Просмотр кода страницы Решётка E8

'''Решётка Е<sub>8</sub>''', или '''решётка Коркина — Золотарёва''', — [[Система корней|корневая]] [[Решётка (теория групп)|решётка]] [[E8 (математика)|группы Е<sub>8</sub>]]. 
Она реализует в размерности 8:
* Максимально возможное [[контактное число]];
* Плотнейшую [[Упаковка шаров|упаковку шаров]].
Обычно обозначается <math>E_8</math>, также как и [[группа E8|группa Е<sub>8</sub>]].

== История ==
Существование этой решётки было доказано {{не переведено|Смит, Генри (математик)|Смитом|en|Henry John Stephen Smith}} в 1867 году<ref name="Smith">{{статья |заглавие=On the orders and genera of quadratic forms containing more than three indeterminates |издание=[[Proceedings of the Royal Society]] |doi=10.1098/rspl.1867.0036 |том=16 |страницы=197—208 |язык=en |тип=journal |автор=Smith, H. J. S. |год=1867}}</ref>.
Первое явное построение было дано [[Коркин, Александр Николаевич|Коркиным]] и [[Золотарёв, Егор Иванович|Золотарёвым]] в 1873 году<ref>{{статья |заглавие=Sur les formes quadratique positives |издание=[[Mathematische Annalen]] |doi=10.1007/BF01442795 |том=6 |страницы=366—389 |язык=fr |автор=Korkine, A.; Zolotareff, G. |год=1877}}</ref>.

== Описание ==
Решётку Е<sub>8</sub> можно реализовать как дискретную подгруппу <math>\mathbb{R}^8</math> из векторов, обладающих следующим набором свойств:
* все координаты любой точки — либо [[Целое число|целые числа]], либо [[Полуцелое число|полуцелые числа]] (то есть целое число с половиной);
* сумма всех восьми координат представляет собой [[Чётные и нечётные числа|чётное целое число]].
Иначе говоря,
: <math>E_8 = \left\{(x_i) \in \mathbb Z^8 \cup (\mathbb Z + \tfrac{1}{2})^8 : {\textstyle\sum_i} x_i \equiv 0\;(\mbox{mod }2)\right\}.</math>
Нетрудно проверить, что сумма и разность любых двух векторов из E<sub>8</sub> содержится в E<sub>8</sub>, отсюда E<sub>8</sub> является подгруппой <math>\mathbb{R}^8</math>.

Решётку Е<sub>8</sub> можно также реализовать как множество всех точек в E'<sub>8</sub> в <math>\mathbb{R}^8</math> таких, что
* все координаты — целые числа с чётной суммой или
* все координаты — полуцелые с нечётной суммой.
Иначе говоря
: <math>E_8' = \left\{(x_i) \in \mathbb Z^8 \cup (\mathbb Z + \tfrac{1}{2})^8 : {{\textstyle\sum_i} x_i} \equiv 2x_1 \equiv 2x_2 \equiv 2x_3 \equiv 2x_4 \equiv 2x_5 \equiv 2x_6 \equiv 2x_7 \equiv 2x_8\;(\mbox{mod }2)\right\}.</math>
или
: <math>E_8' = \biggl\{(x_i) \in \mathbb Z^8 : {{\textstyle\sum_i} x_i} \equiv 0(\mbox{mod }2)\biggr\}
\cup 
\biggl\{(x_i) \in (\mathbb Z + \tfrac{1}{2})^8 : {{\textstyle\sum_i} x_i} \equiv 1(\mbox{mod }2)\biggr\}.</math>

Решётки E<sub>8</sub> и E'<sub>8</sub> [[Изоморфизм|изоморфны]], одну можно получить из другой, поменяв знак у одной из координат.

== Свойства ==

=== Характеризация ===

Решётку E<sub>8</sub> можно охарактеризовать как единственную решётку в <math>\mathbb{R}^8</math>, удовлетворяющую следующим свойствам:
* Это [[унимодулярная решётка]], то есть
** из её базиса можно составить матрицу <math>8\times 8</math> с [[Определитель|определителем]] ±1.
** Иначе говоря, объём [[Фундаментальная область|фундаментальной области]] этой решётки равен 1.
** Эквивалентно, E<sub>8</sub> является ''самодвойственной'', то есть она совпадает со своей [[Обратная решётка|обратной решёткой]].
* Эта решётка чётная, то есть норма любого её вектора — чётное целое число.
Чётные унимодулярные решётки существуют только в размерностях, кратных 8. В размерности 16 таких решёток две: E<sub>8</sub> ⊕ E<sub>8</sub> и D<sub>16</sub><sup>+</sup> (последняя строится аналогично E<sub>8</sub> в размерности 16). В размерности 24 существует 24 такие решётки, наиболее важной из них является [[решётка Лича]].

=== Базис ===

Один из возможных базисов для E<sub>8</sub> задаётся столбцами следующей [[Треугольная матрица|верхнетреугольной матрицы]]
: <math>\left[\begin{smallmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1/2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1/2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1/2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1/2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1  & 1/2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0  & 1/2
\end{smallmatrix}\right].</math>
То есть E<sub>8</sub> состоит из всех целых линейных комбинаций столбцов.
Все другие базисы получаются из одного умножением справа на матрицу из GL(8,'''Z''').

=== Минимальная норма ===

Кратчайший ненулевой вектор E<sub>8</sub> имеет норму 2, всего решётка содержит 240 таких векторов.
Эти вектора образуют корневую систему группы [[E8 (математика)|Е<sub>8</sub>]].
То есть решётка E<sub>8</sub> является корневой решёткой Е<sub>8</sub>.
Любой выбор из 8 [[Система корней|простых корней]] дает базис E<sub>8</sub>.

=== Фундаментальная область ===

[[Область Вороного|Областями Вороного]] решётки E<sub>8</sub> являются {{iw|5 21 соты|5 21 соты|en|5 21 honeycomb}}.

=== Группа симметрий ===
[[Группы симметрии|Группы симметрий]] решётки в '''R'''<sup>''n''</sup> определяется как подгруппа [[Ортогональная группа|ортогональной группы]] O(''n''), которая сохраняет решётку.
Группа симметрий решётки Е<sub>8</sub> порожденная [[Отражение (геометрия)|отражениями]] в гиперплоскостях, ортогональных 240 корням решётки.
Её [[Порядок элемента|порядок]] равен
: <math>|W(\mathrm{E}_8)| = 696729600 = 4!\cdot 6!\cdot 8!.</math>
Эта группа содержит подгруппу порядка 128·8!, состоящую из всех [[Перестановка|перестановок]] координат и чётного числа смен знаков. Полная группа симметрий порождается этой подгруппой и [[Блочная матрица|блочно-диагональной матрицей]] ''H''<sub>4</sub>⊕''H''<sub>4</sub> где ''H''<sub>4</sub> — [[Матрица Адамара|матрица Адамара<br>
]]
: <math>H_4 = \tfrac{1}{2}\left[\begin{smallmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\\
\end{smallmatrix}\right].</math>

=== Упаковка шаров ===

В [[Упаковка шаров|задаче упаковки шаров]] спрашивается, как наиболее плотным способом упаковать шары фиксированного радиуса в пространство без наложений.
В '''R'''<sup>8</sup> размещение шаров радиуса <math>1/\sqrt{2}</math> в точках решётки Е<sub>8</sub> даёт упаковку максимальной плотности, равной
: <math>\frac{\pi^4}{2^4 4!} \cong 0.25367.</math>
То, что эта плотность максимальна для решётчатых упаковок, было известно давно<ref>{{статья |заглавие=The minimum values of positive quadratic forms in six, seven and eight variables |издание={{Нп3|Mathematische Zeitschrift}} |doi=10.1007/BF01201341 |том=39 |страницы=1—15 |zbl=0009.24403 |язык=en |тип=journal |автор=Blichfeldt, H. F. |год=1935}}</ref>. Кроме того, было известно, что такая решётка единственна с точностью до подобия<ref>{{Cite conference|first=N. M.|last=Vetčinkin|title=Uniqueness of classes of positive quadratic forms on which values of the Hermite constant are attained for 6 &le; ''n'' &le; 8|book-title=Geometry of positive quadratic forms|publisher=Trudy Math. Inst. Steklov|volume=152|year=1980|pages=34–86}}</ref>. [[Вязовская, Марина Сергеевна|Марина Вязовская]] недавно доказала, что эта упаковка является оптимальной даже среди всех упаковок<ref name="quanta">{{Citation|last1=Klarreich|first1=Erica|authorlink1=|title=Sphere Packing Solved in Higher Dimensions|url=https://www.quantamagazine.org/20160330-sphere-packing-solved-in-higher-dimensions|magazine=Quanta Magazine|date=March 30, 2016|access-date=2016-05-24|archive-date=2017-03-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20170312181737/https://www.quantamagazine.org/20160330-sphere-packing-solved-in-higher-dimensions|url-status=dead}}</ref><ref>{{Cite arXiv|first1=Maryna|last1=Viazovska|authorlink1=|year=2016|title=The sphere packing problem in dimension 8|eprint=1603.04246}}</ref>.

Решение задачи упаковки шаров известно только в размерностях 1, 2, 3, 8, и 24.
Тот факт, что решения известны в размерностях 8 и 24, связан с особыми свойствами решётки Е<sub>8</sub> и её 24-мерного аналога [[Решётка Лича|решётки Лича]].

=== Контактное число ===

В [[Контактное число|задаче о контактном числе]] спрашивается, какое максимальное число шаров фиксированного радиуса может коснуться в центрального шара того же радиуса. В размерности 8 ответ — 240; такую конфигурацию можно получить, если разместить шары в точках решётки Е<sub>8</sub> с минимальной нормой. Это было доказано в 1979 году<ref>{{статья |заглавие=On bounds for packing in ''n''-dimensional Euclidean space |издание=[[Доклады Академии наук|Soviet Mathematics Doklady]] |том=20 |страницы=417—421 |язык=en |тип=journal |автор=Levenshtein, V. I. |год=1979}}</ref><ref>{{статья |заглавие=New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in ''n'' dimensions |издание=[[Journal of Combinatorial Theory]] |doi=10.1016/0097-3165(79)90074-8 |том=A26 |страницы=210—214 |zbl=0408.52007 |язык=en |тип=journal |автор={{Нп3|Odlyzko, A. M.|Odlyzko, A. M.||Andrew Odlyzko}}; [[Sloane, N. J. A.]] |год=1979}}</ref>.

Решение задачи о контактном числе известно только в размерностях 1, 2, 3, 4, 8, и 24.
Тот факт, что решения известны в размерностях 8 и 24, также связан с особыми свойствами решётки Е<sub>8</sub> и её 24-мерного аналога [[Решётка Лича|решётки Лича]].

=== Тэта-функция ===

[[Тэта-функция]] решётки Λ определяется как сумма
:<math>\Theta_\Lambda(\tau) = \sum_{x\in\Lambda}e^{i\pi\tau\|x\|^2}\qquad\mathrm{Im}\,\tau > 0.</math>
Она является [[Голоморфная функция|голоморфной функцией]] на верхней полуплоскости.
Кроме того, тэта-функция чётной унимодулярной решётки ранга ''n'' является [[Модулярная функция|модульной формой]] веса ''n''/2.

С точностью до нормализации, есть единственная модульная форма веса 4: это [[Ряды Эйзенштейна|ряд Эйзенштейна]] ''G''<sub>4</sub>(τ).
То есть тэта-функция решётки E<sub>8</sub> должна быть пропорциональна ''G''<sub>4</sub>(τ).
Это даёт
: <math>\Theta_{E_8}(\tau) = 1 + 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{2n}</math>
где σ<sub>3</sub>(''n'') является [[Функция делителей|функцией делителей]] и <math>q = e^{i\pi\tau}</math>.

Отсюда следует, что число векторов нормы 2''n'' в решётке Е<sub>8</sub> равно <math>240\cdot</math>(сумма кубов делителей ''n'').
Это {{OEIS|id=A004009}}:
: <math>\Theta_{E_8}(\tau) = 1 + 240\,q^2 + 2160\,q^4 + 6720\,q^6 + 17520\,q^8 + 30240\, q^{10} + 60480\,q^{12} + O(q^{14}).</math>
Тета-функция решётки Е<sub>8</sub> может быть записана в терминах тета-функций Якоби следующим образом:
: <math>\Theta_{E_8}(\tau) = \frac{1}{2}\left(\theta_2(q)^8 + \theta_3(q)^8 + \theta_4(q)^8\right)</math>
где
: <math>
\theta_2(q) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{(n+\frac{1}{2})^2}\qquad
\theta_3(q) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2}\qquad
\theta_4(q) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n q^{n^2}.
</math>

=== Код Хэмминга ===
[[Код Хэмминга]] ''H''(8,4) — это [[Линейный код|двоичный код]] длины 8 и 4-го ранга; то есть, это 4-мерное подпространство векторного пространства конечной ('''F'''<sub>2</sub>)<sup>8</sup>. Написание элементов ('''F'''<sub>2</sub>)<sup>8</sup> в качестве 8-разрядных целых чисел в [[Шестнадцатеричная система счисления|шестнадцатеричный]] код ''H''(8,4) может быть явно записано как
: {00, 0F, 33, 3C, 55, 5A, 66, 69, 96, 99, A5, AA, C3, CC, F0, FF}.
Код ''H''(8,4) является самодвойственным кодом типа II.
Он имеет минимальный вес Хэмминга 4; это означает, что любые два кодовые слова отличаются по крайней мере на 4 бита.
Для двоичных кодов 4-го ранга длины 8 это является максимумом.

По двоичному коду ''C'' длины ''n'' можно построить решётку Λ, взяв множество всех векторов <math>x\in\mathbb{Z}^n</math> таких, что ''<math>x</math> совпадает (по модулю 2) с кодовым словами из C часто удобно масштабировать Λ с коэффициентом 1/√2,
: <math>\Lambda = \tfrac{1}{\sqrt 2}\left\{x \in \mathbb Z^n : x\,\bmod\,2 \in C\right\}.</math>

Применение данной конструкции к самодвойственному коду типа II даёт чётную, унимодулярную решётку.
В частности, для кода Хемминга H(8,4) получаем решётку Е<sub>8</sub>.

Задача отыскания явного изоморфизма между полученной решёткой и решёткой E<sub>8</sub> определённой выше не вполне тривиальна.

=== Целые октонионы ===
Решётка Е<sub>8</sub> используется при определении [[Алгебра Кэли|целых октонионов]] аналогично [[Кватернион Гурвица|целым кватернионам]].

Целые октонионы, естественно, образуют решётку в '''O'''.
Эта решётка подобна решётке Е<sub>8</sub> с коэффициентом <math>1/\sqrt{2}</math>.
(Минимальная норма в целых октонионах равна 1, а не 2).

Целые октонионы образуют неассоциативное кольцо.

== Приложения ==
* В 1982 году [[Фридман, Майкл|Фридман]] построил топологическое [[Четырёхмерная топология|четырёхмерное многообразие]], называемое [[E8-многообразие|Е<sub>8</sub>-многообразие]], чья [[форма пересечений]] задаётся решёткой Е<sub>8</sub>. Это многообразие представляет собой пример топологического многообразия, которое не допускает гладкую структуру и даже не триангулируемо.
* В [[Теория струн|теории струн]] [[гетеротическая струна]] — это своеобразный гибрид 26-мерных [[Теория бозонных струн|бозонных струн]] и 10-мерных [[Теория суперструн|суперструн]]. Для того, чтобы теория работала правильно, 16 лишних размерностей должны быть компактифицированы чётной унимодулярной решёткой ранга 16. Есть две такие решётки: E<sub>8</sub>⊕E<sub>8</sub> и D<sub>16</sub><sup>+</sup> (построен аналогично E<sub>8</sub>). Это приводит к двум версиям гетеротических струн, известным как E<sub>8</sub>&times;E<sub>8</sub> и SO(32).

== См. также ==
* [[Решётка Лича]]
* [[E8 (математика)|Группа Ли Е<sub>8</sub>]]
* [[E8-многообразие]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=[[Конвей, Джон Хортон|Конвей Дж.]]|заглавие=Квадратичные формы, данные нам в ощущениях|место=М.|издательство=МЦНМО|год=2008|ISBN=978-5-94057-268-8|тираж=1000|страниц=144|ссылка=http://biblio.mccme.ru/node/1931}}
* {{книга |год=1998 |заглавие=Sphere Packings, Lattices and Groups |издание=3rd |издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |место=New York |isbn=0-387-98585-9 |язык=en |автор=[[Конвей, Джон Хортон|John Horton Conway]]; {{Нп3|Neil Sloane|Sloane, Neil J. A.|en|Neil Sloane}}}}
* {{книга |заглавие=On Quaternions and Octonions |издательство=AK Peters, Ltd |место=Natick, Massachusetts |год=2003 |isbn=1-56881-134-9 |язык=en |автор=[[Конвей, Джон Хортон|John Horton Conway]]; Smith, Derek A.}} В главе 9 обсуждаются целые октинионы и решётка E<sub>8</sub>.

[[Категория:Решётки (геометрия)]]