod.ru/linksChandrasekhar.html
 |ответственный  = Перевод с английского к. ф.-м. н. В. А. Березина. Под ред. д. ф.-м. н. Д. А. Гальцова
 |место          = М.
 |издательство   = Мир
 |год            = 1986
}}
* {{книга
 |автор          = И. Д. Новиков, В. П. Фролов.
 |заглавие       = Физика черных дыр
 |место          = М.
 |издательство   = Наука
 |год            = 1986
 |страниц        = 328
 |ref            = И. Д. Новиков, В. П. Фролов. Физика черных дыр
}}

== Примечания ==
{{Примечания}}
{{Черные дыры}}

[[Категория:Решения уравнений Эйнштейна]]
[[Категория:Чёрные дыры]]
[[Категория:Метрические тензоры]]