Просмотр кода страницы Словарная метрика на группе

'''Словарная метрика''' — способ задавать [[Метрика (метрическая геометрия)|расстояния]] на [[конечнопорождённая группа|конечнопорождённой группе]].

== Конструкция ==
Если выбрана и зафиксирована конечная система [[Задание группы|образующих]] <math>F</math> в конечнопорождённой группе <math>\Gamma</math>,
то расстояние между элементами <math>g</math> и <math>h</math> — это наименьшее число образующих и обратных к ним,
в произведение которых раскладывается частное <math>g^{-1}h</math>.

== Свойства ==
* Словарная метрика левоинвариантна; то есть сохраняется умножении слева на фиксированный элемент группы.
** Для неабелевых групп она, вообще говоря, не является правоинвариантной.
* Словарная метрика совпадает с расстоянием в [[граф Кэли (теория групп)|графе Кэли]] для той же системы образующих.
* Словарная метрика не сохраняется при замене системы образующих, однако она изменяется [[квазиизометрия|квазиизометрично]] (в данном случае это то же самое, что [[билипшицево отображение|билипшицевым]] образом). То есть для некоторых констант <math>C_1, C_2</math> имеет место:
*: <math>\forall g,h \in G \quad \frac{1}{C_1} d_2(g,h) \le d_1 (g,h) \le C_2 d_2(g,h).</math>.
:* В частности, это позволяет применять с помощью словарной метрики к группе геометрические понятия, сохраняющиеся при квазиизометрии. Например, говорить о [[Степень роста группы|степени роста группы]] (полиномиальной, экспоненциальной, промежуточной) и о её [[гиперболическая группа|гиперболичности]].

== Вариации и обобщения ==
Аналогичным способом словарная метрика может быть построена на произвольной группе (не обязательно конечнопорождённой),
при этом становится необходимо брать бесконечную систему образующих и многие описанные свойства перестают выполняться.
== Ссылки ==
* J. W. Cannon, Geometric group theory, in Handbook of geometric topology pages 261--305, North-Holland, Amsterdam, 2002, ISBN 0-444-82432-4
{{rq|empty|sources|topic=math}}

[[Категория:Теория групп]]
[[Категория:Метрическая геометрия]]