Просмотр кода страницы Симплекс

{{другие значения}}
'''Си́мплекс''' или '''''n''-ме́рный тетра́эдр''' (от {{lang-la|simplex}} ‘простой’) — [[геометрическая фигура]], являющаяся [[N-мерное евклидово пространство|''n''-мерным]] обобщением [[треугольник]]а.

== Определение ==
Симплекс (точнее, ''n''-симплекс, где число ''n'' называется '''размерностью''' симплекса) — это [[выпуклая оболочка]] ''n'' + 1 точки [[аффинное пространство|аффинного пространства]] (размерности ''n'' или больше), которые предполагаются [[аффинная независимость|аффинно независимыми]] (то есть не лежат в подпространстве размерности ''n'' − 1). Эти точки называются '''вершинами''' симплекса{{sfn|Александров и Пасынков|1973|с=197—198}}<ref>{{книга|автор=[[Залгаллер, Виктор Абрамович|Залгаллер В. А.]] |часть=Симплекс|заглавие=Математическая энциклопедия. Т. 4|ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t4.djvu|ответственный=Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]]|место=М.|издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]|год=1984|archive-date=2022-01-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20220121054322/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t4.djvu}} — 1216 стб. — Стб. 1151.</ref>.

Симплекс может быть охарактеризован как множество всевозможных [[выпуклая комбинация|выпуклых комбинаций]] своих вершин <math>A_i</math>:
: <math>\Delta=\left\{ \sum_{i=0}^n t_i A_i : \left(\sum_{i=0}^n t_i = 1\right) \wedge (\forall i \; t_i \geqslant 0) \right\}.</math>

== Связанные определения ==
[[Файл:Tetrahedron.png|right|240px|thumb|Модель правильного 3-симплекса]]
* '''''Открытым симплексом''''' называется множество всевозможных [[барицентрическая комбинация|барицентрических комбинаций]] своих вершин с положительными коэффициентами (при этом симплекс с теми же вершинами, удовлетворяющий определению из предыдущего раздела, именуют также '''''замкнутым симплексом'''''; в соответствии с терминологией [[общая топология|общей топологии]], замкнутый симплекс есть [[замыкание (геометрия)|замыкание]] соответствующего открытого симплекса, а этот открытый симплекс есть [[внутренность|открытое ядро]] замкнутого симплекса){{sfn|Александров и Пасынков|1973|с=197—198}}{{sfn|Александров|1968|с=355}}.
* '''''Остовом''''' симплекса называется множество всех его вершин{{sfn|Александров и Пасынков|1973|с=198}}.
* '''''Рёбрами''''' симплекса называются отрезки, соединяющие его вершины{{sfn|Болтянский|1973|с=211}}.
* '''''Гранями''''' размерности ''s'' симплекса называются ''s''-мерные симплексы, остовами которых служат [[подмножество|подмножества]] остова исходного симплекса<ref name=Baladze>{{книга|автор=Баладзе Д. О. |часть=Комплекс|заглавие=Математическая энциклопедия. Т. 2|ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu|ответственный=Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]]|место=М.|издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]|год=1984|archive-date=2012-11-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20121120171156/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu}} — 1104 стб. — Стб. 995—1101.</ref>.
* Симплекс называют '''''ориентированным''''', если его остов представляет собой [[вполне упорядоченное множество]]; при этом считается, что порядки, отличающиеся друг от друга [[чётная перестановка|чётной перестановкой]] вершин, '''''задают одинаковую''''' (под '''''ориентированным <math>0</math>-симплексом''''' понимается точка, которой приписан знак: «плюс» или «минус»)<ref name=Baladze/><ref>{{книга|автор=[[Рудин, Уолтер|Рудин У.]] |заглавие=Основы математического анализа. 2-е изд|место=М.|издательство=[[Мир (издательство)|Мир]]|год=1976|страниц=319}} — С. 257—258.</ref>.
* Симплекс, лежащий в [[евклидово пространство|евклидовом пространстве]], называется '''''правильным''''', если все его рёбра имеют одинаковую длину<ref name=Parks>{{книга|автор=Parks H. R., Wills D. C. |часть=An Elementary Calculation of the Dihedral Angle of the Regular ''n''-Simplex|ссылка часть=https://www.jstor.org/stable/3072403?seq=1#page_scan_tab_contents|заглавие=''The American Mathematical Monthly'', 2002, '''109''' (8)}} — P. 756—758. — {{DOI|10.2307/3072403}}.</ref>.

=== Стандартный симплекс ===
[[Файл:2D-simplex.svg|right|200px|thumb|Зелёный треугольник — стандартный 2-симплекс]]
'''''Стандартный <math>n</math>-симплекс''''' — это подмножество [[арифметическое пространство|арифметического пространства]] <math>\mathbb{R}^{n+1}</math>, определяемое как{{sfn|Кострикин и Манин|1986|с=200—201}}
: <math>\Delta^n = \left\{ (t_0, \dots, t_n) : \left(\sum_{i=0}^n t_i = 1\right) \wedge (\forall i \; t_i \geqslant 0) \right\}.</math>

Его вершинами являются точки{{sfn|Кострикин и Манин|1986|с=200—201}}
: ''e''<sub>0</sub> = (1, 0, …, 0),
: ''e''<sub>1</sub> = (0, 1, …, 0),
: …
: ''e''<sub>''n''</sub> = (0, 0, …, 1).

Существует [[каноничность|каноническое]] [[взаимно-однозначное отображение]] стандартного <math>n</math>-симплекса в любой другой <math>n</math>-симплекс Δ с координатами вершин <math>(v_0, v_1, \dots, v_n)</math>:
: <math>(t_0, \dots, t_n) \mapsto \sum_i t_i v_i.</math>
Значения <math>t_i</math> для данной точки симплекса Δ называются её [[барицентрические координаты|барицентрическими координатами]]{{sfn|Александров|1968|с=355}}.

== Свойства ==
* ''n''-мерный симплекс имеет <math>n + 1</math> вершин, любые <math>k + 1</math> из которых образуют ''k''-мерную грань. 
** В частности, число ''k''-мерных граней в ''n''-симплексе равно [[биномиальный коэффициент|биномиальному коэффициенту]] <math>\tbinom{n + 1}{k + 1}.</math>
** В частности, число граней старшей размерности совпадает с количеством вершин и равно <math>n + 1</math>.
* [[Ориентированный объём]] ''n''-симплекса в ''n''-мерном [[евклидово пространство|евклидовом пространстве]] можно определить по формуле
*: <math>V = \frac{1}{n!} \det(v_1 - v_0, v_2 - v_0, \dots, v_n - v_0).</math>
**[[Определитель Кэли — Менгера]] позволяет вычислить объём симплекса, зная длины его рёбер:
**: <math>V^2 = \frac{(-1)^{n-1}}{2^n (n!)^2} \begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\
1 & 0 & d_{01}^2 & d_{02}^2 & \dots & d_{0n}^2 \\
1 & d_{10}^2 & 0 & d_{12}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\
1 & d_{20}^2 & d_{21}^2 & 0 & \dots & d_{2n}^2 \\
\vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\
1 & d_{n0}^2 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & \dots & 0 \\
\end{vmatrix},</math>
::где <math>d_{ij} = |v_i - v_j|</math> — расстояние между ''i''-й и ''j''-й вершинами, ''n'' — [[размерность пространства]]. Эта формула является обобщением [[формула Герона|формулы Герона]] для треугольников.
:* Объём правильного ''n''-симплекса с единичной стороной равен <math>\frac{\sqrt{n + 1}}{n!\cdot 2^{n/2}}</math>.
* Радиус <math>R</math> описанной ''n''-мерной сферы удовлетворяет соотношению
*:<math>(R \cdot V)^2 = T,</math> 
: где <math>V</math> — объём симплекса, и
:: <math>T = \frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}{(n!)}^2} \begin{vmatrix}
0        & d_{01}^2 & d_{02}^2 & \dots  & d_{0n}^2 \\
d_{10}^2 & 0        & d_{12}^2 & \dots  & d_{1n}^2 \\
d_{20}^2 & d_{21}^2 & 0        & \dots  & d_{2n}^2 \\
\vdots   & \vdots   & \vdots   & \ddots & \vdots   \\
d_{n0}^2 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & \dots  & 0        \\
\end{vmatrix}.</math>

== Построение ==
[[Файл:1-tetrahedron to 2-tetrahedron.gif|thumb|Преобразование 1-симплекса в 2-симплекс]]
[[Файл:2-tetrahedron to 3-tetrahedron.gif|thumb|Преобразование 2-симплекса в 3-симплекс]]
Если размерность пространства равна ''n'', то через любые ''n'' его [[точка (геометрия)|точек]] можно провести [[гиперплоскость]], и существуют множества из ''n'' + 1 точки, через которые гиперплоскость провести нельзя. Таким образом, ''n'' + 1 — минимальное число таких точек ''n''-мерного [[аффинное пространство|пространства]], которые не лежат в одной гиперплоскости; эти точки могут служить вершинами ''n''-мерного [[многогранник]]а{{sfn|Александров|1968|с=353—355}}.

Простейший ''n''-мерный [[многогранник]] с количеством вершин ''n'' + 1 как раз и называется ''симплексом'' (принято также название «''n''-мерный [[тетраэдр]]»). В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют такие фигуры{{sfn|Кострикин и Манин|1986|с=201}}:
* 0-симплекс ([[точка (геометрия)|точка]]) — 1 вершина;
* 1-симплекс ([[отрезок]]) — 2 вершины; 
* 2-симплекс ([[треугольник]]) — 3 вершины; 
* 3-симплекс ([[тетраэдр]]) — 4 вершины.

Все эти фигуры обладают тремя общими свойствами.
# В соответствии с определением, число вершин у каждой фигуры на единицу больше размерности пространства. 
# Существует общее правило преобразования симплексов низшей размерности в симплексы высшей размерности. Оно заключается в том, что из некоторой точки симплекса проводят [[луч (геометрия)|луч]], не лежащий в [[аффинная оболочка|аффинной оболочке]] данного симплекса, и на этом луче выбирают новую вершину, которую соединяют [[ребро (геометрия)|рёбрами]] со всеми вершинами исходного симплекса.
# Как следует из описанной в пункте 2 процедуры, любая вершина симплекса соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

== Описанная сфера ==
Вокруг любого ''n''-симплекса в [[евклидово пространство|евклидовом пространстве]] можно описать [[гиперсфера|''n''-сферу]].

{{Hider|
  title = Доказательство|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content = 
[[Файл:Circumsphere over 2-tetrahedron.gif|thumb|Построение описанной 2-сферы вокруг 1-симплекса с дополнительной точкой]]

Для 1-симплекса это утверждение очевидно. Описанная 1-сфера будет представлять собой две равноудалённые от центра отрезка точки, совпадающие с концами отрезка, и её [[радиус]] будет составлять ''R'' = ''a''/2. Добавим к 1-симплексу ещё одну точку и попробуем описать вокруг них 2-сферу.

Построим 2-сферу ''s''<sub>0</sub> радиусом ''a''/2 таким образом, чтобы отрезок ''АВ'' был её [[диаметр]]ом. Если точка ''С'' находится за пределами [[окружность|окружности]] ''s''<sub>0</sub>, то, увеличивая радиус окружности и смещая её в сторону точки ''С'', можно добиться того, что все три точки окажутся на окружности. Если же точка ''С'' лежит внутри окружности ''s''<sub>0</sub>, то подогнать окружность под эту точку можно, увеличивая её радиус и смещая в сторону, противоположную точке ''С''. Как видно из рисунка, сделать это можно в любом случае, когда точка ''С'' не лежит на одной прямой с точками ''А'' и ''В''. Не является помехой и несимметричное расположение точки ''С'' относительно отрезка ''АВ''.

Рассматривая общий случай, предположим, что существует (''n'' − 1)-сфера S<sub>''n''−1</sub> радиуса ''r'', описанная вокруг некоторой (''n''–1)-мерной фигуры. Поместим центр сферы в начало координат. Уравнение сферы будет иметь вид

: <math>
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + \dots + x_{n-1}^2 = r^2. \qquad (1)
</math>

Построим ''n''-сферу с центром в точке (0, 0, 0, ... 0, ''h''<sub>''S''</sub>) и радиусом ''R'', причём 
: <math>
R^2 = r^2 + h_S^2.
</math>
Уравнение этой сферы
: <math>
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + \dots + x_{n-1}^2 + (x_n - h_S)^2 = r^2 + h_S^2,
</math>
или
:<math>
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + \dots + x_{n-1}^2 = r^2 - x_n^2 + 2x_nh_S. \qquad (2)
</math>

Подставив в уравнение (2) ''x''<sub>''n''</sub> = 0, получим уравнение (1). Таким образом, при любом ''h''<sub>''S''</sub> сфера ''S''<sub>''n''−1</sub> является подмножеством сферы ''S''<sub>''n''</sub>, а именно — её сечением плоскостью ''x''<sub>''n''</sub> = 0.

Предположим, что точка ''С'' имеет [[координата|координаты]] (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub> ). Преобразуем [[уравнение]] (2) к виду

: <math>
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + \dots + x_{n-1}^2 + x_n^2 = r^2 + 2x_nh_S
</math>

и подставим в него координаты точки ''С'':

:<math>
X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 + \dots + X_{n-1}^2 + X_n^2 = r^2 + 2X_nh_S. 
</math>

Выражение в левой части представляет собой квадрат расстояния ''R''<sub>''C''</sub> от начала координат до точки ''C'', что позволяет привести последнее уравнение к виду

: <math>
R_C^2 = r^2 + 2X_nh_S, 
</math>

откуда можно выразить параметр ''h''<sub>''S''</sub>:

:<math>
h_S = \frac{R_C^2 - r^2}{2X_n}. 
</math>

Очевидно, что ''h''<sub>S</sub> существует при любых ''R''<sub>C</sub>, ''X''<sub>''n''</sub> и ''r'', кроме ''X''<sub>''n''</sub> = 0. Это значит, что если точка ''С'' не лежит в плоскости сферы ''S''<sub>''n''−1</sub>, всегда можно найти такой параметр ''h''<sub>''S''</sub>, что на сфере ''S''<sub>''n''</sub> c центром (0, 0, 0, ..., ''h''<sub>''S''</sub>) будут лежать и сфера ''S''<sub>''n''−1</sub>, и точка ''С''. Таким образом, вокруг любых ''n'' + 1 точек можно описать ''n''-сферу, если ''n'' из этих точек лежат на одной (''n'' − 1)-сфере, и последняя точка не лежит с ними в одной (''n'' − 1)-плоскости.

Рассуждая по [[математическая индукция|индукции]], можно утверждать, что ''n''-сферу можно описать вокруг любых ''n'' + 1 точек, если они не лежат в одной (''n'' − 1)-плоскости.

}} <!-- Конец {{Hider -->

== Число граней симплекса ==
Симплекс имеет ''n'' + 1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Поскольку все вершины симплекса соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из ''L'' + 1 вершин симплекса определяют его ''L''-мерную грань, и эта грань сама является ''L''-симплексом. Тогда для симплекса число ''L''-мерных граней равно числу способов выбрать ''L'' + 1 вершину из полного набора ''n'' + 1 вершин.

Обозначим символом ''К''(''L'', ''n'') число ''L''-мерных граней в ''n''-многограннике; тогда для ''n''-симплекса

: <math>K(L, n) = C^{L+1}_{n+1},</math>

где <math>C^k_n</math> — [[сочетание|число сочетаний]] из ''n'' по ''k''.

В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно ''n'' + 1:

: <math>K(0, n) = K(n - 1, n) = n + 1.</math>

== Соотношения в правильном симплексе ==
Для правильного ''n''-мерного симплекса обозначим:
* <math>a</math> — длина стороны;
* <math>H_n</math> — высота;
* <math>V_n</math> — объём;
* <math>R_n</math> — радиус описанной сферы;
* <math>r_n</math> — радиус вписанной сферы;
* <math>\alpha_n</math> — [[двугранный угол]].

Тогда
* <math>H_n = a\sqrt{\frac{n+1}{2n}}= R_n \frac{n+1}{n}</math>
* <math>V_n =  \frac{a^n}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}}=  \frac{R^n_n}{n!} \sqrt{\left( \frac{n+1}{n} \right)^n}</math>
* <math>R_n = a\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}</math>
* <math>r_n = \frac{a}{\sqrt{2n(n+1)}}= \frac{R_n}{n}</math>
* <math>\cos \alpha = \frac{1}{n}</math>&nbsp;<ref name=Parks/>
* <math>R_n = H_n \frac{n}{n+1}</math>
* <math>a^2 = H_n^2 + R_{n-1}^2</math>
* <math>V_n = \frac{1}{n}V_{n-1}H_n </math>
* <math>r_n^2 = R_n^2 - R_{n-1}^2</math>

== Формулы для правильного симплекса ==
{| class="wikitable"
|-
| Число L-мерных граней
|colspan="5" align="center"| <math>K(L,n) = \tbinom{n+1}{L+1}</math>
|- align="center"
| align="left" | Высота
| <math>H_n = a\sqrt{\frac{n+1}{2n}}</math>
| <math>H_n = R_n \frac{n+1}{n}</math>
| <math>H_2 = a \frac{\sqrt{3}}{2}</math>
| <math>H_3 = a \frac{\sqrt{6}}{3}</math>
| <math>H_4 = a \frac{\sqrt{10}}{4}</math>
|- align="center"
| align="left" | Объём
| <math>V_n =  \frac{a^n}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}}</math>
| <math>V_n =  \frac{R^n_n}{n!} \sqrt{\left( \frac{n+1}{n} \right)^n}</math>
| <math>V_2 = a^2 \frac{\sqrt{3}}{4}</math>
| <math>V_3 = a^3 \frac{\sqrt{2}}{12}</math>
| <math>V_4 = a^4 \frac{\sqrt{5}}{96}</math>
|- align="center"
| align="left" | Радиус описанной сферы
| <math>R_n = a\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}</math>
| <math>a = R_n \sqrt{\frac{2(n+1)}{n}}</math>
| <math>R_2 = a \frac{\sqrt{3}}{3}</math>
| <math>R_3 = a \frac{\sqrt{6}}{4}</math>
| <math>R_4 = a \frac{\sqrt{10}}{5}</math>
|- align="center"
| align="left" | Радиус вписанной сферы
| <math>r_n = \frac{a}{\sqrt{2n(n+1)}}</math>
| <math>r_n = \frac{R_n}{n}</math>
| <math>r_2 = a \frac{\sqrt{3}}{6}</math>
| <math>r_3 = a \frac{\sqrt{6}}{12}</math>
| <math>r_4 = a \frac{\sqrt{10}}{20}</math>
|- align="center"
| align="left" | Двугранный угол
| colspan="5" | <math>\cos \alpha = \frac{1}{n}</math>
|}

== Симплексы в топологии ==
'''Топологическим симплексом''' называют подмножество [[топологическое пространство|топологического пространства]], которое [[гомеоморфизм|гомеоморфно]] симплексу некоторого аффинного пространства (или, что то же самое, стандартному симплексу соответствующей размерности). Понятие топологического симплекса лежит в основе теории симплициальных комплексов ([[симплициальный комплекс]] — это топологическое пространство, представленное как [[объединение множеств|объединение]] топологических симплексов, образующих [[триангуляция (геометрия)|триангуляцию]] данного пространства)<ref>{{книга|автор=Хохлов А. В. |часть=Симплициальное пространство|заглавие=Математическая энциклопедия. Т. 4|ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t4.djvu|ответственный=Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]]|место=М.|издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]|год=1984|archive-date=2022-01-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20220121054322/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t4.djvu}} — 1216 стб. — Стб. 1168.</ref>.

== См. также ==
{{колонки}}
* [[Барицентрические координаты]]
* [[Барицентрическое подразделение]]
* [[Симплекс-метод]]
* [[Симплициальный комплекс]]
* [[Пятиячейник]] 
* [[Теорема косинусов]] 
* [[Теорема о сумме углов треугольника]]
* [[Триангуляция (геометрия)]]
{{колонки/конец}}

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{книга|автор=[[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александров]]|заглавие=Комбинаторная топология|место=М.-Л.|издательство=[[ГИТТЛ]]|год=1947|страниц=660|ref=Александров}}
* {{книга|автор=[[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александров]]|заглавие=Лекции по аналитической геометрии|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1968|страниц=912|ref=Александров}}
* {{книга|автор=[[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александров]], Б. А. Пасынков|заглавие=Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1973|страниц=576|ref=Александров и Пасынков}}
* {{книга|автор=[[Болтянский, Владимир Григорьевич|В. Г. Болтянский]] |заглавие=Оптимальное управление дискретными системами|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1973|страниц=448|ref=Болтянский}}
* {{книга|автор=[[Кострикин, Алексей Иванович|А. И. Кострикин]], [[Манин, Юрий Иванович|Ю. И. Манин]]|заглавие=Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1986|страниц=304|ref=Кострикин и Манин}}
* {{книга|автор=[[Понтрягин, Лев Семёнович|Л. С. Понтрягин]]|заглавие=Основы комбинаторной топологии|место=М.-Л.|издательство=[[ГИТТЛ]]|год=1947|страниц=142|ref=Понтрягин}} — С. 23—31.

== Ссылки ==
* {{Из БСЭ|заглавие=Симплекс}}
{{Внешние ссылки}}
{{Размерность}}
[[Категория:Многомерная евклидова геометрия]]
[[Категория:Геометрические фигуры]]
[[Категория:Геометрические тела]]
[[Категория:Многогранники]]
[[Категория:Алгебраическая топология]]