Просмотр кода страницы Слабая локализация

{{Мезоскопическая физика}}
'''Сла́бая локализа́ция''' ({{Lang-en|weak localization}}) — совокупность явлений, обусловленных эффектом квантово-механической [[Интерференция волн|интерференции]] [[электрон]]ов самих с собой в слабо разупорядоченных материалах с [[Металлическая связь|металлическим]] типом [[Электропроводность|проводимости]].{{Sfn|Altshuler|1980}}{{sfn|ФЭ|1994}} Явления слабой локализации являются универсальными и проявляются в любых неупорядоченных проводниках — в [[Аморфные металлы|металлическом стекле]], тонких металлических плёнках, системах с [[Двумерный электронный газ|двумерным электронным газом]] и других [[Мезоскопическая физика|мезоскопических]] системах.{{sfn|ФЭ|1994}}

Причиной слабой локализации служит изменение скорости [[Диффузия|диффузии]] электронов благодаря интерференции электронных волн, многократно рассеивающихся на дефектах [[Кристаллическая решётка|кристаллической решётки]]. При низких температурах, когда [[Электрическое сопротивление|сопротивление]] проводника определяется преимущественно рассеянием на случайном [[Векторный потенциал|потенциале]], который создаётся дефектами, интерференция приводит к квантовым поправкам к классической электропроводности. Экспериментально слабая локализация проявляется явлениями отрицательного [[Магнетосопротивление|магнетосопротивления]], то есть нехарактерной для металлов температурной зависимости электрического сопротивления при низких температурах, [[Универсальные флуктуации проводимости|универсальными флуктуациями проводимости]] в [[Мезоскопическая физика|мезоскопических образцах]] и другими явлениями.

Происхождение термина «слабая локализация» объясняется тем, что интерференционные явления можно интерпретировать как предвестник [[Переход Андерсона|андерсоновского перехода металл-диэлектрик]], когда при достаточно сильном уровне беспорядка происходит полная локализация [[электрон]]ов.{{Sfn|Anderson|1958}}{{sfn|ФЭ|1994}}

== История ==
Эффект слабой локализации — [[отрицательное магнетосопротивление]] — экспериментально обнаружил в 1948 году в теллуре{{sfn|Андо, Фаулер, Стерн|1985|с=23}} сотрудник [[Институт точной механики и вычислительной техники имени С. А. Лебедева РАН|Института точной механики и вычислительной техники АН СССР]] Ченцов Г. А.{{Sfn|Ченцов|1948}}{{sfn|Аверкиев и др.|1999}} Отрицательное магнетосопротивление в слабых магнитных полях также наблюдалось в [[Аморфный полупроводник|аморфных полупроводниках]] типа кремния и германия.{{sfn|Mell & Stuke|1970}} В течение длительного времени (почти 30 лет) его безуспешно пытались объяснить разного рода теориями. Мэлл и Стук предполагали, что отрицательное магнетосопротивление в аморфных полупроводниках связано со вкладом проводимости по [[Локализация Андерсона|локализованным состояниям]].{{sfn|Mell & Stuke|1970}} Однако эта модель не согласуется с экспериментом при высоких концентрациях носителей.{{sfn|Adler|1971|p=352}} В соответствии с развитой Ютакой Тоязавой ({{Lang-en|Yutaka Toyozawa}}) моделью некоторая часть примесных атомов в кристалле может захватывать лишние электроны и, таким образом, приобретать [[магнитный момент]] — так называемый локализованный [[спин]].{{Sfn|Toyozawa|1962}} Поскольку спины взаимодействующих электронов могут быть не параллельны, при рассеянии возможна переориентация спина, то есть, возникает дополнительный [[неупругое рассеяние|неупругий механизм]] рассеяния носителей тока. Во внешнем магнитном поле происходит ориентация спинов по полю, причём доля ориентированных по полю спинов возрастает с увеличением магнитного поля и понижением температуры. В результате неупругий механизм рассеяния частично выключается магнитным полем, что приводит к уменьшению электрического сопротивления.{{Sfn|Toyozawa|1962}} Однако сравнение теоретических расчётов с экспериментом показывает, что для согласия с экспериментом магнитный момент рассеивающего центра должен достигать десятков [[Магнетон Бора|магнетонов Бора]]. Адлер предположил простую модель отрицательного магнетосопротивления для двух типов носителей, при этом проводимость складывается из транспорта по локализованным состояниям ([[Прыжковый транспорт с переменной длиной прыжка|прыжковый транспорт]]) и делокализованным состояниям (транспорт в [[Зона проводимости|зоне проводимости]]). В этом случае магнитное поле может приводить к делокализации локализованных состояний, что увеличивает их [[Подвижность носителей заряда|подвижность]] и соответственно проводимость.{{sfn|Adler|1971|p=355}} Однако для количественного объяснения всех экспериментальных данных не существовало удовлетворительной модели.{{sfn|Adler|1971|p=355}}{{sfn|Alexander & Holcomb|1968|p=826}}

Выдвигались и другие модели для объяснения отрицательного магнетосопротивления, но они не были обобщающими или базировались на заведомо ложных представлениях об увеличении концентрации носителей тока в магнитном поле. И только в 1979 году это явление было объяснено как универсальное явление, которое наблюдается в любом проводнике при определённых условиях.{{Sfn|Горьков|1979}}

Количественная теория слабой локализации была построена в 1981 году группой советских [[Теоретическая физика|физиков-теоретиков]]: [[Альтшулер, Борис Леонидович|Борисом Альтшулером]], [[Аронов, Аркадий Гиршевич|Аркадием Ароновым]], [[Ларкин, Анатолий Иванович|Анатолием Ларкиным]] и [[Хмельницкий, Давид Ефраимович|Давидом Хмельницким]].{{Sfn|Альтшулер и др.|1981}}{{Sfn|Гантмахер|2013|с=39}} Она была подтверждена многочисленными экспериментами, а авторы за эту работу в 1993 году получили [[Премия «Еврофизика»|премию Европейского физического общества]]. В том же 1981 году [[Шарвин, Юрий Васильевич|Юрий Шарвин]] и Дмитрий Юрьевич Шарвин обнаружили осцилляции сопротивления в тонкостенном [[цилиндр]]е при изменении магнитного поля.{{Sfn|Шарвин|1981}}{{Sfn|Гантмахер|2013|с=39}} В 1985 году экспериментальным путём было подтверждено существование слабой локализации для электромагнитных волн.{{Sfn|Wolf|1985}}{{Sfn|Van Albada|1985}}{{sfn|Akkermans & Montambaux|2007|p=320}} Слабая локализация наблюдается и для других явлений волновой природы, таких как сейсмические волны.{{sfn|Larose et al.|2004}}

== Теория слабой локализации ==

=== Природа слабой локализации ===
[[Файл:Weak localization incoherent forward scattering.svg|мини|Возможные траектории электронов в неупорядоченных системах]]
Слабая локализация возникает из-за интерференции электрона самого с собой благодаря возможности его движения в одну и ту же точку по различным [[траектория]]м. До открытия эффектов слабой локализации считалось, что [[Квантовая механика|квантово-механические]] явления интерференции существуют в основном для подвижных электронов в [[монокристалл]]ах. В первую очередь, это [[дифракция электронов]].{{Sfn|Белый|2009}} Однако выяснилось, что эти явления не только существуют в [[Неупорядоченная система|неупорядоченных системах]], но и могут усиливаться в таких системах.{{Sfn|Altshuler|1980}}{{Sfn|Горьков|1979}}

В отличие от [[Кристаллы|кристаллов]], где [[Скалярный потенциал|потенциал]] поля, в котором движутся электроны, меняется периодически, в средах с беспорядком потенциал меняется случайным образом. Электроны, [[энергия]] которых меньше максимальных значений потенциала, локализуются в [[Потенциальная яма|потенциальных ямах]], образованных случайным потенциалом. Если длина локализации невелика по сравнению с расстояниями между центрами локализации, электрон в потенциальной яме находится до тех пор, пока [[Тепловое движение|тепловые колебания]] атомов не перебросят его в соседнюю потенциальную яму. Такой перенос электронов называется прыжковым транспортом.{{Sfn|Мотт & Дэвис|1982|с=11—12}} Примером материалов, в которых осуществляется прыжковый транспорт, являются аморфные полупроводники.{{Sfn|Горелик|1986}}

Электроны с более высокими энергиями не локализуются в случайных потенциальных ямах, а рассеиваются на них. Можно предположить, что среда с беспорядком состоит из хаотично расположенных силовых центров, на каждом из которых электрон рассеивается [[Изотропия|изотропно]], то есть, может с одинаковой [[вероятность]]ю отклониться на любой [[угол]] от первоначальной траектории движения. Если бы электрон был классической частицей, то вероятность обнаружить электрон, рассеянный на хаотически расположенных силовых центрах, не зависела бы от угла рассеяния, однако учёт [[Корпускулярно-волновой дуализм|корпускулярно-волнового дуализма]] меняет картину.{{Sfn|Altshuler|1980}}

Предполагается, что за время <math>t\ll\tau_\varphi</math> (<math>\tau_\varphi</math> — время сбоя фазы) электрон, рассеиваясь на силовых центрах, например, примесях, переходит из начальной точки ''0'' в точку с координатой <math>r</math>. Он может попасть в эту точку различными путями. В соответствии с общими принципами квантовой механики вероятность этого процесса:{{sfn|Абрикосов|1987|с=183}}

: <math>p\bigl(r,t\bigr)=\left|\sum A_i\right|^2=\sum_i |A_ i|^2+\sum_{i\neq j} A_iA^{*}_j\,.</math>

В этой формуле <math>A_i</math> — [[Волновая функция|амплитуда вероятности]] ([[Комплексное число|комплексная величина]]) движения электрона по <math>i</math>-той траектории.
[[Файл:Weak localization scattering.svg|справа|мини| Слабая локализация возникает благодаря возможности движения электронов по замкнутой траектории рассеяния во взаимно противоположных направлениях]]
Первая сумма в выражении для <math>p\bigl(r,t\bigr)</math> является суммой вероятностей прохождения электроном каждой траектории, вторая описывает интерференцию амплитуд. Интерференция большинства амплитуд не даёт вклада в <math>p\bigl(r,t\bigr)</math>, поскольку их фазы пропорциональны длинам траекторий и из-за разницы этих длин взаимно гасятся. Исключением является только замкнутые траектории. Рассматриваются замкнутые траектории, то есть траектории, по которым электрон возвращается в начальную точку. Разобьём такие траектории на пары с одинаковым набором рассеивающих центров, но с противоположными направлениями движения. Вероятность того, что электрон, рассеявшись на наборе силовых центров, вернётся в исходную точку:

: <math>p\bigl(0,t\bigr)=| A_1+ A_2|^2=\ |A_ 1|^2+|A_ 2|^2+2\,|A_1A_2|\,,</math>

где <math>A_1</math>, <math>A_2</math> — амплитуды вероятностей движения электронов по замкнутой траектории в противоположных направлениях обхода контура.

Поскольку [[Фаза колебаний|фазы]] этих электронных волн при встрече в точке ''0'' будут одинаковыми, то с учётом того, что <math>A_1 = A_2 = A</math>, получается <math>p\bigl(0,t\bigr)=| A_1+ A_2|^2=4A^2</math> вместо <math>2A^2</math>, что было бы без учёта интерференции. Увеличение вероятности для электрона через время <math>t</math> быть обнаруженным в точке ''0'' (по сути, остаться там, откуда началось движение) и называется слабой локализацией.{{Sfn|Гантмахер|2013|с=29}}

=== Механическая аналогия ===
Физическую сущность процессов, которые лежат в основе слабой локализации, можно объяснить с помощью гидродинамической аналогии. Пусть кольцеобразный водный канал в одном месте соединён с большим водоёмом. Волна, которая приходит из водоёма, разветвляясь, попадает в оба рукава канала. После разветвления волны в обоих рукавах когерентны. Если затухания волн в канале нет, то обе локальные волны, двигаясь в противоположных направлениях по каналу, обойдут его и встретятся на входе, интерферируя друг с другом.{{Sfn|Гантмахер|2013|с=29}}

=== Квантовые поправки к проводимости ===
Увеличение вероятности возврата электронов при диффузии в начальную точку не означает, что диффузия вообще невозможна. Слабая локализация приводит к снижению [[Подвижность носителей заряда|подвижности]] частиц, а следовательно к повышению [[Электрическое сопротивление|сопротивления]].{{Sfn|Альтшулер и др.|1981}}

Значение квантовой поправки <math>\delta\sigma</math> к [[Электропроводность|проводимости]] <math>\sigma</math>, обусловленное эффектом слабой локализации, существенно зависит от размерности <math>d</math> системы.

Объём, в любой точке которого может находиться электрон в момент времени <math>t</math>, составляет <math>\bigl(Dt\bigr)^{d/2}</math>, где <math>D</math> — [[коэффициент диффузии]]. Объём, из которого электрон за время <math>dt</math> может попасть в исходную точку, составляет <math>\lambda^{d-1}v_Fdt</math> (<math>\lambda=1/k_F</math> — [[Волны де Бройля|де-бройлевская длина волны]] (<math>v_F</math> — [[Энергия Ферми|скорость Ферми]]). Отношение этих объёмов определяет относительное количество электронов, которые побывали в начальной точке за время <math>dt</math>. Минимальное время, через которое электрон может вернуться в начальную точку — время упругого рассеяния <math>\tau</math>. Максимальное время, через которое он сможет участвовать в интерференции — время сбоя фазы <math>\tau_\varphi</math>. Таким образом:{{Sfn|Гантмахер|2013|с=30}}

: <math>\frac{\delta\sigma}{\sigma}=-\int\limits_{\tau}^{\tau_\varphi} {v_F \lambda^{d-1}dt \over \bigl(Dt\bigr)^{d/2}}</math>.

Для <math>d=3</math> (трёхмерный случай):

: <math>\frac{\delta\sigma}{\sigma}=-(k_F^2l\bigr)^{-1}\bigl(1/l-1/L_\varphi\bigr)</math>,

где <math>k_F</math> — радиус [[Энергия Ферми|сферы Ферми]]; <math>l</math> — средняя длина свободного пробега электрона.

Величина <math>L_\varphi\approx\sqrt{D\cdot\tau_\varphi}\approx l\cdot\sqrt{\tau_\varphi/\tau}\gg l</math> называется диффузионной длиной сбоя фазы.

<math>L_\varphi</math> является характерным размером, по сравнению с которым определяется размерность <math>d</math> системы. Плёнка толщины <math>b</math> и металлическая нить диаметра <math>b</math> при условии <math>b\ll L_\varphi</math> являются примерами систем пониженной размерности (двух- и одномерный случай соответственно).{{Sfn|Гантмахер|2013|с=30}}

Для <math>d=2</math>:

: <math>\frac{\delta\sigma}{\sigma}=2(k_Fl\bigr)^{-1}(k_Fb\bigr)^{-1}\ln{\ l \over \ L_\varphi}</math>.

Для <math>d=1</math>:

: <math>\frac{\delta\sigma}{\sigma}=(k_Fb)^{-2}\left( { l-L_\varphi \over l}\right)</math>.

Анализ поправок гласит, что эффект интерференции тем сильнее, чем ниже размерность системы. <math>L_\varphi</math> является функцией температуры, поэтому именно через этот параметр квантовые поправки к проводимости зависят от температуры. Поскольку при <math>T\rightarrow0</math> <math>L_\varphi\rightarrow\infty</math>,{{Sfn|Шкловский & Белецкий|2012|с=12}} то в трёхмерном случае проводимость с понижением температуры стремится к некоторому постоянному значению. Для систем пониженной размерности при приближении температуры к абсолютному нулю квантовые поправки, оставаясь отрицательными, неограниченно растут. Так как проводимость не может быть отрицательной, должно существовать условие применимости приведённых формул для квантовых поправок к проводимости. Таким условием является относительная малость поправок.

Если квантовые поправки к проводимости представить в абсолютной форме, то они будут иметь вид:{{Sfn|Гантмахер|2013|с=31}}

: <math>d=3</math>: <math>\Delta \sigma_3\approx -const+\frac{e^2}{\hbar}L_\varphi^{-1}</math>,

: <math>d=2</math>: <math>\Delta \sigma_2\approx -2\frac{e^2}{\hbar}\ln\frac{L_\varphi}{l}</math>,

: <math>d=1</math>: <math>\Delta \sigma_1\approx -\frac{e^2}{\hbar}L_\varphi</math>.

Все они имеют одинаковый масштаб <math>e^2/\hbar</math>. Эта комбинация атомных констант имеет размерность обратного сопротивления и встречается во всех задачах, связанных со слабой локализацией.

=== Отрицательное магнетосопротивление ===
[[Магнитное поле]] «[[Сила Лоренца|закручивает]]» траекторию электрона, поэтому с точки зрения [[Классическая физика|классической физики]] электрическое сопротивление в магнитном поле растёт, то есть наблюдается положительное [[магнетосопротивление]]. Однако для материалов, в которых проявляются эффекты слабой локализации, наблюдается отрицательное магнетосопротивление — в магнитном поле их электрическое сопротивление уменьшается.{{Sfn|Гантмахер|2013|с=35}}

Эффект отрицательного магнетосопротивления обусловлен разрушением магнитным полем слабой локализации. При прохождении электроном замкнутого контура при наличии магнитного поля перпендикулярного контуру в его [[Волновая функция|волновой функции]] <math>\Psi</math> появляется дополнительный фазовый множитель:{{Sfn|Альтшулер и др.|1981}}

: <math>\Psi\longrightarrow\Psi\cdot\exp\left(\pm\frac{i\pi B S}{\Phi_0}\right)</math>,

где <math>\Phi_0</math> — квант магнитного потока;

: <math>BS=\Phi</math> — [[магнитный поток]] через замкнутый контур электронной траектории площадью <math>S</math>.

Знак <math>+</math> или <math>-</math> в показателе экспоненты зависит от направления обхода контура электроном: по или против часовой стрелки. Поскольку электрон может двигаться по замкнутой траектории в противоположных направлениях, после возвращения его в начальную точку возникнет сдвиг фаз <math>\varphi=2\pi\cdot\bigl(\operatorname\Phi/\operatorname\Phi_0)</math>.

Наличие разности фаз означает, что вероятность <math>p\bigl(0,t\bigr)</math> примет вид:{{Sfn|Гантмахер|2013|с=36}}

: <math>p\bigl(0,t\bigr)=| A_1+ A_2|^2=\ |A_ 1|^2+|A_ 2|^2+2\,|A_1A_2|\cos\varphi</math>.

При усреднении по разным замкнутым траекториям среднее значение <math>\cos\varphi</math> равно нулю, так что интерференционный вклад исчезает, что, собственно, и приводит к снижению сопротивления в магнитных полях.{{Sfn|Ларкин, Хмельницкий|1982}} Например, для двухмерного случая при условии <math>r_B\leq L_{\phi}</math>, где магнитная длина или ''магнитный радиус'' равен <math>r_B=\sqrt{\hbar/(2eB)}</math>{{Sfn|Гантмахер|2013|с=36—37}}
: <math>\delta\sigma(B)-\delta\sigma(0)\approx\frac{e^2}{\hbar}\ln\frac{L_{\phi}}{r_B}\,.</math>
Для трёхмерного случая соответствующее выражение принимает вид:{{Sfn|Гантмахер|2013|с=37}}
: <math>\delta\sigma(B)-\delta\sigma(0)\approx 2\frac{e^2}{\hbar}\left(\frac{1}{r_B}-\frac{1}{L_{\phi}}\right)\,.</math>

=== Осцилляции проводимости в магнитном поле ===
Интерференционная картина в магнитном поле разрушается благодаря разбросу площадей различных замкнутых траекторий. Если все замкнутые траектории имеют одну и ту же площадь проекции на плоскость, перпендикулярную [[Вектор (математика)|вектору]] напряжённости магнитного поля, то интерференционный вклад не исчезнет, а будет [[Колебания|осциллировать]] при изменении напряжённости магнитного поля с периодом <math>\Delta B=\operatorname \Phi_0/\operatorname S</math>.{{Sfn|Гантмахер|2013|с=38}}

Такую конфигурацию можно реализовать, если, например, на кварцевую нить диаметром <math>d=</math>1 ÷ 2 мкм напылить слой металла значительно меньшей толщины, получив тонкостенный цилиндр. Все замкнутые диффузные траектории будут иметь площадь проекции на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра, 0 или <math>\operatorname\pi d^2/\operatorname4</math>. Магнитное поле, направленное вдоль оси такого цилиндра, на интерференцию траекторий с нулевой площадью проекций влияния не оказывает. В то же время вклад в проводимость вдоль оси цилиндра замкнутых траекторий с площадью проекций, отличной от нуля, осциллирует с изменением магнитного поля.{{Sfn|Шарвин|1981}}

Подобные осцилляции можно наблюдать не только для образцов специальной формы; они возникают в образцах произвольной формы, но достаточно малого размера. Количество замкнутых траекторий в таких образцах ограничено, поэтому после усреднения интерференционный вклад в проводимость полностью не исчезает. При изменении магнитного поля в таких образцах возникают, так называемые, [[универсальные флуктуации проводимости]] (кондактанса).{{Sfn|Haucke|1990}}{{Sfn|Гантмахер|2013|с=39}}

== Экспериментальное подтверждение слабой локализации ==
При низких температурах, при которых тепловые колебания атомов относительно малы, электрическое сопротивление металлов должно определяться рассеянием электронов на [[Легирование полупроводников|примесях]]. До открытия слабой локализации казалось естественным, что сопротивление с повышением температуры должно расти, поскольку тепловые колебания атомов приводят к дополнительному рассеянию носителей тока на [[фонон]]ах. Слабая локализация приводит к аномальной температурной зависимости сопротивления, при которой с повышением температуры сопротивление уменьшается. Это обусловлено тем, что с повышением температуры, кроме упругого рассеяния, всё больший вклад в транспорт вносит неупругое рассеяние электронов на фононах, уменьшая степень когерентности электронных волн и разрушает слабую локализацию. С дальнейшим повышением температуры слабая локализация разрушается полностью и сопротивление начинает расти из-за рассеяния на фононах. Таким образом, на температурной зависимости сопротивления наблюдается минимум. Кроме того, поскольку <math>L_\varphi\sim T^{-1}</math>{{Sfn|Шкловский & Белецкий|2012|с=21}}, то в области достаточно низких температур для достаточно тонких плёнок должна наблюдаться логарифмическая зависимость квантовой поправки к сопротивлению от температуры. Такое поведение электрического сопротивления плёнок в области низких температур было обнаружено экспериментально, например, в работах{{Sfn|Van den Dries|1981}}{{Sfn|Дорожкин|1982}} и многих других.

Вместе с тем, выявление соответствующего поведения электрического сопротивления определённых материалов при изменении температуры вряд ли можно считать бесспорным доказательством существования в них эффектов слабой локализации, так как подобные температурные зависимости поправок к проводимости даёт и [[Электрон-фононное взаимодействие|электрон-электронное взаимодействие]]. Неопровержимые доказательства существования эффектов слабой локализации были получены при изучении поведения электрического сопротивления соответствующих материалов в магнитных полях при температурах существования квантовых поправок к проводимости, в виду того, что на межэлектронную интерференцию магнитное поле практически не влияет. Кроме того, что теория слабой локализации объяснила существование отрицательного магнетосопротивления, экспериментально были обнаружены предсказанные теорией слабой локализации осцилляции сопротивления в цилиндрических плёнках{{Sfn|Шарвин|1981}} и универсальные флуктуации кондактанса в [[Мезоскопическая физика|мезоскопических образцах]].{{Sfn|Umbach|1984}}

== Слабая локализация электромагнитных волн ==
{{main|Когерентное обратное рассеяние}}
Поскольку слабая локализация имеет волновую природу, подобное явление наблюдается не только для электронных волн, но и волн другой природы. Соответствующий аналог слабой локализации был обнаружен для [[Электромагнитные колебания|электромагнитных волн]]: во время экспериментального изучения угловой зависимости интенсивности рассеяния света в [[суспензия]]х наблюдался пик рассеяния света, который соответствует рассеянию назад.{{Sfn|Wolf|1985}} Если на систему падает [[Плоская волна|плоская]] [[Когерентность (физика)|когерентная]] электромагнитная волна, то в каждом акте упругого рассеяния изменяются направление и фаза волны. Рассеяния на случайно распределённых неоднородностях приводят к тому, что рассеянный свет становится полностью некогерентным. Однако каждой волне, рассеянной на некоторой последовательности рассеивающих центров, соответствует волна, которая проходит ту же последовательность в противоположном направлении. Такие волны являются когерентными. Поэтому при рассеянии назад, когда [[Оптическая длина пути|оптические пути]] и суммарный сдвиг фаз для обеих волн строго одинаковы, наблюдается максимум интенсивности.{{Sfn|Гантмахер|2013|с=33—35}}

== Слабая антилокализация ==
В системах со [[Спин-орбитальное взаимодействие|спин-орбитальным взаимодействием]] спин электрона связан с его [[импульс]]ом. [[Спин]]ы электронов, движущихся по замкнутому контуру в противоположных направлениях, имеют противоположные ориентации. В связи с этим, электронные волны, которые связаны с двумя противоположными направлениями обхода замкнутого контура, интерферируют в начальной точке деструктивно. Этот эффект уменьшает вероятность обратного рассеяния электрона по сравнению с вероятностью рассеяния в других направлениях. Это явление называют ''слабой антилокализацией''. В отличие от слабой локализации, при которой электрическое сопротивление повышается, слабая антилокализация приводит к снижению сопротивления.{{Sfn|Ларкин, Хмельницкий|1982}} Слабая антилокализация, подобно слабой локализации, разрушается в магнитном поле.{{Sfn|Гантмахер|2013|с=41—48}}

=== Спин-орбитальное взаимодействие ===
{{main|Спин-орбитальное взаимодействие}}
В двух измерениях изменение проводимости при приложении магнитного поля ''B'' перпендикулярно плоскости [[Двумерный электронный газ|двумерного электронного газа]], вызванное либо слабой локализацией, либо слабой антилокализацией, можно описать уравнением Хиками — Ларкина — Нагаоки:{{sfn|Hikami et al.|1980}}{{sfn|Poole et al.|1982}}
: <math>\Delta\sigma(B)=-\frac{e^2}{2\pi^2\hbar}\left[\psi\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\tau a}\right)-\psi\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\tau_1 a}\right)+\frac{1}{2}\left(\psi\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\tau_2 a}\right)-\psi\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\tau_3 a}\right)\right)\right]\,,</math>
где: <math>a=4DeB/\hbar</math>; <math>D</math> — коэффициент диффузии; <math>\psi</math> — [[Дигамма-функция|дигамма функция]]; а времена <math>\tau_1, \tau_2, \tau_3</math> определяются следующими выражениями:
: <math>\frac{1}{\tau_1}=\frac{2}{\tau_{so}^z}+\frac{2}{\tau_{so}^x}+\frac{2}{\tau_{s}^x}+\frac{1}{\tau_{in}}\,,</math>
: <math>\frac{1}{\tau_2}=\frac{2}{\tau_{s}^z}+\frac{4}{\tau_{s}^x}+\frac{1}{\tau_{in}}\,,</math>
: <math>\frac{1}{\tau_3}=\frac{2}{\tau_{s}^z}+\frac{4}{\tau_{so}^x}+\frac{1}{\tau_{in}}\,,</math>
где: <math>\tau_s</math> — время рассеяние на парамагнитной примеси; <math>\tau_{so}</math> — время спин-орбитального рассеяния; верхние индексы <math>^x</math> и <math>^z</math> относятся соответственно к движению параллельно плоскости ДЭГ и перпендикулярно к ней; <math>\tau_{in}</math> — время сбоя фазы. Экспериментально слабая локализация и слабая антилокализация наблюдались в двумерном электронном газе в InP; также наблюдался переход от слабой локализации к слабой антилокализации в магнитном поле.{{sfn|Poole et al.|1982}}

Вместо времён можно перейти эффективным длинам или эффективным магнитным полям, тогда <math>B_{in}</math> — эффективное поле фазовой когерентности, которое приблизительно равно магнитному полю, необходимому для разрушения фазовой когерентности, <math>B_\text{SO}</math> — спин-орбитальное эффективное поле, которое можно считать мерой силы спин-орбитального взаимодействия.{{sfn|Hikami et al.|1980}} В пределе сильного спин-орбитального взаимодействия <math>B_\text{SO} \gg B_{in}</math>, вышеприведённое уравнение упрощается:

: <math>\sigma(B) - \sigma(0) = \alpha {e^2 \over 2 \pi^2 \hbar} \left [ \ln \left ( {B_{in} \over B}\right ) - \psi \left ({1 \over 2} + {B_{in} \over B} \right ) \right] </math>

Множитель <math>\alpha</math> равен −1 для слабой локализации и +1/2 для слабой антилокализации.{{sfn|Hikami et al.|1980}}

=== Графен ===
{{main|Графен}}
В [[графен]]е динамика носителей тока описывается уравнением Дирака с коническим законом дисперсии и частицы обладают [[Физика графена|киральностью]], когда импульс частицы связан с её [[псевдоспин]]ом (характеристика относящаяся к симметрии решётки). Рассеяние на всяком гладком потенциале не изменяет киральности, то есть нормальное падение частицы на потенциальный барьер проходит без рассеяния, то есть отсутствует рассеяние назад — в отличие от обычных металлов. В таком случае в графене должна наблюдаться слабая антилокализация.{{sfn|Peres|2010}} С другой стороны, атомарные дефекты должны вызывать сильное рассеяние носителей и разрушать фазовую когерентность. В теории слабой локализации в графене учитывается (приблизительная) киральная природа носителей и рассеяние на короткодействующем потенциале.{{sfn|McCann et al.|2006}} В результате, чтобы учесть изменения фазы волновой функции, вводятся новые характеристические времена: <math>\tau_i</math> — время рассеяния между различными долинами (в графене их две), характеризующее наличие короткодействующего потенциала в системе, например точечных дефектов; <math>\tau_s</math> — время рассеяния в одной долине на длиннодействующем потенциале, например, дислокации и кулоновском потенциале от заряженных примесей; <math>\tau_w</math> — время, связанное с рассеянием в одной долине из-за отличия закона дисперсии носителей от линейного — так называемое ''тригональное искажение'' ({{lang-en|trigonal warping}}), которое нарушает симметрию относительно обращения квазиимпульса (<math>\varepsilon(\textbf{p})\neq\varepsilon(-\textbf{p})</math>). Теория предсказывает поправку для проводимости в графене:{{sfn|McCann et al.|2006}}
: <math>\Delta\sigma(B) = \frac{e^2}{2\pi^2 \hbar} \left [ F \left(\frac{\tau_B^{-1}}{\tau_{\phi}^{-1}}\right)-F\left (\frac{\tau_B^{-1}}{\tau_{\phi}^{-1}+2\tau_i^{-1}}\right)-2F\left(\frac{\tau_B^{-1}}{\tau_{\phi}^{-1}+\tau_i^{-1}+\tau_s^{-1}+\tau_w^{-1}}\right )\right]\,,</math>
где: функция <math>F(x)=\ln(x)+\psi(1/2+1/x)</math>; <math>\psi</math> — [[Дигамма-функция|дигамма функция]]; <math>\tau_B^{-1}=4eDB/\hbar</math>; <math>D</math> — коэффициент диффузии носителей тока. Экспериментально слабая локализация в графене была продемонстрирована в 2008 году.{{sfn|Tikhonenko et al.|2008}}{{sfn|Peres|2010}} Наличие слабой антилокализации или слабой локализации в графене зависит от относительной силы рассеивающих потенциалов, характерных времён, связанных с магнитным полем, и времени фазовой когерентности.{{sfn|Peres|2010}}

== Практическое значение ==
Кроме теоретического теория слабой локализации имеет и прикладное значение. Представляют практический интерес системы, в которых могут проявляться эффекты слабой локализации, что обусловлено быстрым развитием субмикронной полупроводниковой технологии. Теория слабой локализации стала своеобразным толчком к возникновению [[Мезоскопическая физика|мезоскопической физики]] — относительно нового направления [[Физика твёрдого тела|физики твёрдого тела]], которое имеет важное прикладное значение. В мезоскопике принципиальным является сравнение размера системы с длиной сбоя фазы электрона. В системах, размер которых не превышает длину сбоя фазы, необходимо рассматривать интерференцию электронных волн. Появилась реальная возможность создания [[Полупроводниковые приборы|полупроводниковых приборов]] на основе сугубо [[Квантовая механика|квантовых эффектов]], характерных для одно- и двухмерных электронных систем. Широкие функциональные возможности таких «квантовых» полупроводниковых элементов позволят существенно расширить возможности элементной базы [[Микроэлектроника|микро-]] и [[Наноэлектроника|наноэлектроники]].{{Sfn|Ткалич и др.|2011}} Слабая локализация оказалась чувствительной к спин-орбитальному взаимодействию и наличию магнитных примесей в материале, что используется для измерения соответствующих времён рассеяния и сбоя фазы.{{sfn|Bergmann|2010}}

Не менее важное практическое значение имеет эффект слабой локализации электромагнитных волн. Области его практического использования — оптическая диагностика частиц биологического и искусственного происхождения в таких дисциплинах, как: медицина, биология, химия, экология, нанофизика и нанотехнологии — от детектирования объектов в густом тумане до изучения структуры биологических объектов с помощью видимого света. В астрофизике и геофизике открываются уникальные возможности для изучения вещества планетных систем и других дисперсных сред, таких как облака, атмосферы планет, их кольца, кометы, межпланетная пыль и др., подтверждением чего может служить разработка поляриметрических методов дистанционного зондирования аэрозольных и облачных частиц в атмосфере Земли с самолётов и орбитальных спутников и обоснование концепции фотополяриметра «Aerosol Polarimetry Sensor» (APS) для космической миссии {{Не переведено|Glory (НАСА)|Glory (НАСА)||Glory (satellite)}}.{{Sfn|Мищенко|2008}}

== Примечания ==
{{примечания|узкие}}

== Литература ==
{{refbegin|2}}
; На русском языке
* {{книга
 | автор = Абрикосов А. А.
 | заглавие = Основы теории металлов: Учебное руководство
 | ссылка = 
 | ответственный = 
 | место = {{comment|М.|Москва}}
 | издательство = Наука, Гл. ред. физ. мат. лит.
 | год = 1987
 | том = 
 | страниц = 520
 | страницы = 
 | isbn = 
 | ref = Абрикосов 
}}
* {{статья
 | автор = Аверкиев Н. С., Березовец В. А., Саблина Н. И., Фарбштейн И. И.
 | заглавие = Слабая локализация в условиях особой роли t-симметрии (2D- и 3D-дырки в теллуре)
 | ссылка = https://journals.ioffe.ru/articles/viewPDF/35386
 | издание = Физика твердого тела
 | год = 1999
 | volume = 336
 | pages = 879
 | doi = 
 | ref = Аверкиев и др.
}}
* {{Статья
 | автор = Альтшулер Б. Л., Аронов А. Г., Ларкин А. И., Хмельницкий Д. Э.
 | заглавие = Об аномальном магнитосопротивлении в полупроводниках
 | ссылка = http://www.jetp.ras.ru/cgi-bin/dn/e_054_02_0411.pdf
 | издание = ЖЭТФ
 | год = 1981
 | том = 81
 | выпуск = 2(8)
 | страницы = 768—783
 | ref = Альтшулер и др.
}}
* {{Книга|автор=Андо Т., Фаулер А, Стерн Ф.|заглавие=Электронные свойства двумерных систем. Пер. с англ|год=1985|место=М.|издательство=Мир|страниц=416|ref=Андо, Фаулер, Стерн}}
* {{книга
 | автор = Белый М. У., Охрименко Б. А.
 | заглавие = Атомная физика
 | ссылка = http://znannia.com.ua/product/atomna_fizika_pidruchnik1_zatverdzheno_mon_2_bilii_m1u16_ohrimenko_b1a1__k16_20091__559_s16_tv1_pal16_8st1_10_pr191
 | ответственный =
 | место = К.
 | издательство = Знание
 | год = 2009
 | том =
 | страниц = 559
 | страницы =
 | isbn =
 | ref = Белый
}}
* {{книга
 | автор = [[Гантмахер, Всеволод Феликсович|Гантмахер В. Ф.]]
 | заглавие = Электроны в неупорядоченных средах
 | ссылка = 
 | место = {{comment|М.|Москва}}
 | издательство = Физматлит
 | год = 2013
 | страниц = 288
 | страницы = 
 | isbn = 978-5-9221-1487-5
 | ref = Гантмахер
}}
* {{Книга:Физическая энциклопедия|4 | автор = Гершензон M. Е.| статья = Слабая локализация | ссылка = http://www.femto.com.ua/articles/part_2/3697.html| страницы = |ref=ФЭ}}
* {{книга
 | заглавие = Аморфные полупроводники и приборы на их основе
 | ответственный = Под ред. Горелика С. С.
 | место = М.
 | издательство = Металлургия
 | год = 1986
 | страниц = 366
 | ref = Горелик
}}
* {{Статья
 | автор = Горьков Л. П., Ларкин А. И., Хмельницкий Д. Е.
 | посыл_на_автора =
 | заглавие = Проводимость частицы в двумерном случайном потенциале
 | ссылка =
 | издание = Письма в ЖЭТФ
 | год = 1979
 | месяц =
 | том = 30
 | выпуск =
 | номер = 4
 | страницы = 248—252
 | ref = Горьков
}}
* {{Статья
 | автор = Дорожкин С. И., Долгополов В. Т.
 | заглавие = Исследование нелинейности вольт-амперных характеристик тонких пленок золота
 | ссылка = 
 | издание = Письма в ЖЭТФ
 | год = 1982 
 | том = 36
 | номер = 1
 | страницы = 15—18
 | issn = 
 | doi = 
 | ref = Дорожкин
}}
* {{Статья
 | автор = Ларкин А. И., Хмельницкий Д. Э.
 | заглавие = Андерсоновская локализация и аномальное магнетосопротивление при низких температурах
 | ссылка = https://ufn.ru/ru/articles/1982/3/i/
 | издание = [[Успехи физических наук]]
 | год = 1982
 | том = 136
 | номер = 3
 | страницы = 536—538
 | ref = Ларкин, Хмельницкий
 | язык = ru
 | издательство = [[Физический институт имени П. Н. Лебедева РАН|Российская академия наук]]
}}
* {{книга
 | автор = Мищенко М. И.
 | заглавие = Электромагнитное рассеяние в случайных дисперсных средах: фундаментальная теория и применение: автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук: 05.07.12
 | ссылка = http://irbis-nbuv.gov.ua/cgi-bin/irbis_nbuv/cgiirbis_64.exe?C21COM=S&I21DBN=ARD&P21DBN=ARD&S21FMT=fullwebr&S21ALL=(%3C.%3EU%3DВ313.224$%3C.%3E)&FT_REQUEST=&FT_PREFIX=&Z21ID=&S21STN=1&S21REF=10&S21CNR=20
 | место = К.
 | издательство = НАН Украины. Голов. астрон. обсерватория
 | год = 2008
 | страниц = 38
 | страницы =
 | ref = Мищенко
}}
* {{книга
 | автор = [[Мотт, Невилл Фрэнсис|Мотт Н.]], Дэвис Э.
 | заглавие = Электронные процессы в некристаллических веществах
 | ссылка = 
 | издание = 2-е изд., перераб. и доп
 | ответственный = 
 | место = {{comment|М.|Москва}}
 | издательство = Мир
 | год = 1982
 | том = 1
 | страниц = 386
 | страницы = 
 | isbn = 
 | ref = Мотт & Дэвис
}}
* {{книга
 | автор = Ткалич В. Л., Макеева А. В., Оборина Э. Э.
 | заглавие = Физические основы наноэлектроники. Учебное пособие
 | ссылка =
 | ответственный =
 | место = СПб
 | издательство = СПбГУ ИТМО
 | год = 2011
 | том =
 | страниц = 83
 | страницы =
 | isbn =
 | ref = Ткалич и др.
}}
* {{Статья
 | автор = Ченцов Р. А.
 | заглавие = Об изменении электрического сопротивления теллура в магнитном поле при низких температурах
 | издание = ЖЭТФ
 | год = 1948
 | месяц =
 | том = 18
 | выпуск = 4
 | страницы = 374—385
 | ref = Ченцов
}}
* {{Статья
 | автор = Шарвин Д. Ю., Шарвин Ю. В.
 | заглавие = Квантование магнитного потока в цилиндрической пленке из нормального металла
 | ссылка = 
 | издание = Письма в ЖЭТФ
 | издание ссылки = 
 | год = 1981
 | том = 34
 | номер = 5
 | страницы = 285—288
 | issn = 
 | ref = Шарвин
}}
* {{книга
 | автор = Шкловский В. А., Белецкий В. И.
 | заглавие = Локализация и мезоскопические эффекты в металлах при низких температурах: Учебно-метод. пособие
 | ссылка = 
 | место = Х.
 | издательство = ХНУ имени В. Н. Каразина
 | год = 2012
 | страниц = 
 | страницы = 72
 | isbn = 
 | ref = Шкловский & Белецкий
}}

; На английском языке
* {{статья
 | автор = Adler David
 | заглавие = Amorphous semiconductors
 | ссылка = https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/10408437108243545
 | издание = Critical Reviews in Solid State and Material Sciences
 | год = 1971
 | volume = 2
 | pages = 317—465
 | doi = 10.1080/10408437108243545
 | ref = Adler
}}
* {{книга
 | автор = Akkermans Eric, Montambaux Gilles
 | заглавие = Mesoscopic Physics of Electrons and Photons
 | ссылка = http://ebooks.cambridge.org/ebook.jsf?bid=CBO9780511618833
 | издание = 1 ed
 | место = Cambridge, UK
 | издательство = Cambridge University Press
 | год = 2007
 | страниц = 606
 | страницы = 
 | isbn = 978-0-511-29016-9
 | ref = Akkermans & Montambaux
}}
* {{статья
 | автор = Van Albada M. P., Lagendijk А.
 | заглавие = Observation of weak localization of light in a random medium
 | ссылка = http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.55.2692
 | издание = Phys. Rev. Lett
 | ref = Van Albada
 | язык = en
 | тип = journal
 | том = 55
 | страницы = 2692—2695
 | год = 1985
}}
* {{статья
 | автор = Alexander Michael N., Holcomb Donald F.
 | заглавие = Semiconductor-to-Metal Transition in n-Type Group IV Semiconductors
 | ссылка = https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0022309370900554
 | издание = Rev. Mod. Phys.
 | год = 1968
 | volume = 40
 | pages = 815 
 | doi = 10.1103/RevModPhys.40.815
 | ref = Alexander & Holcomb
}}
* {{статья
 | автор = Altshuler B. L., Khmel'nitzkii D., Larkin A. I., Lee P. A.
 | заглавие = Magnetoresistance and Hall effect in a disordered two-dimensional electron gas
 | ссылка = http://adsabs.harvard.edu/abs/1980PhRvB..22.5142A
 | издание = Phys. Rev. B
 | тип = journal
 | том = 22
 | страницы = 5142
 | год = 1980
 | язык = en
 | doi = 10.1103/PhysRevB.22.5142
 | ref = Altshuler
}}
* {{статья
 | автор = Anderson P. W.
 | заглавие = Absence of Diffusion in Certain Random Lattices
 | ссылка = http://adsabs.harvard.edu/abs/1958PhRv..109.1492A
 | издание = Phys. Rev.
 | том = 109
 | страницы = 1492—1505
 | язык = en
 | год = 1958
 | ref = Anderson
}}
* {{статья |автор = Bergmann Gerd|заглавие = Weak localization and its applications as an experimental tool|оригинал = |ссылка = https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S021797921006468X|издание = Int. J. of Mod. Phys. B|год = 2010|том = 24|страницы = 2015—2052|doi = 10.1142/S021797921006468X|pmid = |bibcode = |arxiv = |ref = Bergmann}}
* {{статья
 | автор = Van den Dries L., Van Haesendonck C., Bruynseraede Y., Deutscher G.
 | заглавие = Two-Dimensional Localization in Thin Copper Films
 | ссылка = http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.46.565
 | издание = Phys. Rev. Lett.
 | том = 46
 | страницы = 565
 | год = 1981
 | ref = Van den Dries
 | язык = en
}}
* {{статья
 | автор = Haucke H., Washburn S., Benoit A. D., Umbach C. P., Webb R. A.
 | заглавие = Universal scaling of nonlocal and local resistance fluctuations in small wires
 | ссылка = http://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.41.12454
 | издание = Phys. Rev. B
 | том = 41
 | страницы = 12454
 | язык = en
 | тип = journal
 | год = 1990
 | ref = Haucke
}}
* {{статья |том=63 |номер=2 |страницы=707—710 |заглавие=Spin–Orbit Interaction and Magnetoresistance in the Two-Dimensional Random System |издание={{Нп3|Progress of Theoretical and Experimental Physics|Progress of Theoretical Physics||Progress of Theoretical and Experimental Physics}} |bibcode=1980PThPh..63..707H |doi=10.1143/PTP.63.707 |язык=en |тип=journal |автор=Hikami Shinobu, Larkin Anatoly I., Nagaoka Yosuke |год=1980|ref=Hikami et al.}}
* {{статья |автор = Larose E., Margerin L., {{iw|Ван Тиггелен, Барт|van Tiggelen B. A.|de|Bart van Tiggelen}}, Campillo M.|заглавие = Weak Localization of Seismic Waves|оригинал = |ссылка = https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.93.048501|издание = Phys. Rev. Lett.|год = 2004|том = 93|страницы = 048501 |doi = 10.1103/PhysRevLett.93.048501|pmid = |bibcode = |arxiv = cond-mat/0403173 |ref = Larose et al.}}
* {{статья |автор = McCann E., Kechedzhi K., Fal’ko Vladimir I., Suzuura H., Ando T., Altshuler B. L.|заглавие = Weak-Localization Magnetoresistance and Valley Symmetry in Graphene|оригинал = |ссылка = https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.97.146805|издание = Phys. Rev. Lett. |год = 2006|том = 97|страницы = 146805 |doi = 10.1103/PhysRevLett.97.146805|pmid = |bibcode = |arxiv = |ref = McCann et al.}}
* {{статья
 | автор = Mell H., Stuke J.
 | заглавие = Negative magnetoresistance of amorphous semiconductors
 | ссылка = https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0022309370900554
 | издание = Critical Reviews in Solid State and Material Sciences
 | год = 1970
 | volume = 4
 | pages = 304—310
 | doi = 10.1016/0022-3093(70)90055-4
 | ref = Mell & Stuke
}}
* {{статья |автор = Peres N. M. R.|заглавие = Colloquium: The transport properties of graphene: An introduction|оригинал = |ссылка =https://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.82.2673 |издание = Rev. Mod. Phys.|год = 2010|том = 82|страницы = 2673 |doi = 10.1103/RevModPhys.82.2673|pmid = |bibcode = |arxiv = 1007.2849|ref = Peres}}
* {{статья |автор = Poole D. A., Pepper M., Hughes A.|заглавие = Spin-orbit coupling and weak localisation in the 2D inversion layer of indium phosphide|оригинал = |ссылка = https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0022-3719/15/32/005|издание = J. Phys. C: Solid State Phys.|год = 1982|том = 15|страницы = L1137 |doi = |pmid = |bibcode = |arxiv = |ref = Poole et al.}}
* {{статья |автор = Tikhonenko F. V., Horsell D. W., Gorbachev R. V., Savchenko A. K.|заглавие = Weak Localization in Graphene Flakes|оригинал = |ссылка = https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.100.056802|издание = Phys. Rev. Lett. |год = 2008|том = 100|страницы = 056802 |doi = 10.1103/PhysRevLett.100.056802|pmid = |bibcode = |arxiv = 0707.0140|ref = Tikhonenko et al.}}
* {{статья
 | автор = Toyozawa, Y.
 | заглавие = Theory of Localized Spins and Negative Magnetoresistance in the Metallic Impurity Conduction
 | издание = J. Phys. Soc. Japan.
 | язык = en
 | тип = journal
 | том = 17, N6
 | страницы = 986—1024
 | год = 1962
 | doi = 10.1143/JPSJ.17.986
 | ref = Toyozawa
}}
* {{статья
 | автор = Umbach C. P., Washburn S., Laibowitz R. B., Webb R. A.
 | заглавие = Magnetoresistance of small, quasi-one-dimensional, normal metal rings and lines
 | ссылка = http://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.30.4048
 | издание = Phys. Rev. B.
 | том = 30
 | страницы = 4048—4051
 | номер = 7
 | язык = en
 | год = 1984
 | ref = Umbach
}}
* {{статья
 | автор = Wolf P., Maret G.
 | заглавие = Weak Localization and Coherent Backscattering of Photons in Disordered Media
 | ссылка = http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.55.2696
 | издание = Phys. Rev. Lett.
 | том = 55
 | страницы = 2696
 | язык = en
 | тип = journal
 | год = 1985
 | ref = Wolf
}}
{{refend}}
{{Хорошая статья|Физика}}

[[Категория:Физика конденсированного состояния]]
[[Категория:Мезоскопическая физика]]