Просмотр кода страницы Сила Лоренца

[[Файл:Lorentz_force_on_charged_particles_in_bubble_chamber_-_HD.6D.635_(12000265314).svg|мини| Сила Лоренца, действующая на быстро движущиеся заряженные [[Фундаментальная частица|частицы]] в [[Пузырьковая камера|пузырьковой камере]], приводит к появлению траекторий положительного и отрицательного заряда, которые изгибаются в противоположных направлениях.]]
'''Си́ла Ло́ренца''' — [[сила]], с которой [[электромагнитное поле]], согласно классической (неквантовой) [[Электродинамика|электродинамике]]<ref>{{статья|автор = Афанасьев, Г. Н.|заглавие = Старые и новые проблемы в теории эффекта Ааронова — Бома|оригинал = |ссылка = http://www1.jinr.ru/Archive/Pepan/1990-v21/v-21-1/pdf_obzory/v21p1_04.pdf|издание = Физика элементарных частиц и атомного ядра|год = 1990|том = 21|страницы = 172—250|doi = |pmid = |bibcode = |arxiv = |ref = |archivedate = 2022-02-12|archiveurl = https://web.archive.org/web/20220212161819/http://www1.jinr.ru/Archive/Pepan/1990-v21/v-21-1/pdf_obzory/v21p1_04.pdf}}</ref>, действует на [[Материальная точка|точечную]] [[Электрический заряд|заряженную]] частицу<ref name=Bulygin>{{БРЭ |статья= Сила Лоренца|автор= В. С. Булыгин|ссылка= https://old.bigenc.ru/physics/text/2158420|архив= https://web.archive.org/web/20221021002747/https://bigenc.ru/physics/text/2158420|архив дата= 2022-10-21}}</ref><ref>{{Книга:Физическая энциклопедия|
 | автор    = М. А. Миллер, Е. В. Суворов
 | статья   =Лоренца сила
 | ссылка   =http://femto.com.ua/articles/part_1/1986.html
 | страницы =
}}</ref>. Иногда силой Лоренца называют силу, действующую на движущийся со скоростью <math>\mathbf{v}</math> заряд <math>q\ </math> лишь со стороны [[Магнитное поле|магнитного поля]], нередко же полную силу — со стороны электромагнитного поля вообще<ref>Такая двойственность применения термина «сила Лоренца», очевидно, объясняется историческими причинами: дело в том, что сила, действующая на точечный заряд со стороны только электрического поля была известна задолго до Лоренца — [[Закон Кулона]] был открыт в 1785 году. Лоренц же получил общую формулу для действия и электрического, и магнитного полей, отличающуюся от прежней как раз выражением для магнитного поля. Поэтому то и другое, вполне логично, называют его именем.</ref>, иначе говоря, со стороны [[Электрическое поле|электрического]] <math>\mathbf{E}</math> и [[магнитное поле|магнитного]] <math>\mathbf{B}</math> полей. В [[СИ|Международной системе единиц (СИ)]] выражается как<ref name="units2">{{Math|'''H'''}}-поле измеряется в амперах на метр (А/м) в единицах SI, и в [[Эрстед (единица измерения)|эрстедах]] (Эр) в единицах СГС. {{Cite web|url=http://physics.nist.gov/cuu/Units/units.html|title=International system of units (SI)|website=NIST reference on constants, units, and uncertainty|publisher=National Institute of Standards and Technology|access-date=2012-05-09|archive-date=2016-12-31|archive-url=https://web.archive.org/web/20161231025827/http://physics.nist.gov/cuu/Units/units.html|deadlink=no}}</ref><ref name=Bulygin />:
<center>
<math>\vec{\mathbf{F}}=q\left(\vec{\mathbf{E}}+[\vec{\mathbf{v}},\vec{\mathbf{B}}]\right).</math>
</center>

Электромагнитная сила, действующая на заряд {{Mvar|q}}, представляет собой комбинацию силы, действующей в направлении электрического поля <math>\mathbf{E}</math>, пропорциональной величине поля и количеству заряда, и силы, действующей под прямым углом к магнитному полю <math>\mathbf{B}</math> и скорости <math>\mathbf{v}</math>, пропорциональной величине магнитного поля, заряду и скорости. Вариации этой базовой формулы описывают магнитную силу, действующую на проводник с током (иногда называемую силой Лапласа), [[Электродвижущая сила|электродвижущую силу]] в проволочной петле, движущейся через область с магнитным полем ([[Закон электромагнитной индукции Фарадея|закон индукции Фарадея]]), и силу, действующую на движущиеся заряженные частицы.

Историки науки предполагают, что этот закон подразумевался в статье [[Максвелл, Джеймс Клерк|Джеймса Клерка Максвелла]], опубликованной в 1865 году<ref name="Huray">{{Cite book|first=Paul G.|last=Huray|title=Maxwell's Equations|publisher=Wiley-IEEE|isbn=978-0-470-54276-7|year=2010|page=22|url=https://books.google.com/books?id=0QsDgdd0MhMC&pg=PA22}} {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=0QsDgdd0MhMC&pg=PA22 |date=20211121060845 }}</ref>. [[Лоренц, Хендрик|Хендрик Лоренц]] привёл полный вывод этой формулы в 1895 г.<ref name='Dahl'>Per F. Dahl, ''Flash of the Cathode Rays: A History of J J Thomson’s Electron'', CRC Press, 1997, p. 10.</ref>, определив вклад электрической силы через несколько лет после того, как [[Хевисайд, Оливер|Оливер Хевисайд]] правильно определил вклад магнитной силы<ref name='Nahin'>Paul J. Nahin, [https://books.google.com/books?id=e9wEntQmA0IC&source=gbs_navlinks_s ''Oliver Heaviside''] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=e9wEntQmA0IC&source=gbs_navlinks_s |date=20210403113347 }}, JHU Press, 2002.</ref><ref>{{Книга|автор =Болотовский Б. М.|заглавие =Оливер Хевисайд|место =Москва|оригинал =|ссылка =http://vivovoco.astronet.ru/VV/BOOKS/HEAVISIDE/CONTENT.HTM|издательство =Наука|год =1985|isbn =|страниц =260|страницы =43—44|archive-date =2022-03-14|archive-url =https://web.archive.org/web/20220314152139/http://vivovoco.astronet.ru/VV/BOOKS/HEAVISIDE/CONTENT.HTM}}</ref>.

Для силы Лоренца, так же как и для [[Сила инерции|сил инерции]], нарушается [[третий закон Ньютона]] (понимаемый как декларация совпадения, с точностью до знака, сил воздействия двух тел друг на друга). Восстановить справедливость этого закона Ньютона в случае силы Лоренца можно переформулировав его как [[закон сохранения импульса]] (ЗСИ) в замкнутой системе из частиц и электромагнитного поля<ref>''[[Матвеев, Алексей Николаевич|Матвеев А. Н.]]'' Механика и теория относительности. — 3-е изд. — М. Высшая школа 1976. — С. 132.</ref>.

Полный вывод такого утверждения требует определения понятия «импульс поля», а едва ли не единственный способ сделать это — привлечь [[Теорема Нётер|теорему Эммы Нётер]] (и тесно связанное с ней понятие [[Тензор энергии-импульса|тензора энергии-импульса]]) в классической (неквантовой) теории поля в [[Формализм Лагранжа|лагранжевом формализме]]. Однако характерный импульс поля/волны («давление света») во многих реальных технических применениях представляет собой исчезающе малую величину (импульс поля равен его характерной энергии, делённой на [[скорость света]] <math>c</math>). Это означает справедливость ЗСИ для одного лишь заряженного вещества, и, в свою очередь, если вещество состоит из всего 2 [[Материальная точка|материальных точек]] — справедливость третьего закона Ньютона (он равносилен ЗСИ для замкнутой системы, которая есть пара материальных точек/тел).

== Сила Лоренца как определение E и B ==
{{Электродинамика}}
Во многих учебниках по электромагнетизму силу Лоренца используют в качестве ''определения'' электрического и магнитного полей '''E''' и '''B'''<ref name="Jackson20">See, for example, Jackson, pp. 777-8.</ref><ref>{{Cite book|last=J.A. Wheeler|url=https://archive.org/details/gravitation00misn_003|title=Gravitation|publisher=W.H. Freeman & Co|year=1973|isbn=0-7167-0344-0}}. These authors use the Lorentz force in tensor form as definer of the [[Тензор электромагнитного поля|electromagnetic tensor]] ''F'', in turn the fields '''E''' and '''B'''.</ref><ref>{{Cite book|last=I.S. Grant|title=Electromagnetism|publisher=John Wiley & Sons|year=1990|isbn=978-0-471-92712-9|page=122}}</ref>. В частности, сила Лоренца понимается как следующее эмпирическое утверждение:

: ''Электромагнитная сила '''F''', действующая на [[Пробное тело|пробный заряд]] в данной точке и момент времени, является определённой функцией его заряда'' q ''и скорости '''v''', которая может быть параметризована ровно двумя векторами '''E''' и '''B''' в функциональной форме'' :

:: <math>\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})</math>.

Это выражение верно в том числе для случая движения частицы со скоростью близкой по величине к скорости света ('''v''' = | '''v''' | ≈ ''c'').<ref>{{Cite book|last=I.S. Grant|title=Electromagnetism|publisher=John Wiley & Sons|year=1990|isbn=978-0-471-92712-9|page=123}}</ref> Таким образом, два [[Векторное поле|векторных поля]] '''E''' и '''B''' определяются во всём пространстве и времени, и они называются «электрическим полем» и «магнитным полем». Поля определены повсюду в пространстве и времени относительно силы, которую испытывает пробный заряд, помещённый в электромагнитное поле.

Как определение '''E''' и '''B''', сила Лоренца является только определением в принципе, потому что реальная частица (в отличие от гипотетического пробного тела бесконечно малой массы и заряда) будет создавать свои собственные конечные поля '''E''' и '''B''', изменяющие электромагнитную силу, которую он испытывает. Вдобавок, заряд в магнитном поле обычно движется по криволинейной траектории, то есть с ускорением — а значит, он испускает излучение и теряет кинетическую энергию (см., например, статьи [[тормозное излучение]] или [[синхротронное излучение]]). Эти эффекты возникают за счёт как прямого воздействия (так называемой [[Радиационное трение|силы реакции излучения]]), так и косвенного (путём воздействия на движение близлежащих зарядов и токов).

== Уравнение ==

=== Заряженная частица ===
[[Файл:Lorentz force particle.svg|мини|212x212пкс| Сила Лоренца '''F''', действующая на [[Заряженная частица|движущуюся заряженную частицу]] (с зарядом ''q'' и мгновенной скоростью '''v'''). Поле [[Электрическое поле|'''E''' и поле]] '''[[Магнитное поле|B]]''' изменяются в пространстве и времени.]]
Сила '''F''', действующая на частицу с [[Электрический заряд|электрическим зарядом]] ''q'' и мгновенной скоростью '''v''' из-за внешнего электрического поля '''E''' и магнитного поля '''B''', определяется выражением (в [[Международная система единиц|единицах СИ]]):<ref name='Jackson2'>See Jackson, page 2. The book lists the four modern Maxwell’s equations, and then states, «Also essential for consideration of charged particle motion is the Lorentz force equation, '''F''' = ''q'' ('''E'''+ '''v <big>×</big> B'''), which gives the force acting on a point charge ''q'' in the presence of electromagnetic fields.»</ref>{{Equation box 1|cellpadding|border|indent=:|equation=<math>\vec\mathbf{F} = q(\vec\mathbf{E} + [\vec\mathbf{v}, \vec\mathbf{B}])</math>|border colour=#50C878|background colour=#ECFCF4}}
где знак <big>×</big> обозначает векторное произведение (все величины, выделенные жирным шрифтом, являются векторами). В декартовых компонентах

: <math>F_x = q (E_x + v_y B_z - v_z B_y),</math>
: <math>F_y = q (E_y + v_z B_x - v_x B_z),</math>
: <math>F_z = q (E_z + v_x B_y - v_y B_x).</math>

В общем случае, электрическое и магнитное поля зависят от координат и времени. Следовательно, в явном виде силу Лоренца можно записать как

: <math>\mathbf{F}\left(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}},t,q\right) = q\left[\mathbf{E}(\mathbf{r},t) + \mathbf{\dot{r}} \times \mathbf{B}(\mathbf{r},t)\right]</math>,

где '''r''' — вектор положения заряженной частицы, ''t'' — время, а точка обозначает производную по времени.

Положительно заряженная частица будет ускоряться в том же направлении, что и '''поле E''', но её траектория будет изгибаться перпендикулярно как вектору мгновенной скорости '''v''', так и полю '''B''' в соответствии с [[Правило буравчика|правилом буравчика]] (если пальцы правой руки вытянуты так, чтобы указывать в направлении '''v''', а затем изгибаются так, чтобы указывать в направлении '''B''', тогда вытянутый большой палец будет указывать в направлении '''F''').

Член ''q'' '''E''' называется '''электрической силой''', а член ''q'' ('''v''' <big>×</big> '''B''') — '''магнитной силой'''<ref name="Griffiths1">See Griffiths, page 204.</ref>. Согласно некоторым определениям, термин «сила Лоренца» относится конкретно к формуле для магнитной силы<ref name="Griffiths2">For example, see the [http://ilorentz.org/history/lorentz/lorentz.html website of the Lorentz Institute] {{Wayback|url=http://ilorentz.org/history/lorentz/lorentz.html |date=20211217072955 }} or Griffiths.</ref>, а формуле с ''общей'' электромагнитной силой (включая электрическую силу), дано другое название. В дальнейшем термин «сила Лоренца» будет относиться к выражению для полной силы.

Магнитная составляющая силы Лоренца проявляется как сила, действующая на помещённый в магнитное поле проводник с током. В этом контексте эта сила также называется силой Лапласа.

Сила Лоренца — это сила воздействия электромагнитного поля на заряженную частицу, или. другими словами, скорость, с которой передаётся линейный импульс от электромагнитного поля частице. С ним связана мощность, которая представляет собой скорость, с которой энергия передаётся от электромагнитного поля частице:

: <math>\mathbf{v} \cdot \mathbf{F} = q \, \mathbf{v} \cdot \mathbf{E}</math>.

Магнитное поле не совершает работы, потому что магнитная сила всегда перпендикулярна скорости частицы.

=== Непрерывное распределение заряда ===
[[Файл:Lorentz force continuum.svg|мини|251x251пкс| Сила Лоренца (на единицу 3-х мерного объёма) '''f''' действующая на непрерывное [[Плотность заряда|распределение]] заряда ([[плотность заряда]] ρ) в движении. 3-хмерного плотность [[Плотность тока|тока]] '''J''' соответствует движению элемента заряда ''dq'' в элементе объёма ''dV'' и изменяется по всему пространству.]]
Для непрерывного [[Плотность заряда|распределения заряда]], находящегося в движении, уравнение для силы Лоренца принимает дифференциальный вид

: <math>\mathrm{d}\mathbf{F} = \mathrm{d}q\left(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}\right)\,\!</math>,

где <math>\mathrm{d}\mathbf{F}</math> — сила, действующая на небольшой элемент объёма с зарядом <math>\mathrm{d}q</math>. Если обе части данного уравнения разделить на объём этого небольшого фрагмента распределения заряда <math>\mathrm{d}V</math>, то получится выражение

: <math>\mathbf{f} = \rho\left(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}\right)\,\!</math>,

где <math>\mathbf{f}</math> — ''плотность силы'' (сила на единицу объёма) и <math>\rho</math> — [[плотность заряда]] (заряд на единицу объёма). Далее, [[плотность тока]], соответствующая движению заряда, равна

: <math>\mathbf{J} = \rho \mathbf{v} \,\!</math>,

так что непрерывным аналогом уравнения для силы Лоренца является выражение<ref name='Electrodynamics 1999'>{{Cite book|last=Griffiths|first=David J.|title=Introduction to electrodynamics|year=1999|publisher=Prentice Hall|location=Upper Saddle River, New Jersey [u.a.]|isbn=978-0-13-805326-0|edition=3rd|url=https://archive.org/details/introductiontoel00grif_0}}</ref>{{Equation box 1|border|indent=:|equation=<math>\mathbf{f} = \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B}\,\!</math>|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}
К полной силе можно прийти вычислив объемный интеграл по распределению заряда:

: <math> \mathbf{F} = \iiint \! ( \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B} )\,\mathrm{d}V\,\!</math>.

Устраняя <math>\rho</math> и <math>\mathbf{J}</math> через [[уравнения Максвелла]], с помощью теорем [[Векторный анализ|векторного исчисления]] эту форму уравнения можно использовать для вывода [[Тензор напряжений Максвелла|тензора напряжений Максвелла]] <math>\boldsymbol{\sigma}</math> и, комбинируя с [[Вектор Пойнтинга|вектором Пойнтинга]] <math>\mathbf{E}\times\mathbf{H}</math> (здесь <math>\mathbf{H}</math> — [[напряжённость магнитного поля]]), получить '''тензор T''' энергии-импульса электромагнитного поля, применяемый в [[Общая теория относительности|общей теории относительности]]<ref name='Electrodynamics 1999' />.

В терминах <math>\boldsymbol{\sigma}</math> и вектора Пойнтинга можно записать силу Лоренца (на единицу объёма) в виде<ref name='Electrodynamics 1999' />

: <math> \mathbf{f} = \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} - \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial [\mathbf{E}\times\mathbf{H}]}{\partial t} \,\!</math>,

где <math>c</math> — [[скорость света]], [[Набла|∇]] · обозначает дивергенцию [[Тензорное поле|тензорного поля]]. Это уравнение связывает не количество заряда и его скорость в электрическом и магнитном полях, а плотность потока импульса (первый член справа) электромагнитного поля и изменение плотности [[Поток энергии|потока энергии]] поля (второй член справа) с силой, действующей на распределение заряда.

Плотность мощности, связанная с силой Лоренца в материальной среде, равна

: <math>\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}</math>.

Если разделить полный заряд и полный ток на их свободную и связанную части, получится, что плотность силы Лоренца равна

: <math>\mathbf{f} = (\rho_f - \nabla \cdot \mathbf P) \mathbf{E} + (\mathbf{J}_f + \nabla\times\mathbf{M} + \frac{\partial\mathbf{P}}{\partial t}) \times \mathbf{B}</math>,

где <math>\rho_f</math> — плотность свободного заряда; <math>\mathbf{P}</math> — [[Поляризация диэлектриков|поляризация]] ; <math>\mathbf{J}_f</math> — плотность тока свободных зарядов; и <math>\mathbf{M}</math> — [[намагниченность]]. Таким образом, сила Лоренца может объяснить крутящий момент, приложенный к постоянному магниту из-за внешнего магнитного поля.

=== Уравнение в единицах СГС ===
В приведённых выше формулах используются [[Международная система единиц|единицы СИ,]] которые являются наиболее распространёнными среди экспериментаторов, техников и инженеров. В системе СГС, которая более распространена среди физиков-теоретиков, сила Лоренца примет вид

: <math>\mathbf{F} = q_\mathrm{cgs} \left(\mathbf{E}_\mathrm{cgs} + \frac{\mathbf{v}}{c} \times \mathbf{B}_\mathrm{cgs}\right)</math>,

где ''c'' — [[скорость света]]. Хотя это уравнение выглядит несколько иначе, оно полностью эквивалентно, поскольку новые величины связаны в двух системах единиц соотношениями

: <math>q_\mathrm{cgs}=\frac{q_\mathrm{SI}}{\sqrt{4\pi \varepsilon_0}},\quad \mathbf E_\mathrm{cgs} =\sqrt{4\pi\varepsilon_0}\,\mathbf E_\mathrm{SI},\quad \mathbf B_\mathrm{cgs} ={\sqrt{4\pi /\mu_0}}\,{\mathbf B_\mathrm{SI}},\quad c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}.</math>

где ε <sub>0</sub> — [[Электрическая постоянная|диэлектрическая проницаемость вакуума,]] а μ <sub>0</sub> — [[Магнитная постоянная|магнитная проницаемость вакуума]]. На практике индексы «cgs» и «SI» всегда опускаются, и система единиц измерения должна быть понятна из контекста.

=== Частные случаи ===
[[Файл:Lorentz force.svg|right|thumb|200px|<center>Направление движения частицы в зависимости от её заряда при векторе магнитной индукции, перпендикулярном вектору скорости (к нам из плоскости рисунка, перпендикулярно ей)</center>]]
В однородном магнитном поле, направленном перпендикулярно вектору скорости, под действием силы Лоренца заряженная частица будет равномерно двигаться по окружности постоянного радиуса <math>r</math> (называемого также гирорадиусом). Сила Лоренца в этом случае является центростремительной силой:
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|

: <math>{mv^2\over r} = {|q|\over c}vB\Rightarrow r = {cm\over |q|}\cdot{v\over B}</math>

|

: <math>{mv^2\over r} = |q|vB\Rightarrow r = {m\over |q|}\cdot{v\over B}</math>

|}

Работа силы Лоренца будет равна нулю, поскольку векторы силы и скорости всегда ортогональны. При скорости <math>v\ </math>, намного меньшей [[скорость света|скорости света]], круговая частота <math>\omega\ </math> не зависит от <math>v\ </math>:
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|

: <math>\omega ={|q|B\over mc}</math>

|

: <math>\omega = {|q|B\over m}</math>

|}

Если заряженная частица движется в магнитном поле так, что вектор скорости <math>v\ </math> составляет с вектором магнитной индукции <math>\mathbf{B}</math> угол <math>\alpha\ </math>, то траекторией движения частицы является винтовая линия с радиусом <math>r\ </math> и шагом винта <math>h\ </math>:
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|[[СГС]]|| width="50%"|[[СИ]]
|-
|
: <math>r = {mc\over |q|}\cdot{v\sin\alpha\over B}</math>,
: <math>h = {2\pi\over B}\cdot{mc\over |q|}\cdot v\cos\alpha</math>
|
: <math>r = {m\over |q|}\cdot{v\sin\alpha\over B}</math>,
: <math>h = {2\pi\over B}\cdot{m\over |q|}\cdot v\cos\alpha</math>
|}

== История ==
[[Файл:H. A. Lorentz - Lorentz force, div E = ρ, div B = 0 - La théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants, Archives néerlandaises, 1892 - p 451 - Eq. I, II, III.png|мини| Теория электронов Лоренца. Формулы для силы Лоренца (I, пондеромоторная сила) и [[уравнения Максвелла]] для [[Дивергенция|дивергенции]] [[Электрическое поле|электрического поля]] E (II) и [[Магнитное поле|магнитного поля]] B (III), ''La théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants'', 1892, p. 451. ''V'' — скорость света.]]
Первые попытки количественного описания электромагнитной силы были предприняты в середине 18 века. [[Майер, Иоганн Тобиас|Иоганн Тобиас Майер]] и другие в 1760 году<ref>
{{Cite book|first=Michel|last=Delon|title=Encyclopedia of the Enlightenment|url=https://archive.org/details/encyclopediaofen0001unse_v3k4|publisher=Fitzroy Dearborn Publishers|year=2001|pages=[https://archive.org/details/encyclopediaofen0001unse_v3k4/page/538 538]|isbn=157958246X}}</ref> предполагали, что сила взаимодействия между магнитными полюсами как и сила действующая между электрически заряженными объектами, установленная [[Кавендиш, Генри|Генри Кавендишем]] в 1762 году<ref>
{{Cite book|first=Elliot H.|last=Goodwin|title=The New Cambridge Modern History Volume 8: The American and French Revolutions, 1763–93|publisher=Cambridge University Press|year=1965|pages=130|isbn=9780521045469}}</ref>, подчиняются [[Закон обратных квадратов|закону обратных квадратов]]. Однако в обоих случаях экспериментальное доказательство не было ни полным, ни окончательным. Только в 1784 году [[Кулон, Шарль Огюстен де|Шарль-Огюстен де Кулон]], используя [[крутильные весы]], смог окончательно экспериментально показать правдивость этого предположения.<ref>
{{Cite book|first=Herbert W.|last=Meyer|title=A History of Electricity and Magnetism|publisher=Burndy Library|year=1972|pages=30–31|isbn=0-262-13070-X}}</ref> Вскоре после открытия в 1820 году [[Эрстед, Ханс Кристиан|Хансом Кристианом Эрстедом]] того факта, что на магнитную стрелку действует электрический ток, [[Ампер, Андре-Мари|Андре-Мари Ампер в]] том же году смог экспериментально получить формулу угловой зависимости силы между двумя элементами тока.<ref>
{{Cite book|first=Gerrit L.|last=Verschuur|title=Hidden Attraction : The History And Mystery Of Magnetism|publisher=Oxford University Press|isbn=0-19-506488-7|year=1993|pages=[https://archive.org/details/hiddenattraction00vers/page/78 78–79]}}</ref><ref>
{{Cite book|author=Darrigol Olivier|title=Electrodynamics from Ampère to Einstein|publisher=Oxford University Press|isbn=0-19-850593-0|year=2000|pages=[https://archive.org/details/electrodynamicsf00darr_584/page/n29 9], 25|ref=Darrigol}}</ref> Во всех этих описаниях сила всегда описывалась в терминах свойств вещества и расстояний между двумя массами или зарядами, а не в терминах электрических и магнитных полей.<ref>
{{Cite book|first=Gerrit L.|last=Verschuur|title=Hidden Attraction : The History And Mystery Of Magnetism|url=https://archive.org/details/hiddenattraction00vers|publisher=Oxford University Press|isbn=0-19-506488-7|year=1993}}</ref>

Современная концепция электрических и магнитных полей впервые возникла в теориях [[Фарадей, Майкл|Майкла Фарадея]], особенно удачной оказалась его идея силовых линий, которая позже получила полное математическое описание [[Томсон, Уильям (лорд Кельвин)|лордом Кельвином]] и [[Максвелл, Джеймс Клерк|Джеймсом Клерком Максвеллом]].{{sfn|Darrigol|2000|p=[https://archive.org/details/electrodynamicsf00darr_584/page/n146 126]–131, 139–144}} С современной точки зрения, в формулировке Максвелла 1865 г. его уравнений для электромагнитного поля можно получить уравнение для силы Лоренца по отношению к электрическим токам<ref name="Huray" />, хотя во времена Максвелла не было очевидно, как его уравнения связаны с силами при перемещении заряженных предметов. [[Томсон, Джозеф Джон|Дж. Дж. Томсон]] был первым, кто попытался вывести из уравнений Максвелла поля электромагнитные силы, действующие на движущийся заряженный объект, в терминах свойств объекта и внешних полей. Заинтересовавшийся поведением заряженных частиц в [[Катодные лучи|катодных лучах]], Томсон опубликовал статью в 1881 году, в которой он дал определение силы, действующей на частицы, обусловленную внешним магнитным полем, в виде<ref name='Nahin' />

: <math>\mathbf{F} = \frac{q}{2}\mathbf{v} \times \mathbf{B}.</math>

Томсон вывел правильную основную форму формулы, но из-за некоторых ошибок и неполного описания [[Ток смещения (электродинамика)|тока смещения]] перед формулой включил неверный масштабный коэффициент, равный половине. [[Хевисайд, Оливер|Оливер Хевисайд]] изобрёл современные векторные обозначения и переписал в их терминах полевые уравнения Максвелла; он также (в 1885 и 1889 годах) исправил ошибки вывода Томсона и пришёл к правильному виду для магнитной силы действующей на движущуюся заряженную частицу.<ref name='Nahin' />{{sfn|Darrigol|2000|p=[https://archive.org/details/electrodynamicsf00darr_584/page/n146 126]–131, 139–144}}<ref>{{Cite journal|author=Heaviside, Oliver|title=On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric|journal=Philosophical Magazine|date=April 1889|url=http://en.wikisource.org/wiki/Motion_of_Electrification_through_a_Dielectric|access-date=2021-03-15|archive-date=2021-02-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20210221102541/https://en.wikisource.org/wiki/Motion_of_Electrification_through_a_Dielectric|url-status=live}}</ref> Наконец, в 1895 году<ref name='Dahl' /><ref>Lorentz, Hendrik Antoon, ''Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern'', 1895.</ref> [[Лоренц, Хендрик|Хендрик Лоренц]] пришёл к современному виду формулы для электромагнитной силы, которая включает вклады как электрического, так и магнитного полей. Лоренц вначале отказался от максвелловского описания эфира и проводимости. Вместо этого Лоренц указал на различия между материей и [[Эфир (физика)|светоносным эфиром]] и записал уравнения Максвелла в микроскопическом масштабе. Используя версию уравнений Максвелла Хевисайда для неподвижного эфира и, применяя [[Лагранжева механика|лагранжевую механику]] (см. Ниже), Лоренц пришёл к правильной и полной форме закона для электромагнитной силы, который теперь носит его имя.{{sfn|Darrigol|2000|p=[https://archive.org/details/electrodynamicsf00darr_584/page/n146 126]–131, 139–144}}<ref>
{{cite book
|author = Whittaker E. T.
|author-link=E. T. Whittaker
|title = [[A History of the Theories of Aether and Electricity|A History of the Theories of Aether and Electricity: From the Age of Descartes to the Close of the Nineteenth Century]]
|publisher = Longmans, Green and Co.
|year = 1910
|pages = 420–423
|isbn = 1-143-01208-9}}</ref>

== Траектории частиц под действием силы Лоренца ==
[[Файл:Charged-particle-drifts.svg|справа|мини|481x481пкс|'''Заряженная частица дрейфует''' в однородном магнитном поле. (A) Нет возмущающей силы (B) В электрическом поле, E (C) С независимой силой, F (например, гравитация) (D) В неоднородном магнитном поле, grad H]]
Во многих случаях, представляющих практический интерес, движение в [[Магнитное поле|магнитном поле]] [[Электрический заряд|электрически заряженной]] частицы (например, [[электрон]]а или [[ион]]а в [[Плазма|плазме]]) можно рассматривать как [[Квантовая суперпозиция|суперпозицию]] относительно быстрого кругового движения вокруг точки, которая дрейфует в направлении перпендикулярном электрическому и магнитным полям. Скорости дрейфа могут различаться в зависимости от их зарядового состояния, массы или температуры, что может привести к электрическим токам или химическому разделению.

== Значение силы Лоренца ==
В то время как современные уравнения Максвелла описывают то, как электрически заряженные частицы и токи или движущиеся заряженные частицы вызывают электрические и магнитные поля, сила Лоренца дополняет эту картину, описывая силу, действующую на движущийся точечный заряд ''q'' в присутствии электромагнитных полей.<ref name='Jackson2' /><ref name="Griffiths50">See Griffiths, page 326, which states that Maxwell’s equations, «together with the [Lorentz] force law…summarize the entire theoretical content of classical electrodynamics».</ref> Хотя сила Лоренца описывает действие '''E''' и '''B''' на точечный заряд, но такие электромагнитные силы не являются всей картиной. Заряженные частицы, возможно, связаны с другими силами, особенно с гравитацией и ядерными силами. Таким образом, уравнения Максвелла не отделены от других физических законов, а связаны с ними через плотности заряда и тока. Реакция точечного заряда на закон Лоренца — это один из аспектов; генерация '''E''' и '''B''' токами и зарядами — другое.

В реальных материалах сила Лоренца неадекватно описывает коллективное поведение заряженных частиц как в принципе, так и с точки зрения вычислений. Заряженные частицы в материальной среде не только реагируют на '''поля E''' и '''B,''' но и создают эти поля сами. Для определения временной и пространственной реакции зарядов необходимо решать сложные уравнения переноса, например, [[Кинетическое уравнение Больцмана|уравнение Больцмана, уравнение]] [[Уравнение Фоккера — Планка|Фоккера — Планка]] или [[уравнения Навье — Стокса]]. (Например, см. статьи [[Магнитная гидродинамика]], [[Гидроаэродинамика]], [[Электрогидродинамика]], [[Сверхпроводимость]], [[Эволюция звёзд]]). Разработан физический аппарат для решения этих вопросов (формулы [[Формулы Грина — Кубо|Грина — Кубо]], функции Грина (теория многих тел)).

== Сила на токоведущем проводе ==
[[Файл:Regla mano derecha Laplace.svg|справа|мини|250x250пкс|Правило правой руки для токоведущего провода в магнитном поле ''B'']]
Когда провод, по которому течёт электрический ток, помещается в магнитное поле, каждый из движущихся зарядов, составляющих ток, испытывает силу Лоренца, и вместе они могут создавать макроскопическую силу действующую на проводе (иногда называемую '''силой Лапласа'''). Комбинируя приведённый выше закон Лоренца с определением электрического тока, в случае прямого неподвижного провода получается следующее уравнение:<ref>{{Cite web|lang=en|url=http://www.physicsexperiment.co.uk/content/bil.html|title=Physics Experiments|website=www.physicsexperiment.co.uk|access-date=2018-08-14|archive-date=2018-07-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20180708070928/http://www.physicsexperiment.co.uk/content/bil.html|deadlink=no}}</ref>

: <math>\mathbf{F} = I \boldsymbol{\ell} \times \mathbf{B}</math>,

где {{Math|'''ℓ'''}} — вектор, величина которого равна длине провода, а направление — вдоль провода, совмещённое с направлением [[Электрический ток|обычного тока]] {{Mvar|I}}.

Если провод не прямой, а изогнутый, то силу, действующую на него, вычисляют, применив данную формулу к каждому [[Бесконечно малая и бесконечно большая|бесконечно малому]] отрезку провода {{Math|''d'''''ℓ'''}}, а затем сложив все эти силы путём [[Интеграл|интегрирования]]. Формально результирующая сила, действующая на неподвижный жёсткий провод, по которому течёт постоянный ток {{Mvar|I}} равна

: <math>\mathbf{F} = I\int \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times \mathbf{B}</math>.

Это полная сила. Кроме того, обычно возникает [[Момент силы|крутящий момент]] и другие эффекты, если проволока не совсем жёсткая.

Одним из применений этого является [[Закон Ампера|закон силы Ампера]], который описывает, как два токоведущих провода притягиваются или отталкиваются друг от друга, в зависимости от направления тока, поскольку каждый из них испытывает силу Лоренца от магнитного поля создаваемого другим током.

== ЭДС ==
Магнитная сила ({{Nobr|''q'''''v''' × '''B'''}}) в выражении силы Лоренца отвечает за ''двигательную'' [[Электродвижущая сила|электродвижущую силу]] (или ''двигательную ЭДС''), явление, лежащее в основе действия многих электрических генераторов. Когда проводник перемещается через область магнитного поля, магнитное поле оказывает противоположно направленные силы на электроны и ядра в проводе, и это создаёт ЭДС. Термин «двигательная ЭДС» применяется к этому явлению, поскольку ЭДС возникает из-за ''движения'' провода.

В других электрических генераторах магниты движутся, а проводники — нет. В этом случае ЭДС возникает из-за ''электрической силы (q'' '''E''') в уравнении для силы Лоренца. Рассматриваемое электрическое поле создается изменяющимся магнитным полем, приводящим к возникновению ''индуцированной'' ЭДС, как описано [[Электромагнитная индукция|уравнением Максвелла — Фарадея]].<ref name='Griffiths302'>See Griffiths, pages 301-3.</ref>

Обе эти ЭДС, несмотря на их явно различное происхождение, описываются одним и тем же уравнением, а именно ЭДС — это скорость изменения [[Магнитный поток|магнитного потока]] через провод. Это закон электромагнитной индукции Фарадея, см. Ниже. [[Специальная теория относительности|Специальная теория относительности Эйнштейна]] была частично мотивирована желанием лучше понять эту связь между двумя эффектами.<ref name='Griffiths302' /> Фактически, электрическое и магнитное поля представляют собой разные грани единого электромагнитного поля (разные элементы единой матрицы тензора силы поля Fij), и при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой (то есть применении операции замены базиса к матрице Fij) часть [[Соленоидальное векторное поле|электромагнитного векторного поля]] ''E'' можно полностью или частично заменить на ''B'' или ''наоборот''<ref name="Chow">{{Cite book|author=Tai L. Chow|title=Electromagnetic theory|year=2006|page=395|publisher=Jones and Bartlett|location=Sudbury MA|isbn=0-7637-3827-1|url=https://books.google.com/books?id=dpnpMhw1zo8C&pg=PA153}} {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=dpnpMhw1zo8C&pg=PA153 |date=20210403113427 }}</ref>.

== Сила Лоренца и закон индукции Фарадея ==
[[Файл:Lorentz force - mural Leiden 1, 2016.jpg|мини|Сила Лоренца — изображение на стене в Лейдене]]
Для петли из провода находящуюся в [[Магнитное поле|магнитном поле]], закон индукции Фарадея утверждает, что наведённая [[электродвижущая сила]] (ЭДС) в проводе равна:

: <math>\mathcal{E} = -\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}</math>,

где

: <math> \Phi_B = \iint_{\Sigma(t)} \mathrm{d} \mathbf{S} \cdot \mathbf{B}(\mathbf{r}, t)</math>

— [[магнитный поток]] через петлю, '''B''' — магнитное поле, Σ (''t'') — поверхность, ограниченная замкнутым контуром ∂Σ (''t''), в момент времени ''t'', d'''S''' — бесконечно малый элемент вектора площади Σ (''t'') (величина — это площадь бесконечно малого участка поверхности, направление вектора [[Ортогональность|ортогонально]] этому участку поверхности).

''Знак'' ЭДС определяется законом [[Правило Ленца|Ленца]]. Это справедливо не только для ''стационарного'' провода, но и для ''движущейся'' проволоки.

Из закона электромагнитной индукции Фарадея и [[Уравнения Максвелла|уравнений Максвелла]] можно получить силу Лоренца. Верно и обратное: силу Лоренца и [[уравнения Максвелла]] можно использовать для вывода [[Закон электромагнитной индукции Фарадея|закона Фарадея]].

Пусть Σ (''t'') — движущийся поступательно провод с постоянной скоростью '''v,''' а Σ (''t'') — внутренняя поверхность провода. ЭДС вокруг замкнутого пути ∂Σ (''t'') определяется выражением<ref>{{Cite book|author=Landau, L. D., Lifshitz, E. M., & Pitaevskiĭ, L. P.|title=Electrodynamics of continuous media; Volume 8 ''Course of Theoretical Physics''|year=1984|page=§63 (§49 pp. 205–207 in 1960 edition)|edition=Second|publisher=Butterworth-Heinemann|location=Oxford|isbn=0-7506-2634-8|url=http://worldcat.org/search?q=0750626348&qt=owc_search|ref=Landau}}</ref>

: <math>\mathcal{E} =\oint_{\partial \Sigma (t)} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{F} / q</math>,

где

: <math>\mathbf{E} = \mathbf{F} / q</math>

— электрическое поле, а d'''ℓ''' — [[Бесконечно малая и бесконечно большая|бесконечно малый]] векторный элемент контура ∂Σ (''t'').

Направление d'''ℓ,''' и d'''S''' неоднозначно. Чтобы получить правильный знак, используется [[Правило буравчика|правило правой руки]], как описано в статье Теорема Кельвина — Стокса.

Приведённый выше результат можно сравнить с законом электромагнитной индукции Фарадея, который появляется в современных уравнениях Максвелла, называемый здесь ''уравнением Максвелла — Фарадея'':

: <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \ .</math>

Уравнение Максвелла — Фарадея можно записать в ''интегральной форме'' с помощью теоремы Кельвина — Стокса<ref name="Harrington">{{Cite book|author=Roger F. Harrington|title=Introduction to electromagnetic engineering|year=2003|page=56|publisher=Dover Publications|location=Mineola, New York|isbn=0-486-43241-6|url=https://books.google.com/books?id=ZlC2EV8zvX8C&q=%22faraday%27s+law+of+induction%22&pg=PA57}} {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=ZlC2EV8zvX8C&q=%22faraday%27s+law+of+induction%22&pg=PA57 |date=20210403113443 }}</ref>.

Уравнение Максвелла — Фарадея принимает вид

: <math> \oint_{\partial \Sigma(t)}\mathrm{d} \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r},\ t) = - \ \iint_{\Sigma(t)} \mathrm{d} \mathbf {S} \cdot {{\mathrm{d} \,\mathbf {B}(\mathbf{r},\ t)} \over \mathrm{d}t } </math>,

а закон Фарадея

: <math> \oint_{\partial \Sigma(t)}\mathrm{d} \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{F}/q(\mathbf{r},\ t) = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iint_{\Sigma(t)} \mathrm{d} \mathbf {S} \cdot \mathbf{B}(\mathbf{r},\ t). </math>

Эти два выражения эквивалентны, если провод не движется. Используя [[Формула Лейбница (производной интеграла с параметром)|интегральное правило Лейбница]] и ''div'' '''B''' = 0, можно получить,

: <math> \oint_{\partial \Sigma(t)} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{F}/q(\mathbf{r}, t) = 
- \iint_{\Sigma(t)} \mathrm{d} \mathbf{S} \cdot \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) +
\oint_{\partial \Sigma(t)} \!\!\!\!\mathbf{v} \times \mathbf{B} \,\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}
</math>

и, используя уравнение Максвелла Фарадея,

: <math> \oint_{\partial \Sigma(t)} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{F}/q(\mathbf{r},\ t) = 
\oint_{\partial \Sigma(t)} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r},\ t) +
\oint_{\partial \Sigma(t)}\!\!\!\! \mathbf{v} \times \mathbf{B}(\mathbf{r},\ t)\, \mathrm{d} \boldsymbol{\ell}
</math>

поскольку это справедливо для любого положения провода, то

: <math> \mathbf{F}= q\,\mathbf{E}(\mathbf{r},\ t) + q\,\mathbf{v} \times \mathbf{B}(\mathbf{r},\ t).</math>

Закон индукции Фарадея справедлив независимо от того, является ли проволочная петля жёсткой и неподвижной, либо она находится в движении, либо в процессе деформации, а также независимо от того, является ли магнитное поле постоянным во времени или изменяющимся. Однако бывают случаи, когда закон Фарадея либо неадекватен, либо его трудно использовать, и необходимо применять закон Лоренца.

Если магнитное поле не зависит от времени и проводящая петля движется через поле, магнитный поток Φ<sub>''B''</sub>, проникающий в петлю, может изменяться несколькими способами. Например, если магнитное поле меняется в зависимости от положения, и петля перемещается в другое положение с другим значением '''B''', — Φ<sub>''B''</sub> изменится. В качестве альтернативы, если петля изменяет ориентацию по отношению к '''B''', то дифференциальный элемент {{Nobr|'''B''' &sdot; d'''S'''}} будет меняться из-за различного угла между '''B''' и d'''S''', также изменится Ф<sub>''B''</sub>. В качестве третьего примера, если часть электрической схемы проходит через однородное, не зависящее от времени магнитное поле, а другая часть схемы остаётся неподвижной, то магнитный поток, связывающий всю замкнутую цепь, может измениться из-за относительного смещения положения составных частей схемы с течением времени (поверхность ∂Σ (''t''), зависящая от времени). Во всех трёх случаях закон индукции Фарадея предсказывает появление ЭДС, порождённую изменением Φ<sub>''B''</sub>.

Из уравнения Максвелла — Фарадея следует, что если магнитное поле '''B''' изменяется во времени, то электрическое поле '''E''' [[Консервативные силы|неконсервативно]], и не может быть выражено как градиент [[Скалярное поле|скалярного поля]], поскольку его ротор не равен нулю.<ref>{{Cite book|author=M N O Sadiku|title=Elements of electromagnetics|year=2007|page=391|edition=Fourth|publisher=Oxford University Press|location=NY/Oxford|isbn=978-0-19-530048-2|url=https://books.google.com/books?id=w2ITHQAACAAJ}} {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=w2ITHQAACAAJ |date=20210403113452 }}</ref>{{sfn|Landau|1984|p=§63}}

== Сила Лоренца в терминах потенциалов ==
'''Поля E''' и '''B''' можно заменить [[Векторный потенциал электромагнитного поля|векторным магнитным потенциалом]] '''A''' и ([[скаляр]]ным) [[Электростатический потенциал|электростатическим потенциалом]] <math>\phi</math> посредством

: <math> \mathbf{E} = - \nabla \phi - \frac { \partial \mathbf{A} } { \partial t }</math>
: <math>\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}</math>,

где ∇ — градиент, ∇⋅ — дивергенция, ∇ × — [[Ротор (дифференциальный оператор)|ротор]].

Сила запишется в виде

: <math>\mathbf{F} = q\left[-\nabla \phi- \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+\mathbf{v}\times(\nabla\times\mathbf{A})\right].</math>

Используя [[Смешанное произведение|тождество для тройного произведения,]] это выражение можно переписать как,

<math>\mathbf{F} = q\left[-\nabla \phi- \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+\nabla\left(\mathbf{v}\cdot \mathbf{A} \right)-\left(\mathbf{v}\cdot \nabla\right)\mathbf{A}\right],</math>

Здесь координаты и компоненты скорости следует рассматривать как независимые переменные, поэтому оператор набла действует только на <math>\mathbf{A}</math>, а не на <math>\mathbf{v}</math> ; таким образом, нет необходимости использовать [[Формулы векторного анализа|обозначение индексов Фейнмана]] в приведённом уравнении. Используя цепное правило, [[Полная производная функции|полная производная]] от <math>\mathbf{A}</math> является:

: <math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{A} </math>

так что приведенное выше выражение принимает вид

: <math>\mathbf{F} = q\left[-\nabla (\phi-\mathbf{v}\cdot\mathbf{A})- \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t}\right]</math> .

При '''v''' = '''ẋ''' уравнение можно переписать в удобной форме Эйлера — Лагранжа
{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math>\mathbf{F} = q\left[-\nabla_{\mathbf{x}}(\phi-\dot{\mathbf{x}}\cdot\mathbf{A})+ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\nabla_{\dot{\mathbf{x}}}(\phi-\dot{\mathbf{x}}\cdot\mathbf{A})\right]</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
где введены обозначения

<math>\nabla_{\mathbf{x}} = \hat{x} \dfrac{\partial}{\partial x} + \hat{y} \dfrac{\partial}{\partial y} + \hat{z} \dfrac{\partial}{\partial z}</math>

и

<math>\nabla_{\dot{\mathbf{x}}} = \hat{x} \dfrac{\partial}{\partial \dot{x}} + \hat{y} \dfrac{\partial}{\partial \dot{y}} + \hat{z} \dfrac{\partial}{\partial \dot{z}}</math> .

== Сила Лоренца и аналитическая механика ==
[[Лагранжева механика|Лагранжиан]] для заряженной частицы с массой ''m'' и зарядом ''q'' в электромагнитном поле описывает динамику частицы с точки зрения её ''энергии'', а не силы, действующей на неё. Классическое выражение задается следующим образом:<ref>Classical Mechanics (2nd Edition), T.W.B. Kibble, European Physics Series, McGraw Hill (UK), 1973, {{ISBN|0-07-084018-0}}.</ref>

: <math>L=\frac{m}{2}\mathbf{\dot{r}}\cdot\mathbf{\dot{r}}+q\mathbf{A}\cdot\mathbf{\dot{r}}-q\phi</math>

где '''A''' и <math>\phi</math> — потенциалы, как указано выше. Величину <math>V = q(\phi - \mathbf{A}\cdot\mathbf{\dot{r}})</math> можно рассматривать как потенциальную функцию, зависящую от скорости.<ref>{{Cite book|last=Lanczos, Cornelius, 1893-1974.|title=The variational principles of mechanics|url=https://archive.org/details/variationalprinc0004lanc|date=January 1986|isbn=0-486-65067-7|edition=Fourth|location=New York}}</ref> Используя [[Лагранжева механика|уравнения Лагранжа,]] можно снова получить уравнение для силы Лоренца, приведённое выше.
: {| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align: left"
!Вывод силы Лоренца из классического Лангранжана (единицы СИ)
|-
|В поле '''A''', частица двигающаяся со скоростью '''v''' = '''ṙ''' обладает [[импульс]]ом <math>q\mathbf{A}(\mathbf{r},t)</math>, тогда её потенциальная энергия равна <math>q\mathbf{A}(\mathbf{r},t)\cdot\mathbf{\dot{r}}</math>. В поле ''ϕ'', потенциальная энергия частицы равна <math>q\phi(\mathbf{r},t)</math>.

Полная [[потенциальная энергия]] записывается в виде

: <math>V=q\phi-q\mathbf{A}\cdot\mathbf{\dot{r}}</math>

и [[кинетическая энергия]]:

: <math>T=\frac{m}{2}\mathbf{\dot{r}}\cdot\mathbf{\dot{r}}</math>

Отсюда Лагранжан:

: <math>L=T-V=\frac{m}{2}\mathbf{\dot{r}}\cdot\mathbf{\dot{r}}+q\mathbf{A}\cdot\mathbf{\dot{r}}-q\phi</math>

: <math>L=\frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2) + q(\dot{x}A_x+\dot{y}A_y+\dot{z}A_z) - q\phi</math>

Уравнения Лагранжа

: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial L}{\partial x}</math>

(аналогично для ''y'' и ''z'' компонент). Вычисление частных производных приводит к

: <math>\begin{align}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} & =m\ddot{x}+q\frac{\mathrm{d} A_x}{\mathrm{d}t} \\
& = m\ddot{x}+ \frac{q}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial A_x}{\partial t}dt+\frac{\partial A_x}{\partial x}dx+\frac{\partial A_x}{\partial y}dy+\frac{\partial A_x}{\partial z}dz\right) \\
& = m\ddot{x}+ q\left(\frac{\partial A_x}{\partial t}+\frac{\partial A_x}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial A_x}{\partial y}\dot{y}+\frac{\partial A_x}{\partial z}\dot{z}\right)\\
\end{align}</math>

: <math>\frac{\partial L}{\partial x}= -q\frac{\partial \phi}{\partial x}+ q\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial A_y}{\partial x}\dot{y}+\frac{\partial A_z}{\partial x}\dot{z}\right)</math>

уравнивая и упрощая выражение

: <math>m\ddot{x}+ q\left(\frac{\partial A_x}{\partial t}+\frac{\partial A_x}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial A_x}{\partial y}\dot{y}+\frac{\partial A_x}{\partial z}\dot{z}\right)= -q\frac{\partial \phi}{\partial x}+ q\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial A_y}{\partial x}\dot{y}+\frac{\partial A_z}{\partial x}\dot{z}\right)</math>

: <math>\begin{align} F_x & = -q\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{\partial A_x}{\partial t}\right) + q\left[\dot{y}\left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right)+\dot{z}\left(\frac{\partial A_z}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial z}\right)\right] \\
& = qE_x + q[\dot{y}(\nabla\times\mathbf{A})_z-\dot{z}(\nabla\times\mathbf{A})_y] \\
& = qE_x + q[\mathbf{\dot{r}}\times(\nabla\times\mathbf{A})]_x \\
& = qE_x + q(\mathbf{\dot{r}}\times\mathbf{B})_x
\end{align}</math>

и аналогично для ''y'' и ''z'' компонент. Уравнение для силы

: <math>\mathbf{F}= q(\mathbf{E} + \mathbf{\dot{r}}\times\mathbf{B})</math>
|}

Потенциальная энергия зависит от скорости частицы, поэтому сила зависит от скорости, и соответственно она не является консервативной.

Релятивистский лагранжиан

: <math>L = -mc^2\sqrt{1-\left(\frac{\dot{\mathbf{r}}}{c}\right)^2} + q \mathbf{A}(\mathbf{r})\cdot\dot{\mathbf{r}} - q \phi(\mathbf{r}) \,\!</math>

Действие — это релятивистская [[Длина кривой|длина]] пути частицы в [[Пространство-время|пространстве-времени]], за вычетом вклада потенциальной энергии, плюс дополнительный вклад, который [[Квантовая механика|квантово-механически]] является дополнительной [[Фаза колебаний|фазой, которую]] получает заряженная частица, когда она движется вдоль векторного потенциала.
: {| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align: left"
!Вывод силы Лоренца для релятивистского Лагранжиана (единицы СИ)
|-
|
Уравнения движения получающиеся из вариационного принципа для действия

: <math> \frac{\mathrm{d}\mathbf{P}}{\mathrm{d}t} =\frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}} = q {\partial \mathbf{A} \over \partial \mathbf{r}}\cdot \dot{\mathbf{r}} - q {\partial \phi \over \partial \mathbf{r} }\,\!</math>

: <math>\mathbf{P} -q\mathbf{A} = \frac{m\dot{\mathbf{r}}}{\sqrt{1-\left(\frac{\dot{\mathbf{r}}}{c}\right)^2}}\,</math>

соответствуют уравнениям движения Гамильтона:

: <math> \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial}{\partial \mathbf{p}}\left ( \sqrt{(\mathbf{P}-q\mathbf{A})^2 +(mc^2)^2} + q\phi \right ) \,\!</math>
: <math> \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = -{\partial \over \partial \mathbf{r}}\left ( \sqrt{(\mathbf{P}-q\mathbf{A})^2 + (mc^2)^2} + q\phi \right ) \,\!</math>

которые эквиваленты следующему выражению в неканонической форме

: <math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ( {m\dot{\mathbf{r}} \over \sqrt{1-\left(\frac{\dot{\mathbf{r}}}{c}\right)^2}} \right ) = q\left ( \mathbf{E} + \dot\mathbf{r} \times \mathbf{B} \right ) . \,\!</math>

Это выражение описывает силу Лоренца, — скорость с которой электромагнитное поле передаёт релятивистский импульс частице.
|}

== Релятивистская форма силы Лоренца ==

=== Ковариантная форма силы Лоренца. ===

==== Тензор поля ====
Используя [[Сигнатура (линейная алгебра)|сигнатуру метрики]] {{Nobr|(1, −1, −1, −1)}}, сила Лоренца для заряда ''q'' может быть записана в<ref>Jackson, J.D. Chapter 11</ref> [[Лоренц-ковариантность|ковариантной форме]] :{{Equation box 1|cellpadding|border|indent=:|equation=<math> \frac{\mathrm{d} p^\alpha}{\mathrm{d} \tau} = q  F^{\alpha \beta} U_\beta </math>|border colour=#50C878|background colour=#ECFCF4}}где ''p <sup>α</sup>'' — [[Четырёхимпульс|четырёхмерный импульс]], определяемый как

: <math>p^\alpha = \left(p_0, p_1, p_2, p_3 \right) = \left(\gamma m c, p_x, p_y, p_z \right) \, ,</math>

''τ'' [[собственное время]] частицы, ''F <sup>αβ</sup>'' — контравариантный [[тензор электромагнитного поля]]

: <math>F^{\alpha \beta} = \begin{pmatrix}
0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\
E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{pmatrix}
</math>

и ''U'' — ковариантная 4-скорость частицы, определяемая как:

: <math>U_\beta = \left(U_0, U_1, U_2, U_3 \right) = \gamma \left(c, -v_x, -v_y, -v_z \right) \, ,</math>

где [[Лоренц-фактор]]

: <math>\gamma(v)=\frac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1- \frac{v_x^2 + v_y^2+ v_z^2}{c^2}}}</math>

Поля преобразуются в систему, движущуюся относительно неподвижной системы с постоянной скоростью, с помощью:

: <math> F'^{\mu \nu} = {\Lambda^{\mu}}_{\alpha} {\Lambda^{\nu}}_{\beta} F^{\alpha \beta} \, ,</math>

где Λ ''<sup>μ</sup> <sub>α</sub>'' — тензор [[преобразования Лоренца]].

==== Перевод в векторные обозначения ====
Компонента {{Nobr|1=''α'' = 1}} (''x'' -компонента) силы равна

: <math> \frac{\mathrm{d} p^1}{\mathrm{d} \tau} = q U_\beta F^{1 \beta} = q\left(U_0 F^{10} + U_1 F^{11} + U_2 F^{12} + U_3 F^{13} \right) .</math>

Подставляя компоненты ковариантного тензора электромагнитного поля ''F,'' получаем

: <math> \frac{\mathrm{d} p^1}{\mathrm{d} \tau} = q \left[U_0 \left(\frac{E_x}{c} \right) + U_2 (-B_z) + U_3 (B_y) \right] .</math>

Используя компоненты ковариантных четырёхскоростей

: <math> \begin{align}
 \frac{\mathrm{d} p^1}{\mathrm{d} \tau} & = q \gamma \left[c \left(\frac{E_x}{c} \right) + (-v_y) (-B_z) + (-v_z) (B_y) \right] \\
 &= q \gamma \left(E_x + v_y B_z - v_z B_y \right) \\
 & = q \gamma \left[ E_x + \left( \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right)_x \right] \, .
\end{align} </math>

Расчет для {{Nobr|1=''α'' = 2}}, 3 (компоненты силы в направлениях ''y'' и ''z'') приводит к аналогичным результатам, поэтому объединение 3 уравнений в одно:

: <math> \frac{\mathrm{d} \mathbf{p} }{\mathrm{d} \tau} = q \gamma\left( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right) \,, </math>

и поскольку дифференциалы по координатному времени ''dt'' и собственному времени ''dτ'' связаны между собой Лоренц-фактором,

: <math>dt=\gamma(v)d\tau\,,</math>

в итоге можно записать

: <math> \frac{\mathrm{d} \mathbf{p} }{\mathrm{d} t} = q \left( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right)\, .</math>

Это в точности закон Лоренца, однако '''p''' — это релятивистское выражение,

: <math>\mathbf{p}=\gamma(v) m_0 \mathbf{v} \,.</math>

=== Сила Лоренца в алгебре пространства-времени (STA) ===
{{проверить перевод}} Электрическое и магнитное поля зависят от скорости наблюдателя, поэтому релятивистскую форму закона Лоренца лучше всего можно продемонстрировать, исходя из не зависящего от координат выражения для электромагнитного и магнитного полей. <math>\mathcal{F}</math>, и произвольное направление времени, <math>\gamma_0</math>. С помощью алгебры пространства-времени (или геометрической алгебры пространства-времени), типа [[Алгебра Клиффорда|алгебры Клиффорда,]] определённой в [[Псевдоевклидово пространство|псевдоевклидовом пространстве]]<ref>{{Cite web|url=http://geocalc.clas.asu.edu/html/STC.html|title=SpaceTime Calculus|author=Hestenes|first=David|author-link=David Hestenes|access-date=2021-03-15|archive-date=2021-05-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20210509173428/http://geocalc.clas.asu.edu/html/STC.html|deadlink=no}}</ref> запишутся

: <math>\mathbf{E} = (\mathcal{F}\cdot\gamma_0)\gamma_0</math>

и

: <math>i\mathbf{B} = (\mathcal{F}\wedge\gamma_0)\gamma_0</math>

<math>\mathcal F</math> представляет собой бивектор пространства-времени (ориентированный плоский сегмент, по аналогии с вектором, который является ориентированным линейным сегментом), который имеет шесть степеней свободы, соответствующих бустам (вращения в плоскостях пространства-времени) и вращениям (вращениям в плоскостях пространства-пространства). Скалярное произведение с вектором <math>\gamma_0</math> вытягивает вектор (в пространственной алгебре) из трансляционной части, в то время как ''внешнее произведение'' создаёт тривектор (в пространственной алгебре), который двойственен вектору, который является обычным вектором магнитного поля. Релятивистская скорость задаётся (времениподобными) изменениями вектора времени-координаты <math>v=\dot x</math>, где

: <math>v^2 = 1,</math>

(что показывает наш выбор метрики), а скорость равна

: <math>\mathbf{v} = cv \wedge \gamma_0 / (v \cdot \gamma_0).</math>

Правильная (инвариант — неадекватный термин, потому что никакое преобразование не было определено) форма закона Лоренца
{{Equation box 1|cellpadding|border|indent=:|equation=<math> F = q\mathcal{F}\cdot v</math>|border colour=#50C878|background colour=#ECFCF4}}
Здесь порядок важен, потому что между бивектором и вектором скалярное произведение антисимметрично. При таком расщеплении пространства-времени можно получить скорость и поля, как указано выше, что дает обычное выражение.

=== Сила Лоренца в общей теории относительности ===
В [[Общая теория относительности|общей теории относительности]] уравнение движения частицы с массой <math>m</math> и зарядом <math>e</math>, двигающейся в пространстве с метрическим тензором <math>g_{ab}</math> и электромагнитном поле <math>F_{ab}</math>, задаётся как

: <math>
m\frac{du_c}{ds}-m\frac{1}{2}g_{ab,c}u^au^b=eF_{cb}u^b \;,
</math>

где <math>u^a= dx^a/ds</math> (<math>dx^a</math> берется вдоль траектории), <math>g_{ab,c}= \partial g_{ab}/\partial x^c</math>, и <math>ds^2=g_{ab}dx^adx^b</math> .

Уравнение также можно записать как

: <math>
m\frac{du_c}{ds}-m\Gamma_{abc}u^au^b=eF_{cb}u^b \;,
</math>

куда <math>\Gamma_{abc}</math> — [[Связность Леви-Чивиты|символы Кристоффеля]] (метрическая связность без кручения в общей теории относительности), или как

: <math>
m\frac{Du_c}{ds}=eF_{cb}u^b \;,
</math>

куда <math>D</math> — [[Ковариантная производная|ковариантный дифференциал]] в общей теории относительности (метрический, без кручения).

== Приложения ==
Сила Лоренца присутствует во многих устройствах, в том числе:
[[Файл:Lorentz force-2 pictures prPNr°01.jpg|thumb|320px|Эксперимент, показывающий воздействие силы Лоренца на заряженные частицы]]
[[Файл:Cyclotron motion wider view.jpg|thumb|320px|Пучок электронов, движущихся по круговой траектории под воздействием магнитного поля. Свечение вызвано возбуждением атомов остаточного газа в баллоне]]
* Основным применением силы Лоренца (точнее, её частного случая — [[сила Ампера|силы Ампера]]) являются [[электрические машины]] (электродвигатели и генераторы). Сила Лоренца широко используется в электронных приборах для воздействия на заряженные частицы ([[электрон]]ы и иногда [[ион]]ы), например в телевизионных [[электронно-лучевая трубка|электронно-лучевых трубках]], а также в [[масс-спектрометрия|масс-спектрометрии]] и [[Магнитогидродинамический генератор|МГД-генераторах]].
* Сила Лоренца также используется в [[ускоритель заряженных частиц|ускорителях заряженных частиц]]: она задаёт орбиту, по которой движутся эти частицы.
* Сила Лоренца используется в [[рельсотрон]]е.
* [[Велосиметрия силой Лоренца]] заключается в бесконтактном измерении скорости движения проводящей жидкости.
* [[Циклотрон]]ы и другие [[Ускоритель заряженных частиц|ускорители частиц с круговым движением]]
* [[Масс-спектрометрия|Масс-спектрометры]]
* Фильтры скорости
* [[Магнетрон]]ы

== См. также ==
* [[Радиационное трение]]

== Примечания ==
{{примечания}}
{{rq|refless|sources}}

== Литература ==
* {{Cite book|first1=Richard Phillips|last1=Feynman|first2=Robert B.|last2=Leighton|first3=Matthew L.|last3=Sands|title=The Feynman lectures on physics (3 vol.)|publisher=Pearson / Addison-Wesley|year=2006|isbn=0-8053-9047-2}}: volume 2.
* {{Cite book|first1=David J.|last1=Griffiths|title=Introduction to electrodynamics|url=https://archive.org/details/introductiontoel0ed3grif|publisher=Prentice-Hall|year=1999|isbn=0-13-805326-X}}
* {{Cite book|first1=John David|last1=Jackson|title=Classical electrodynamics|url=https://archive.org/details/classicalelectro0000jack_e8g9|publisher=Wiley|year=1999|isbn=0-471-30932-X}}
* {{Cite book|first1=Raymond A.|last1=Serway|first2=John W., Jr.|last2=Jewett|title=Physics for scientists and engineers, with modern physics|url=https://archive.org/details/physicsforscient0002serw_w4o5|publisher=Thomson Brooks/Cole|year=2004|isbn=0-534-40846-X}}
* {{Cite book|first1=Mark A.|last1=Srednicki|title=Quantum field theory|publisher=Cambridge University Press|year=2007|isbn=978-0-521-86449-7}}

== Ссылки ==
* {{YouTube|D5IEhekhREQ|Определение направления силы Лоренца. Правило правого винта}}
{{вс}}
[[Категория:Электромагнетизм]]
[[Категория:Сила|Лоренца]]
[[Категория:Гироскопические силы|Лоренца]]