Просмотр кода страницы Система координат

'''Систе́ма координа́т''' — комплекс определений, реализующий ''[[метод координат]]'', то есть способ определять положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.<!-- это определение — не охраняется авторским правом--> Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется '''координатами''' этой точки.

В [[математика|математике]] координаты — совокупность чисел, сопоставленных [[Точка (геометрия)|точкам]] [[многообразие|многообразия]] в некоторой [[карта (математика)|карте]] определённого [[атлас (математика)|атласа]].

В [[геометрия|элементарной геометрии]] координаты — величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве. На плоскости положение точки чаще всего определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале координат) под прямым углом; одна из координат называется [[ордината|ординатой]], а другая — [[абсцисса|абсциссой]]. В пространстве по [[Прямоугольная система координат|системе Декарта]] положение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке под прямыми углами друг к другу, или [[сферические координаты|сферическими координатами]], где начало координат находится в центре сферы.

В [[география|географии]] координаты выбираются как ([[геоид|приближённо]]) [[сферическая система координат]] — [[широта]], [[долгота]] и [[высота (география)|высота]] над известным общим уровнем (например, океана). См. ''[[Географические координаты]].''

В [[астрономия|астрономии]] [[Системы небесных координат|небесные координаты]] — упорядоченная пара угловых величин (например, [[прямое восхождение]] и [[Склонение (астрономия)|склонение]]), с помощью которых определяют положение светил и вспомогательных точек на небесной сфере. В астрономии употребляют различные системы небесных координат. Каждая из них по существу представляет собой [[Сферическая система координат|сферическую систему координат]] (без радиальной координаты) с соответствующим образом выбранной [[Фундаментальная плоскость|фундаментальной плоскостью]] и началом отсчёта. В зависимости от выбора фундаментальной плоскости система небесных координат называется [[Горизонтальная система координат|горизонтальной]] (плоскость горизонта), [[Экваториальная система координат|экваториальной]] (плоскость экватора), [[Эклиптическая система координат|эклиптической]] (плоскость эклиптики) или [[Галактическая система координат|галактической]] (галактическая плоскость).

Наиболее используемая система координат — [[прямоугольная система координат]] (также известная как [[декартова система координат]]).

Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Известным обобщением системы координат являются [[система отсчёта|системы отсчёта]] и [[система референции|системы референции]].

== Основные системы ==
[[Файл:Coord planes color.svg|right|thumb|300x300px|Точка P и её координаты в трёхмерной системе координат (с осью Х, направленной к читателю)]]
В этом разделе даются разъяснения к наиболее употребляемым системам координат в элементарной математике.

=== Декартовы координаты ===
{{Основная статья|Прямоугольная система координат}}Расположение точки {{math|''P''}} на плоскости определяется '''декартовыми координатами''' с помощью пары чисел <math>(x, y):</math>
* <math>x</math> — расстояние от точки {{math|''P''}} до оси {{math|''y''}} с учётом знака
* <math>y</math> — расстояние от точки {{math|''P''}} до оси {{math|''x''}} с учётом знака

В пространстве необходимы уже три координаты <math>(x, y, z):</math>
* <math>x</math> — расстояние от точки {{math|''P''}} до плоскости {{math|''yz''}}
* <math>y</math> — расстояние от точки {{math|''P''}} до плоскости {{math|''xz''}}
* <math>z</math> — расстояние от точки {{math|''P''}} до плоскости {{math|''xy''}}

=== Полярные координаты ===
{{Основная статья|Полярная система координат}}
[[Файл:Polar and Cartesian coordinate systems.svg|thumb|right|250px|Полярные координаты]]

'''Поля́рная систе́ма координа́т''' ([[Латинский язык|лат.]] [[wikt:ru:polus|polus]] — [[wikt:ru:полюс|полюс]], от [[Древнегреческий язык|др.-греч.]] [[wikt:ru:πόλος|πόλος]] — полюс, [[wikt:ru:ось|ось]]{{sfn|''Полюс'', 1988}}) — система координат на [[Плоскость|плоскости]], определяющаяся двумя '''''полярными координатами''''' <math>\rho</math> и <math>\varphi</math>, которые связаны с [[Декартовы координаты|декартовыми прямоугольными координатами]] <math>x</math> и <math>y</math> следующими выражениями:
: <math>x = \rho\cos\varphi,\quad</math> <math>y = \rho\sin\varphi,</math>
где <math>\quad 0 \leqslant \rho < +\infty,\quad</math> <math>0 \leqslant \varphi < 2\pi</math>{{sfn|''Соколов Д. Д.'' Полярные координаты, 1984|loc=стб. 480}}{{sfn|''Полярные координаты'', 1988}}.

Такие ограничения на значения полярных координат ставятся для того, чтобы соответствие между точками плоскости, отличными от полюса, и парами полярных координат <math>(\rho, \varphi)</math> получилось [[Взаимно-однозначное соответствие|взаимно однозначным]]{{sfn|''Ильин В. А., Позняк Э. Г.'' Аналитическая геометрия, 1988|loc=Глава 1. Системы координат… § 4. Полярные… 1. Полярные координаты, с. 22}}.

[[Файл:Examples of Polar Coordinates.svg|thumb|right|250px|Полярные координаты точек плоскости]]

'''''Полярные координаты''''' — координаты произвольной точки <math>M</math> плоскости в выбранной полярной системе координат в виде следующих двух чисел: '''''полярный радиус''''' <math>\rho</math>, — расстояние от полюса <math>O</math> до точки <math>M</math>; '''''полярный угол''''' <math>\varphi</math>, — угол, на который поворачивается полярная ось до совмещения с точкой <math>M</math>{{sfn|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 1977|loc=§ 73. Полярные координаты, с. 126}}{{sfn|''Александров П. С.'' Лекции по аналитической геометрии, 1968|loc=Глава IV. Прямоугольна система координат. Полярные координаты. § 4. Полярная система координат на плоскости. 1. Определение полярных координат, с. 78}}{{sfn|''Ильин В. А., Позняк Э. Г.'' Аналитическая геометрия, 1988|loc=Глава 1. Системы координат… § 4. Полярные… 1. Полярные координаты, с. 21}}{{sfn|''Ефимов Н. В.'' Краткий курс аналитической геометрии, 2005|loc=§ 4. Полярные координаты. 14, с. 16}}{{sfn|''Полярные координаты'', 1975}}{{sfn|''Полярные координаты'', 1988}}{{sfn|''Соколов Д. Д.'' Полярные координаты, 1984|loc=стб. 480}}{{sfn|''Полярная система координат'', 1984}}{{sfn|''Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А.'' Метод координат, 1973|loc=10. Другие системы координат, с. 47}}.

В этих определениях предполагается, что полюс <math>O</math> и точка <math>M</math> не совпадают. Полюс <math>O</math> находится на особом положении: его полярный радиус <math>\rho</math> полагается равным нулю, а полярный угол <math>\varphi</math> — '''''неопределённым''''', то есть ему можно приписать любое значение (иногда приписывают значение <math>\varphi = 0</math>{{sfn|''Полярная система координат'', 1984}}){{sfn|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 1977|loc=§ 73. Полярные координаты, с. 127}}{{sfn|''Александров П. С.'' Лекции по аналитической геометрии, 1968|loc=Глава IV. Прямоугольна система координат. Полярные координаты. § 4. Полярная система координат на плоскости. 1. Определение полярных координат, с. 78}}{{sfn|''Ильин В. А., Позняк Э. Г.'' Аналитическая геометрия, 1988|loc=Глава 1. Системы координат… § 4. Полярные… 1. Полярные координаты, с. 21}}{{sfn|''Ефимов Н. В.'' Краткий курс аналитической геометрии, 2005|loc=§ 4. Полярные координаты. 14, с. 16}}{{sfn|''Полярные координаты'', 1975}}{{sfn|''Полярные координаты'', 1988}}{{sfn|''Соколов Д. Д.'' Полярные координаты, 1984|loc=стб. 480}}{{sfn|''Полярная система координат'', 1984}}.

[[Файл:Polar grid and two points.svg|thumb|right|300px|Координатные линии полярной системы координат и две точки]]

Полярная система координат [[Ортогональная система координат|ортогональна]]{{sfn|''Соколов Д. Д.'' Полярные координаты, 1984|loc=стб. 480}}. Ортогональные {{iw|Координатная линия|координатные линии|en|Coordinate lines}} полярной системы координат суть [[Концентричные объекты|концентрические]] [[Окружность|окружности]] при <math>\rho = \text{const}</math> и лучи при <math>\varphi = \text{const}</math>{{sfn|''Полярные координаты'', 1988}}{{sfn|''Соколов Д. Д.'' Полярные координаты, 1984|loc=стб. 480}}{{sfn|''Полярная система координат'', 1984}}.

Полярная система координат особенно проста и полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов, тогда как в более распространённой [[Прямоугольная система координат|декартовой]] системе координат такие отношения можно установить только путём применения [[тригонометрия|тригонометрических]] уравнений{{sfn|''Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А.'' Метод координат, 1973|loc=10. Другие системы координат, с. 49}}.

'''Примеры неоднозначности координат.''' Как полярные координаты <math>\rho = 3</math>, <math>\varphi = -\frac\pi2</math>, так и <math>\rho = 3</math>, <math>\varphi = \frac{3\pi}2</math> задают одну и ту же точку плоскости. Как полярные координаты <math>\rho = 1</math>, <math>\varphi = 0</math>, так и <math>\rho = 1</math>, <math>\varphi = 2\pi</math> и <math>\rho = 1</math>, <math>\varphi = -2\pi</math> задают также одну и ту же точку плоскости (см. рисунок справа с этими точками <math>N</math> и <math>A</math>){{sfn|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 1977|loc=§ 73. Полярные координаты, с. 126}}.

Часто требуется в ущерб однозначности поддерживать [[Непрерывность (математика)|непрерывное]] изменение полярных координат точек (например, у уравнениях, описывающих [[Кривая|кривые]] на плоскости). Тогда отказываются от приведённых ограничений для <math>\rho</math> и <math>\varphi</math>. Закон изменения значений полярных координат <math>\rho</math> и <math>\varphi</math> выясняется в каждом конкретном случае. Обычно в качестве полярного угла берут величину <math>\varphi + k\pi</math>, где <math>k</math> — произвольное [[целое число]], а полярному радиусу приписывают знак плюс или минус, смотря по ситуации (имеется более подробное описание{{sfn|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 1977|loc=§ 73. Полярные координаты, с. 127}}){{sfn|''Ильин В. А., Позняк Э. Г.'' Аналитическая геометрия, 1988|loc=Глава 1. Системы координат… § 4. Полярные… 1. Полярные координаты, с. 22}}{{sfn|''Полярные координаты'', 1975}}.

'''''Обобщённая полярная система координат''''' — система координат на плоскости, определяющаяся двумя '''''обобщёнными полярными координатами''''' <math>r</math> и <math>\psi</math>, которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами <math>x</math> и <math>y</math> следующими выражениями{{sfn|''Соколов Д. Д.'' Полярные координаты, 1984|loc=стб. 480}}{{sfn|''Полярные координаты'', 1988}}:
: <math>x = ar\cos\psi,\quad</math> <math>y = br\sin\psi,</math>
где <math>\quad 0 \leqslant r < +\infty,\quad</math> <math>0 \leqslant \psi < 2\pi,\quad</math> <math>a, b > 0,\quad</math> <math>a \ne b</math>.

Координатные линии обобщённой полярной системы координат суть [[эллипс]]ы при <math>r = \text{const}</math> и лучи при <math>\psi = \text{const}</math>{{sfn|''Соколов Д. Д.'' Полярные координаты, 1984|loc=стб. 480}}{{sfn|''Полярные координаты'', 1988}}.

Полярную систему координат в [[Трёхмерное пространство|трёхмерном пространстве]] представляют [[цилиндрическая система координат]] и [[сферическая система координат]]{{sfn|''Полярные координаты'', 1988}}.

=== Цилиндрические координаты ===
[[Файл:Cylindrical Coordinates.svg|300px|right|thumb|Цилиндрические координаты.]]
{{Основная статья|Цилиндрическая система координат}}
'''Цилиндрические координаты''' — трёхмерный аналог полярных, в котором точка {{math|''P''}} представляется упорядоченной тройкой <math>(r, \varphi, z).</math> В терминах декартовой системы координат,

* <math>0\leqslant{r}</math> ([[радиус]]) — расстояние от оси {{math|''z''}} до точки {{math|''P''}},
* <math>0\leqslant\varphi<360^\circ</math> ([[азимут]] или долгота) — угол между положительной («плюсовой») частью оси {{math|''x''}} и отрезком, проведённым от полюса до точки {{math|''P''}} и спроектированной на плоскость {{math|''xy''}}.
* <math>z</math> (высота) равна декартовой {{math|''z''}}-координате точки {{math|''P''}}.

: Примечание: в литературе для первой (радиальной) координаты иногда используется обозначение {{math|ρ}}, для второй (угловой, или азимутальной) — обозначение {{math|θ}}, для третьей координаты — обозначение {{math|''h''}}.

Полярные координаты имеют один недостаток: значение {{math|φ}} не определено при {{math|''r'' {{=}} 0}}.

Цилиндрические координаты полезны для изучения систем, симметричных относительно некоторой оси. Например, длинный цилиндр с радиусом {{math|''R''}} в декартовых координатах (с осью {{math|''z''}}, совпадающей с осью цилиндра) имеет уравнение <math>x^2 + y^2 = R^2,</math> тогда как в цилиндрических координатах оно выглядит гораздо проще, как {{math|''r'' {{=}} ''R''}}.

=== Сферические координаты ===
[[Файл:Spherical coordinates.svg|300px|right|thumb|Сферические координаты.]]
{{Основная статья|Сферическая система координат}}
'''Сферические координаты''' — трёхмерный аналог полярных.

<!-- Как в русской, так и в англоязычной литературе φ обычно азимут, а широта - θ. -->
В сферической системе координат расположение точки {{math|''P''}} определяется тремя компонентами: <math>(\rho, \varphi, \theta).</math> В терминах декартовой системы координат,
* <math>0\leqslant\rho</math> (радиус) — расстояние от точки {{math|''P''}} до полюса,
* <math>0\leqslant\varphi\leqslant 360^\circ</math> (азимут или долгота) — угол между положительной («плюсовой») полуосью {{math|''x''}} и проекцией отрезка, проведённого из полюса до точки {{math|''P''}}, на плоскость {{math|''xy''}}.
* <math>0\leqslant\theta\leqslant 180^\circ</math> (широта или полярный угол) — угол между положительной («плюсовой») полуосью {{math|''z''}} и отрезком, проведённым из полюса до точки {{math|''P''}}.
: Примечание: в литературе иногда азимут обозначается {{math|θ}}, а полярный угол - {{math|φ}}. Иногда для радиальной координаты используется {{math|''r''}} вместо {{math|ρ}}. Кроме того, диапазон углов для азимута может выбираться как (−180°, +180°] вместо диапазона [0°, +360°). Наконец, полярный угол может отсчитываться не от положительного направления оси {{math|''z''}}, а от плоскости {{math|''xy''}}; в этом случае он лежит в диапазоне [−90°, +90°], а не в диапазоне [0°, 180°]. Иногда порядок координат в тройке выбирается отличным от описанного; например, полярный и азимутальный углы могут быть переставлены.

Сферическая система координат также имеет недостаток: {{math|φ}} и {{math|θ}} не определены, если {{math|ρ}} = 0;  угол {{math|φ}} не определён также и для граничных значений {{math|θ}} = 0 и {{math|θ}} = 180° (или для {{math|θ}} = ±90°, в случае принятия соответствующего диапазона для этого угла).

Для построения точки {{math|''P''}} по её сферическим координатам нужно от полюса вдоль положительной полуоси {{math|''z''}} отложить отрезок, равный {{math|ρ}}, повернуть его на угол {{math|θ}} вокруг оси {{math|''y''}} в направлении положительной полуоси {{math|''x''}}, и затем повернуть на угол {{math|θ}} вокруг оси {{math|''z''}} в направлении положительной полуоси {{math|''y''}}.

Сферические координаты полезны при изучении систем, симметричных относительно точки. Так, уравнение сферы с радиусом {{math|''R''}} в декартовых координатах с началом отсчёта в центре сферы выглядит как <math>x^2+y^2+z^2=R^2,</math> тогда как в сферических координатах оно становится намного проще: <math>\rho=R.</math>

== Другие распространённые системы координат ==
* '''[[Аффинная система координат|Аффинная (косоугольная) система координат]]''' — прямолинейная система координат в [[Аффинное пространство|аффинном пространстве]]. На плоскости задаётся [[Точка (геометрия)|точкой]] [[Начало координат|начала координат]] {{math|''О''}} и двумя упорядоченными не[[Коллинеарность|коллинеарными]] [[Вектор (математика)|векторами]], которые представляют собой [[wikt:аффинный|аффинный]] базис. Осями координат в данном случае называются [[Прямая|прямые]], проходящие через точку начала координат параллельно векторам базиса, которые, в свою очередь, задают положительное направление осей. В [[Трёхмерное пространство|трёхмерном пространстве]], соответственно, аффинная система координат задаётся тройкой линейно независимых векторов и точкой начала координат. Для определения координат некоторой точки {{math|''М''}} вычисляются коэффициенты разложения вектора ''ОМ'' по векторам базиса<ref>{{книга|автор=Пархоменко А. С.|заглавие=Аффинная система координат|издание=Математическая энциклопедия|место=М|издательство=Советская энциклопедия|год=1977—1985}}</ref>.
* '''[[Барицентрические координаты]]''' были впервые введены в [[1827 год]]у [[Мёбиус, Август Фердинанд|А. Мёбиусом]], решавшим вопрос о [[Центр тяжести|центре тяжести]] масс, расположенных на вершинах [[треугольник]]а. Они аффинно инвариантны, представляют собой частный случай общих [[Однородные координаты|однородных координат]]. Точка с барицентрическими координатами расположена в {{math|''n''}}-мерном [[Векторное пространство|векторном пространстве]] {{math|''E<sup>n</sup>''}}, а собственно координаты при этом относятся к фиксированной системе точек, которые не лежат в ({{math|''n''}}−1)-мерном подпространстве. Барицентрические координаты используются также и в [[Алгебраическая топология|алгебраической топологии]] применительно к точкам [[симплекс]]а<ref>{{книга|автор=Скляренко Е. Г.|заглавие=Барицентрические координаты|издание=Математическая энциклопедия|место=М|издательство=Советская энциклопедия|год=1977—1985}}</ref>.
* '''[[Биангулярные координаты]]''' — частный случай бицентрических координат, система координат на плоскости, задаваемая двумя фиксированными точками {{math|''С''<sub>1</sub>}} и {{math|''С''<sub>2</sub>}}, через которые проводится прямая, выступающая в качестве оси абсцисс. Позиция некоторой точки {{math|''P''}}, которая не лежит на этой прямой, определяется [[Угол|углами]] {{math|''PC''<sub>1</sub>''C''<sub>2</sub>}} и {{math|''PC''<sub>2</sub>''C''<sub>1</sub>}}.
* '''[[Биполярные координаты]]''' <ref name="bip">{{mathworld|urlname=BipolarCoordinates|title=Bipolar coordinates}}</ref> характеризуются тем, что в качестве координатных линий на плоскости в этом случае выступают два семейства [[Окружность|окружностей]] с полюсами {{math|''A''}} и {{math|''B''}}, а также семейство окружностей, ортогональных к ним. Преобразование биполярных координат в декартовы прямоугольные осуществляется посредством специальных формул. Биполярные координаты в пространстве называются бисферическими; в этом случае координатными поверхностями являются [[Сфера|сферы]], поверхности, образуемые вращением дуг окружностей, а также [[Полуплоскость|полуплоскости]], проходящие через ось {{math|''O<sub>z''</sub>}}<ref>{{книга|автор=Долгачев И. В., Псковских В. А.|заглавие=Биполярные координаты|издание=Математическая энциклопедия|место=М|издательство=Советская энциклопедия|год=1977—1985}}</ref>.
* '''[[Бицентрические координаты]]''' — всякая система координат, которая основана на двух фиксированных точках и в рамках которой положение некоторой другой точки определяется, как правило, степенью её удаления или вообще позицией относительно этих двух основных точек. Системы подобного рода могут быть довольно полезны в определённых сферах научных исследований<ref>{{Cite web |url=http://www.physics.utah.edu/~rprice/AREA51DOCS/paperIIa.pdf |title=R. Price, The Periodic Standing Wave Approximation: Adapted coordinates and spectral methods. |access-date=2013-05-11 |archive-date=2016-03-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304001359/http://www.physics.utah.edu/~rprice/AREA51DOCS/paperIIa.pdf |deadlink=no }}</ref><ref>{{Cite web |url=http://arxiv.org/abs/gr-qc/0502034v1 |title=The periodic standing-wave approximation: nonlinear scalar fields, adapted coordinates, and the eigenspectral method. |access-date=2013-05-11 |archive-date=2019-04-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190402180940/https://arxiv.org/abs/gr-qc/0502034v1 |deadlink=no }}</ref>.
* '''[[Бицилиндрические координаты]]''' — система координат, которая образуется в том случае, если система биполярных координат на плоскости {{math|''O<sub>xy</sub>''}} параллельно переносится вдоль оси {{math|''O<sub>z</sub>''}}. В качестве координатных поверхностей в этом случае выступают семейство пар круговых [[цилиндр]]ов, оси которых параллельны, семейство ортогональных к ним круговых цилиндров, а также плоскость. Для перевода бицилиндрических координат в декартовы прямоугольные для трёхмерного пространства также применяются специальные формулы<ref>{{книга|автор=Соколов Д. Д.|заглавие=Бицилиндрические координаты|издание=Математическая энциклопедия|место=М|издательство=Советская энциклопедия|год=1977—1985}}</ref>.
* '''[[Диполярные координаты]]''' — трёхмерная криволинейная ортогональная система координат, основанная на точечном (центральном) диполе, точнее, на его инвариантах преобразования координат. Одним из инвариантов является [[эквипотенциальная поверхность]], которая служит координатной поверхностью; другой инвариант — [[силовые линии векторного поля]], перпендикулярные эквипотенциальным поверхностям. Преобразование сферических или декартовых координат в диполярные осуществляется посредством специальных формул.
* '''[[Конические координаты]]''' — трёхмерная ортогональная система координат, состоящая из концентрических сфер, которые описываются посредством их [[радиус]]а, и двух семейств перпендикулярных [[конус]]ов, расположенных вдоль осей {{math|''x''}} и {{math|''z''}}<ref>{{Cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/ConicalCoordinates.html |title=MathWorld description of conical coordinates |access-date=2013-05-11 |archive-date=2013-10-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20131006041625/http://mathworld.wolfram.com/ConicalCoordinates.html |deadlink=no }}</ref>.
* '''[[Координаты Риндлера]]''' используются преимущественно в рамках [[Теория относительности|теории относительности]] и описывают ту часть плоского [[Пространство-время|пространства-времени]], которая обыкновенно называется [[Пространство Минковского|пространством Минковского]]. В [[Специальная теория относительности|специальной теории относительности]] равномерно ускоряющаяся частица находится в [[Гиперболическое движение|гиперболическом движении]], и для каждой такой частицы в координатах Риндлера может быть выбрана такая [[точка отсчёта]], относительно которой она покоится.
* '''[[Параболические координаты]]''' — это двумерная ортогональная система координат, в которой координатными линиями является совокупность конфокальных [[Парабола|парабол]]. Трёхмерная модификация параболических координат строится путём вращения двумерной системы вокруг [[Ось симметрии|оси симметрии]] этих парабол. У параболических координат также имеется определённый спектр потенциальных практических приложений: в частности, они могут использоваться применительно к [[Эффект Штарка|эффекту Штарка]]. Параболические координаты связаны определённым отношением с прямоугольными декартовыми<ref>{{Cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/ParabolicCoordinates.html |title=MathWorld description of parabolic coordinates |access-date=2013-05-11 |archive-date=2013-06-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130602174518/http://mathworld.wolfram.com/ParabolicCoordinates.html |deadlink=no }}</ref>.
* '''[[Подерные координаты]]''' — координаты, основанные на [[Подерное преобразование|подерном преобразовании]]. Подерные координаты точки дифференцируемой кривой состоят из двух величин, двух расстояний от некоторой заданной точки: до точки кривой и до соответствующей точки её [[Подера|подеры]].
* '''[[Проективные координаты]]''' существуют, согласно наименованию, в [[Проективное пространство|проективном пространстве]] {{math|П''<sub>n</sub>''}} ({{math|''К''}}) и представляют собой взаимно однозначное соответствие между его элементами и классами конечных подмножеств элементов тела {{math|''К''}}, характеризующихся свойствами эквивалентности и упорядоченности. Для определения проективных координат проективных подпространств достаточно определить соответствующие координаты точек проективного пространства. В общем случае относительно некоторого базиса проективные координаты вводятся чисто проективными средствами<ref>{{книга|автор=Войцеховский М. И.|заглавие=Проективные координаты|издание=Математическая энциклопедия|место=М|издательство=Советская энциклопедия|год=1977—1985}}</ref>.
* '''[[Тороидальная система координат]]''' — трёхмерная ортогональная система координат, получаемая в результате вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, разделяющей два её фокуса. Фокусы биполярной системы, соответственно, превращаются в кольцо с радиусом {{math|''а''}}, лежащее на плоскости {{math|''xy''}} тороидальной системы координат, в то время как ось {{math|''z''}} становится осью вращения системы. Фокальное кольцо также называют иногда базовой окружностью<ref>{{Cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/ToroidalCoordinates.html |title=MathWorld description of toroidal coordinates |access-date=2013-05-11 |archive-date=2021-05-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210520011726/https://mathworld.wolfram.com/ToroidalCoordinates.html |deadlink=no }}</ref>.
* '''[[Трилинейные координаты]]''' являются одним из образцов однородных координат и имеют своей основой заданный треугольник, так что положение некоторой точки определяется относительно сторон этого треугольника — главным образом степенью удалённости от них, хотя возможны и другие вариации. Трилинейные координаты могут быть относительно просто преобразованы в барицентрические; кроме того, они также конвертируемы в двумерные прямоугольные координаты, для чего используются соответствующие формулы<ref>{{MathWorld|title=Trilinear Coordinates|urlname=TrilinearCoordinates}}</ref>.
* '''[[Цилиндрические параболические координаты]]''' — трёхмерная ортогональная система координат, получаемая в результате пространственного преобразования двумерной параболической системы координат. Координатными поверхностями, соответственно, служат конфокальные параболические цилиндры. Цилиндрические параболические координаты связаны определённым отношением с прямоугольными, могут быть применены в ряде сфер научных исследований<ref>{{Cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/ParabolicCylindricalCoordinates.html |title=MathWorld description of parabolic cylindrical coordinates |access-date=2013-05-11 |archive-date=2020-11-11 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201111223826/http://mathworld.wolfram.com/ParabolicCylindricalCoordinates.html |deadlink=no }}</ref>.
* '''[[Эллипсоидальные координаты]]''' — [[эллиптические координаты]] в пространстве. Координатными поверхностями в данном случае являются [[эллипсоид]]ы, однополостные [[гиперболоид]]ы, а также двуполостные гиперболоиды, центры которых расположены в начале координат. Система ортогональна. Каждой тройке чисел, являющихся эллипсоидальными координатами, соответствуют восемь точек, которые относительно плоскостей системы ''O<sub>xyz</sub>'' симметричны друг другу<ref>{{книга|автор=Соколов Д. Д.|заглавие=Эллипсоидальные  координаты|издание=Математическая энциклопедия|место=М|издательство=Советская энциклопедия|год=1977—1985}}</ref>.

== Переход из одной системы координат в другую ==
: {{also|Преобразование координат}}

=== Декартовы и полярные ===
: <math>x=r\,\cos\varphi,</math>
: <math>y=r\,\sin\varphi,</math>

: <math>r=\sqrt{x^2 + y^2},</math>
: <math>\varphi = \operatorname{arctg}\frac{y}{x} + \pi u_0(-x) \, \operatorname{sgn} y, </math>

где {{math|''u''<sub>0</sub>}} — [[функция Хевисайда]] с <math> u_0(0)=0 ,</math> а {{math|sgn}} — [[signum-функция|функция signum]]. Здесь функции {{math|''u''<sub>0</sub>}} и {{math|sgn}} используются как «логические» переключатели, аналогичные по значению операторам «если .. то» (if…else) в языках программирования. Некоторые языки программирования имеют специальную функцию [[atan2]] ({{math|''y''}}, {{math|''x''}}), которая возвращает правильный {{math|φ}} в необходимом [[Квадрант плоскости|квадрант]]е, определённом координатами {{math|''x''}} и {{math|''y''}}.

=== Декартовы и цилиндрические ===
: <math>x=r\,\cos\varphi ,</math>
: <math>y=r\,\sin\varphi ,</math>
: <math>z=z. \quad</math>

: <math>r=\sqrt{x^2 + y^2},</math>
: <math>\varphi =\operatorname{arctg}\frac{y}{x} + \pi u_0(-x) \, \operatorname{sgn} y, </math>
: <math>z=z. \quad</math>

: <math>
\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
r\cos\varphi&-r\sin\varphi &0\\
r\sin\varphi&r\cos\varphi &0\\
0&0&1
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix},
</math>

: <math>
\begin{pmatrix}dr\\d\varphi\\dz\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\
\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}.
</math>

=== Декартовы и сферические ===
: <math>{x}=\rho \, \sin\theta \, \cos\varphi, \quad </math>
: <math>{y}=\rho \, \sin\theta \, \sin\varphi, \quad </math>
: <math>{z}=\rho \, \cos\theta; \quad </math>

: <math>{\rho}=\sqrt{x^2+y^2+z^2},</math>
: <math>{\theta}=\arccos\frac{z}{\rho}=\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z},</math>
: <math>{\varphi}=\operatorname{arctg}\frac{y}{x} + \pi\, u_0(-x)\, \operatorname{sgn} y. </math>
: <math>
\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\sin\theta\cos\varphi&\rho\cos\theta\cos\varphi&-\rho\sin\theta\sin\varphi\\
\sin\theta\sin\varphi&\rho\cos\theta\sin\varphi&\rho\sin\theta\cos\varphi\\
\cos\theta&-\rho\sin\theta&0
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}d\rho\\d\theta\\d\varphi\end{pmatrix},
</math>

: <math>
\begin{pmatrix}d\rho\\d\theta\\d\varphi\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
x/\rho&y/\rho&z/\rho\\
\frac{xz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{yz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{-(x^2+y^2)}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}\\
\frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}.
</math>

=== Цилиндрические и сферические ===
: <math>{r}=\rho \,\sin\theta,</math>
: <math>{\varphi}=\varphi, \quad</math>
: <math>{z}=\rho \,\cos\theta ;</math>

: <math>{\rho}=\sqrt{r^2+z^2},</math>
: <math>{\theta}=\operatorname{arctg}\frac{z}{r} + \pi \, u_0(-r) \, \operatorname{sgn} z, </math>
: <math>{\varphi}=\varphi. \quad</math>

: <math>
\begin{pmatrix}dr\\d\varphi\\dh\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\sin\theta&\rho\cos\theta&0\\
0&0&1\\
\cos\theta&-\rho\sin\theta&0
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}d\rho\\d\theta\\d\varphi\end{pmatrix},
</math>

: <math>
\begin{pmatrix}d\rho\\d\theta\\d\varphi\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac{r}{\sqrt{r^2+z^2}}&0&\frac{z}{\sqrt{r^2+z^2}}\\
\frac{-z}{r^2+z^2}&0&\frac{r}{r^2+z^2}\\
0&1&0
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}dr\\d\varphi\\dz\end{pmatrix}.
</math>

== Географическая система координат ==
{{main|Географические координаты}}
Географическая система координат обеспечивает возможность идентификации любой точки на поверхности [[Земной шар|земного шара]] совокупностью цифробуквенных обозначений. Как правило, координаты назначаются таким образом, что один из указателей обозначает позицию по {{D-l|вертикаль|вертикали}}, а другой или совокупность других — по {{D-l|горизонтали}}. Традиционный набор географических координат — [[широта]], [[долгота]] и [[высота (география)|высота]]<ref name=OSGB>[http://www.ordnancesurvey.co.uk/oswebsite/gps/docs/A_Guide_to_Coordinate_Systems_in_Great_Britain.pdf A Guide to coordinate systems in Great Britain] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080422004219/http://www.ordnancesurvey.co.uk/oswebsite/gps/docs/A_Guide_to_Coordinate_Systems_in_Great_Britain.pdf |date=2008-04-22 }} v 1.7 October 2007</ref>. Географическая система координат с использованием трёх перечисленных указателей является ортогональной.

Широта точки на поверхности Земли определяется как угол между плоскостью [[экватор]]а и прямой, проходящей через эту точку в виде [[Нормаль|нормали]] к поверхности базового эллипсоида, примерно совпадающего по форме с Землёй. Эта прямая обычно проходит в нескольких километрах от центра Земли, за исключением двух случаев: [[Географический полюс|полюсов]] и экватора (в этих случаях она проходит непосредственно через центр). Линии, соединяющие точки одной широты, именуются [[Параллель|параллелями]]. 0° широты соответствуют плоскости экватора, Северный полюс Земли соответствует 90° северной широты, Южный — соответственно, 90° южной широты. В свою очередь, долгота точки на поверхности Земли определяется как угол в восточном или западном направлении от основного [[меридиан]]а к другому меридиану, проходящему через эту точку. Меридианы, соединяющие точки одной долготы, представляют собой полуэллипсы, сходящиеся на полюсах. Нулевым считается меридиан, проходящий через королевскую обсерваторию в [[Гринвич]]е, близ [[Лондон]]а. Что касается высоты, то она отсчитывается от условной поверхности [[геоид]]а, являющегося абстрактным пространственным представлением земного шара.

== См. также ==
{{кол|3}}
* [[Галилеевы координаты]]
* [[Гауссовы координаты]]
* [[Нормальные координаты]]
* [[Римановы координаты]]
* [[Начало координат]], [[координатная ось]], [[Единичный вектор|орт]]
* [[Локальный стандарт покоя]] (начало координат в астрономии)
* [[Главноортодромическая система координат]]
* [[Размерность пространства]]
* [[Аффинные преобразования]]
{{кол|конец}}

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Источники ==
* {{h|''Александров П. С.'' Лекции по аналитической геометрии, 1968|3=
''[[Александров, Павел Сергеевич|Александров П. С.]]'' Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры с приложением собрания задач, снабжённых решениями, составленного [[Пархоменко, Алексей Серапионович|А. С, Пархоменко]]. 2-е изд. М.: «[[Наука (издательство)|Наука]]», 1968. 912 с., ил.
}}
* {{h|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 1977|3=
''[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]]'' Справочник по высшей математике. Изд-е 12-е, стереотип. М.: «[[Наука (издательство)|Наука]]», 1977. 871 с., ил.
}}
* {{h|''Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А.'' Метод координат, 1973|3=
''[[Гельфанд, Израиль Моисеевич|Гельфанд И. М.]], Глаголева Е. Г., [[Кириллов, Александр Александрович|Кириллов А. А.]]'' Метод координат. 5-е изд., стереот. М.: «[[Наука (издательство)|Наука]]», 1973. 87 с., ил. (Серия «Математика. Библиотечка физико-математической школы» под ред. И. М. Гельфанда.)
}}
* {{h|''Ефимов Н. В.'' Краткий курс аналитической геометрии, 2005|3=
''[[Ефимов, Николай Владимирович|Ефимов Н. В.]]'' Краткий курс аналитической геометрии: Учебное пособие. 13-е изд., стереот. М.: [[Физматлит]], 2005. 238 с. ISBN 5-9221-0252-4.
}}
* {{h|''Ильин В. А., Позняк Э. Г.'' Аналитическая геометрия, 1988|3=
''[[Ильин, Владимир Александрович (математик)|Ильин В. А.]], [[Позняк, Эдуард Генрихович|Позняк Э. Г.]]'' Аналитическая геометрия: Учебник для университетов. 4-е изд., доп. М.: «[[Наука (издательство)|Наука]]», 1988. 223 с. (Курс высшей математики и математической физики. Выпуск 5 / Под ред. [[Тихонов, Андрей Николаевич|А. Н. Тихонова]], В. А. Ильина, [[Свешников, Алексей Георгиевич|А. Г. Свешникова]]).
}}
* {{h|''Полюс'', 1988|3=
''Полюс'' // ''[[Математический энциклопедический словарь]]'' / Гл. ред. [[Прохоров, Юрий Васильевич|Ю. В. Прохоров]]; Ред. Кол.: [[Адян, Сергей Иванович|С. И. Адян]], [[Бахвалов, Николай Сергеевич|Н. С. Бахвалов]], В. И. Битюцков, [[Ершов, Андрей Петрович|А. П. Ершов]], [[Кудрявцев, Лев Дмитриевич|Л. Д. Кудрявцев]], [[Онищик, Аркадий Львович|А. Л. Онищик]], [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевич]]. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1988. 847 с., ил. С. 474.
}}
* {{h|''Полярная система координат'', 1984|3=
''Полярная система координат'' // ''Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф.'' Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. [[Богданов, Юрий Станиславович|Ю. С. Богданова]]. Минск: «[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]», 1984. 527 с., ил. С. 320—321.
}}
* {{h|''Полярные координаты'', 1975|3=
''Полярные координаты'' // ''[[Большая советская энциклопедия]].'' (В 30 томах) Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]]. Изд. 3-е. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1975. Т. 20. Плата — Проб. 1975. 608 с. с илл., 17 л. илл., 4 л. карт. С. 338. [http://bse.uaio.ru/BSE/2002.htm Полярные координаты] // [http://bse.uaio.ru/BSE/bse30.htm#x000 БСЭ 3-е издание. Основной вариант] {{Wayback|http://bse.uaio.ru/BSE/2002.htm |date=20230407}}
}}
* {{h|''Полярные координаты'', 1988|3=
''Полярные координаты'' // ''[[Математический энциклопедический словарь]]'' / Гл. ред. [[Прохоров, Юрий Васильевич|Ю. В. Прохоров]]; Ред. Кол.: [[Адян, Сергей Иванович|С. И. Адян]], [[Бахвалов, Николай Сергеевич|Н. С. Бахвалов]], В. И. Битюцков, [[Ершов, Андрей Петрович|А. П. Ершов]], [[Кудрявцев, Лев Дмитриевич|Л. Д. Кудрявцев]], [[Онищик, Аркадий Львович|А. Л. Онищик]], [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевич]]. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1988. 847 с., ил. С. 475.
}}
* {{h|''Соколов Д. Д.'' Полярные координаты, 1984|3=
''[[Соколов, Дмитрий Дмитриевич (физик)|Соколов Д. Д.]]'' Полярные координаты // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 480—481.
}}

== Литература ==
* ''[[Гельфанд, Израиль Моисеевич|Гельфанд И. М.]], Глаголева Е. Г., [[Кириллов, Александр Александрович|Кириллов А. А.]]'' [https://www.mathedu.ru/text/gelfand_glagoleva_kirillov_metod_koordinat_2009/p0/ Метод координат.] Издание седьмое, стереотипное. Серия: Библиотечка физико-математической школы. Математика. Выпуск 1. М.: МЦНМО, 2009.
* {{ВТ-ЭСБЕ|Координаты, в математике|[[Делоне, Николай Борисович (старший)|Делоне Н. Б.]]}}

== Ссылки ==
* [http://festival.1september.ru/articles/314181/ Факультативное занятие по математике на тему: «Разные системы координат»]

[[Категория:Системы координат|*]]
[[Категория:Аналитическая геометрия]]