Просмотр кода страницы Соотношение Майера

{{Соотношение Майера}}
'''Соотношение Майера''' (или '''уравнение Майера'''{{sfn|Зубарев Д. Н., Майера уравнение|1992}}, или '''соотношение Роберта Майера'''{{sfn|''Сивухин Д. В.'', Термодинамика и молекулярная физика|1990|с=73}}) — это уравнение, связывающее [[теплоёмкость]] [[идеальный газ|идеального газа]] при постоянном [[давление|давлении]] с его теплоёмкостью при постоянном объёме. Для газа, взятого в количестве одного [[Моль (единица измерения)|моля]], соотношение Майера имеет вид:
: <center><math>C_{P,m} - C_{V,m} = R, \qquad(M)</math></center>
где <math>R</math> — [[универсальная газовая постоянная]], <math>C_{P,m}</math> — молярная теплоёмкость при постоянном давлении, <math>C_{V,m}</math> — молярная теплоёмкость при постоянном объёме.

Это соотношение впервые было обосновано в 1842 году немецким исследователем [[Майер, Юлиус Роберт|Юлиусом Робертом Майером]]{{sfn|Mayer, J. R.|1862}}{{sfn|''Сивухин Д. В.'', Термодинамика и молекулярная физика|1990|с=74}}, а более подробно и доказательно — в его научной публикации 1845 года «Органическое движение в его связи с обменом веществ» ({{Lang-de|Die organische Bewegung im Zusammenhang mit dem Stoffwechsel}}){{sfn|Майер Р., Органическое движение в его связи с обменом веществ|1933|с=104–106}}{{#tag:ref |Благодаря благожелательному упоминанию работ Майера в книге [[Энгельс, Фридрих|Ф. Энгельса]]{{sfn|Энгельс, Ф., Диалектика природы|2013|loc=Комментарий}}, в [[СССР]] их все перевели на русский язык.|group=K}} (для одного кубического сантиметра воздуха, для которого теплоёмкость при постоянном давлении и отношение теплоёмкостей <math>C_P/C_V</math> были достаточно хорошо известны).

== Теплоёмкость и молярная теплоёмкость ==
[[Количество теплоты]] <math>\delta Q</math>, которое необходимо [[теплообмен|сообщить]] телу для изменения его [[Термодинамическая температура|температуры]] на малую величину <math>\mathrm{d} T,</math> определяется [[теплоемкость]]ю тела<ref name="Sav">{{Савельев|1|1970|часть=§102. Внутренняя энергия и теплоёмкость идеального газа|страницы=340}}</ref> ''C'':
: <center><math>C= \frac{\delta Q}{ \mathrm{d}T}.</math></center>
Теплоёмкость тела зависит от содержащегося в нём количества вещества ''Z'' (например, выраженного в молях), поэтому само вещество характеризуют молярной теплоёмкостью<ref name="Sav"/> <math>C_m</math>, отнесённой к одному молю вещества (нижний индекс ''m'' далее означает величины, отнесённые к одному молю):
: <center><math>C_m = \frac{C}Z.</math></center>

== Элементарный вывод соотношения Майера ==
Молярная теплоёмкость не является однозначной характеристикой вещества, так как согласно [[первое начало термодинамики|первому началу термодинамики]] переданное телу количество теплоты расходуется не только на изменение внутренней энергии тела d''U'' (приводящее к изменению температуры), но и на работу <math>\delta A</math>, совершённую телом при его расширении:
: <center><math>\delta Q = \mathrm{d} U + \delta A, \qquad(1) </math></center>
В частном случае [[Изохорный процесс|изохорного процесса]] (при неизменном объёме тела) работа равна нулю, то есть
: <center><math>\delta Q_V= \mathrm{d} U,</math></center>
или, выражая количество теплоты через теплоёмкость (при постоянном объёме) и изменение температуры:
: <center><math> \mathrm{d} U =  C_V\mathrm{d} T. \qquad(2)</math></center>
В то же время при [[Изобарный процесс|изобарном процессе]] (при постоянном давлении) количество теплоты, необходимое, чтобы повысить температуру на такую же величину d''T''
: <center><math>\delta Q_P= C_P \mathrm{d} T, \qquad(3)</math></center>
превышает в соответствии с уравнением (1) количество теплоты при изохорном процессе на величину совершаемой расширяющейся газом работы:
: <center><math>\delta Q_P= \mathrm{d} U+\delta A =  \mathrm{d} U+P \mathrm{d} V =  \mathrm{d} U+\mathrm{d} (PV). \qquad (4)</math></center>
В соответствии с [[Закон Джоуля|законом Джоуля]], внутренняя энергия заданного количества идеального газа зависит только от его температуры, поэтому изменение его внутренней энергии при любом процессе выражается через изменение его температуры согласно формуле (2). Следовательно, для одного моля идеального газа соотношение (4) с учётом (2) и (3) имеет вид: <math>C_{P,m} \mathrm{d} T=C_{V,m} \mathrm{d} T+\mathrm{d} (PV_m)</math>. Далее из [[Уравнение состояния идеального газа|уравнения состояния]] для одного моля идеального газа <math> PV_m= RT</math> вычисляется работа <math> \mathrm{d} (PV_m)=R \mathrm{d} T</math> и получается приведённое в преамбуле соотношение Майера (М). <small>Вывод следует книге Д. В. Сивухина{{sfn|''Сивухин Д. В.'', Термодинамика и молекулярная физика|1990|с=73–74}}.</small>

== Следствия из соотношения Майера ==
{{main|Механический эквивалент теплоты}}
Уравнение Майера связывает разность теплоёмкостей, которые меряются (во всяком случае мерились во времена Майера) [[калориметр]]ическим способом и результат измерения которых выражается через единицы количества теплоты ([[калория|калории]]), с механической работой, результат которой может быть выражен просто в виде поднятия поршня с грузом на определенную высоту при изобарическом расширении газа. Майер использовал это соотношение, чтобы определить [[механический эквивалент теплоты]], то есть соотношение между единицами измерения количества теплоты и единицами механической работы{{sfn|Mayer, J. R.|1862}}{{sfn|Майер Р., Органическое движение в его связи с обменом веществ|1933|с=105}}{{sfn|''Сивухин Д. В.'', Термодинамика и молекулярная физика|1990|с=74}}{{sfn|Зубарев Д. Н., Майера уравнение|1992}}

В силу соотношения Майера теплоёмкость газа при постоянном давлении всегда больше теплоёмкости при постоянном объеме: <math>C_{P}>C_V</math>. Последнее ''термодинамическое неравенство'' справедливо для любого тела, не обязательно для идеального газа, но его истинность в общем случае доказывается другим способом{{sfn|Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1|2001|loc=Уравнение (20.6)}}. 
{{main|Показатель адиабаты}}
Отношение теплоёмкостей в процессах с постоянным давлением и постоянным объемом: <math>\gamma = { C_{P}}/{ C_{V}},</math>
носит название «[[показатель адиабаты]]» и играет важную роль в термодинамике.
Из уравнения Майера следует, что:
: <center><math>C_{V,m}=\frac{R}{\gamma - 1}, \qquad\qquad C_{P,m}=\frac{\gamma R}{\gamma - 1}</math>

== Строгий вывод соотношения Майера ==
{{main|Соотношения Максвелла (термодинамика)}}
Элементарный вывод соотношения Майера помимо уравнения состояния идеального газа в явном виде использует закон Джоуля (утверждение о том, что внутренняя энергия идеального газа не зависит от его объёма). При более строгом подходе закон Джоуля оказывается следствием уравнения состояния идеального газа, что может быть продемонстрировано, например, [[Соотношения Максвелла (термодинамика)#Примеры использования соотношений Максвелла|с помощью соотношений Максвелла]].

== Комментарии ==
{{примечания|group =K}}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор =[[Зубарев, Дмитрий Николаевич|Зубарев, Д. Н.]]|часть=Майера уравнение|ссылка часть=http://www.physicum.narod.ru/vol_3/027.pdf|заглавие =Физическая энциклопедия|ссылка = |ответственный =Ред. А. М. Прохоров |издание |место ={{М.}}|издательство =Советская энциклопедия|год =1992|том =3 |страницы =27|серия = |isbn =|ref =Зубарев Д. Н., Майера уравнение}}
* {{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Статистическая физика|2001}}
* {{книга|автор =[[Майер, Юлиус Роберт|Майер, Р.]]|часть =Органическое движение в его связи с обменом веществ|ссылка =www.libgen.io/book/index.php?md5=B12DDCDDC9F91A298110152A42E70326|заглавие =Закон сохранения и превращения энергии.  Четыре исследования 1841 — 1851|5 =|ответственный =Ред. А. А. Максимов|7 =издание|место ={{Л.}}|издательство =[[Физматлит|ГТТИ]]|год =1933|том =|страницы =89—222|серия =|isbn =|ref =Майер Р., Органическое движение в его связи с обменом веществ}}{{Недоступная ссылка|date=Октябрь 2019 |bot=InternetArchiveBot }}
* {{Савельев|1|2012}}
* {{Сивухин|2|1990}}
* {{книга|заглавие=Диалектика природы|автор=[[Энгельс, Фридрих]]|издательство=Рипол Классик|год=2013|isbn=5458505468, 9785458505468|страниц=354|ref=Энгельс, Ф., Диалектика природы}}
* {{статья|автор=[[Майер, Юлиус Роберт|Mayer, J. R.]] |тип=журнал|заглавие=Remarks on the Forces of Inorganic Nature|издание=[[Philosophical Magazine]]|год=1862|том=24|серия=4|выпуск=162|страницы=371—377|doi=10.1080/14786446208643372|ссылка=https://www.biodiversitylibrary.org/item/121900#page/385/mode/1uplang=en|ref=Mayer, J. R.}}
{{Термодинамика}}
{{Добротная статья|Физика}}

[[Категория:Термодинамика]]
[[Категория:Именные законы и правила|Майера]]
[[Категория:Теплоёмкость]]

{{спам-ссылки|1=
* www.libgen.io/book/index.php?md5=B12DDCDDC9F91A298110152A42E70326
}}