Просмотр кода страницы Сложение

[[Файл:Addition01.svg|right|thumb|120px|В учебниках часто объясняют сложение с помощью [[Яблоко|яблок]] и равенства 3 + 2 = 5{{sfn|Эндертон|1977|p=138|quote=…выберите два набора ''K'' и ''L'' с мощностью ''K'' = 2 и мощностью ''L'' = 3. Наборы из пальцев удобны; в учебниках предпочитают использовать наборы из яблок.}}]]

'''Сложе́ние''' (''прибавле́ние''{{sfn|Рудницкая|2004|с=110}}) — одна из основных [[Бинарная операция|бинарных]] [[Операция (математика)|математических операций]] ([[Арифметика|арифметических]] действий) двух [[Переменная величина|аргументов]] ('''слагаемых'''), результатом которой является новое число ([[Сумма (математика)|сумма]]), получаемое увеличением значения первого аргумента на значение второго аргумента. То есть каждой паре элементов <math>(a,b)</math> из множества <math>A</math> ставится в соответствие элемент <math>c=a+b</math>, называемый суммой <math>a</math> и <math>b</math>.

Обратная операция к сложению — [[вычитание]]{{sfn|''Иванова О. А.'' Сложение, 1984}}.

Это одна из четырёх {{нп5|Элементарная арифметика|элементарных||Elementary arithmetic}} [[Операция (математика)|математических операций]] [[Арифметика|арифметики]]. [[Приоритет операции|Приоритет]] её в обычном порядке операций равен приоритету [[Вычитание|вычитания]], но ниже, чем у [[Возведение в степень|возведения в степень]], [[Корень (математика)|извлечения корня]], [[Умножение|умножения]] и [[Деление (математика)|деления]]{{sfn|Порядок выполнения операций|2012}}. На письме сложение обычно обозначается с помощью знака «[[Знаки плюса и минуса|плюс]]»: <math>a+b=c</math>, то есть [[Бинарная операция#Аддитивная запись|аддитивной записью]].

У сложения есть несколько важных свойств (например, для <math>A=</math>[[Вещественное число|<math>\mathbb{R}</math>]]) (см. [[Сумма (математика)|Сумма]]):

* [[Коммутативная операция|Коммутативность]]: <math>a+b=b+a,\quad\forall a, b \in\ A;</math>{{переход|#Коммутативность|link|Коммутативность}}
* [[Ассоциативная операция|Ассоциативность]]: <math>(a+b)+c=a+(b+c),\quad\forall a, b, c \in\ A;</math>{{переход|#Ассоциативность|link|Ассоциативность}}
* [[Дистрибутивность]]: <math>x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b)</math> и <math>(a+b)\cdot x = (a\cdot x)+(b\cdot x),\quad\forall a, b \in\ A;</math>
* Прибавление [[0 (число)|<math>0</math>]] (нулевого элемента) даёт число, равное исходному: <math>x+0=0+x=x,\quad\forall x\in A, \quad\exists 0\in A.</math>

Используя систематические обобщения, сложение можно определить для абстрактных величин, таких как [[Целое число|целые числа]], [[Рациональное число|рациональные числа]], [[Вещественное число|вещественные числа]] и [[Комплексное число|комплексные числа]] и для других абстрактных объектов, таких как [[Вектор (геометрия)|векторы]] и [[Матрица (математика)|матрицы]].

Сложение возможно, только если оба аргумента принадлежат одному [[Множество|множеству]] элементов (имеют одинаковый [[Тип данных|тип]]). Так, на картинке справа запись <math>3 + 2</math> обозначает три яблока и два яблока вместе, что в сумме даёт пять яблок. Но нельзя сложить, например, 3 яблока и 2 груши.

Как правило, сложение не используется для наименования операций, которые не подчиняются коммутативному и ассоциативному законам{{sfn|''Сложение'', 1988}}{{sfn|''Сложение'', 1976}}.

В теории групп обычно сложением называют операцию в [[Абелева группа|абелевой группе]] (при [[Бинарная операция#Аддитивная запись|аддитивной записи]]) и ту [[Бинарная операция|бинарную операцию]] в [[Кольцо (математика)|кольце]], относительно которой элементы кольца образуют абелеву группу, где сложение ассоциативно и коммутативно. Иногда сложением называется и некоммутативная групповая операция, например, операция в [[Мультиоператорная группа|мультиоператорной группе]]{{sfn|''Иванова О. А.'' Сложение, 1984}}.

Сложение небольших чисел является одним из первых навыков, прививаемых детям в начальной школе.

Известны различные устройства для сложения: от древних [[абак]]ов и классических [[Счёты|русских счётов]] до современных [[компьютер]]ов и [[калькулятор]]ов.

== Формы записи и терминология ==
[[Файл:PlusCM128.svg|thumb|right|120px|{{center|Символ плюса}}]]
Сложение записывается с использованием [[Знаки плюса и минуса|символа плюса]] «+» между слагаемыми; такая форма записи называется [[Инфиксная нотация|инфиксной нотацией]]. Результат записывается с использованием [[Знак равенства|знака равенства]]. Например,

* <math>a + b = c </math> («а плюс бэ равно цэ»)
* <math>1 + 1 = 2 </math> («один плюс один равно двум»)
* <math>2 + 2 = 4 </math> («два плюс два равно четырём»)
* <math>5 + 4 + 2 = 11 </math> (см. «ассоциативность» [[#Ассоциативность|ниже]])
* <math>3 + 3 + 3 + 3 = 12</math> (см. «умножение» [[#Операции, связанные со сложением|ниже]])

[[Файл:AdditionVertical.svg|thumb|right|Сложение в столбик:<br>5 + 12 = 17]]
В ряде ситуаций подразумевается сложение, но при этом символы сложения не используются:
* В записи чисел в позиционных системах счисления: запись числа <math>a_{n-1}\;a_{n-2}\ldots \;a_1\;a_0,</math> подразумевает суммирование ряда <math>a_{n-1}\cdot P^{n-1} + a_{n-2} \cdot P^{n-2} + \ldots + a_1 \cdot P^1 + a_0 \cdot P^0</math>{{sfn|Системы счисления|2006|с=3}}.
* Если имеется столбец чисел, последнее (нижнее) число в котором [[Подчёркивание|подчёркнуто]], то обычно подразумевается, что все числа в этом столбце складываются, а полученная сумма записывается ниже подчёркнутого числа.
* Если имеется запись, когда перед [[Дробь (математика)|дробью]] стоит целое число, то эта запись означает сумму двух слагаемых — целого числа и дроби, которую называют ''смешанным числом''{{sfn|Девайн и соавторы|1991|с=263}}. Например, <br> 3½ = 3 + ½ = 3.5. <br>Такая запись может вызвать путаницу, поскольку в большинстве других случаев подобная запись означает [[умножение]], а не сложение{{sfn|Мазур|2014|с=161}}.

Сумма [[Числовой ряд|ряда]] связанных чисел может быть записана с использованием символа Σ, который позволяет компактно записать [[Итерация (математика)|итерацию]]. Например,
: <math>\sum_{k=1}^5 k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55.</math>

{{anchor|summand}}
''Слагаемые'' — это числа или объекты, складываемые друг с другом{{sfn|Словарь русского языка|1999|с=130}}.

[[Знаки плюса и минуса|Символ плюса]] «+» ([[Юникод]]:U+002B; [[ASCII]]: <code>&amp;#43;</code>) — упрощение латинского слова «et», означающего «и»{{sfn|Каджори|1928}}. Впервые этот символ встречается в книгах, начиная с 1489 г.{{sfn|Оксфордский словарь английского языка|2005}}

== Интерпретации ==
Сложение используется для моделирования бесчисленного множества физических процессов. Даже для простого сложения [[Натуральное число|натуральных чисел]] существует много различных интерпретаций и ещё больше способов визуального представления.

=== Комбинирование наборов ===
[[Файл:AdditionShapes.svg|right|200px]]
Возможно, самая фундаментальная интерпретация сложения — комбинирование наборов:
* Если два или более не пересекающихся наборов объектов объединены в один набор, то число объектов в полученном наборе равно сумме числа объектов в исходных наборах.

Эту интерпретацию легко визуализировать, при этом опасность двусмысленности будет минимальной. Однако непонятно, как с помощью этой интерпретации сложения объяснить сложение дробных или отрицательных чисел{{sfn|Виро|2012|с=5}}.

Одним из возможных решений будет обращение к набору объектов, которые могут быть легко разделены, например, пироги или стержни с сегментами{{sfn|Килпатрик|2001||quote=Например, дюймы могут быть разделены на части, которые трудно отличить от целых дюймов, за исключением того, что они получаются более короткими; но деление на части будет болезненно для кошек, и это действие серьёзно изменит их природу.}}. Вместо комбинирования наборов сегментов стержни могут быть присоединены друг к другу концами, что иллюстрирует другую концепцию сложения: складываются не стержни, складываются их длины.

=== Расширение длины ===
[[Файл:AdditionLineAlgebraic.svg|right|frame|Визуализация суммы 2 + 4 = 6 на числовой прямой. Сдвиг на 2 и затем сдвиг на 4 — это то же самое, что и сдвиг на 6.]]

[[Файл:AdditionLineUnary.svg|right|frame|Ещё один вариант визуализации суммы 2 + 4 = 6 на числовой прямой. Сдвиг на 4 — это то же самое, что и четыре сдвига по 1.]]

Вторая интерпретация сложения заключается в расширении начальной длины на величину добавляемой длины:
* Когда начальная длина расширяется добавляемой длиной, то полученная длина равна сумме начальной длины и длины, которую к ней добавили{{sfn|Мосли|2001|с=8}}.

Сумму ''a'' + ''b'' можно интерпретировать как [[Бинарная операция|бинарную операцию]] объединения ''a'' и ''b'' в алгебраическом смысле, также её можно интерпретировать как добавление ''b'' единиц к числу ''a''. В последней интерпретации части суммы ''a'' + ''b'' играют асимметричные роли, и операция ''a'' + ''b'' рассматривается как применение к числу ''a'' [[Унарная операция|унарной операции]] +''b''{{sfn|Ли Я.|2013|с=204}}. Унарный подход позволяет перейти к [[Вычитание|вычитанию]], ведь каждая унарная операция сложения имеет обратную унарную операцию вычитания и наоборот.

== Свойства ==
Операция сложения на числовых множествах <math>\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> имеет следующие основные свойства:

=== Коммутативность ===
[[Файл:AdditionComm01.svg|right|113px|thumb|Визуализация 4 + 2 = 2 + 4 при помощи блоков]]
Сложение [[Коммутативная операция|коммутативно]] — от перемены мест слагаемых сумма не меняется (это свойство также известно как ''переместительный закон сложения''):
<math>a+b=b+a,\quad\forall a, b \in\ A.</math>
Есть и другие законы коммутативности: например, существует коммутативный закон умножения. Тем не менее многие [[Бинарная операция|бинарные операции]], например, вычитание и деление, не коммутативны.

=== Ассоциативность ===
[[Файл:AdditionAsc.svg|thumb|left|100px|Визуализация 2+(1+3) = (2+1)+3 при помощи стержней с сегментами]]
Сложение [[Ассоциативная операция|ассоциативно]] — при последовательном выполнении сложения трёх или более чисел последовательность выполнения операций не имеет значения (''сочетательный закон сложения''):
<math>(a+b)+c=a+(b+c),\quad\forall a, b,c \in\ A.</math>

=== Дистрибутивность ===
Сложение [[Дистрибутивность|дистрибутивно]], это — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве (''распределительный закон'')<ref>Так эти свойства называются в учебниках для младших классов</ref> :
<math>x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b),\quad\forall a, b \in\ A.</math>

=== Нейтральный элемент ===
[[Файл:AdditionZero.svg|thumb|right|70px|Визуализация 5 + 0 = 5 при помощи сумок с точками]]
Относительно сложения в множестве <math>A</math> существует единственный [[нейтральный элемент]], сложение числа с [[0 (число)|<math>0</math>]] (нулевым или нейтральным элементом) даёт число, равное исходному:
<math>x+0=0+x=x,\quad\forall x\in A, \quad\exists 0\in A.</math>

Этот закон был впервые описан в ''{{нп5|Исправленный трактат Брахмы|Исправленном трактате Брахмы||Brahmasphutasiddhanta}}'', который был написан [[Брахмагупта|Брахмагуптой]] в 628 г. Он написал этот закон в виде трёх отдельных законов: для отрицательного, положительного и нулевого числа ''a'', и для описания этих законов он использовал слова, а не алгебраические символы. Позже индийские математики уточнили понятия; около 840 г., {{нп5|Махавира (математик)|Махавира||Mahāvīra (mathematician)}} написал, что «ноль становится таким же, как то, что добавляется к нему», что соответствовало записи 0 + ''a'' = ''a''. В XII веке [[Бхаскара II]] написал: «Если добавить ничего или вычесть ничего, то количество, положительное или отрицательное, остаётся таким же, как и было», что соответствует записи ''a'' + 0 = ''a''{{sfn|Каплан|1999|pp=69—71}}.

=== Обратный элемент ===
Сложение с [[Обратный элемент|противоположным элементом]] даёт <math>0</math>:
<math>a+(-a)=0,\quad\forall a\in A, \quad\exists -a\in A.</math>{{sfn|Свойства сложения|2016|loc=Сумма с противоположным числом|Свойства сложения, умножения, вычитания и деления целых чисел|с=1}}

Кроме того, сложение не выводит результат за пределы данного множества чисел, следовательно, <math>\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> [[Замыкание (алгебра)|замкнуты]] относительно операции сложения. Эти множества с операциями <math>+</math> и <math>\cdot</math> образуют [[кольцо (алгебра)|кольца]] ([[Коммутативное кольцо|коммутативные кольца]] с единицей){{sfn|Зельвенский|[б. г.]|с=18}}.<!-- Во-первых, замкнуты не операции, а множества. Во-вторых кольцо — это не только замкнутость относительно сложения --><!-- множества с операциями + и * являются кольцами, перефразировал кусок-->
На языке [[Общая алгебра|общей алгебры]] вышеперечисленные свойства сложения говорят о том, что <math>\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> — [[Абелева группа|абелевы группы]] относительно операции сложения.

== Выполнение сложения ==

Операцию сложения можно представить как некий «[[чёрный ящик]]» с двумя слагаемыми на входе и одним выходом - суммой:<ref>Чёрный я́щик — термин, используемый для обозначения системы, внутреннее устройство и механизм работы которой очень сложны, неизвестны или неважны в рамках данной задачи. «Метод чёрного ящика» — метод исследования таких систем, когда вместо свойств и взаимосвязей составных частей системы, изучается реакция системы, как целого, на изменяющиеся условия.</ref>{{sfn|Эшби|1959|Введение в кибернетику|с=127-169}}
[[Файл:Чёрный ящик.jpg|none|thumb]]

При практическом решении задачи сложения двух [[Число|чисел]] необходимо свести её к последовательности более простых операций: "простое сложение"{{нет АИ|12|09|2016}}, перенос, сравнение и др. Для этого разработаны различные методы сложения, например для чисел, дробей, векторов и др. На числовых множествах используется [[алгоритм]] [[Числовой разряд|поразрядного]] сложения{{sfn|Зубарева|2013|с=195}}. При этом следует рассматривать сложение как [[Математическая процедура|процедуру]] (в отличие от операции).

{{начало скрытого блока |заголовок= Примерный алгоритм процедуры поразрядного сложения двух чисел{{sfn|Алгоритм сложения|с=1}}<!--Нужна ли вообще такая схема? Зачем объяснять простые вещи сложными понятиями?--><!--Очень нужна, многие люди (и даже учителя) не могут внятно объяснить такие казалось бы простые вещи.--> }}
     [[Файл:Диаграмма1.svg|none|thumb|1197x1197px]]
  
{{конец скрытого блока}}
 
Как видим, процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при сложении больших чисел может занять продолжительное время.

{{нет АИ 2|"Простое сложение" - в данном контексте обозначает операцию сложения одноразрядных чисел, которая может быть легко сведена к [[инкремент]]ированию.|12|09|2016}}<!--
Сложение любых чисел может быть сведено к инкрементированию. Про это несомненно нужно написать, но причём тут "простое сложение"?
--> является [[гипероператор]]ом инкрементирования:
[[Файл:Диаграмма3.svg|thumb|273x273px|Пример пошагового сложения чисел 2 и 4 на числовой прямой.]]

<math>a+b = \operatorname{hyper1} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 1, b) = a ^ {(1)} b.</math>

<math> a {^{(1)}} b = a + b = \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{a} + \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{b}.</math>

где <math>1 + 1 + \dots + 1</math> - последовательность операций инкрементирования, выполненная <math>a</math> и <math>b</math> раз.

В худшем случае нахождение десятичной суммы двух десятичных одноразрядных чисел последовательным инкрементированием выполняется за 9 + 9 = 18 операций инкрементирования. В табличном десятичном [[полусумматор]]е нахождение десятичной суммы двух десятичных одноразрядных чисел выполняется за одну операцию чтения числа из массива чисел 10x10, т.е. быстрее, чем последовательным инкрементированием.

"Простое сложение" (одноразрядное двухоперандное (двухаргументное) десятичное сложение) является одной из <math>10^{200}</math> бинарных (двухаргументных, двухоперандных, двухвходовых) [[двоичные логические функции|десятичных логических функций]] с бинарным (двухразрядным) результатом, имеющей кроме собственного номера и собственное название словами: "'''одноразрядный десятичный полусумматор'''".

'''Десятичной функцией''' в [[теория функциональных систем (дискретная математика)|теории функциональных систем]] и в [[десятичная система счисления|десятичной логике]] называют [[функция (математика)|функцию]] типа <math>\mathsf{D}^n\to\mathsf{D}</math>, где <math>\mathsf{D}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}</math> — ''десятичное множество'', а <math>\ n</math> — неотрицательное [[целое число]], которое называют [[арность]]ю или местностью функции.

Всего существует <math>10^{(10^m)*n}=10^{(10^2)*2}=10^{100*2}=10^{200}</math> простейших бинарных с бинарным (двухразрядным) результатом десятичных логических функций (2 децита -> 2 децита), где m - количество аргументов функции (входная "-арность"), а n - количество результатов действия функции (выходная "-арность"), что больше всех [[Большие числа Дирака|больших чисел Дирака]] вместе взятых и [[число Шеннона|числа Шеннона]] (оценочное минимальное количество неповторяющихся шахматных партий, вычисленное в 1950 году американским математиком [[Клод Шеннон|Клодом Шенноном]], составляет приблизительно <math>10^{120}</math>) впридачу.

Одноразрядное двухоперандное (двухаргументное) десятичное сложение можно также представить, как комбинацию (объединение двух) бинарных (двухаргументных, двухоперандных, двухвходовых) десятичных логических функцией с унарным (одноразрядным) результатом, имеющих кроме собственных номеров и собственные названия словами: "одноразрядное десятичное бинарное сложение по модулю 10" и "единица переноса в следующий разряд при одноразрядном десятичном бинарном сложении".

Всего существует <math>10^{(10^2)}=10^{100}</math> простейших бинарных с унарным (одноразрядным) результатом десятичных логических функций (2 децита -> 1 децит).

Номер функции "одноразрядное десятичное бинарное сложение по модулю 10" содержит все значения функции при переборе значений аргументов от 0 до 9 и относительно просто получается из таблицы десятичного полусумматора: 8765432109 7654321098 6543210987 5432109876 4321098765  3210987654 2109876543 1098765432 0987654321 9876543210 (пробелы отделяют по 10 знаков в номере функции).

Номер функции "единица переноса в следующий разряд при одноразрядном десятичном бинарном сложении" содержит все значения функции при переборе значений аргументов от 0 до 9 и тоже относительно просто получается из таблицы десятичного полусумматора: 
1111111110 1111111100 1111111000 1111110000 1111100000 1111000000 1110000000 1100000000 1000000000 0000000000 (пробелы отделяют по 10 знаков в номере функции).

Так как в разряде переноса не бывает значения больше 1, то разряд переноса в одноразрядном десятичном полусумматоре является более простой десятичной функцией с унарным (одноразрядным) двоичным результатом (2 децита -> 1 [[бит]]).

{{начало скрытого блока | заголовок= Табличный одноразрядный десятичный [[полусумматор]] на [[Turbo Basic|Borland TurboBasic'е]]}}
<!--Табличный одноразрядный десятичный [[полусумматор]] на [[Turbo Basic|Borland TurboBasic'е]]:<br>-->
<source lang="basic">
'Half Adder Decimal Single-Digit
CLS
DATA 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
DATA 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0
DATA 2,3,4,5,6,7,8,9,0,1
DATA 3,4,5,6,7,8,9,0,1,2
DATA 4,5,6,7,8,9,0,1,2,3
DATA 5,6,7,8,9,0,1,2,3,4
DATA 6,7,8,9,0,1,2,3,4,5
DATA 7,8,9,0,1,2,3,4,5,6
DATA 8,9,0,1,2,3,4,5,6,7
DATA 9,0,1,2,3,4,5,6,7,8

DATA 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
DATA 0,0,0,0,0,0,0,0,0,1
DATA 0,0,0,0,0,0,0,0,1,1
DATA 0,0,0,0,0,0,0,1,1,1
DATA 0,0,0,0,0,0,1,1,1,1
DATA 0,0,0,0,0,1,1,1,1,1
DATA 0,0,0,0,1,1,1,1,1,1
DATA 0,0,0,1,1,1,1,1,1,1
DATA 0,0,1,1,1,1,1,1,1,1
DATA 0,1,1,1,1,1,1,1,1,1

DEFINT I,J,F,A,B
FOR I=0 TO 9
  FOR J=0 TO 9
    READ F2DSM10[I,J]  'Function 2-argument Decimal Summ Mod 10 NonSymmetric
  NEXT J
NEXT I
FOR I=0 TO 9
  FOR J=0 TO 9
    READ F2DC10[I,J]   'Function 2-argument Decimal Carry Summ 10 NonSymmetric
  NEXT J
NEXT I

A=9
B=9
PRINT USING "#";A;
PRINT " + ";
PRINT USING "# = ";B;
PRINT USING "#";F2DC10[A,B];
PRINT USING "#";F2DSM10[A,B]
END
</source>
{{конец скрытого блока}}

=== Врождённая способность ===
Исследования развития математических способностей, которые начались в 1980-х годах, рассматривали феномен [[Привыкание (психология)|привыкания]]: [[Младенец|младенцы]] смотрят дольше на ситуации, которые являются для них неожиданными{{sfn|Винн|1998|с=5}}. В эксперименте {{нп5|Карен Винн|Карен Винн||Karen Wynn}} 1992 года использовались куклы [[Микки Маус]]а, с которыми проводились различные манипуляции за ширмой. Этот эксперимент показал, что пятимесячные младенцы ''ожидают'', что 1 + 1 — это 2, и удивляются тому, когда оказывается, что 1 + 1 — это 1 или 3. Позже этот результат был подтверждён в других лабораториях с использованием разных методов{{sfn|Винн|1998|с=15}}. В другом эксперименте в 1992 году с малышами постарше, в возрасте от 18 до 35 месяцев, использовалось развитие моторных функций детей, позволявшее им доставать шарики для [[Настольный теннис|пинг-понга]] из коробки; младшие ребята хорошо справлялись с небольшим числом шариков, более старшие научились считать сумму до 5{{sfn|Винн|1998|с=17}}.

Даже некоторые животные проявляют способность складывать, в особенности [[приматы]]. Эксперимент 1995 года был аналогичен эксперименту Винн 1992 года, но вместо кукол использовались [[баклажан]]ы. Выяснилось, что [[Макак-резус|макаки-резусы]] и [[Эдипов тамарин|эдиповы тамарины]] показывают схожие человеческим младенцам способности. Более того, один [[Обыкновенный шимпанзе|шимпанзе]], после того, как его научили различать и понимать смысл [[Арабские цифры|арабских цифр]] от 0 до 4, смог считать сумму двух чисел без какой-либо подготовки{{sfn|Винн|1998|с=19}}. Позже было выяснено, что [[Азиатский слон|азиатские слоны]] способны овладеть базовыми арифметическими операциями{{sfn|У слонов достаточно ума, чтобы рисовать фигуры|2008}}.

=== Овладение сложением детьми ===
Как правило, сначала дети учатся [[подсчёт]]у. Когда даётся задача, в которой требуется объединить два предмета и три предмета, маленькие дети обращаются к помощи конкретных предметов, например, счёт на пальцах или помощь рисунка. По мере приобретения опыта, они учат или открывают для себя стратегию «подсчёта»: когда требуется найти, сколько будет два плюс три, дети перечисляют два числа, идущие после числа три, проговаривая: «три, четыре, ''пять''» (обычно загибая пальцы), и, в итоге, получая пять. Эта стратегия кажется почти универсальной; дети могут легко перенять её у сверстников или учителей{{sfn|Смит Ф.|2002|с=130}}. Многие дети сами доходят до этого. Накопив какой-то опыт, дети учатся складывать быстрее, используя коммутативность сложения, начиная перечислять числа от самого большого числа в сумме, как в описанном выше случае, начиная с трёх и перечисляя: «четыре, ''пять''». В конце концов, дети начинают использовать какие-либо факты о сложении («{{нп5|Примеры сложения наизусть|примеры сложения наизусть||number bond}}»), получая их либо опытным путём, либо запоминая их. Когда одни факты осядут в памяти, дети начинают выводить неизвестные факты из известных. Например, ребёнок, складывающий шесть и семь, может знать, что 6 + 6 = 12, и что поэтому 6 + 7 на один больше, то есть 13{{sfn|Карпентер и др.|2014}}. К такому способу вывода приходят довольно быстро и большинство учеников начальной школы полагаются на смесь всего того, что они запомнили и того, что они могут вывести, что в итоге позволяет им бегло складывать{{sfn|Генри Валери Д.|2008|pp=153—183}}.

В разных странах к изучению целых чисел и арифметики приступают в разных возрастах, в основном сложению учат в учреждениях дошкольного образования{{sfn|Изучение математики в начальной школе в целых числах|2014|pp=1—8}}. При этом по всему миру к концу первого года начальной школы школьники обучаются сложению{{sfn|Последовательность обучения|2002|pp=1—18}}.

==== Таблица сложения ====
Детям часто показывают таблицу сложения пар чисел от 1 до 10 для лучшего запоминания{{Обтекаемые выражения|коментарий=где? кто? когда?}}. Зная эту таблицу, можно выполнить любое сложение.
{{начало скрытого блока |заголовок= таблица для сложения в десятичной системе счисления }}
{| class="standard" style="text-align:center" width="75%"
|-
!+||0||1||2||3||4||5||6||7||8||9
|-
!0
|0||1||2||3||4||5||6||7||8||9
|-
!1
|1||2||3||4||5||6||7||8||9||10
|-
!2
|2||3||4||5||6||7||8||9||10||11
|-
!3
|3||4||5||6||7||8||9||10||11||12
|-
!4
|4||5||6||7||8||9||10||11||12||13
|-
!5
|5||6||7||8||9||10||11||12||13||14
|-
!6
|6||7||8||9||10||11||12||13||14||15
|-
!7
|7||8||9||10||11||12||13||14||15||16
|-
!8
|8||9||10||11||12||13||14||15||16||17
|-
!9
|9||10||11||12||13||14||15||16||17||18
|-
|}
  
{{конец скрытого блока}}

=== Десятичная система ===
<!-- этот раздел стоит сверить с основным источником, я бы не стал доверять пересказу английской википедии. У меня {{sfn|Фоснот и Долк|2001}}, но то, что я смог подсмотреть в гугол букс, говорит о том, что пересказ в англовики не точен. Так например, про near-double там говориться не про однозначные числа. -->
Для успешного сложения в [[Десятичная система счисления|десятичной системе]] нужно помнить или уметь быстро выводить 100 «фактов (примеров) сложения» для одноразрядных чисел. Кто-то может запомнить все эти факты, заучивая их, но стратегии изучения сложения путём использования шаблонов более информативны и для большинства людей более эффективны:{{sfn|Фоснот и Долк|2001|с=99}}
* ''Коммутативное свойство'': использование шаблона <math>a + b = b + a</math> снижает количество «фактов о сложении», которых нужно запомнить, со 100 до 55.
* ''На один или на два больше'': прибавление 1 или 2 — это базовая задача, и решить её можно перечислением (подсчётом) или, в конце концов, полагаясь на [[Интуиция|интуицию]]{{sfn|Фоснот и Долк|2001|с=99}}.
* ''Ноль'': поскольку ноль является нейтральным элементом для операции сложения (аддитивной единицей), постольку прибавить ноль просто. Тем не менее, во время изучения арифметики некоторым ученикам сложение представляется как процесс, во время которого слагаемые всегда увеличиваются; акцент на {{нп5|Проблемы со словами|словесной формулировке||word problem (mathematics education)}} задачи может помочь понять «исключительность» нуля{{sfn|Фоснот и Долк|2001|с=99}}.
* ''Удваивание'': складывание числа с самим собой связано с задачей удвоенного (повторного) подсчёта и [[умножение]]м. Факты об удваивании являются основой для многих связанных с ними фактов, и ученикам легко их относительно легко понять{{sfn|Фоснот и Долк|2001|с=99}}.
* ''Почти-удваивание (Суммы, близкие к операции удваивания)'': сумма 6 + 7 = 13 может быть быстро выведена из факта об удваивании 6 + 6 = 12 и прибавления единицы, или из факта 7 + 7 = 14 и вычитания единицы{{sfn|Фоснот и Долк|2001|с=99}}.
* ''Пять и десять'': суммы вида 5 + {{mvar|x}} и 10 + {{mvar|x}} обычно запоминаются рано и могут быть использованы для выведения других фактов. Например, результат суммы 6 + 7 = 13 может быть выведен с использованием факта 5 + 7 = 12 добавлением к последнему единицы{{sfn|Фоснот и Долк|2001|с=99}}.
* ''Получение десятки (достраивание до десяти)'': существует такая стратегия, в которой 10 используется в качестве промежуточного результата при наличии слагаемых 8 или 9; например, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14{{sfn|Фоснот и Долк|2001|с=99}}.
По мере взросления ученики запоминают всё больше фактов, и учатся быстро выводить из них другие факты. Многие ученики не запоминают все факты, но могут быстро вывести требуемый{{sfn|Генри Валери Д.|2008|pp=153—183}}.

==== Перенос ====
В стандартном алгоритме сложения многоразрядных чисел{{Обтекаемые выражения|комментарий=Где описан данный стандарт, кем рекомендован для применения, в каких учебных заведениях? Источник?}} цифры, из которых состоят записи складываемых чисел, располагаются одна под другой. Выполняют сложение цифр отдельно в каждом столбце, начиная с правого. Если сумма цифр в столбце превышает 10, лишняя цифра «[[Перенос (арифметика)|переносится]]» в следующий столбец (левее). Например, в сумме 27 + 59

   ¹
   27
 + 59
 ————
   86

7 + 9 = 16 и цифра 1 переносится в следующий столбец. В альтернативном способе начинают сложение с наиболее значимой цифры слева; в этой стратегии перенос выполняется несколько грубее, но быстрее получается приблизительная сумма. Существует много других методов переноса.

==== Сложение десятичных дробей ====
Способ сложения [[Десятичная дробь|десятичных дробей]] является простой модификацией сложения многоразрядных чисел, описанного выше{{sfn|Вингард-Нельсон Р.|2014|с=21}}. При сложении столбиком дроби располагают таким образом, чтобы запятые{{Стиль фразы|комментарий=здесь запятая, а в примере точка.}} находились точно друг под другом. При необходимости можно добавлять нули справа и слева к более короткой дроби (см. {{нп5|Замыкающий ноль|замыкающий ноль||Trailing zero)}} и [[ведущие нули]]), чтобы сделать её равной по длине более длинной дроби. Итак, сложение производится таким же образом, как и в описанном выше способе сложения многоразрядных чисел, только запятая располагается в ответе точно там же, где она располагалась у слагаемых.

Например, сумму 45,1 + 4,34 можно вычислить следующим образом:
    4 5 , 1 0
 +  0 4 , 3 4
 ————————————
    4 9 , 4 4

==== Экспоненциальная запись ====
В [[Экспоненциальная запись|экспоненциальной записи]] числа записываются в виде <math>a= \pm x \cdot P^{ \pm n}</math>, где <math>x</math> — [[мантисса]], <math>P^{n}</math> — [[Характеристика логарифма|характеристика числа]], <math>P</math> — основание системы счисления. Для сложения двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме, требуется, чтобы у них были одинаковые характеристики: <math> a \cdot P^{n} + b \cdot P^{n} = (a+b) \cdot P^{n},</math> согласно свойству дистрибутивности.

Например:
: <math>2.34 \cdot 10^{-5} + 5.67 \cdot 10^{-6} = 2.34 \cdot 10^{-5} + 0.567 \cdot 10^{-5} = (2.34 + 0.567) \cdot 10^{-5} = 2.907 \cdot 10^{-5}</math>

Особый случай — сложение чисел, различающихся на несколько [[Порядок величины|порядков]], с последовательным округлением. Если <math>a \gg b</math>, то и погрешности этих чисел будут несопоставимы (<math>\Delta a \gg \Delta b</math>), и при выполнении сложения бо′льшая погрешность поглотит меньшую. Так может быть нарушено свойства ассоциативности.

Рассмотрим, например, выражение <math>5,6 \cdot 10^8 + 7,2 + ( -5,6 \cdot 10^8)</math>: если выполнить сначала <math>5,6 \cdot 10^8 + 7,2</math>, после округления результата получим <math> \approx 5,6 \cdot 10^8</math>, складывая далее, имеем <math>5,6 \cdot 10^8 + ( -5,6 \cdot 10^8)= 0</math>, а если выполнять сложение в ином порядке, то: <math>5,6 \cdot 10^8 + ( -5,6 \cdot 10^8) + 7,2 = 0 + 7,2 = 7,2</math>. Таким образом, при неаккуратном округлении могут получиться различные значения одного и того же выражения.

=== Сложение в других системах счисления ===
{{main|Двоичная система счисления}}

Сложение для чисел с другими основаниями идентично сложению в десятичной системе

В качестве примера можно рассмотреть сложение в двоичной системе счисления{{sfn|Дейл|2008|с=155}}. Сложение двух одноразрядных двоичных чисел с использованием переноса является довольно простым:

: 0 + 0 → 0
: 0 + 1 → 1
: 1 + 0 → 1
: 1 + 1 → 0, переносится 1 (так как 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2<sup>1</sup>))
Сумма двух знаков «1» равна знаку «0», а 1 должна быть добавлена в следующий столбец. Эта ситуация аналогична тому, что происходит в десятичной системе при суммировании определённых однозначных чисел; если результат равен или превышает значение основания системы счисления (10), цифры слева увеличиваются:

: 5 + 5 → 0, перенос 1 (так как 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10<sup>1</sup>))
: 7 + 9 → 6, перенос 1 (так как 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10<sup>1</sup>))

Эта операция известна как «перенос»{{sfn|Ботман|1837|с=31}}. Когда результат сложения превосходит диапазон значений и [[Числовой разряд|разряда]], нужно «перенести» избыток, делённый на основание системы (то есть на 10 в десятичной системе) влево, добавляя его к значению в следующем разряде. Это связано с тем, что значение в следующем разряде в <math>N</math> раз больше (в <math>N</math>-ой системе счисления), чем значение в текущем разряде. Перенос в двоичной системе счисления работает также, как и в десятичной системе:

   <span style="color:#800000">1 1 1 1 1    (перенос)</span>
     0 1 1 0 1
 +   1 0 1 1 1
 —————————————
   1 0 0 1 0 0 = 36

В этом примере складываются два числа: 01101<sub>2</sub> (13<sub>10</sub>) и 10111<sub>2</sub> (23<sub>10</sub>). В верхней строке указано наличие переноса. Начинаем складывать с правого столбца: 1 + 1 = 10<sub>2</sub>. Здесь 1 переносится влево, а 0 записывается в нижней строке. Теперь складываются числа во втором столбце справа: 1 + 0 + 1 = 10<sub>2</sub>; 1 переносится, а 0 записывается в нижней строке. Третий столбец: 1 + 1 + 1 = 11<sub>2</sub>. В этом случае 1 переносится в нижней строке. В итоге получаем 100100<sub>2</sub> (или 36 в десятичной системе счисления).

=== Сложение в компьютерах ===

==== Сложение в аналоговых компьютерах ====
[[Файл:Opampsumming-e.svg|thumb|Электрическая схема сложения напряжений при помощи [[Применение операционных усилителей#Инвертирующий суммирующий усилитель (инвертирующий сумматор)|инвертирующего сумматора]] на [[Операционный усилитель|операционном усилителе]]]]
[[Аналоговый компьютер|Аналоговые компьютеры]] работают напрямую с физическими величинами, поэтому их механизм сложения зависит от вида слагаемых. Механический сумматор может представлять два слагаемых в виде позиций скользящих блоков, в этом случае их можно складывать при помощи [[Среднее арифметическое|усредняющего]] [[рычаг]]а. Если слагаемые представлены в виде углов поворота или угловых скоростей вращения двух [[Шпиндель|валов]], их можно сложить при помощи [[Дифференциал (механика)|дифференциала]].

Гидравлический сумматор может складывать [[Давление|давления]] в двух камерах, используя [[Законы Ньютона|второй закон Ньютона]], чтобы уравновесить силы на систему [[Поршень|поршней]].

Наиболее типичный случай применения аналогового компьютера — это сложение двух [[Электрическое напряжение|напряжений]] (относительно [[Заземление|заземления]]); это можно приближённо выполнить при помощи пассивной [[резистор|резистивной ]] [[Электронная схема|схемы]], а в точных аналоговых вычислений используется [[операционный усилитель]]{{sfn|Трайт и Рождерс|1960|pp=41—49}}.

==== Цифровое сложение ====
[[Файл:BabbageDifferenceEngine.jpg|thumb|left|Часть [[Разностная машина Чарльза Бэббиджа|разностной машины]] Чарльза Бэббиджа включает механизмы сложения и переноса]]
[[Абак]], также называемый счётной доской — это простейший вычислительный прибор, который использовался за много веков до распространения [[Десятичная система счисления|десятичной системы счисления]] и который всё ещё используется купцами, торговцами и клерками в [[Азия|Азии]], [[Африка|Африке]], и других континентах; предполагается, что абак изобретён не позднее 2700—2300 годов до н. э., тогда он начал использоваться [[шумер]]ами{{sfn|Джорджс|2001|с=11}}.

[[Паскаль, Блез|Блез Паскаль]] изобрёл механический [[калькулятор]] в 1642{{sfn|Маргун|1994|с=48}}{{sfn|Танон|1963|с=62}}; это была первая операционная [[суммирующая машина]]. В этом калькуляторе механизм переноса работал используя действие тяжести. Это был единственный операционный калькулятор, созданный в 17 веке<ref>См. [[Суммирующая машина Паскаля|конкурирующие конструкции]] в статье о суммирующей машине Паскаля</ref> и самый первый цифровой компьютер. Недостаток машины Паскаля — механизм переноса, допускавший вращение цифровых колёс при сложении только в одну сторону. Для вычитания пользователь должен был использовать второй набор цифр на колёсах для представления результата и требовало такое же количество шагов, как и для сложения ({{нп5|Методы дополнения|методы дополнения||Method of complements#Practical_uses}}).

[[Полени, Джованни де|Джованни Полени]] продолжил развитие калькулятора Паскаля, построив второй механический калькулятор в 1709 году. [[Циферблат]] этого калькулятора был из дерева, и однажды установленный он мог перемножать два числа между собой автоматически.

Операция сложения является основной в [[Компьютер|цифровых компьютерах]]. Скорость выполнения операции сложения и, в особенности, затраты времени на формирование [[Перенос (арифметика)|межразрядного переноса]], определяют, в частности, быстродействие компьютера.

[[Файл:Full-adder.svg|thumb|Логическая схема одноразрядного двоичного сумматора складывающего три [[бит]]а (разряды двоичного числа ''A'', ''B'' и перенос от сложения битов предыдущего разряда ''C<sub>in</sub>''), выдаёт бит суммы по модулю 2 (''S'') и значение переноса (''C<sub>out</sub>'') в следующий разряд]]
[[Сумматор]]ы выполняющие целочисленное сложение в электронных цифровых вычислительных машинах, практически всегда использует [[Двоичная система счисления|бинарную арифметику]]. В простейшей структуре используется [[w:Adder (electronics)#Ripple-carry adder|сумматор с последовательным переносом]] (выходной перенос предыдущего в цепочке сумматора является входным переносом для следующего сумматора), это позволяет выполнять сложение для многоразрядных чисел. Небольшое улучшение представлено в {{нп5|Сумматор с пропуском переноса|сумматоре с пропуском переноса||Carry bypass adder}}, который действует похожим с человеческой интуицией образом; например, он не выполняет все переносы в сумме 999 + 1, он обходит группу девяток и сразу выдаёт ответ{{sfn|Флинн и Оверман|2001|pp=2—8}}.

Практически сложение можно выполнять через [[Сложение по модулю 2|сложение по модулю два]] и [[Битовые операции|операцию «И»]] в сочетании с другими битовыми операциями, как показано ниже. Обе эти операции просто реализовать в цепях [[сумматор]]ов, которые, в свою очередь, могут объединяться в более сложные [[Логическая операция|логические операции]].

В современных цифровых компьютерах сложение целых чисел, как и другие команды целочисленной арифметики, являются одними из самых быстрых операций, в то же время, они имеют существенное влияние на общую производительность компьютера, поскольку на целочисленные операции приходится существенная доля всех вычислений при выполнении любых программ. Целочисленное сложение используется, например, при вычислении [[Адрес (информатика)|адресов]] ячеек при доступе к [[Компьютерная память|памяти]] и при выборке [[Архитектура набора команд|команд]] во время определённого [[Порядок выполнения|порядка их выполнения]].

Для увеличения скорости работы современные компьютеры вычисляют значения в разрядах суммы [[Параллельный алгоритм|параллельно]]; такие схемы называются «выборка переноса», {{нп5|Предвидение переноса|предвидение переноса||carry lookahead adder}} и псевдоперенос в {{нп5|Сумматор Линга|сумматоре Линга||Ling adder}}. Обычно сложение на компьютере является гибридом последних трёх способов{{sfn|Флинн и Оверман|2001|pp=1—9}}{{sfn|Санг-Су Йо|2010|с=194}}.

В отличие от сложения человеком на бумаге, сложение на компьютере часто изменяет слагаемые в регистрах. На древнем [[абак]]е и доске для сложения при выполнении операции сложения оба слагаемых уничтожались, оставалась только их сумма. Влияние абака на математическое мышление было настолько велико, что в ранних [[Латинский язык|латинских]] текстах часто утверждалось, что в процессе сложения «числа с числом» оба числа исчезают{{sfn|Карпински|1925|pp=102—103}}. В современных компьютерах обычно при выполнении инструкция ADD [[микропроцессор]] заменяет в регистре значение первого слагаемого полученной суммой, второе же слагаемое остаётся в регистре без изменений{{sfn|Хоровец и Хилл|2009|с=679}}.

В [[Высокоуровневый язык программирования|высокоуровневом языке программирования]] оценивание ''a'' + ''b'' не изменяет ни ''a'', ни ''b''; если ставится задача записать сумму в ''a'', то это должно быть явно указано, например, выражение ''a'' = ''a'' + ''b''. В некоторых [[Язык программирования|языках программирования]], таких как [[Си (язык программирования)|C]] или [[C++]] эта запись упрощена до ''a'' += ''b''.

;Программа для иллюстрации логики суммирования двух битов и переноса
<source lang="c">
// Iterative Algorithm 
int add(int x, int y){
    int carry = 0;  
    while (y != 0){        
       carry = AND(x, y);   // Logical AND 
       x     = XOR(x, y);   // Logical XOR
       y     = carry << 1;  // left bitshift carry by one  
   } 
   return x;   
}
// Recursive Algorithm
int add(int x, int y){
   return x if (y == 0) else add(XOR(x, y) , AND(x, y) << 1); 
}
</source>

В случае если число разрядов результата сложения юольше разрядности регистров хранения, то происходит [[арифметическое переполнение]], что приводит к неправильному результату или [[Обработка исключений|исключительной ситуации]] при выполнении программы. Непредвиденное арифметическое переполнение является довольно распространённой причиной [[Программная ошибка|программных ошибок]]. Такие ошибки переполнения может быть трудно обнаружить и диагностировать, потому что они могут проявляться только при некоторых наборах входных данных, которые не были использованы в тестах{{sfn|Блотч|2006|с=1}}.

Сложение [[Вещественное число|вещественных чисел]] на современных компьютерах, как и все [[Число с плавающей запятой|вычисления с плавающей точкой]], выполняются аппаратно специальным устройством, называемом [[Сопроцессор|математическим сопроцессором]] (название условное, так как в современных компьютерах физически он встроен в [[центральный процессор]]). При выполнении операции сложения с плавающей точкой также возможно переполнение, однако оно всегда вызывает [[Обработка исключений|обработку исключений]], и обнаруживается.

Ещё одной важной особенностью компьютерных [[Число с плавающей запятой|вычислений с плавающей точкой]] является ограниченная точность представления [[Вещественное число|вещественного числа]], в связи с чем [[Число с плавающей запятой|вычисления с плавающей точкой]] на компьютере выполняются, вообще говоря, приближённо, а к результатам вычислений (в том числе, промежуточным) применяется [[Округление|операция округления]]. Округление, как правило, применяется даже к тем числам, которые в [[Десятичная система счисления|десятичной системе счисления]] представлены конечной дробью, то есть точно (поскольку в наиболее распространённых компьютерах применяется [[двоичная система счисления]]). Поэтому при суммировании на компьютере чисел с плавающей точкой сумма может зависеть от очерёдности суммирования слагаемых — иногда существенно, если [[Порядок величины|порядки]] слагаемых многократгно отличаются. Поэтому в программах, где суммируется много переменных, применяют специальные меры для снижение погрешности. Одним из наиболее эффективных методов снижения погрешности суммирования является [[алгоритм Кэхэна]].

== Сложение чисел ==
Для представления основных свойств сложения сначала нужно определиться с контекстом. Изначально сложение определено для [[Натуральное число|натуральных чисел]]. Сложение определяется для всё больших и больших множеств, включая натуральные числа: [[Целое число|целые числа]], [[Рациональное число|рациональные числа]] и [[Вещественное число|вещественные числа]]{{sfn|Эндертон|1977|pp=4—5}}. (В [[Математическое образование|математическом образовании]]{{sfn|Последовательность обучения|2002|с=4}} сложение положительных дробей проходят до сложения отрицательных чисел{{sfn|Baez|2000|с=37|quote=Очевидно, что представить половину яблока легче, чем отрицательное яблоко!}}.)

=== Натуральные числа ===
Воспользуемся определением [[Натуральное число|натуральных чисел]] <math>\mathbb{N}</math> как [[Отношение эквивалентности|классов эквивалентности]] конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств <math>C, A, B</math> порождённых [[биекция]]ми, с помощью скобок: <math>[C], [A], [B]</math>. Тогда арифметическая операция «сложение» определяется следующим образом:
<center><math>[C]=[A] + [B] = [A \sqcup B];</math></center>
где <math>A \sqcup B</math> — [[Дизъюнктное объединение|дизъюнктное объединение множеств]]. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Взаимно однозначное отображение конечного множества <math> A </math> на отрезок <math> N_a </math> можно понимать как нумерацию элементов множества <math> A: \quad A \sim N_a </math> . Этот процесс нумерации называют «''счётом''»{{sfn|нумерация|loc=Теоретические основы введения целых неотрицательных чисел|с=7}}{{уточнить ссылку|15|6|2021|См. на СО тему «сноска»}}. Таким образом, «счёт» - это  установление взаимно-однозначного соответствия между элементами множества и отрезком натурального ряда чисел{{sfn|Истомина|2009|с=71}}.

Для сложения натуральных чисел в [[Позиционная система счисления|позиционной системе]] обозначения чисел применяется поразрядный алгоритм сложения. Если даны два натуральных числа <math>a</math> и <math>b</math> такие, что:
<center><math>a=a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0, \quad b=b_{n-1} b_{n-2}\dots b_0, \quad \forall a_{k},b_{k} \in \{P \} \quad \forall a_{n-1}, b_{n-1} \ne 0 \quad\exists 0\in \N;</math></center>
где: <math> a_{0 \dots n-1}=a_k P^k, \quad b_{0 \dots n-1}=b_k P^k </math>;
:<math>n</math> - количество цифр в числе <math>n \in \{1, 2, \dots ,n \}</math>;
:<math>k</math> - порядковый номером разряда (позиции), <math>k \in \{0, 1, \dots ,n-1 \}</math>;
:<math>P</math> - основание системы счисления;
:<math> \{P \}</math> множество числовых знаков (цифр), конкретной системы счисления:
::<math>\{P_2 \}= \{0,1 \}</math>,
::<math>\{P_{10} \}= \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}</math>,
::<math>\{P_{16} \}= \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F \}</math>;
тогда:
<center><math>c=a+b; \quad c_{n-1} c_{n-2}\dots c_0=a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0+b_{n-1} b_{n-2}\dots b_0;</math></center>
складывая поразрядно, получаем:

* <math>c_0=\begin{cases} a_0+b_0, \quad c_1=0 & \text{if } a_0+b_0 \leqslant P-1 \text{ } \\ a_0+b_0-P, \quad c_1=1 & \text{if } a_0+b_0>P-1 \text{ } \end{cases}</math>
* <math>c_1=\begin{cases} a_1+b_1+c_1, \quad c_2=0 & \text{if } a_1+b_1+c_1 \leqslant P-1 \text{ } \\ a_1+b_1+c_1-P, \quad c_2=1 & \text{if } a_1+b_1+c_1>P-1 \text{ } \end{cases}</math>
* <math>... \quad \quad... \quad \quad...</math>
*<math>c_{n-1}=\begin{cases} a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}, \quad c_n=0 & \text{if } a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1} \leqslant P-1 \text{ } \\ a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}-P, \quad c_n=1 & \text{if } a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}>P-1 \text{ } \end{cases}</math>

Таким образом, операция сложения сводится к процедуре последовательного простого сложения одноразрядных чисел <math>a_{k}+b_{k}</math>, с формированием единицы переноса при необходимости, которое производится либо табличным методом, либо инкрементированием (счётом).

Арифметические действия над числами в любой позиционной [[Система счисления|системе счисления]] производятся по тем же правилам, что и в [[Десятичная система счисления|десятичной системе]], так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими [[многочлен]]ами{{sfn|Системы счисления|2006|с=3|name=Системы счисления}}. При этом нужно пользоваться таблицей сложения, соответствующей данному основанию <math>P</math> системы счисления.

Пример сложения натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, для удобства числа записываются друг под другом соответственно разрядам, единица переноса пишется сверху, недостающие разряды дополняются нулями:

<center><math>\begin{array}{ccccccccc} &_1&_1&_1 \\ &0&1&0&1&1&0 \\ +&1&1&1&1&0&1 \\ \hline 1&0&1&0&0&1&1 \end{array}; \quad \quad \begin{array}{ccccccc} &_1&_1&_1 \\ &3&4&5&6&7 \\ +&8&7&5&4&1 \\ \hline 1&2&2&1&0&8 \end{array}; \quad \quad \begin{array}{ccccccc} &_1&&_1&_1&_1 \\ &C&5&6&D&E&4 \\ +&0&F&2&A&1&F \\ \hline &D&4&9&8&0&3 \end{array}.</math></center>

Другое известное определение [[Рекуррентная формула|рекуррентно]]:
* Пусть ''n''<sup>+</sup> — {{нп5|Преемник (функция)|следующее||successor function}} за ''n'' натуральное число, например 0<sup>+</sup>=1, 1<sup>+</sup>=2. Пусть ''a'' + 0 = ''a''. Тогда общая сумма определяется рекуррентно: ''a'' + (''b''<sup>+</sup>) = (''a'' + ''b'')<sup>+</sup>. Отсюда 1 + 1 = 1 + 0<sup>+</sup> = (1 + 0)<sup>+</sup> = 1<sup>+</sup> = 2{{sfn|Эндертон|1977|с=79}}.
В литературе существуют различные варианты этого определения. На [[Частично упорядоченное множество|частично упорядоченном множестве]] '''N'''<sup>2</sup> используется в точности определение, данное выше{{sfn|Бергман|2015|p=100|quote=См. в книге Бергмана версию, применимую к любому частично упорядоченному множеству с {{нп5|Нисходящая цепочка состояний|нисходящей цепочкой состояний||Ascending chain condition}}.}}. Иногда предлагается временно «зафиксировать» ''a'', применяя определение к аргументу ''b'', чтобы определить функцию "''a'' + ", и вставлять эти унарные операции для всех ''a'', чтобы сформировать полную бинарную операцию{{sfn|Эндертон|1977|p=79|quote=Но нам нужна одна бинарная операция +, а не все эти маленькие одноместные функции.}}.

Это определение сложения было дано Дедекиндом ещё в 1854 году, и он расширил его в последующие десятилетия{{sfn|Ферриус|2013|с=223}}. С помощью [[Математическая индукция|математической индукции]] Дедекинд доказал свойства ассоциативности и коммутативности.

=== Целые числа ===
[[Файл:AdditionRules-2.svg|right|thumb|Иллюстрация правил сложения положительных и отрицательных чисел.]]
[[Файл:Addition of integers using Grothendieck construction.svg|right|thumb|Сложить (−2) и 1, используя только положительные числа: (2 − 4) + (3 − 2) = 5 − 6.]]
Множество [[Целое число|целых чисел]] — расширение множества натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math>, получаемое добавлением [[Отрицательное число|отрицательных чисел]] {{sfn|Выгодский|2003|стр.=116-117}} вида <math>-n</math>. Множество целых чисел обозначается <math>\mathbb{Z}</math>. Арифметические операции над целыми числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над натуральными числами. Отличие от натуральных чисел состоит в том, что отрицательные числа на [[Числовая ось|числовой прямой]] направлены в противоположную сторону, это несколько меняет процедуру сложения. Необходимо учитывать взаимное направление чисел, здесь возможны несколько случаев:
[[Файл:Диаграмма4.svg|мини|252x252px|Положительное и отрицательное числа на числовой прямой.]]
* если оба слагаемых положительные, тогда: <math>c = a + b</math>;
* если одно из слагаемых отрицательно, тогда нужно от слагаемого с большим значением [[Абсолютная величина|модуля]] вычесть слагаемое с меньшим значением модуля, после чего перед полученным числом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше: <math>c= -a + b =b+(-a)= b - a</math>;
* если оба слагаемых отрицательны, тогда: <math>c = (-a)+(-b) = - (|a| + |b|)</math> {{sfn|Барсуков|1966|с=25}}.

Другое построение множества целых чисел основано на [[Группа Гротендика|группах Гротендика]]. Главная идея заключается в том, что каждое целое число может быть представлено (не одним способом) как разность двух натуральных чисел, поэтому мы можем ''определить'' целое число, как разность двух натуральных чисел. Тогда сложение определяется следующим образом:
* Пусть имеются два целых числа ''a'' − ''b'' и ''c'' − ''d'', где ''a'', ''b'', ''c'' и ''d'' — натуральные числа, тогда (''a'' − ''b'') + (''c'' − ''d'') = (''a'' + ''c'') − (''b'' + ''d''){{sfn|Эндертон|1977|с=92}}.

=== Рациональные числа ===
Множество [[Рациональное число|рациональных чисел]] обозначается <math>\mathbb{Q}</math> (от {{lang-en|quotient}} «частное») и может быть записано в таком виде: <math>\mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\}</math>.

Для сложения рациональных чисел в виде [[Дробь (математика)|обыкновенных (или простых) дробей]] вида: <math>\pm \frac{m}{n}</math>, их следует преобразовать (привести) к общему (одинаковому) [[Знаменатель дроби|знаменателю]]. Например, взять произведение знаменателей, [[Числитель дроби|числители]] при этом умножаются на соответствующие знаменатели. Затем сложить полученные числители, а произведение знаменателей станет общим.

Если даны два рациональных числа <math>a</math> и <math>b</math> такие, что: <math>a=\frac{m_a}{n_a}, b=\frac{m_b}{n_b} \quad\forall m_a, n_a, m_b, n_b \in \mathbb{N} \quad\forall {n_a},{n_b} \ne 0 </math> (дроби несократимые), тогда{{sfn|Гусев|1988|с=20}}:
: <math> c=a+b = \frac{m_a}{n_a} + \frac{m_b}{n_b} = \frac{m_a \cdot n_b}{n_a \cdot n_b} + \frac{n_a \cdot m_b}{n_a \cdot n_b} = \frac{m_a \cdot n_b + m_b \cdot n_a}{n_a \cdot n_b}</math>.

Либо можно найти [[наименьшее общее кратное]] (НОК) знаменателей. Порядок действий:
* находится наименьшее общее кратное знаменателей: <math>M=[n_a,n_b]</math>;
* умножается числитель и знаменатель первой дроби на <math>\frac{M}{n_a}</math>;
* умножается числитель и знаменатель второй дроби на <math>\frac{M}{n_b}</math>.
После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны <math>M</math>). В ряде простых случаев это упрощает вычисления, но в случае больших чисел расчёты значительно усложняются. Можно взять в качестве <math>M</math> любое другое общее кратное.

Пример сложения:
: <math> \frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{2 \cdot 5 + 3 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{10 + 3}{15} = \frac{13}{15}</math>.
Если знаменатели обеих дробей совпадают, то:
: <math> \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4}</math>.
Если знаменатели кратны какому-либо числу, то преобразуем только одну дробь:
: <math> \frac{3}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8} + \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{3+ 1 \cdot 2}{8} = \frac{5}{8}</math>.

Арифметическая операция «сложение» над рациональными числами относится к замкнутым операциям.
Коммутативность и ассоциативность сложения рациональных чисел — следствие законов целочисленной арифметики{{sfn|Эндертон|1977|с=104}}. Более строгое и общее определение даётся в рамках [[поле дробей|поля дробей]].

Аналогичным образом складываются физические величины: их выражают через общие [[Единицы физических величин|единицы измерения]]{{sfn|Фиерро|2012|с=87}}. Например, чтобы сложить 50 миллилитров и 1,5 литра, необходимо перевести миллилитры в литры и привести дроби к общему знаменателю:
<math>\frac {50}{1000} + \frac {1500}{1000} = \frac{1550}{1000} = 1{,}55</math> литра.

=== Вещественные числа ===
Арифметические операции над [[Вещественное число|вещественными числами]], представимыми в виде бесконечных десятичных дробей, определяются как ''непрерывное продолжение''<ref>Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида <math>\{x: \alpha < x < \beta\}</math></ref> соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными [[Десятичная дробь|десятичными дробями]]:
:<math> \alpha = \pm a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots = \{a_n\}</math>,
:<math> \beta = \pm b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots = \{b_n\}</math>,
определённые соответственно [[Фундаментальная последовательность|фундаментальными последовательностями]] рациональных чисел (удовлетворяющие [[условие Коши|условию Коши]]), обозначенные как: <math>\alpha = [a_n]</math> и <math>\beta = [b_n]</math>, то их суммой называют число <math>\gamma = [c_n]</math>, определённое суммой последовательностей <math>\{a_n\}</math> и <math>\{b_n\}</math>:
: <math>\gamma = \alpha + \beta \overset{\text{def}}{=} [a_n] + [b_n] = [a_n + b_n] </math>;
вещественное число <math>\gamma = \alpha + \beta</math>, удовлетворяет следующему условию:
: <math>
\forall a', a'', b', b'' \in \mathbb{Q};  (a' \leqslant \alpha \leqslant a'') \land (b' \leqslant \beta \leqslant b'') \Rightarrow (a' + b' \leqslant \alpha + \beta \leqslant a'' + b'') \Rightarrow (a' + b' \leqslant \gamma \leqslant a'' + b'')
</math>.
Таким образом, сумма двух вещественных чисел <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> — такое вещественное число <math>\gamma</math>, которое содержится между всеми суммами вида <math>a' + b'</math> с одной стороны и всеми суммами вида <math>a'' + b''</math> с другой стороны{{sfn|Ильин|1985|с=46|quote=}}.

На практике для того, чтобы сложить два числа <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>, необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами <math>a</math> и <math>b</math>. За приближённое значение суммы чисел <math>\alpha + \beta</math> берут сумму указанных рациональных чисел <math>a+b</math>. При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>. Сложение производится по алгоритму поразрядного сложения.

При сложении приближённых чисел их [[Погрешность измерения#Классификация погрешностей|абсолютные погрешности]] складываются <math>\Delta (a + b)=\Delta a+ \Delta b</math>, абсолютная погрешность числа принимается равной половине последнего знака этого числа. [[Погрешность измерения#Классификация погрешностей|Относительная погрешность]] суммы заключена между наибольшим и наименьшим значениями относительных погрешностей слагаемых; на практике принимается наибольшее значение <math>\delta (a + b)=max(\delta a,\delta b)</math>.
Полученный результат округляют до первой верной значащей цифры, значащая цифра приближённого числа верна, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример сложения <math>\gamma=\pi+e</math>, с точностью до 3-го знака после запятой:
* [[Округление|округляются]] данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
* получается <math>\pi\approx 3{,}1416, \quad e \approx 2{,}7183</math> ;
* Поразрядно складываем: <math>\gamma = \pi + e \approx  3.1416 + 2.7183 \approx 5.8599</math> ;
* Округляем до 3-го знака после запятой: <math>\gamma\approx 5.860</math> .

=== График ===
На множестве вещественных чисел [[График функции|график]] [[Функция (математика)|функции]] сложения имеет вид [[Плоскость (геометрия)|плоскости]], проходящей через начало [[Декартова система координат|координат]] и наклонённой к осям на 45° [[Градус (геометрия)|угловых градусов]]. Так как <math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math>, то и для этих множеств значения функции сложения будет принадлежать этой плоскости<ref>График выполнен программой «3D Grapher Версия 1.2», www.romanlab.com. Входные аргументы: x=a, y=b, z=a+b</ref>. <!--Во-первых не [[Область значений функции|область значений]], во-вторых не 45°. Кроме того нужен ли вообще график этой функции? Трёхмерные графики не очень информативны. Опять попытка изобразить простую вещь сложным способом
--><!-- По-моему всё-таки «Область значений функции», ведь именно значения показаны, но на всякий случай исправил. Угол между плоскостью и осями составляет ровно 45°. Сложение это именно функция(операция), а раз функция, то она должна быть показана графиком.-->[[Файл:График1.jpg|thumb|center|284x284px|<center>График функции f(c)=a+b</center>]]

=== Комплексные числа ===
[[Файл:Vector Addition.svg|200px|right|thumb|Сложение двух комплексных чисел может быть представлено геометрически через построение параллелограмма.]]

[[Комплексные числа]] складываются друг с другом путём сложения действительных и мнимых частей{{sfn|Конвей|1986|с=107}}. Это значит, что:
: <math>c+fi=(a+di) + (b+ei) = (a+b) + (d+e)i.\ </math>
Где: <math>c, a, b, d, e, f \in \R</math>, <math>i</math> — [[мнимая единица]] .Используя представление комплексных чисел как [[Точка (геометрия)|точек]] на [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]], можно дать сложению комплексных чисел следующую геометрическую [[Интерпретация (методология)|интерпретацию]]: суммой комплексных чисел <math>a+di</math> и <math>b+ei</math>, представленных точками на комплексной плоскости, является точка ''C'', полученная путём построения [[параллелограмм]]а, три вершины которого находятся в точках ''O'', ''A'' и ''B''. Или, можно сказать, что ''C'' — это такая точка, что [[треугольник]]и ''OAB'' и ''CBA'' [[Конгруэнтность (геометрия)|конгруэнтны]].

Аналогично для [[Гиперкомплексное число|гиперкомплексных чисел]] (комплексных чисел n-ой размерности): <math>A=a_11+a_2i_2+ \dots +a_{n}i_n, ~~~ B=b_11+b_2i_2+ \dots +b_{n}i_n;</math>
<math>C=A+B=(a_11+a_2i_2+ \dots +a_{n}i_n) + (b_11+b_2i_2+ \dots +b_{n}i_n) =</math> <math> =(a_1+b_1)1+(a_2+b_2)i_2+ \dots +(a_n+b_n)i_n = c_11+c_2i_2+ \dots +c_ni_n.</math> {{sfn|Александров|1956|с=304}} <!-- Не бывает комплексных чисел n-ой размерности, но бывает [[Гиперкомплексное число]], в том числе [[дуальные числа]], и многое другое --><!-- Ну так это они и есть-->

=== Сложение произвольных чисел ===
При сложении чисел, принадлежащих разным множествам, необходимо (если возможно) представить множество с меньшей [[Мощность множества|мощностью]] как подмножество множества с большей мощностью, либо найти «наименьшее общее множество». Например, если нужно сложить натуральное число <math>3</math> с рациональным <math>4,56</math>, то, воспользовавшись тем, что натуральные числа — подмножество рациональных, представляем число <math>3</math> как рациональное <math>3,00</math> и складываем два рациональных числа <math>3,00+4,56=7,56</math>. Аналогично, пользуясь тем, что: <math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{H}</math>, можно складывать числа из различных множеств между собой.
Возвращаясь к примеру с яблоками, воспользуемся тем, что множество яблок и множество груш — подмножества множества фруктов: <math> \{ \mbox{apple} \} \subset \{ \text{apples} \} \subset \{ \text{fruit} \} ~~~\text{end}~~~ \{ \text{pear} \} \subset \{ \text{pears}\} \subset \{ \text{fruit}\}</math>, и таким образом можно сложить 3 яблока и 2 груши, представив их как подмножества множества фруктов: <math>3</math> фрукта_яблока <math>+2</math> фрукта_груши <math>=5</math> фруктов.

== Обобщения ==
Существует много бинарных операций, которые можно рассматривать как обобщения операции сложения действительных чисел. Такие обобщённые операции являются основным предметом изучения [[Общая алгебра|общей алгебры]], также они встречаются в [[Теория множеств|теории множеств]] и [[Теория категорий|теории категорий]].

=== Сложение в абстрактной алгебре ===

==== Сложение векторов ====
[[Векторное пространство]] — это алгебраическая структура, в которой любые два [[Вектор (математика)|вектора]] можно складывать и любой вектор можно умножать на число. Простой пример векторного пространства — множество всех упорядоченных пар действительных чисел; упорядоченная пара <math>(a,b)</math> — это вектор с началом в точке <math>(0,0)</math> евклидовой плоскости и концом в точке <math>(a,b)</math> (и все [[Коллинеарность|сонаправленные]] ему). Сумма двух векторов получается путём сложения их соответствующих координат:
<math>(a,b) + (c,d) = (a + c,b + d)</math>.
Эта операция сложения — центральная в [[Классическая механика|классической механике]], в которой векторы рассматриваются как аналоги [[Сила|сил]].

==== Сложение матриц ====
{{main|Сложение матриц}}
Сложение матриц определяется для двух матриц одинакового размера. Сумма двух матриц '''A''' и '''B''' размера ''m'' × ''n'' (произносится «m на n»), записывается как '''A''' + '''B''' и представляет собой матрицу размера ''m'' × ''n'', полученную путём сложения соответствующих элементов{{sfn|Липсхатз|2001|с=201}}{{sfn|Рили|2006|с=253}}:

: <math>\begin{align}
\mathbf{A}+\mathbf{B} & = \begin{bmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix} +

\begin{bmatrix}
 b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
 b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\
\end{bmatrix} \\
& = \begin{bmatrix}
 a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\
 a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \\
\end{bmatrix} \\

\end{align}</math>

Например:

: <math>
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    1 & 0 \\
    1 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 \\
    7 & 5 \\
    2 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 \\
    1+7 & 0+5 \\
    1+2 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    8 & 5 \\
    3 & 3
  \end{bmatrix}
</math>

==== Арифметика остатков ====
{{main|Сравнение по модулю}}
Множество остатков от деления на 12 состоит из двенадцати элементов; это множество наследует операцию сложения целых чисел. Множество остатков по модулю 2 имеет только два элемента; наследуемая им операция сложения известна в [[Логика высказываний|логике высказываний]] как операция «[[исключающее или]]». В [[Геометрия|геометрии]] сумма двух [[Угол|угловых мер]] часто определяется как сумма вещественных чисел по модулю 2π. Такое определение соответствует операции сложения на [[Окружность|окружности]], которая, в свою очередь, обобщается до операции сложения на многомерном [[Тор (поверхность)|торе]].

==== Общее сложение ====
В общей теории абстрактной алгебры операцией «сложения» может называться любая [[Ассоциативная операция|ассоциативная]] и [[Коммутативная операция|коммутативная]] операция. Основные [[Алгебраическая система|алгебраические системы]] с такими операциями сложения включают [[w:Monoid#Commutative monoid|коммутативные моноиды]] и [[Абелева группа|абелевы группы]].

=== Сложение в теории множеств и теории категорий ===
Обобщением сложения натуральных чисел является сложение [[Порядковое число|порядковых чисел]] и [[Кардинальное число|кардинальных чисел]] в теории множеств. Эти операции представляют собой два разных обобщения сложения натуральных чисел на [[Трансфинитное число|трансфинитный случай]].
В отличие от большинства типов операции сложения, сложение порядковых чисел не коммутативно.
Сложение кардинальных чисел, тем не менее, является коммутативной операцией, тесно связанной с операцией [[Дизъюнктное объединение|дизъюнктного объединения]].

В [[Теория категорий|теории категорий]] дизъюнктное объединение рассматривается как частный случай операции [[Копроизведение|копроизведения]], и общие копроизведения, возможно, являются самыми абстрактными из всех обобщений операции сложения. Некоторые копроизведения, такие как ''[[прямая сумма]]'' и ''{{нп5|Клиновая сумма|клиновая сумма||Wedge sum}}'', названы так, чтобы указывать на их связь с операцией сложения.

== Операции, связанные со сложением ==
Сложение, так же, как и вычитание, умножение и деление, считается одной из основных операций и используется в элементарной арифметике.

=== Арифметика ===
[[Вычитание]] можно рассматривать как частный случай операции сложения, а именно — как прибавление [[Противоположное число|противоположного числа]]. Вычитание само по себе является своего рода обратной операцией к сложению, то есть прибавление {{mvar|x}} и вычитание {{mvar|x}} являются взаимно [[обратная функция|обратными функциями]].

На множестве чисел, на котором определена операция сложения, не всегда можно определить операцию вычитания; простым примером является множество натуральных чисел. С другой стороны, операция вычитания однозначно определяет операцию сложения и аддитивную единицу; по этой причине аддитивную группу можно определять как множество, замкнутое относительно операции вычитания{{sfn|Даммит и Фут|1999|с=48}}.

[[Умножение]] можно понимать как {{iw|Умножение и повторение сложения|повторённое несколько раз сложение||Multiplication and repeated addition}}. Если терм {{mvar|x}} входит в сумму ''n'' раз, то эта сумма равна произведению ''n'' и {{mvar|x}}. Если ''n'' не является [[Натуральное число|натуральным числом]], произведение всё ещё может иметь смысл; например, умножение на [[-1 (число)|-1]] даёт [[противоположное число]].

[[Файл:Csl.JPG|left|thumb|Круговая логарифмическая линейка]]

Сложение и умножение действительных или комплексных чисел можно взаимно заменять при помощи [[Экспоненциальная функция|экспоненциальной функции]]:
: ''e''<sup>''a'' + ''b''</sup> = ''e''<sup>''a''</sup> ''e''<sup>''b''</sup>{{sfn|Рудин|1976|с=178}}.

Это тождество позволяет умножать, используя {{iw|Математическая таблица|таблицы||Mathematical table}} [[логарифм]]ов и сложение вручную; оно также позволяет умножать с использованием [[Логарифмическая линейка|логарифмической линейки]]. Эта формула является также хорошим приближением первого порядка в широком контексте [[Группа Ли|групп Ли]], где она связывает умножение бесконечно малых элементов группы Ли со сложением векторов в соответствующей [[Алгебра Ли|алгебре Ли]]{{sfn|Ли Ж.|2013|с=526}}.

У умножения есть даже больше обобщений, чем у сложения{{sfn|Линдерхолм|1972|p=49}}. Вообще говоря, операции умножения всегда [[Дистрибутивность|дистрибутивны]] относительно сложения. Это требование закреплено в определении [[Кольцо (математика)|кольца]]. В некоторых случаях, таких как целые числа, дистрибутивности умножения относительно сложения и наличия мультипликативной единицы достаточно, чтобы однозначно определить операцию умножения. Свойство дистрибутивности также характеризует сложение; раскрывая скобки в произведении (1 + 1)(''a'' + ''b'') двумя способами, приходим к выводу, что сложение должно быть коммутативным. По этой причине сложение в кольце всегда коммутативно{{sfn|Даммит и Фут|1999|с=224|quote=Чтобы это выполнялось, необходимо, чтобы сложение было групповой операцией и существовал нейтральный элемент относительно умножения.}}.

[[Деление (математика)|Деление]] — это арифметическая операция, отдалённо связанная со сложением. Поскольку ''a''/''b'' = ''a''(''b''<sup>−1</sup>), деление является дистрибутивным справа относительно сложения: (''a'' + ''b'') / ''c'' = ''a'' / ''c'' + ''b'' / ''c''{{sfn|Лодей|2002|p=15|quote=Пример дистрибутивности слева и справа см. в статье Лодей, в особенности на c. 15}}. Тем не менее, деление не является дистрибутивным слева относительно сложения; 1/ (2 + 2) не равняется 1/2 + 1/2.

=== Упорядочивание ===
[[Файл:Log-log plot.png|right|thumb|{{iw|График в логарифмическом масштабе по обеим осям|График в логарифмическом масштабе по обеим осям||Log–log plot}} функций {{mvar|x}} + 1 и max ({{mvar|x}}, 1) для {{mvar|x}} от 0.001 до 1000{{sfn|Виро|2012|с=2}}]]
Операция нахождения максимума «max (''a'', ''b'')» — это бинарная операция, похожая на сложение. На самом деле, если два неотрицательных числа ''a'' и ''b'' имеют различные [[Порядок величины|порядки]], то их сумма примерно равна их максимуму. Это приближение является чрезвычайно полезным в приложениях математики, например, при усечении [[Ряд Тейлора|ряда Тейлора]]. Тем не менее, эта операция приводит к постоянным трудностям в [[Численный анализ|численном анализе]], так как операция взятия максимума не является обратимой. Если ''b'' намного больше, чем ''a'', то обычное вычисление (''a'' + ''b'') − ''b'' может привести к накоплению неприемлемой {{iw|Ошибка округления|ошибки округления||Round-off error}}, возможно получение нулевого результата. См. также ''{{iw|потеря значимости|||Loss of significance}}''.

Это приближение становится точным при переходе к бесконечному пределу{{уточнить}}<!--Это не предел-->; если какое-либо из чисел ''a'' и ''b'' является [[Кардинальное число|кардинальным числом]], то их кардинальная сумма в точности равна большему из двух{{sfn|Эндертон|1977|quote=Эндертон называет это утверждение «Поглощающий закон арифметики кардинальных чисел»; оно зависит от сравнимости кардинальных чисел и, таким образом, от [[Аксиома выбора|аксиомы выбора]].}}. Соответственно, операция вычитания не определена для множеств бесконечной мощности{{sfn|Эндертон|1977|с=164}}.

Нахождение максимума является коммутативной и ассоциативной операцией, как и сложение. Более того, поскольку сложение сохраняет упорядочение действительных чисел, сложение дистрибутивно по отношению к функции нахождения максимума таким же образом, как и умножение по отношению к сложению:
: ''a'' + max (''b'', ''c'') = max (''a'' + ''b'', ''a'' + ''c'').

По этим причинам в [[Тропическая геометрия|тропической геометрии]] умножение заменяется на сложение, а сложение — на нахождение максимума. В этом контексте сложение называют «тропическим умножением», нахождение максимума — «тропическим сложением», а тропическую «аддитивную единицу» — [[Расширенная числовая прямая|отрицательной бесконечностью]]{{sfn|Михалкин|2009|с=1}}. Некоторые авторы предпочитают заменять сложение минимизацией; в этом случае аддитивной единицей является положительная бесконечность{{sfn|Akian et al.|2006|p=4}}.

Объединяя эти наблюдения вместе, тропическое сложение приблизительно соответствует обычному сложению при помощи логарифма:
: log (''a'' + ''b'') ≈ max (log ''a'', log ''b''),
что становится более точным при возрастании основания логарифма{{sfn|Михалкин|2009|с=2}}. Приближение может стать точным, если выделить константу ''h'', названную по аналогии с [[Постоянная Планка|постоянной Планка]] в [[Квантовая механика|квантовой механике]]{{sfn|Литвинов|2005|с=3}}, и взять {{iw|классический предел|"классический предел"||Classical limit
}}, при котором ''h'' стремится к нулю:
: <math>\max(a,b) = \lim_{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).</math>
В этом смысле операция нахождения максимума является деквантизацией сложения{{sfn|Виро|2012|с=4}}.

=== Другие способы сложения ===
Инкрементирование, или применение функции следования — это прибавление [[1 (число)|1]] к числу.

[[Сумма (математика)|Суммирование]] — это сложение сколь угодно большого количества чисел, обычно больше, чем двух. Частными случаями этого понятия являются суммирование одного числа (результат такого суммирования равен самому числу), а также {{iw|Пустая сумма|пустая сумма||Empty sum}}, равная [[0 (число)|нулю]]{{sfn|Мартин|2011|с=49}}. Бесконечное суммирование — нетривиальная процедура, известная как нахождение суммы [[числовой ряд|ряда]]{{sfn|Стеварт|2010|с=8}}.

Суммирование единичной функции по конечному множеству даёт тот же результат, что и [[подсчёт]] числа элементов этого множества.

[[Интеграл|Интегрирование]] — это своего рода «суммирование» по [[Континуум (теория множеств)|континууму]] или, более точно и общо, по [[Гладкое многообразие|гладкому многообразию]]. Интегрирование по множеству нулевой размерности сводится к суммированию.

[[Линейная комбинация|Линейные комбинации]] совмещают умножение и суммирование; это суммы, в которых каждый член имеет множитель, обычно [[Вещественное число|действительное]] или [[комплексное число]]. Линейные комбинации особенно полезны в тех ситуациях, когда обычное сложение нарушило бы некоторое правило нормализации, как, например, при смешивании [[Стратегия (теория игр)|стратегий]] в [[Теория игр|теории игр]] или [[Квантовая суперпозиция|суперпозиции]] [[Квантовое состояние|состояний]] в [[Квантовая механика|квантовой механике]].

[[Свёртка (математический анализ)|Свёртка]] используется для сложения двух независимых [[Случайная величина|случайных величин]], заданных [[Распределение вероятностей|функциями распределения]]. В стандартном определении свёртки используются интегрирование, вычитание и умножение. В целом, свёртку уместно рассматривать как «сложение на области определения», а векторное сложение — как «сложение на области значений».

== См. также ==
* [[Соглашение Эйнштейна]]
* [[Сумма (математика)|Сумма]]
* [[Алгоритм Кэхэна]]
* [[Вычитание]]
* [[Умножение]]
* [[Деление (математика)|Деление]]

== Примечания ==
{{примечания|3}}

== Литература ==
;на русском языке:
* {{публикация|книга
 | автор         = Барсуков
 | автор имя     = А. Н.
 | заглавие      = Алгебра
 | вид           = Учебник для {{roman|6}}—{{roman|8}} классов
 | ответственный = Под ред. С. И. Новосёлова
 | место         = М.
 | издательство  = Просвещение
 | год           = 1966
 | страниц       = 296
 | ref           = Барсуков
}}
* {{публикация|книга
 | автор         = Выгодский
 | автор имя     = М. Я.
 | заглавие      = Справочник по элементарной математике
 | основной автор= М. Я. Выгодский
 | место         = М.
 | издательство  = Астрель
 | издательство2 = АСТ
 | год           = 2003
 | страниц       = 509
 | isbn          = 5-17-009554-6 (ООО Изд-во «АСТ»)
 | isbn2         = 5-271-02551-9 (ООО Изд-во «Астрель»)
 | ref           = Выгодский
}}
* {{публикация|книга
 | автор         = Гусев
 | автор имя     = В. А.
 | автор2        = Мордкович
 | автор2 имя    = А. Г.
 | заглавие      = Математика
 | подзаголовок  = Справ. материалы
 | вид           = Кн. для учащихся
 | место         = М.
 | издательство  = Просвещение
 | год           = 1988
 | страниц       = 476
 | isbn          = 5-09-001292-X
 | ref           = Гусев
}}
* {{публикация|книга
 | автор         = Зельвенский
 | автор имя     = И. Г.
 | заглавие      = Группы, кольца, поля
 | подзаголовок  = Методич. указания по дисциплине «Геометрия и алгебра»
 | основной автор= И. Г. Зельвенский
 | место         = СПб.
 | издательство  = СПбГЭТУ
 | год           = [б. г.]
 | страниц       = 30
 |ref            = Зельвенский
}}
* {{публикация|книга
 | автор         = Зубарева
 | автор имя     = И. И.
 | автор2        = Мордкович
 | автор2 имя    = А. Г.
 | заглавие      = Математика
 | подзаголовок  = 5 класс
 | вид           = учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений
 | издание       = 14-е изд., испр. и доп.
 | место         = М.
 | издательство  = Мнемозина
 | год           = 2013
 | страниц       = 270
 | isbn          = 978-5-346-02573-3
 | ref           = Зубарева
}}
* {{h|''Иванова О. А.'' Сложение, 1984|3=
''Иванова О. А.'' Сложение // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 1212.
}}
* {{публикация|книга
 | автор         = Ильин
 | автор имя     = В. А.
 | автор2        = Садовничий
 | автор2 имя    = В. А.
 | автор3        = Сендов
 | автор3 имя    = Бл. Х.
 | заглавие      = Математический анализ
 | подзаголовок  = Начальный курс
 | издание       = 2-е изд., пер.
 | место         = М.
 | издательство  = Изд-во Моск. ун-та
 | год           = 1985
 | страниц       = 662
 | ref           = Ильин
}}
* {{публикация|книга
 | автор          = Истомина
 | автор имя      = Н. Б.
 | заглавие       = Методика обучения математике в начальной школе
 | подзаголовок   = Развивающее обучение
 | основной автор = Н. Б. Истомина
 | издание        = 2-е изд.
 | место          = Смоленск
 | издательство   = Ассоциация {{roman|21}} век
 | год            = 2009
 | страниц        = 288
 | isbn           = 978-5-89308-699-7
 | ref            = Истомина
}}
* {{публикация|книга
 | заглавие      = Математика, её содержание, методы и значение
 | томов         = 3
 | ответственный = [Ред. коллегия: чл.-кор. АН СССР А. Д. Александров и др.]
 | ответственный2= Акад. наук СССР. Матем. ин-т им. В. А. Стеклова
 | место         = М.
 | издательство  = Изд-во Акад. наук СССР
 | год           = 1956
 | том           = 3
 | страниц       = 336
 | ref           = Александров
}}
* {{публикация|книга
 | автор          = Рудницкая
 | автор имя      = В. Н.
 | заглавие       = Математика
 | подзаголовок   = 1 класс
 | вид            = учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений. Второе полугодие
 | основной автор = В. Н. Рудницкая
 | издание        = 2-е изд., перераб.
 | место          = М.
 | издательство   = Вентана-Граф
 | год            = 2004
 | страниц        = 111
 | isbn           = 5-88717-322-X (в пер.)
 | ref            = Рудницкая
}}
* {{публикация|книга 
|заглавие=Словарь русского языка
|ссылка=http://feb-web.ru/feb/mas/mas-abc/0encyc.htm
|томов=4
|ответственный=РАН, Ин-т лингвистич. исследований
|ответственный2=Под ред. А. П. Евгеньевой
|издание=4-е изд., стер.
|место=М.
|издательство=Рус. яз.
|издательство2=Полиграфресурсы
|год=1999
|том=4
|страниц=797
|удк= 
|ббк= 
|isbn=5-200-02672-5 («Русский язык»)
|isbn2=5-87548-048-3 (Полиграфресурсы)
|isbn том=5-200-02676-8 («Русский язык»)
|ref=Словарь русского языка
}}
* {{h|''Сложение'', 1976|3=
''Сложение'' // ''[[Большая советская энциклопедия]].'' (В 30 томах) Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]]. Изд. 3-е. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1976. Т. 23. Сафлор — Соан. 1976. 639 с. с илл., 23 л. илл., 8 л. карт, 1 карта-вкладка. С. 583.
}}
* {{h|''Сложение'', 1988|3=
''Сложение'' // ''[[Математический энциклопедический словарь]]'' / Гл. ред. [[Прохоров, Юрий Васильевич|Ю. В. Прохоров]]; Ред. Кол.: [[Адян, Сергей Иванович|С. И. Адян]], [[Бахвалов, Николай Сергеевич|Н. С. Бахвалов]], В. И. Битюцков, [[Ершов, Андрей Петрович|А. П. Ершов]], [[Кудрявцев, Лев Дмитриевич|Л. Д. Кудрявцев]], [[Онищик, Аркадий Львович|А. Л. Онищик]], [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевич]]. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1988. 847 с., ил. С. 546.
}}
;на английском языке:
* {{публикация|книга|-язык=en
 | автор        = Akian
 | автор имя    = M.
 | автор2       = Bapat
 | автор2 имя   = R.
 | автор3       = Gaubert
 | автор3 имя   = S.
 | заглавие     = Min-plus methods in eigenvalue perturbation theory and generalised Lidskii-Vishik-Ljusternik theorem
 | arxiv        = math.SP/0402090v3
 | год          = 2006
 | месяц        = 2
 | день         = 16
 | allpagea     = 38
 | ref          = Akian et al.
}}
* {{публикация|статья|-язык=en
 |автор         = Austein
 |автор имя     = R.
 |заглавие      = DATE-86, or The Ghost of Tinkles Past
 |ссылка        = http://catless.ncl.ac.uk/Risks/4.45.html
 |издание       = The Risks Digest
 |тип           = journal
 |год           = 1987
 |volume        = 4
 |issue         = 45
 |ref           = Austein
}}
* {{публикация|книга
 | автор         = Baez
 | автор имя     = J.
 | автор2        = Dolan
 | автор2 имя    = J.
 | заглавие      = Mathematics Unlimited — 2001 and Beyond
 | подзаголовок  = From Finite Sets to Feynman Diagrams
 | издательство  = Springer Berlin Heidelberg
 | год           = 2000
 | allpages      = 1236
 | isbn          = 3-540-66913-2
 | ref           = Baez
}}
* {{книга
 | автор         = Baroody, Arthur; Tiilikainen, Sirpa.
 | заглавие      = Развитие арифметических понятий и навыков
 | оригинал      = The Development of Arithmetic Concepts and Skills
 | издательство  = Routledge
 | год           = 2013
 | страниц       = 520
 | isbn          = 0-8058-3155-X
}}
* {{книга
 | автор         = Begle, Edward.
 | заглавие      = Математика в начальной школе
 | ссылка       = https://archive.org/details/mathematicsofele0000begl
 | оригинал      = The Mathematics of the Elementary School
 | издательство  = McGraw-Hill
 | год           = 1975
 | страниц       = 453
 | isbn          = 0-07-004325-6
 | ref           = Бегл
}}
* {{книга
 | автор         = Bergman, George.
 | заглавие      = Приглашение к общей алгебре и универсальным конструкциям
 | оригинал      = An Invitation to General Algebra and Universal Constructions
 | издание       = 2-е изд
 | издательство  = Springer
 | год           = 2015
 | страниц       = 572
 | isbn          = 0-9655211-4-1
 | ref           = Бергман
}}
* {{статья
 |автор         = Joshua Bloch.
 |заглавие      = Экстра, Экстра — Прочитать всё про Это: Почти все бинарные поиски сломаны
 |оригинал      = Extra, Extra - Read All About It: Nearly All Binary Searches and Mergesorts are Broken
 |ссылка        = http://googleresearch.blogspot.ru/2006/06/extra-extra-read-all-about-it-nearly.html
 |язык          = англ.
 |издание       = Official Google Research Blog
 |тип           = журнал
 |год           = 2006
 |ref           = Блотч
}}
* {{статья
 |автор         = Bogomolny, Alexander.
 |заглавие      = Что такое сложение?
 |оригинал      = What Is Addition?
 |ссылка        = http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/addition.shtml
 |язык          = англ.
 |nodot= 1
}}
* {{книга
 | автор         = Bates Bothman.
 | заглавие      = Общая школьная арифметика
 | оригинал      = The common school arithmetic
 | издательство  = Prentice-Hall
 | год           = 1837
 | страниц       = 270
 | ref           = Ботман
}}
* {{книга
 | автор         = Bunt, Lucas N. H.; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D.
 | заглавие      = Исторические корни элементарной математики
 | оригинал      = The Historical roots of Elementary Mathematics
 | издательство  = Prentice-Hall
 | год           = 2012
 | страниц       = 336
 | isbn          = 0-13-389015-5
}}
* {{книга
 | автор         = Burrill, Claude.
 | заглавие      = Основы действительных чисел
 | оригинал      = Foundations of Real Numbers
 | издательство  = McGraw-Hill
 | год           = 1967
 | страниц       = 163
 | ref           = Буррил
}}
* {{статья
 |автор         = Beckmann, S.
 |заглавие      = Изучение математики в начальной школе в целых числах
 |оригинал      = The twenty-third ICMI study: primary mathematics study on whole numbers
 |язык          = англ.
 |тип           = журнал
 |издательство  = International Journal of STEM Education
 |год           = 2014
 |ref           = Изучение математики в начальной школе в целых числах
}}
* {{книга
 | автор         = Van de Walle, John.
 | заглавие      = Математика в начальной и средней школе: развивающее обучение
 | оригинал      = Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally
 | издание       = 5-е изд
 | издательство  = Pearson Education
 | год           = 2015
 | страниц       = 576
 | isbn          = 0-205-38689-X
 | ref           = Ван де Валле
}}
* {{книга
 | автор         = Weaver, J. Fred.
 | заглавие      = Сложение и вычитание: когнитивная точка зрения. Интерпретации числа операций и символических представлений сложения и вычитания
 | оригинал      = Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective. Interpretations of Number Operations and Symbolic Representations of Addition and Subtraction
 | издательство  = Taylor & Francis
 | год           = 2012
 | страницы      = 8
 | isbn          = 0-89859-171-6
}}
* {{книга
 | автор         = Williams, Michael.
 | заглавие      = История вычислительной техники
 | ссылка       = https://archive.org/details/historyofcomputi0000will
 | оригинал      = A History of Computing Technology
 | издательство  = Prentice-Hall
 | год           = 1985
 | isbn          = 0-13-389917-9
}}
* {{книга
 | автор         = Rebecca Wingard-Nelson.
 | заглавие      = Десятичные и обыкновенные дроби: Это легко
 | оригинал      = Decimals and Fractions: It's Easy
 | издательство  = Enslow Publishers
 | год           = 2014
 | страниц       = 64
 | isbn          = 0766042529
 | ref           = Вингард-Нельсон Р.
}}
* {{книга
 | автор         = Wynn, Karen.
 | заглавие      = Развитие математических навыков
 | ссылка       = https://archive.org/details/developmentofmat0000unse_p4j3
 | оригинал      = The Development of Mathematical Skills
 | издательство  = Taylor & Francis
 | год           = 1998
 | страниц       = 338
 | isbn          = 0-86377-816-X
 | ref           = Винн
}}
* {{книга
 | автор         = Viro, Oleg; Cascuberta, Carles; Miró-Roig, Rosa Maria; Verdera, Joan; Xambó-Descamps, Sebastià, eds.
 | заглавие      = Европейский конгресс математики: Барселона, Июль 10–14, 2000, Volume I
 | оригинал      = European Congress of Mathematics: Barcelona, July 10–14, 2000, Volume I. Dequantization of Real Algebraic Geometry on Logarithmic Paper
 | издательство  = Birkhäuser
 | год           = 2012
 | том           = 1
 | страниц       = 582
 | isbn          = 3-7643-6417-3
 | ref           = Виро
}}
* {{книга
 | автор         = Henry, Valerie J.; Brown, Richard S.
 | заглавие      = Изучение основных фактов первоклассниками
 | оригинал      = First-grade basic facts: An investigation into teaching and learning of an accelerated, high-demand memorization standard
 | издательство  = Heinemann
 | год           = 2008
 | ref           = Генри Валери Д.
}}
* {{книга
 | автор         = Dummit, D.; Foote, R.
 | заглавие      = Абстрактная алгебра
 | оригинал      = Abstract Algebra
 | издательство  = Wiley
 | год           = 1999
 | страниц       = 912
 | ref           = Даммит и Фут
}}
* {{книга
 | автор         = Davison, David M.; Landau, Marsha S.; McCracken, Leah; Thompson, Linda.
 | заглавие      = Математика: Исследования и приложения
 | оригинал      = Mathematics: Explorations & Applications
 | издательство  = Prentice Hall
 | isbn          = 0-13-435817-1
}}
* {{книга
 | автор         = Dale R. Patrick, Stephen W. Fardo, Vigyan Chandra.
 | заглавие      = Основы Электронных Цифровых Систем
 | оригинал      = Electronic Digital System Fundamentals
 | издательство  = The Fairmont Press
 | год           = 2008
 | страниц       = 340
 | ref           = Дейл
}}
* {{книга
 | автор         = Department of the Army (1961) Army Technical Manual TM 11-684.
 | заглавие      = Принципы и Применения Математики для Межприборных соединений
 | оригинал      = Principles and Applications of Mathematics for Communications-electronics
 | издательство  = Headquarters, Department of the Army
 | год           = 1992
 | страницы      = раздел 5.1
 | страниц       = 268
 | ref           = Департамент армии США
}}
* {{книга
 | автор         = Devine, D.; Olson, J.; Olson, M.
 | заглавие      = Элементарная математика для учителей
 | оригинал      = Elementary Mathematics for Teachers
 | издательство  = Wiley
 | год           = 1991
 | ref           = Девайн и соавторы
}}
* {{книга
 | автор         = Jackson, Albert.
 | заглавие      = Аналоговые вычисления
 | оригинал      = Analog Computation
 | издательство  = McGraw-Hill
 | год           = 1960
}}
* {{книга
 | автор         = Johnson, Paul.
 | заглавие      = От палок и камней: личные приключения в математике
 | ссылка       = https://archive.org/details/fromsticksstones0000unse
 | оригинал      = From Sticks and Stones: Personal Adventures in Mathematics
 | издательство  = Science Research Associates
 | год           = 1975
 | страниц       = 552
 | isbn          = 0-574-19115-1
 | ref           = Джонсон
}}
* {{книга
 | автор         = Ifrah, Georges.
 | заглавие      = Всеобщая история вычислительной техники: от абака до компьютера
 | оригинал      = The universal history of computing: from the abacus to the quantum computer
 | издательство  = John Wiley
 | год           = 2001
 | страниц       = 410
 | ref           = Джорджс
}}
* {{книга
 | автор         = Joshi, Kapil D.
 | заглавие      = Основы дискретной математики
 | оригинал      = Foundations of Discrete Mathematics
 | издательство  = New Age International
 | год           = 1989
 | страниц       = 748
 | isbn          = 978-0-470-21152-6
 | ref           = Джоши
}}
* {{книга
 | автор         = Dunham, William.
 | заглавие      = Математическая Вселенная
 | оригинал      = The Mathematical Universe
 | издательство  = Wiley & Sons
 | год           = 1994
 | страниц       = 314
 | isbn          = 0-471-53656-3
}}
* {{книга
 | автор         = Kaplan, Robert.
 | заглавие      = Что такое ничего: Естественная историю нуля
 | оригинал      = The Nothing That Is: A Natural History of Zero
 | издательство  = Oxford University Press
 | год           = 1999
 | страниц       = 240
 | isbn          = 0-19-512842-7
 | ref           = Каплан
 | язык= en
 }}
* {{книга
 | автор         = Florian Cajori.
 | заглавие      = История математических знаков
 | оригинал      = A History of Mathematical Notations
 | издательство  = The Open Court Company
 | год           = 1928
 | страниц       = 818
 | ref           = Каджори
}}
* {{книга
 | автор         = Carpenter, Thomas; Fennema, Elizabeth; Franke, Megan Loef; Levi, Linda; Empson, Susan.
 | заглавие      = Детская игровая математика
 | оригинал      = Children's Mathematics: Cognitively Guided Instruction
 | издательство  = Heinemann
 | год           = 2014
 | страниц       = 218
 | isbn          = 0325052875
 | ref           = Карпентер и др.
}}
* {{книга
 | автор         = Karpinski, Louis.
 | заглавие      = История арифметики
 | оригинал      = The history of arithmetic
 | издательство  = Russell & Russell
 | год           = 1925
 | страниц       = 200
 | ref           = Карпински
}}
* {{книга
 | автор         = Килпатрик Д.
 | заглавие      = Сложение: помощь детям в изучении математики
 | оригинал      = Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics
 | издательство  = [[w:en:National Academy Press|National Academy Press]]
 | год           = 2001
 | страниц       = 454
 | isbn          = 0-309-06995-5
 | ссылка        = http://www.nap.edu/books/0309069955/html/index.html
 | ref           = Килпатрик
}}
* {{книга
 | автор         = Conway, John B.
 | заглавие      = Функция одной комплексной переменной
 | оригинал      = Functions of One Complex Variable I
 | издательство  = Springer Science
 | год           = 1986
 | страниц       = 322
 | isbn          = 0-387-90328-3
 | ref           = Конвей
}}
* {{книга
 | автор         = Lee, John.
 | заглавие      = Введение в гладкие многообразия
 | оригинал      = Introduction to Smooth Manifolds
 | издательство  = Springer
 | год           = 2013
 | страниц       = 631
 | isbn          = 0-387-95448-1
 | ref           = Ли Ж.
}}
* {{книга
 | автор         = Li, Y., & Lappan, G.
 | заглавие      = Математический курс обучения в школьном образовании
 | оригинал      = Mathematics Curriculum in School Education
 | издательство  = Springer
 | год           = 2013
 | страниц       = 663
 | isbn          = 9400775601
 | ref           = Ли Я.
}}
* {{книга
 | автор         = Linderholm, Carl.
 | заглавие      = Математика затрудняет
 | оригинал      = Mathematics Made Difficult
 | издательство  = World Pub
 | год           = 1972
 | страниц       = 207
 | isbn          = 0-7234-0415-1
 | ref           = Линдерхолм
}}
* {{книга
 | автор         = Lipschutz, S., & Lipson, M.
 | заглавие      = Схема Шаумся теории и проблем линейной алгебры
 | оригинал      = Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra
 | издательство  = Erlangga
 | год           = 2001
 | страниц       = 424
 | isbn          = 9797815714
 | ref           = Липсхатз
}}
* {{книга
 | автор         = Litvinov, Grigory; Maslov, Victor; Sobolevskii, Andreii.
 | заглавие      = Иденпотентная математика и интервальный анализ
 | оригинал      = Idempotent mathematics and interval analysis
 | издательство  = American Mathematical Soc
 | год           = 2005
 | страниц       = 370
 | isbn          = 0821835386
 | ref           = Литвинов
}}
* {{статья
 |автор         = Jean-Louis Loday.
 |заглавие      = Аритметр
 |оригинал      = Arithmetree
 |ссылка        = http://arxiv.org/abs/math/0112034
 |язык          = англ.
 |издание       = Journal of Algebra
 |тип           = журнал
 |год           = 2002
 |месяц         =12
 |число         = 22
 |номер         = 258
 |doi           = 10.1016/S0021-8693(02)00510-0
 |arxiv         = math/0112034
 | ref          = Лодей
}}
* {{книга
 | автор         = Mazur, Joseph.
 | заглавие      = Поучительные символы: Краткая История Математических Обозначений и их Скрытых Сил
 | оригинал      = Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers
 | издательство  = Princeton University Press
 | год           = 2014
 | страниц       = 321
 | isbn          = 1400850118
 | ref           = Мазур
}}
* {{книга
 | автор         = Williams, Michael.
 | заглавие      = История вычислительной техники
 | оригинал      = A History of Computing Technology
 | издание       = 2
 | издательство  = IEEE Computer Society Press
 | год           = 1997
 | страниц       = 426
 | isbn          = 0-13-389917-9
}}
* {{книга
 | автор         = Marguin, Jean.
 | заглавие      = История устройства вычислительных машин
 | оригинал      = Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642-1942
 | издательство  = Hermann.
 | год           = 1994
 | страниц       = 206
 | isbn          = 978-2-7056-6166-3
 | ref           = Маргун
}}
* {{книга
 | автор         = Mikhalkin, Grigory; Sanz-Solé, Marta, ed.
 | заглавие      = Тропическая геометрия и её приложения
 | оригинал      = Tropical Geometry and its Applications
 | издание       = 2-е изд
 | место         = Мадрин, Испания
 | издательство  = Springer Science & Business Media
 | год           = 2009
 | страниц       = 104
 | isbn          = 978-3-03719-022-7
 | ref           = Михалкин
}}
* {{книга
 | автор         = Martin, John.
 | заглавие      = Введение в языки и теорию вычислений
 | оригинал      = Introduction to Languages and the Theory of Computation
 | издание       = 3
 | издательство  = McGraw-Hill
 | год           = 2011
 | страниц       = 436
 | isbn          = 0-07-232200-4
 | ref           = Мартин
}}
* {{книга
 | автор         = Mosley, F.
 | заглавие      = Использование цифровых линий с 5-8 летними детьми
 | оригинал      = Using Number Lines with 5-8 Year Olds
 | издательство  = Nelson Thornes
 | год           = 2001
 | страниц       = 8
 | isbn          = 1874099952
 | ref           = Мосли
}}
* {{книга
 | заглавие      = Оксфордский словарь английского языка
 | оригинал      = Oxford English Dictionary
 | издательство  = Oxford University Press
 | год           = 2005
 | ref           = Оксфордский словарь английского языка
 | язык= en
 }}
* {{статья
 |заглавие = Порядок выполнения операций
 |оригинал = Order of Operations Lessons
 |ссылка     = http://www.algebrahelp.com/lessons/simplifying/oops/
 |язык         = англ.
 |издание   = Algebrahelp
 |тип           = журнал
 |год           = 2012
 |ref              = Порядок выполнения операций
 |archiveurl       = https://web.archive.org/web/20121102193419/http://www.algebrahelp.com/lessons/simplifying/oops/
 |archivedate      = 2012-11-02
}}
* {{статья
 |автор         = James Randerson.
 |заглавие      = У слонов достаточно ума, чтобы рисовать фигуры
 |оригинал      = Elephants have a head for figures
 |ссылка        = https://www.theguardian.com/science/2008/aug/21/elephants.arithmetic
 |язык          = англ.
 |тип           = журнал
 |издательство  = Theguardian
 |год           = 2008
 |месяц         =8
 |число         = 21
 |ref           = У слонов достаточно ума, чтобы рисовать фигуры
}}
* {{книга
 | автор         = Riley, K.F.; Hobson, M.P.; Bence, S.J.
 | заглавие      = Математические методы в физике и инженерии: полное руководство
 | оригинал      = Mathematical Methods for Physics and Engineering: A Comprehensive Guide
 | издательство  = Cambridge University Press
 | год           = 2006
 | страниц       = 437
 | isbn          = 978-0-521-86153-3
 | ref           = Рили
}}
* {{книга
 | автор         = Rudin, Walter.
 | заглавие      = Основы математического анализа
 | оригинал      = Principles of Mathematical Analysis
 | издание       = 3
 | издательство  = McGraw-Hill
 | год           = 1976
 | страниц       = 342
 | isbn          = 0-07-054235-X
 | ref           = Рудин
}}
* {{книга
 | автор         = Yeo, Sang-Soo, et al., eds.
 | заглавие      = Алгоритмы и архитектуры для параллельной обработки
 | оригинал      = Algorithms and Architectures for Parallel Processing
 | издательство  = Springer
 | год           = 2010
 | страниц       = 574
 | isbn          = 3642131182
 | ref           = Санг-Су Йо
}}
* {{книга
 | автор         = Smith, Karl.
 | заглавие      = Природа современной математики
 | ссылка       = https://archive.org/details/natureofmodernma0000smit
 | оригинал      = The Nature of Modern Mathematics
 | издание       = 3-е изд
 | издательство  = Brooks/Cole Pub. Co.
 | год           = 1980
 | страниц       = 620
 | isbn          = 0-8185-0352-1
 | ref           = Смит К.
}}
* {{книга
 | автор         = Smith, Frank.
 | заглавие      = Стеклянная стена: почему математика может показаться трудной
 | оригинал      = The Glass Wall: Why Mathematics Can Seem Difficult
 | издательство  = Teachers College Press
 | год           = 2002
 | страниц       = 163
 | isbn          = 0-8077-4242-2
 | ref           = Смит Ф.
}}
* {{книга
 | автор         = Sparks, F.; Rees C.
 | заглавие      = Исследование основной математики
 | ссылка       = https://archive.org/details/surveyofbasicmat0000spar
 | оригинал      = A Survey of Basic Mathematics
 | издание       = 4
 | издательство  = McGraw-Hill
 | год           = 1979
 | страниц       = 543
 | isbn          = 0-07-059902-5
 | ref           = Спаркс
}}
* {{книга
 | автор         = Stewart, James.
 | заглавие      = Исчисление: раннее трансцендирование
 | оригинал      = Calculus: Early Transcendentals
 | издание       = 4
 | издательство  = Brooks/Cole
 | год           = 2010
 | страниц       = 1344
 | isbn          = 0-534-36298-2
 | ref           = Стеварт
}}
* {{книга
 | автор         = Taton, René.
 | заглавие      = Расчётная механика. Что я знаю?
 | оригинал      = Le Calcul Mécanique. Que Sais-Je ? n° 367
 | издательство  = Presses universitaires de France
 | год           = 1963
 |ref            = Танон
 | nodot= 1
}}
* {{книга
 | автор         = Truitt, T.; Rogers, A.
 | заглавие      = Основы аналоговых компьютеров
 | оригинал      = Basics of Analog Computers
 | издательство  = John F. Rider
 | год           = 1960
 | страниц       = 378
 | ref           = Трайт и Рождерс
}}
* {{книга
 | автор         = Ferreirós, José.
 | заглавие      = Лабиринты мысли: История теории множеств и её роль в современной математике
 | оригинал      = Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics
 | издательство  = Birkhäuser
 | год           = 2013
 | страниц       = 440
 | isbn          = 0-8176-5749-5
 | ref           = Ферриус
}}
* {{книга
 | автор         = R. Fierro.
 | заглавие      = Математика для учителей начальной школы
 | оригинал      = Mathematics for Elementary School Teachers
 | издательство  = Cengage Learning
 | год           = 2012
 | страниц       = 976
 | isbn          = 0538493631
 |ref            = Фиерро
}}
* {{книга
 | автор         = Flynn, M.; Oberman, S.
 | заглавие      = Передовые компьютерные арифметические конструкции
 | оригинал      = Advanced Computer Arithmetic Design
 | издательство  = Wiley
 | год           = 2001
 | страниц       = 325
 | isbn          = 0-471-41209-0
 | ref           = Флинн и Оверман
}}
* {{книга
 | автор         = Fosnot, Catherine T.; Dolk, Maarten.
 | заглавие      = Молодые математики за работой: Конструирование чувства числа, сложения и вычитания
 | оригинал      = Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction
 | издательство  = Heinemann
 | год           = 2001
 | страниц       = 193
 | isbn          = 0-325-00353-X
 | ref           = Фоснот и Долк
}}
* {{книга
 | автор         = Hempel, C. G.
 | заглавие      =Философия Карла Г. Хемптела: исследования в области науки, объяснения и рациональность
 | оригинал      = The philosophy of Carl G. Hempel: studies in science, explanation, and rationality
 | издательство  = Oxford University Press
 | год           = 2000
 | страниц       = 464
 | isbn          = 0195343875
 | ref           = Хемпел
 | язык= en
 }}
* {{книга
 | автор         = Horowitz, P.; Hill, W.
 | заглавие      = Искусство схемотехники
 | оригинал      = The Art of Electronics
 | издание       = 2
 | издательство  = Бином
 | год           = 2009
 | страниц       = 704
 | isbn          = 0-521-37095-7
 | ref           = Хоровец и Хилл
}}
* {{книга
 | автор         = Schwartzman, Steven.
 | заглавие      = Математические слова: Краткий Этимологический словарь математических терминов, используемых в английском языке
 | ссылка       = https://archive.org/details/wordsofmathemati0000schw
 | оригинал      = The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English
 | издательство  = MAA
 | год           = 1994
 | страниц       = 261
 | isbn          = 0-88385-511-9
}}
* {{статья
 |автор         = Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L.
 |заглавие      = Последовательность обучения
 |оригинал      = A coherent curriculum
 |язык          = англ.
 |тип           = журнал
 |издательство  = American educator
 |год           = 2002
 |ref           = Последовательность обучения
}}
* {{книга
 | автор         = Schyrlet Cameron, Carolyn Craig.
 | заглавие      = Сложение и вычитание дробей в возрасте 5 — 8 лет
 | оригинал      = Adding and Subtracting Fractions, Grades 5 - 8
 | издательство  = Carson-Dellosa
 | год           = 2013
 | страниц       = 64
 | isbn          = 162223006X
 | ref           = Ширлет
}}
* {{книга
 | автор         = Schubert, E. Thomas; Phillip J. Windley; James Alves-Foss.
 | заглавие      = Доказательство теорем логики более высоких порядков и их применение: труды 8-го международного фестиваля
 | оригинал      = Higher Order Logic Theorem Proving and Its Applications: Proceedings of the 8th International Workshop
 | издательство  = Springer
 | год           = 1995
 | страниц       = 400
 | ref           = Шуберт
}}
* {{книга
 | автор         = Enderton, Herbert.
 | заглавие      = Элементы теории множеств
 | ссылка       = https://archive.org/details/elementsofsetthe0000ende
 | оригинал      = Elements of Set Theory
 | издательство  = Gulf Professional Publishing
 | год           = 1977
 | страниц       = 279
 | isbn          = 0-12-238440-7
 | ref           = Эндертон
}}

{{rq|tex}}
{{Внешние ссылки}}
{{Нерабочие сноски|дата=2020-03-17|<!--обновляется ботом-->[[#cite_note-_432558657c9fdb01-21|Алгоритм сложения]], [[#cite_note-_b0ad50f893e529a9-67|Александров, 1956]], [[#cite_note-_d1ea856743db64ce-58|Барсуков, 1966]], [[#cite_note-_09e857b49a58aeda-57|Выгодский, 2003]], [[#cite_note-_83e8a6df397a530f-60|Гусев, 1988]], [[#cite_note-_ba921ec39323740b-17|Зельвенский, 2013]], [[#cite_note-_8b1b68f1e92ce360-20|Зубарева, 2013]], [[#cite_note-_d1899e18563f2267-64|Ильин, 1985]], [[#cite_note-_f0c91d3bef429543-51|Истомина2, 2009]], [[#cite_note-_c2ca0a94b7cb63c5-2|Рудницкая В.Н., 2004]], [[#cite_note-_9c47c0ee6b104045-16|Свойства сложения, 2016]], [[#cite_note-_1ccf0ec1ff677df0-4|Системы счисления, 2006]], [[#cite_note-_452583d9a5c3044d-19|Эшби, 1959]], [[#cite_note-_e2653bb538b52c83-50|нумерация]]}}

[[Категория:Элементарная математика]]
[[Категория:Арифметические действия]]
[[Категория:Бинарные операции]]