Просмотр кода страницы Сингония

[[Файл:Rhodonite-122153.jpg|мини|Триклинный [[родонит]]]]
[[Файл:Vivianite-229556.jpg|мини|Моноклинный [[вивианит]]]]
[[Файл:Fayalite between Sanidine - Ochtendung, Eifel, Germany.jpg|мини|Ромбический [[фаялит]]]]
[[Файл:Anatase-131663.jpg|мини|Тетрагональный [[анатаз]]]]
[[Файл:Hematite-37914.jpg|мини|Тригональный [[гематит]]]]
[[Файл:Beryl-Albite-207519.jpg|мини|Гексагональный [[берилл]]]]
[[Файл:Spessartine-spess-11b.jpg|мини|Кубический [[спессартин]]]]

'''Сингони́я''' (от {{lang-el|[[син-|σύν]]}} «согласно, вместе, рядом» + {{lang-el2|γωνία}} «угол»; {{букв|сходноугольность}}) — классификация кристаллографических [[Группы симметрии|групп симметрии]], [[кристалл]]ов и [[Кристаллическая решётка|кристаллических решёток]] в зависимости от [[Система координат|системы координат]] (''координатного репера''); группы симметрии с единой координатной системой объединяются в одну сингонию. Кристаллы, принадлежащие к одной и той же сингонии, имеют подобные углы и рёбра [[Элементарная ячейка|элементарных ячеек]].

'''Кристалли́ческая систе́ма''' — классификация кристаллов и кристаллографических групп, основанная на наборе [[элементы симметрии|элементов симметрии]], описывающих кристалл и принадлежащих кристаллографической группе.

'''Систе́ма решётки''' — классификация кристаллических решёток в зависимости от их [[Симметрия|симметрии]].

В литературе существует путаница всех трёх понятий: сингонии<ref>{{cite web|url=http://reference.iucr.org/dictionary/Crystal_family|title=Crystal family - Online Dictionary of Crystallography|archiveurl=https://www.webcitation.org/6FHHaojOC?url=http://reference.iucr.org/dictionary/Crystal_family|archivedate=2013-03-21|access-date=2009-02-22|deadlink=no}}</ref>, кристаллической системы<ref>{{cite web|url=http://reference.iucr.org/dictionary/Crystal_system|title=Crystal system - Online Dictionary of Crystallography|archiveurl=https://www.webcitation.org/6FHHbYqzk?url=http://reference.iucr.org/dictionary/Crystal_system|archivedate=2013-03-21|access-date=2009-02-22|deadlink=no}}</ref> и системы решётки<ref>{{cite web|url=http://reference.iucr.org/dictionary/Lattice_system|title=Lattice system - Online Dictionary of Crystallography|archiveurl=https://www.webcitation.org/6GFRNXTaB?url=http://reference.iucr.org/dictionary/Lattice_system|archivedate=2013-04-29|access-date=2013-04-29|deadlink=no}}</ref>, — которые часто используются как [[синонимы]].

В русскоязычной литературе термин «система решётки» пока не используется. Обычно авторы смешивают это понятие с кристаллической системой. В книге «Основы кристаллографии»<ref>Шубников А. В., Бокий Г. Б., Флинт Е. Е., Основы кристаллографии, Изд-во АН СССР, 1940</ref> авторы используют термин «Сингония решётки» («''По симметрии узлов пространственные решетки могут быть разделены на семь категорий, называемых сингониями решеток''»). У тех же авторов сингонии называются системами («''Наиболее установившейся классификацией групп является их разделение на шесть систем по признаку симметрии комплексов граней''»).

== Сингония ==
Исторически первой классификацией кристаллов было деление на сингонии, в зависимости от кристаллографической системы координат. За координатные оси выбирались оси симметрии кристалла, а при их отсутствии — ребра кристалла. В свете современного знания о структуре кристаллов таким направлениям соответствуют [[Трансляция (кристаллография)|трансляции кристаллической решётки]], и за систему координат выбираются трансляции [[Решётка Браве|ячейки Браве]] в стандартной установке. В зависимости от соотношения между длинами этих трансляций и углами между ними <math>\alpha, \beta, \gamma</math> выделяют '''''шесть''''' различных сингоний, которые распадаются на три категории в зависимости от числа равных длин трансляций<ref>{{книга
 | автор         = Загальская Ю.Г., Литвинская Г.П., Егоров-Тисменко Ю.К.
 | заглавие      = Геометрическая кристаллография
 | ссылка        = 
 | ответственный = 
 | место         = М
 | издательство  = Издательство Московского университета
 | год           = 1986
 | том           = 
 | страниц       = 168
 | страницы      = 
 | isbn          = 
 | ref           = 
}}</ref>:

* Низшая категория (все трансляции не равны друг другу)
** [[Триклинная сингония|Триклинная]]: <math>a\ne b \ne c</math>, <math>\alpha \ne \beta \ne \gamma \ne 90 ^\circ </math>
<!-- # [[Триклинная сингония|Триклинная]] — имеет наименее симметричную элементарную ячейку, в которой нет [[ось симметрии|осей симметрии]], кроме инверсионной оси <math>\overline{1}</math> ([[центр симметрии]]);
-->
** [[Моноклинная сингония|Моноклинная]]: <math>a\ne b \ne c</math>, <math>\alpha = \gamma = 90^\circ, \beta\ne90^\circ</math>
<!-- # [[Моноклинная сингония|Моноклинная]] — имеет одну ось симметрии 2-го порядка (зеркально-поворотная), или зеркальную [[плоскость симметрии]];-->
** [[Ромбическая сингония|Ромбическая]]: <math>a\ne b \ne c</math>, <math>\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ</math>
<!-- # [[Ромбическая сингония|Ромбическая]] — имеет три зеркально-поворотных оси 2-го порядка, или три зеркальные плоскости симметрии, или одну ось 2-го порядка и две зеркальные плоскости;-->

* Средняя категория (две трансляции из трёх равны между собой)
** [[Тетрагональная сингония|Тетрагональная]]: <math>a=b \ne c</math>, <math>\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ</math>
** [[Гексагональная сингония|Гексагональная]]: <math>a=b \ne c</math>, <math>\alpha = \beta =90^\circ,  \gamma = 120^\circ</math>
<!-- # [[Гексагональная сингония|Гексагональная]] — имеет одну ось 6-го порядка;-->

* Высшая категория (все трансляции равны между собой)
** [[Кубическая сингония|Кубическая]]: <math>a=b=c</math>, <math>\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ</math>
<!-- # [[Кубическая сингония|Кубическая]], иначе изометрическая — имеет четыре оси 3-го порядка;-->

== Кристаллическая система ==
Разбиение на кристаллические системы выполняется в зависимости от набора элементов симметрии, описывающих [[Кристаллы|кристалл]]. Такое деление приводит к '''''семи''''' кристаллическим системам, две из которых — тригональная (с одной осью 3-го порядка) и гексагональная (с одной осью 6-го порядка) — имеют одинаковую по форме элементарную ячейку и поэтому относятся к одной, гексагональной, сингонии. Иногда говорят, что гексагональная сингония подразделяется на две подсингонии<ref>{{cite web|url=http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834&uri=03.htm|title="Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Теория симметрии кристаллов, ГЕОС, 2000. Глава III. Координатные системы, категории, сингонии."|access-date=2021-01-12|archive-date=2021-01-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20210113074546/http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834&uri=03.htm|deadlink=no}}</ref> или гипосингонии.<ref>Фёдоров Е. С., Курс кристаллографии. Изд. 3-е, 1901 [https://books.google.com/books?id=H14vAQAAMAAJ&pg=PA40&#v=onepage online]</ref>

Кристаллические системы также разбиваются на три категории, в зависимости от числа осей высшего порядка (осей выше второго порядка).

Возможные в трехмерном пространстве кристаллические системы с определяющими их элементами симметрии, то есть элементами симметрии, наличие которых необходимо для отнесения кристалла или точечной группы к определенной кристаллической системе:

* Низшая категория (нет осей высшего порядка)
** [[Триклинная сингония|Триклинная]]: нет симметрии или только центр инверсии <math>\overline{1}</math>
** [[Моноклинная сингония|Моноклинная]]: одна ось <math>2</math>-го порядка и/или плоскость симметрии <math>m</math>
** [[Ромбическая сингония|Ромбическая]]: три взаимно-перпендикулярных оси <math>2</math>-го порядка и/или плоскости симметрии <math>m</math> (направлением плоскости симметрии считается перпендикуляр к ней)
* Средняя категория (одна ось высшего порядка)
** [[Тетрагональная сингония|Тетрагональная]]: одна ось <math>4</math>-го порядка или <math>\overline{4}</math>
** [[Тригональная сингония|Тригональная]]: одна ось <math>3</math>-го порядка
** [[Гексагональная сингония|Гексагональная]]: одна ось <math>6</math>-го порядка или <math>\overline{6}</math>
* Высшая категория (несколько осей высшего порядка)
** [[Кубическая сингония|Кубическая]]: четыре оси <math>3</math>-го порядка

Кристаллическая система пространственной группы определяется системой соответствующей ей точечной группы. Например, группы Pbca, Cmcm, Immm, Fddd ([[Список кристаллографических групп#Список всех 230 групп|класс]] mmm) принадлежат к ромбической системе.

Современное определение кристаллической системы (применимое не только к обычным трёхмерным группам, но и для пространств любых размерностей) относит точечные группы (и производные от них пространственные группы) к одной кристаллической системе, если эти группы могут комбинироваться с одними и теми же типами решёток Браве. Например, группы mm2 и 222 обе принадлежат ромбической системе, так как для каждой из них существуют пространственные группы со всеми типами ромбической решётки (Pmm2, Cmm2, Imm2, Fmm2 и P222, C222, I222, F222), в то же время группы 32 и {{overline|6}} не принадлежат одной кристаллической системе, так как для группы 32 допустимы примитивная и дважды-центрированная гексагональные ячейки (группы P321 и R32), а группа {{overline|6}} комбинируется только с примитивной гексагональной ячейкой (есть группа P{{overline|6}}, но не существует R{{overline|6}}).

== Система решётки (Lattice system) ==
Описывает типы кристаллических решёток. Вкратце: решётки относятся к одному типу, если их точечные группы симметрии (при рассмотрении решёток как геометрических объектов) одинаковы. Такие точечные группы, описывающие симметрию решётки, называются [[голоэдрия|голоэдрией]].<ref>{{cite web|url=http://reference.iucr.org/dictionary/Holohedry|title=Holohedry - Online Dictionary of Crystallography|archiveurl=https://www.webcitation.org/6FHHcERYL?url=http://reference.iucr.org/dictionary/Holohedry|archivedate=2013-03-21|access-date=2013-01-30|deadlink=no}}</ref>

Всего существует семь систем решёток, которые, аналогично предыдущим классификациям (сингония и кристаллическая система) делятся на три категории.
* Низшая категория (все трансляции не равны друг другу)
** [[Триклинная сингония|Триклинная]]: <math>a\ne b \ne c</math>, <math>\alpha \ne \beta \ne \gamma \ne 90 ^\circ </math>
<!-- # [[Триклинная сингония|Триклинная]] — имеет наименее симметричную элементарную ячейку, в которой нет [[ось симметрии|осей симметрии]], кроме инверсионной оси <math>\overline{1}</math> ([[центр симметрии]]);
-->
** [[Моноклинная сингония|Моноклинная]]: <math>a\ne b \ne c</math>, <math>\alpha = \gamma = 90^\circ, \beta\ne90^\circ</math>
<!-- # [[Моноклинная сингония|Моноклинная]] — имеет одну ось симметрии 2-го порядка (зеркально-поворотная), или зеркальную [[плоскость симметрии]];-->
** [[Ромбическая сингония|Ромбическая]]: <math>a\ne b \ne c</math>, <math>\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ</math>
<!-- # [[Ромбическая сингония|Ромбическая]] — имеет три зеркально-поворотных оси 2-го порядка, или три зеркальные плоскости симметрии, или одну ось 2-го порядка и две зеркальные плоскости;-->

* Средняя категория
** [[Тетрагональная сингония|Тетрагональная]]: <math>a=b \ne c</math>, <math>\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ</math>
** [[Гексагональная сингония|Гексагональная]]: <math>a=b \ne c</math>, <math>\alpha = \beta =90^\circ,  \gamma = 120^\circ</math>
** [[Тригональная сингония|Ромбоэдрическая]]: <math>a = b = c</math>, <math>\alpha = \beta = \gamma < 120^\circ \ne 90^\circ</math>
<!-- # [[Гексагональная сингония|Гексагональная]] — имеет одну ось 6-го порядка;-->

* Высшая категория (все трансляции равны между собой)
** [[Кубическая сингония|Кубическая]]: <math>a=b=c</math>, <math>\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ</math>
<!-- # [[Кубическая сингония|Кубическая]], иначе изометрическая — имеет четыре оси 3-го порядка;-->

Не следует путать ромбоэдрическую систему решётки с тригональной кристаллической системой. Кристаллы ромбоэдрической системы решётки всегда принадлежат тригональной кристаллической системе, но тригональные кристаллы могут принадлежать как ромбоэдрической, так и гексагональной системам решётки. Например, группы R{{overline|3}} и P321 (обе из тригональной кристаллической системы) принадлежат к разным системам решётки (ромбоэдрической и гексагональной, соответственно).

Общее определение, применимое для пространств любых размерностей — Решётки относятся к одному типу, если они комбинируются с одними и теми же точечными группами. Например, все ромбические решётки (ромбическая P, ромбическая C, ромбическая I и ромбическая F) относятся к одному типу, так как они комбинируются с точечными группами 222, mm2 и mmm, образуя пространственные группы P222, Pmm2, Pmmm; C222, Cmm2, Cmmm; I222, Imm2, Immm; F222, Fmm2, Fmmm. В то же время ячейки гексагональной сингонии (примитивная P и дважды центрированная R) соответствуют разным системам решётки: обе комбинируются с точечными группами тригональной кристаллической системы, но с группами гексагональной системы комбинируется только примитивная ячейка (существуют группы P6, P{{overline|6}}, P6/m, P622, P6mm, P{{overline|6}}m2, P6/mmm, но не существует групп R6, R{{overline|6}}, R6/m, R622, R6mm, R{{overline|6}}m2, R6/mmm).

Связь между сингонией, кристаллической системой и системой решётки в трёхмерном пространстве дана в следующей таблице:
{|class="wikitable" cellpadding=4 cellspacing=0
|-align=center
!bgcolor=#e0e0e0|'''Сингония'''
!Кристаллическая система
!bgcolor=#e0e0e0|'''[[Кристаллографическая точечная группа симметрии|Точечные группы]]
!bgcolor=#e0e0e0 width=160|'''Число [[пространственная группа|пространственных групп]]'''
!bgcolor=#e0e0e0 width=160|'''[[Решётка Браве]]'''<ref>de Wolff et al., Nomenclature for crystal families, Bravais-lattice types and arithmetic classes, Acta Cryst. (1985). A41, 278—280. [http://www.iucr.org/resources/commissions/crystallographic-nomenclature/bravais online] {{Wayback|url=http://www.iucr.org/resources/commissions/crystallographic-nomenclature/bravais |date=20130127024825 }}</ref>
!Система решётки
![[Голоэдрия]]
|-
|colspan=2|[[Триклинная сингония|Триклинная]]
|align=center| ''1, {{overline|1}}''
|align=center| 2
|align=center| ''aP''
|align=center|[[Триклинная сингония|Триклинная]]
|align=center| ''{{overline|1}}''
|-
|colspan=2|[[Моноклинная сингония|Моноклинная]]
|align=center| ''2, m, 2/m''
|align=center|13
|align=center|''mP, mS''
|align=center|[[Моноклинная сингония|Моноклинная]]
|align=center| ''2/m''
|-
|colspan=2|[[Ромбическая сингония|Ромбическая]]
|align=center| ''222, mm2, mmm''
|align=center|59
|align=center|''oP, oS, oI, oF''
|align=center|[[Ромбическая сингония|Ромбическая]]
|align=center| ''mmm''
|-
|colspan=2|[[Тетрагональная сингония|Тетрагональная]]
|align=center| ''4, {{overline|4}}, 422, 4mm, {{overline|4}}2m, 4/m, 4/mmm''
|align=center|68
|align=center|''tP, tI''
|align=center|[[Тетрагональная сингония|Тетрагональная]]
|align=center| ''4/mmm''
|-
|rowspan=3|[[Гексагональная сингония|Гексагональная]]
|rowspan=2|[[Тригональная сингония|Тригональная]]
|rowspan=2 align=center| ''3, {{overline|3}}, 32, 3m, {{overline|3}}m''
|align=center|7
|align=center|''hR''
|align=center|Ромбоэдрическая
|align=center| ''{{overline|3}}m''
|-
|align=center|18
|align=center rowspan=2|''hP''
|align=center rowspan=2|[[Гексагональная сингония|Гексагональная]]
|align=center rowspan=2|''6/mmm''
|-
|[[Гексагональная сингония|Гексагональная]]
|align=center|''6, {{overline|6}}, 622, 6mm, {{overline|6}}m2, 6/m, 6/mmm''
|align=center|27
|-
|colspan=2|[[Кубическая сингония|Кубическая]]
|align=center|''23, m{{overline|3}}, {{overline|4}}3m, 432, m{{overline|3}}m''
|align=center|36
|align=center|''cP, cI, cF''
|align=center|[[Кубическая сингония|Кубическая]]
|align=center|''m{{overline|3}}m''
|-
!'''Всего:''' 6 ||7 ||32 ||230 ||14 ||7
|}

== Обзор точечных групп ==
{{Основной источник|<ref>Вайнштейн Б.К. Современная кристаллография. Том 1. Симметрия кристаллов, методы структурной кристаллографии. Наука, Москва, 1979.</ref><ref>Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. Наука, Москва, 1979.</ref><ref>Флинт Е.Е. Практическое руководство по геометрической кристаллографии. Изд-е 3-е, перараб. и доп., Госгеолтехиздат, Москва, 1956.</ref>}}
{|class="wikitable"
|-----
! Кристаллическая система
! [[Кристаллографическая точечная группа симметрии|точечная группа]] / класс симметрии
! [[Символ Шёнфлиса]]
! [[Символика Германа — Могена|Международный символ]]
! [[Кристаллографическая точечная группа симметрии#Символы Шубникова|Символ Шубникова]]
! Тип
|-----
| rowspan=2 | [[Триклинная сингония|триклинная]]
| моноэдрический
| C<sub>1</sub>
| <math>1\ </math>
| <math>1\ </math>
| [[Хиральность|энантиоморфный]] [[Пироэлектрики|полярный]]
|-----
| пинакоидальный
| C<sub>i</sub>
| <math>\bar{1}</math>
| <math>\tilde{2}</math>
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
|-----
| rowspan=3 | [[моноклинная сингония|моноклинная]]
| диэдрический осевой
| C<sub>2</sub>
| <math>2\ </math>
|  <math>2\ </math>
| [[Хиральность|энантиоморфный]] [[Пироэлектрики|полярный]]
|-----
| диэдрический безосный (доматический)
| C<sub>s</sub>
| <math>m\ </math>
| <math>m\ </math>
| [[Пироэлектрики|полярный]]
|-----
| [[Призма (геометрия)|призматический]]
| C<sub>2h</sub>
| <math>2/m\ </math>
| <math>2:m\ </math>
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
|-----
| rowspan=3 | [[Ромбическая сингония|Ромбическая]]
| ромбо-тетраэдрический
| D<sub>2</sub>
| <math>222\ </math>
| <math>2:2\ </math>
| [[Хиральность|энантиоморфный]]
|-----
| ромбо-[[Пирамида (геометрия)|пирамидальный]]
| C<sub>2v</sub>
| <math>mm2\ </math>
| <math>2 \cdot m\ </math>
| [[Пироэлектрики|полярный]]
|-----
| ромбо-дипирамидальный
| D<sub>2h</sub>
| <math>mmm\ </math>
| <math>m \cdot 2:m\ </math>
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
|-----
| rowspan=7 | [[Тетрагональная сингония|Тетрагональная]]
| тетрагонально-пирамидальный
| C<sub>4</sub>
| <math>4\ </math>
| <math>4\ </math>
| [[Хиральность|энантиоморфный]] [[Пироэлектрики|полярный]]
|-----
| тетрагонально-тетраэдрический
| S<sub>4</sub>
| <math>\bar{4}</math>
| <math>\tilde{4}</math>
|
|-----
| тетрагонально-дипирамидальный
| C<sub>4h</sub>
| <math>4/m\ </math>
| <math>4:m\ </math>
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
|-----
| тетрагонально-трапецоэдрический
| D<sub>4</sub>
| <math>422\ </math>
| <math>4:2\ </math>
| [[Хиральность|энантиоморфный]]
|-----
| дитетрагонально-пирамидальный
| C<sub>4v</sub>
| <math>4mm\ </math>
| <math>4 \cdot m\ </math>
| [[Пироэлектрики|полярный]]
|-----
| тетрагонально-скаленоэдрический
| D<sub>2d</sub>
| <math>\bar{4}2m\ </math> или <math>\bar{4}m2</math>
| <math>\tilde{4}\cdot m</math>
|
|-----
| дитетрагонально-дипирамидальный
| D<sub>4h</sub>
| <math>4/mmm\ </math>
| <math>m \cdot 4:m\ </math>
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
|-----
| rowspan=5 | [[Тригональная сингония|Тригональная]]
| тригонально-пирамидальный
| C<sub>3</sub>
| <math>3</math>
| <math>3\ </math>
| [[Хиральность|энантиоморфный]] [[Пироэлектрики|полярный]]
|-----
| ромбоэдрический
| S<sub>6</sub> (C<sub>3i</sub>)
| <math>\bar{3}</math>
| <math>\tilde{6}</math>
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
|-----
| тригонально-трапецоэдрический
| D<sub>3</sub>
| <math>32\ </math> или <math>321\ </math> или <math>312\ </math>
| <math>3:2\ </math>
| [[Хиральность|энантиоморфный]]
|-----
| дитригонально-пирамидальный
| C<sub>3v</sub>
| <math>3m\ </math> или <math> 3m1\ </math> или <math>31m\ </math>
| <math>3 \cdot m\ </math>
| [[Пироэлектрики|полярный]]
|-----
| дитригонально-скаленоэдрический
| D<sub>3d</sub>
| <math>\bar{3} m\ </math> или <math>\bar{3} m 1</math> или <math>\bar{3} 1 m </math>
| <math>\tilde{6}\cdot m</math>
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
|-----
| rowspan=7 | [[Гексагональная сингония|Гексагональная]]
| гексагонально-пирамидальный
| C<sub>6</sub>
| <math>6\ </math>
| <math>6\ </math>
| [[Хиральность|энантиоморфный]] [[Пироэлектрики|полярный]]
|-----
| тригонально-дипирамидальный
| C<sub>3h</sub>
| <math>\bar{6}</math>
| <math>3:m\ </math>
|
|-----
| гексагонально-дипирамидальный
| C<sub>6h</sub>
| <math>6/m\ </math>
| <math>6:m\ </math>
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
|-----
| гексагонально-трапецоэдрический
| D<sub>6</sub>
| <math>622\ </math>
| <math>6:2\ </math>
| [[Хиральность|энантиоморфный]]
|-----
| дигексагонально-пирамидальный
| C<sub>6v</sub>
| <math>6mm\ </math>
| <math>6 \cdot m\ </math>
| [[Пироэлектрики|полярный]]
|-----
| дитригонально-дипирамидальный
| D<sub>3h</sub>
| <math>\bar{6}m2</math> или <math>\bar{6}2m</math>
| <math>m \cdot 3:m\ </math>
|
|-----
| дигексагонально-дипирамидальный
| D<sub>6h</sub>
| <math>6/mmm\ </math>
| <math>m \cdot 6:m\ </math>
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
|-----
| rowspan=5 | [[Кубическая сингония|Кубическая]]
| тритетраэдрический
| T ||  <math>23\ </math>
| <math>3/2\ </math>
| [[Хиральность|энантиоморфный]]
|-----
| дидодекаэдрический
| T<sub>h</sub>
| <math>m\bar{3}\ </math>
| <math>\tilde{6}/2</math>
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
|-----
| гексатетраэдрический
| T<sub>d</sub>
| <math>\bar{4}3m</math>
| <math>3/\tilde{4}</math>
|
|-----
| триоктаэдрический
| O
| <math>432\ </math>
| <math>3/4\ </math>
| [[Хиральность|энантиоморфный]]
|-----
| гексоктаэдрический
| O<sub>h</sub>
| <math>m\bar{3}m</math>
| <math>\tilde{6}/4</math>
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
|}

== Классификация решеток ==
{|class="wikitable"
!rowspan=2 | Сингония
!colspan=5 | Тип центрировки [[Решётка Браве|ячейки Браве]]
|-
!width="120" | примитивная || базо-<br />центрированная || объёмно-<br />центрированная || гране-<br />центрированная || дважды<br />объёмно-<br />центрированная
|-
|align=center| [[Триклинная сингония|Триклинная]]<br /> ([[параллелепипед]])
|align=center| [[Файл:Triclinic.svg|80px|Triclinic]] || || || ||
|-
|align=center| [[Моноклинная сингония|Моноклинная]]<br />([[Призма (геометрия)|призма]] с [[параллелограмм]]ом в основании)
|align=center| [[Файл:Monoclinic.svg|80px|Monoclinic, simple]]
|align=center| [[Файл:Base-centered monoclinic.svg|80px|Monoclinic, centered]] || || ||
|-
|align=center| [[Ромбическая сингония|Ромбическая]]<br />([[прямоугольный параллелепипед]])
|align=center| [[Файл:Orthorhombic.svg|80px|Orthohombic, simple]]
|align=center| [[Файл:Orthorhombic-base-centered.svg|80px|Orthohombic, base-centered]]
|align=center| [[Файл:Orthorhombic-body-centered.svg|80px|Orthohombic, body-centered]]
|align=center| [[Файл:Orthorhombic-face-centered.svg|80px|Orthohombic, face-centered]] ||
|-
|align=center| [[Тетрагональная сингония|Тетрагональная]]<br /> ([[прямоугольный параллелепипед]] с [[квадрат]]ом в основании)
|align=center| [[Файл:Tetragonal.svg|80px|Tetragonal, simple]] ||
|align=center| [[Файл:Tetragonal-body-centered.svg|80px|Tetragonal, body-centered]] || ||
|-
|align=center| [[Гексагональная сингония|Гексагональная]]<br /> ([[Призма (геометрия)|призма]] с основанием правильного центрированного шестиугольника)
|align=center| [[Файл:Hexagonal latticeFRONT.svg|100px|Hexagonal]] || || ||
|align=center| [[Файл:Hexagonal latticeR.svg|100px|Hexagonal]]
|-
|align=center| [[Тригональная сингония|Тригональная]] <br /> (равносторонний [[параллелепипед]] —[[ромбоэдр]])
|align=center| [[Файл:Rhombohedral.svg|80px|Rhombohedral]]|| || || ||
|-
|align=center| [[Кубическая сингония|Кубическая]] <br />([[куб]])
|align=center| [[Файл:Cubic.svg|80px|Cubic, simple]] ||
|align=center| [[Файл:Cubic-body-centered.svg|80px|Cubic, body-centered]]
|align=center| [[Файл:Cubic-face-centered.svg|80px|Cubic, face-centered]]|| 
|}
{{-}}
<!--
In [[geometry]] and [[crystallography]], a '''Bravais lattice''' is a category of [[symmetry group]]s for [[translational symmetry]] in three directions, or correspondingly, a category of translation [[Lattice (group)|lattices]].

Such symmetry groups consist of translations by vectors of the form

: <math>\mathbf{R} = n_1 \mathbf{a}_1 + n_2 \mathbf{a}_2 + n_3 \mathbf{a}_3,</math>

where ''n''<sub>1</sub>, ''n''<sub>2</sub>, and ''n''<sub>3</sub> are [[integer]]s and ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, and ''a''<sub>3</sub> are three non-coplanar vectors, called ''primitive vectors''.

These lattices are classified by [[space group]] of the translation lattice itself; there are 14 Bravais lattices in three dimensions; each can apply in one crystal system only. They represent the maximum symmetry a structure with the translational symmetry concerned can have.

All crystalline materials must, by definition fit in one of these arrangements (not including [[quasicrystal]]s).

For convenience a Bravais lattice is depicted by a unit cell which is a factor 1, 2, 3 or 4 larger than the [[primitive cell]]. Depending on the symmetry of a crystal or other pattern, the [[fundamental domain]] is again smaller, up to a factor 48.

The Bravais lattices were studied by [[Moritz Ludwig Frankenheim]] (1801—1869), in [[1842]], who found that there were 15 Bravais lattices. This was corrected to 14 by [[Auguste Bravais|A. Bravais]] in [[1848]]

— or 1849 or 1850, Britannica has two different years.
-->

== История ==
Первая геометрическая классификация кристаллов была дана независимо [[Вейс, Христиан Самуэль|Христианом Вейсом]] и [[Моос, Карл Фридрих Христиан|Фридрихом Моосом]] в начале 19 века. Оба учёных классифицировали кристаллы по симметрии их внешней формы (огранки). При этом Вейс фактически вводит понятие кристаллографической оси (оси симметрии). По Вейсу «Ось есть линия, господствующая над всей фигурой кристалла, так как вокруг неё все части расположены подобным образом и относительно неё они соответствуют друг другу взаимно»<ref>[[Вейс, Христиан Самуэль|C. S. Weiss]] ''De indagando formarum crystallinarum charactere geometrico principali dissertatio. '' Lipsiae [Leipzig] 1809</ref>. В своей работе «Наглядное представление об естественных делениях систем кристаллизации» Вейс классифицировал кристаллы по наличию осей на четыре больших раздела кристаллических форм, «систем кристаллизации», соответствующих современному понятию сингонии<ref>[[Вейс, Христиан Самуэль|C. S. Weiss]]: ''Ueber die natürlichen Abtheilungen der Crystallisations Systeme.'' Abhandl. k. Akad. Wiss., Berlin 1814—1815, S. 290—336.</ref>. В скобках даны современные названия.

* 1 раздел — «правильная», «сфероэдрическая», «равноосная», «равночленная» (кубическая) система: три измерения одинаковы, образуя между собой прямые углы.
** подраздел гомосфероэдрическая система (кристаллы симметрии m{{overline|3}}m)
** подраздел гемисфероэдрическая система (кристаллы симметрии 432, 43m и m{{overline|3}})
* 2 раздел — «четырёхчленная» (тетрагональная) система: оси образуют между собой прямые углы, две оси равны между собой и не равны третьей.
* 3 раздел — «двучленная» система: все три оси неравны и образуют между собой прямые углы.
** подраздел «дву-и-двучленная» (ромбическая) система
** подраздел «дву-и-одночленная» (моноклинная) система
** подраздел «одно-и-одночленная» (триклинная) система
* 4 раздел — одна неравная ось перпендикулярна трём равным осям, образующим между собой углы в 120°.
** подраздел «шестичленная» (гексагональная) система:
** подраздел «три-и-тричленная» или «ромбоэдрическая» (тригональная) система:

Для моноклинной и триклинной сингонии Вейс использовал прямоугольную систему координат (современные кристаллографические координатные системы для этих сингоний являются косоугольными).

Примерно в то же время Фридрих Моос развил концепцию кристаллических систем<ref>[[Моос, Карл Фридрих Христиан|Friedrich Mohs]]: ''Grund-Riß der Mineralogie. Erster Theil. Terminologie, Systematik, Nomenklatur, Charakteristik.'' Dresden 1822</ref>. Каждая система характеризуется простейшей, «основной формой», граней, из которой можно вывести все остальные формы данной системы. Таким образом Моос получил следующие четыре системы:

* 1. Ромбоэдрическая система (гексагональная сингония). Основная форма — ромбоэдр.
* 2. Пирамидальная система (тетрагональная сингония). Основная форма — тетрагональная бипирамида.
* 3. Тессулярная система (кубическая сингония). Основные формы — куб и октаэдр.
* 4. Призматическая система (ромбическая сингония). Основная форма — ромбическая бипирамида.
** Гемипризматическая подсистема (моноклинная сингония)
** Тетартопризматическая подсистема (триклинная сингония)

В обоих классификациях Вейс и Моос выделяет всего четыре системы, хотя перечислены все шесть сингоний, только моноклинную и триклинную сингонии они рассматривают как подсистемы ромбической. Согласно его собственному утверждению, Моос развил эту концепцию в 1812-14 годах, что и послужило предметом спора с Вейсом о приоритете открытия кристаллических систем. В отличие от Вейса, Моос указал на необходимость косоугольной системы осей для моноклинных и триклинных кристаллов.

Окончательно развил и ввёл в кристаллографию косоуголные системы его ученик [[Науман, Карл Фридрих|Карл Фридрих Науман]]. Науман положил в основу классификации кристаллографические оси и углы между ними, таким образом впервые выделив все шесть сингоний<ref>[[Науманн, Карл Фридрих|Carl Friedrich Naumann]], Lehrbuch der Mineralogie Mineralogie, 1828 [https://books.google.com/books?id=B5s5AAAAcAAJ&pg=PA20&#v=onepage online]</ref><ref>[[Науманн, Карл Фридрих|Carl Friedrich Naumann]], Lehrbuch der reinen und angewandten Krystallographie, 1830 [https://books.google.com/books?id=ZuRHAAAAIAAJ&pg=PA67&#v=onepage online]</ref>. Интересно, что уже в 1830 году Науман использует названия сингоний, которые идентичны или близки современным (названия ''тетрагональная'', ''гексагональная'' и ''ромбическая'' были изначально предложены Брейтгауптом).
* 1. Тессеральная (от ''tessera'' — куб) — все три угла между координатными осями прямые, все три оси равны.
* 2. Тетрагональная — все три угла прямые, две оси равны.
* 3. Гексагональная — единственная четырёхосевая система: одна неравная ось перпендикулярна трём равным осям, образующим между собой углы в 60°.
* 4. Ромбическая — все три угла прямые, все оси неравны.
* 5. Моноклиноэдрическая — два прямых угла и один косой.
* 6. Диклиноэдрическая — два косых угла и один прямой.
* 7. Триклиноэдрическая — все три угла косые.

Поскольку в то время теория симметрии только развивалась, в списке систем появилась необычная диклиноэдрическая (диклинная) система. Такая кристаллическая система в принципе невозможна в трёхмерном пространстве, так как наличие оси симметрии всегда гарантирует наличие перпендикулярных к оси трансляций, выбираемых за координатные оси. Диклинная система просуществовала в кристаллографии примерно полвека (хотя уже в 1856 году Дюфренуа показал, что это лишь частный случай триклинной системы). В 1880 году [[Дана, Джеймс Дуайт|Дана]] в своей знаменитой книге «Система минералогии»<ref>Edward Salisbury Dana, James Dwight Dana, A text-book of mineralogy, 1880 [https://books.google.com/books?id=L6QJAAAAIAAJ&pg=PA9&#v=onepage online]</ref> упоминает «так называемую диклинную систему», но при этом отмечает, что не известно ни одного природного или искусственного кристалла, принадлежащего данной системе, и что более того, математически доказано, что существует всего шесть кристаллических систем. Сам Науман до конца жизни верил в диклинную сингонию, и в девятом издании «Оснований минералогии»<ref>Carl Friedrich Naumann, Elemente der mineralogie, 1874 [https://books.google.com/books?id=xGwKAAAAMAAJ&pg=PA9&#v=onepage online] </ref>, вышедшем в 1874 году посмертно, эта сингония по-прежнему присутствует в списке, хотя Науман и замечает, что эта система встречается только в нескольких искусственных солях, и далее не рассматривает её.

Названия кристаллографических сингоний у авторов XIX века

{| class="wikitable"
|-
! Автор !! Кубическая!! Тетрагональная!! Гексагональная!! Ромбическая!! Моноклинная!! Триклинная
|-
| Вейс || Правильная, Сферическая, Шаровая, Сферономическая, Равноосная, Равночленная || Четырёхчленная, Дву‑и‑одноосная || Шестичленная, Три‑и‑одноосная || Дву‑и‑двучленная, Одно‑и‑одноосная || Дву‑и‑одночленная || Одно‑и‑одночленная
|-
| Моос || Тессулярная, Тесселярная || Пирамидальная || Ромбоэдрическая || Призматическая, Ортотипная || Гемипризматическая, Гемиортотипная || Тетартопризматическая, Анортотипная
|-
| Брейтгаупт || || Тетрагональная || Гексагональная || Ромбическая || Гемиромбическая || Тетарторомбическая
|-
| Науман || Тессеральная || Тетрагональная || Гексагональная || Ромбическая, Анизометрическая || Моноклиноэдрическая, Клиноромбическая || Триклиноэдрическая, Триклинометрическая
|-
| Гаусман || Изометрическая || Монодиметрическая ||Монотриметрическая || Триметрическая, Орторомбическая || Клиноромбическая, Орторомбоидическая || Клиноромбоидическая
|-
| Миллер 1839|| Октаэдрическая || Пирамидальная || Ромбоэдрическая || Призматическая || Наклонно-призматическая || Дважды-наклонно-призматическая
|-
| Гадолин || Правильная || Квадратная || Гексагональная || Ромбическая || Моноклиноэдрическая|| Триклиноэдрическая
|-
| Другие авторы|| Тетраэдрическая (Бёдан), Кубическая (Дюфренуа)|| Диметрическая || ||  Двучленная (Квенштедт) ||Моноклинометрическая (Франкенгейм),<BR> Авгитовая (Гайдингер) || Триклиническая (Франкенгейм), <BR> Анортическая (Гайдингер)
|}

Впервые деление на семь кристаллографических систем дано в 1850 году в работе [[Браве, Огюст|Огюста Браве]] «Мемуар о системах точек, правильно распределённых на плоскости или в пространстве»<ref>Bravais, A. (1850) Mémoire sur les systèmes formés par les points distribués régulièrement sur un plan ou dans l’espace. Journal de L’Ecole Polytechnique.</ref>. Фактически это первое деление, основанное на элементах симметрии, а не на системах координат. Поэтому все предыдущие классификации соответствуют сегодняшнему определению сингонии, в то время как классификация Браве — это классификация по кристаллическим системам (строго говоря, системам решётки).

Браве делит решётки в зависимости от их симметрии на 7 систем (классы совокупностей).
* 1. Тричетверные (кубическая система)
* 2. Шестерные (гексагональная система)
* 3. Четверные (тетрагональная система)
* 4. Тройные (ромбоэдрическая система)
* 5. Тридвойные (ромбическая система)
* 6. Двойные (моноклинная система)
* 7. Асимметричные (триклинная система)

При этом сам Браве отмечает, что ещё Гаюи делил решётки гексагональной системы (по классификации Наумана) «на кристаллы, порожденные правильной гексагональной призмой, и кристаллы, порожденные ядром в виде ромбоэдра».

== Классификация групп в многомерных пространствах ==
Во второй половине XX века были изучены и классифицированы кристаллографические группы в четырёхмерном, пятимерном и шестимерном пространствах. С увеличением размерности число групп и классов значительно возрастает<ref>B. Souvignier: «Enantiomorphism of crystallographic groups in higher dimensions with results in dimensions up to 6». Acta Crystallographica Section A, vol.59, pp.210-220, 2003.</ref>. В скобках указано число энантиоморфных пар.
{| class="wikitable"
|-
! Размерность пространства: !!width=120 |1 !!width=120| 2 !!width=120| 3 !!width=120| 4 !!width=120| 5 !!width=120| 6
|-
| Число сингоний || 1 || 4|| 6 || 23 (+6)|| 32 || 91
|-
| Число систем решёток || 1 || 4 || 7 || 33 (+7)|| 57 || 220
|-
| Число кристаллических систем || 1 || 4 || 7 || 33 (+7) || 59 || 251
|-
| Число решёток Браве || 1 || 5 || 14 || 64 (+10) || 189 || 841
|-
| Число точечных групп || 2 || 10 || 32 || 227 (+44) || 955 || 7103
|-
| Число пространственных групп || 2 || 17 || 219 (+11) || 4783 (+111) || 222018 (+79) || 28927915 (+?)<ref>{{cite web|url=http://wwwb.math.rwth-aachen.de/carat/index.html|title=The CARAT Homepage|accessdate=2015-05-05|archive-date=2016-03-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20160305052603/http://wwwb.math.rwth-aachen.de/carat/index.html|deadlink=no}} Часть вычислений в работе Souvignier (2003) для шестимерного пространства опиралась на ошибочный вариант программы CARAT.</ref>
|}

В четырёхмерном пространстве элементарная ячейка определяется четырьмя сторонами (<math>a, b, c, d</math>) и шестью углами между ними (<math>\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon, \zeta</math>). Следующие соотношения между ними определяют 23 сингонии:
# Гексаклинная: <math>a\ne b \ne c \ne d, \alpha \ne \beta \ne \gamma \ne \delta \ne \epsilon \ne \zeta \ne 90 ^\circ</math>
# Триклинная: <math>a\ne b \ne c \ne d, \alpha \ne \beta \ne \gamma \ne 90 ^\circ, \delta = \epsilon = \zeta = 90 ^\circ</math>
# Диклинная: <math>a\ne b \ne c \ne d, \alpha \ne 90 ^\circ, \beta = \gamma  = \delta = \epsilon = 90 ^\circ, \zeta \ne 90 ^\circ</math>
# Моноклинная: <math>a\ne b \ne c \ne d, \alpha \ne 90 ^\circ, \beta = \gamma  = \delta = \epsilon = \zeta = 90 ^\circ</math>
# Ортогональная: <math>a\ne b \ne c \ne d, \alpha = \beta = \gamma  = \delta = \epsilon = \zeta = 90 ^\circ</math>
# Тетрагональная моноклинная: <math>a\ne b = c \ne d, \alpha \ne 90 ^\circ, \beta = \gamma  = \delta = \epsilon = \zeta = 90 ^\circ</math>
# Гексагональная моноклинная: <math>a\ne b = c \ne d, \alpha \ne 90 ^\circ, \beta = \gamma  = \delta = \epsilon = 90 ^\circ, \zeta = 120 ^\circ</math>
# Дитетрагональная диклинная: <math>a = d \ne b = c, \alpha = \zeta = 90 ^\circ, \beta = \epsilon \ne 90 ^\circ, \gamma \ne  90 ^\circ, \delta = 180 ^\circ - \gamma </math>
# Дитригональная диклинная: <math>a = d \ne b = c, \alpha = \zeta = 120 ^\circ, \beta = \epsilon \ne 90 ^\circ, \gamma \ne \delta \ne 90 ^\circ, \cos \delta = \cos \beta - \cos \gamma</math>
# Тетрагональная ортогональная: <math>a\ne b = c \ne d, \alpha = \beta = \gamma  = \delta = \epsilon = \zeta = 90 ^\circ</math>
# Гексагональная ортогональная: <math>a\ne b = c \ne d, \alpha = \beta = \gamma  = \delta = \epsilon = 90 ^\circ, \zeta = 120 ^\circ</math>
# Дитетрагональная моноклинная: <math>a = d \ne b = c, \alpha = \gamma = \delta = \zeta = 90 ^\circ, \beta = \epsilon \ne 90 ^\circ</math>
# Дитригональная моноклинная: <math>a = d \ne b = c, \alpha = \zeta = 120 ^\circ, \beta = \epsilon \ne 90 ^\circ, \gamma = \delta \ne 90 ^\circ, \cos \gamma = -\color{Black}\tfrac{1}{2} \cos \beta</math>
# Дитетрагональная ортогональная: <math>a = d \ne b = c, \alpha = \beta = \gamma  = \delta = \epsilon = \zeta = 90 ^\circ</math>
# Гексагональная тетрагональная: <math>a = d \ne b = c, \alpha = \beta = \gamma  = \delta = \epsilon = 90 ^\circ, \zeta = 120 ^\circ</math>
# Дигексагональная ортогональная: <math>a = d \ne b = c, \alpha = \zeta = 120 ^\circ, \beta = \gamma  = \delta = \epsilon = 90 ^\circ</math>
# Кубическая ортогональная: <math>a = b = c \ne d, \alpha = \beta = \gamma  = \delta = \epsilon = \zeta = 90 ^\circ</math>
# Октагональная: <math>a = b = c = d, \alpha = \gamma = \zeta \ne 90 ^\circ, \beta = \epsilon = 90 ^\circ, \delta = 180 ^\circ - \alpha</math>
# Декагональная: <math>a = b = c = d, \alpha = \gamma = \zeta \ne \beta = \delta = \epsilon, \cos \beta = -0.5 - \cos \alpha</math>
# Додекагональная: <math>a = b = c = d, \alpha = \zeta = 90 ^\circ, \beta = \epsilon = 120 ^\circ, \gamma = \delta \ne 90 ^\circ</math>
# Ди-изогексагональная ортогональная: <math>a = b = c = d, \alpha  = \zeta = 120 ^\circ, \beta = \gamma = \delta = \epsilon = 90 ^\circ</math>
# Икосагональная: <math>a = b = c = d, \alpha = \beta = \gamma  = \delta = \epsilon = \zeta, \cos \alpha = -\color{Black}\tfrac{1}{4}</math>
# Гиперкубическая: <math>a = b = c = d, \alpha = \beta = \gamma  = \delta = \epsilon = \zeta = 90 ^\circ</math>

Связь между сингонией, кристаллической системой и системой решётки в четырёхмерном пространстве дана в следующей таблице<ref>E. J. W. Whittaker, An atlas of hyperstereograms of the four-dimensional crystal classes. Clarendon Press (Oxford Oxfordshire and New York) 1985.</ref><ref>H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek and H. Zassenhaus, Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. Wiley, NY, 1978.</ref>. Звёздочками отмечены энантиоморфные системы. В скобках указано число энантиоморфных групп (или решёток).
{|class="wikitable" cellpadding=4 cellspacing=0
|-align=center
!Номер<br> сингонии
!Сингония
!Кристаллическая система
!Номер<br> системы
!Число [[Кристаллографическая точечная группа симметрии|точечных групп]]
!width=120|Число [[пространственная группа|пространственных групп]]
!Число [[Решётка Браве|решёток Браве]]
!Система решётки
|-
| I ||colspan=2| Гексаклинная || 1
|2
|2
|1
|Гексаклинная P
|-
| II || colspan=2| Триклинная || 2
|3
|13
|2
|Триклинная P, S
|-
| III ||colspan=2| Диклинная || 3
|2
|12
|3
|Диклинная P, S, D
|-
|IV || colspan=2| Моноклинная || 4
|4
|207
|6
|Моноклинная P, S, S, I, D, F
|-
|rowspan=3| V ||rowspan=3| Ортогональная
|rowspan=2|Безосная ортогональная || rowspan=2| 5
|rowspan=2|2
|2
|1
|Ортогональная KU
|-
|112
|rowspan=2|8
|rowspan=2|Ортогональная P, S, I, Z, D, F, G, U
|-
|Осевая ортогональная || 6
|3
|887
|-
| VI || colspan=2| Тетрагональная моноклинная || 7
|7
|88
|2
|Тетрагональная моноклинная P, I
|-
|rowspan=3| VII ||rowspan=3| Гексагональная моноклинная
|rowspan=2|Тригональная моноклинная ||rowspan=2| 8
|rowspan=2|5
|9
|1
|Гексагональная моноклинная R
|-
|15
|rowspan=2|1
|rowspan=2|Гексагональная моноклинная P
|-
|Гексагональная моноклинная || 9
|7
|25
|-
| VIII || colspan=2| Дитетрагональная диклинная* ||10
|1 (+1)
|1 (+1)
|1 (+1)
|Дитетрагональная диклинная P*
|-
|IX || colspan=2| Дитригональная диклинная* ||11
|2 (+2)
|2 (+2)
|1 (+1)
|Дитригональная диклинная P*
|-
|rowspan=3| X ||rowspan=3| Тетрагональная ортогональная
|rowspan=2|Инверсионная тетрагональная ортогональная ||rowspan=2| 12
|rowspan=2|5
|7
|1
|Тетрагональная ортогональная KG
|-
|351
|rowspan=2|5
|rowspan=2|Тетрагональная ортогональная P, S, I, Z, G
|-
|Поворотная тетрагональная ортогональная || 13
|10
|1312
|-
|rowspan=3|XI ||rowspan=3| Гексагональная ортогональная
|rowspan=2|Тригональная ортогональная ||rowspan=2| 14
|rowspan=2|10
|81
|2
|Гексагональная ортогональная R, RS
|-
|150
|rowspan=2|2
|rowspan=2|Гексагональная ортогональная P, S
|-
|Гексагональная ортогональная || 15
|12
|240
|-
| XII || colspan=2| Дитетрагональная моноклинная* || 16
|1 (+1)
|6 (+6)
|3 (+3)
|Дитетрагональная моноклинная P*, S*, D*
|-
| XIII || colspan=2| Дитригональная моноклинная* || 17
|2 (+2)
|5 (+5)
|2 (+2)
|Дитригональная моноклинная P*, RR*
|-
|rowspan=3| XIV ||rowspan=3| Дитетрагональная ортогональная
|rowspan=2|Крипто-дитетрагональная ортогональная ||rowspan=2| 18
|rowspan=2|5
|10
|1
|Дитетрагональная ортогональная D
|-
|165 (+2)
|rowspan=2|2
|rowspan=2|Дитетрагональная ортогональная P, Z
|-
|Дитетрагональная ортогональная ||19
|6
|127
|-
|XV ||colspan=2| Гексагональная тетрагональная || 20
|22
|108
|1
| Гексагональная тетрагональная P
|-
|rowspan=5| XVI || rowspan=5| Дигексагональная ортогональная
|rowspan=2| Крипто-дитригональная ортогональная* || rowspan=2|21
|rowspan=2|4 (+4)
|5 (+5)
|1 (+1)
|Дигексагональная ортогональная G*
|-
|5 (+5)
|rowspan=3|1
|rowspan=3|Дигексагональная ортогональная P
|-
|Дигексагональная ортогональная || 23
|11
|20
|-
|rowspan=2| Дитригональная ортогональная || rowspan=2| 22
|rowspan=2| 11
|41
|-
|16
|1
|Дигексагональная ортогональная RR
|-
|rowspan=3| XVII ||rowspan=3| Кубическая ортогональная
|rowspan=2|Простая кубическая ортогональная ||rowspan=2| 24
|rowspan=2|5
|9
|1
|Кубическая ортогональная KU
|-
|96
|rowspan=2|5
|rowspan=2|Кубическая ортогональная P, I, Z, F, U
|-
|Сложная кубическая ортогональная || 25
|11
|366
|-
| XVIII ||colspan=2| Октагональная* || 26
|2 (+2)
|3 (+3)
|1 (+1)
| Октагональная P*
|-
| XIX ||colspan=2| Декагональная || 27
|4
|5
|1
| Декагональная P
|-
| XX ||colspan=2| Додекагональная* ||28
|2 (+2)
|2 (+2)
|1 (+1)
| Додекагональная P*
|-
|rowspan=3| XXI ||rowspan=3| Ди-изогексагональная ортогональная
|rowspan=2| Простая ди-изогексагональная ортогональная || rowspan=2| 29
|rowspan=2|9 (+2)
|19 (+5)
|1
|Ди-изогексагональная ортогональная RR
|-
|19 (+3)
|rowspan=2|1
|rowspan=2|Ди-изогексагональная ортогональная P
|-
|Сложная ди-изогексагональная ортогональная ||30
|13 (+8)
|15 (+9)
|-
|XXII ||colspan=2| Икосагональная || 31
|7
|20
|2
|  Икосагональная P, SN
|-
|rowspan=3| XXIII ||rowspan=3| Гиперкубическая
|rowspan=2| Октагональная гиперкубическая||rowspan=2|32
|rowspan=2|21 (+8)
|73 (+15)
|1
|Гиперкубическая P
|-
|107 (+28)
|rowspan=2|1
|rowspan=2|Гиперкубическая Z
|-
|Додекагональная гиперкубическая || 33
|16 (+12)
|25 (+20)
|- bgcolor=#e0e0e0
|'''Всего:'''
|23 (+6)
|33 (+7)
|
|227 (+44)
|4783 (+111)
|64 (+10)
|33 (+7)
|}

== См. также ==
* [[Кристаллическая структура]]
* [[Точечная группа]]
* [[Кристаллографическая точечная группа симметрии]]
* [[Символ Пирсона]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* [http://reference.iucr.org/dictionary/Main_Page Словарь терминов] на сайте [[Международный союз кристаллографов|Международного союза кристаллографов]]
{{Сингония}}
{{Идентификация минералов}}

[[Категория:Сингонии| ]]
[[Категория:Свойства минералов]]
[[Категория:Научные классификации]]