Просмотр кода страницы Софокусные конические сечения

[[File:Ell-hyp-konfokal.svg|300px|thumb|[[Пучок (геометрия)|Пучок]] софокусных <span style="color:blue">эллипсов</span> и <span style="color:red">гипербол</span>.]]
'''Софокусные конические сечения''' — в геометрии [[Коническое сечение|конические сечения]], обладающие одними и теми же [[Фокус (геометрия)|фокусами]]. Поскольку эллипсы и гиперболы обладают двумя фокусами, то существуют '''софокусные эллипсы''' и '''софокусные гиперболы''', а также эллипс и гиперболы могут быть софокусными друг другу. В том случае, когда семейство эллипсов софокусно семейству гипербол, каждый эллипс [[Ортогональность|ортогонально]] пересекает каждую гиперболу. Параболы обладают только одним фокусом, поэтому принять считать '''софокусными''' те параболы, которые имеют общий фокус и одну и ту же ось симметрии. Следовательно, любая точка вне оси симметрии лежит на двух софокусных параболах, пересекающих друг друга под прямым углом.

Понятие софокусных конических сечений можно обобщить на трёхмерное пространство, рассматривая софокусные [[Поверхность второго порядка|квадрики]].

== Софокусные эллипсы ==
Эллипс, не являющийся окружностью, однозначно определяется положением фокусов <math>F_1,\; F_2</math> и точкой вне большой оси. [[Пучок (геометрия)|Пучок]] софокусных эллипсов с фокусами <math>F_1=(c,0),\; F_2=(-c,0)</math> можно описать уравнением
* <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1 \ , \quad a>c \ ,</math>
в котором большая полуось <math>a</math> является параметром (фокальное расстояние <math>c</math> однозначно определяется расположением фокусов).
Поскольку точка на эллипсе однозначно задаёт значение <math>a</math>, то
* никакие два эллипса в пучке не имеют общих точек.

== Софокусные гиперболы ==
Гипербола однозначно определяется положением фокусов <math>F_1,\; F_2</math> и точкой вне осей симметрии. Пучок софокусных гипербол с фокусами <math>F_1=(c,0),\; F_2=(-c,0)</math> можно описать уравнением
* <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}=1 \ , \quad 0<a<c \ ,</math>
в котором большая полуось <math>a</math> является параметром (фокальное расстояние <math>c</math> однозначно определяется расположением фокусов).
Поскольку точка на гиперболе однозначно задаёт значение <math>a</math>, то
*  никакие две гиперболы в пучке не имеют общих точек.

== Софокусные эллипсы и гиперболы ==
Уравнение 
* <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1</math>
описывает ''эллипс'' при <math>c<a</math> и ''гиперболу'' при  <math>0<a<c</math>.

В литературе можно найти другой вариант представления:
* <math>\frac{x^2}{a^2-\lambda}+\frac{y^2}{b^2-\lambda}=1\ ,</math>
[[File:Ell-hyp-konf-bw.svg|thumb|Софокусные эллипсы и гиперболы пересекаются под прямыми углами]]
где <math>a,b</math> — полуоси данного эллипса (тогда и фокусы <math>F_1,\; F_2</math> заданы) и <math>\lambda</math> является параметром пучка.<br />
При <math>\lambda<b^2</math> мы получаем софокусные эллипсы (то есть <math>a^2-\lambda-(b^2-\lambda)=c^2</math>) и <br />
при <math>b^2<\lambda<a^2</math> получаем софокусные гиперболы с фокусами <math>F_1,\; F_2</math>.

Рассмотрение пучков софокусных эллипсов и гипербол приводит к следующему выводу о касательной и нормали в заданной точке (нормаль к эллипсу и касательная к гиперболе делят пополам угол между направлениями из точки к фокусам):
* каждый эллипс в пучке пересекает каждую гиперболу под прямым углом (см. рисунок).

Таким образом, можно покрыть плоскость ортогональной системой софокусных эллипсов и гипербол. Такую ортогональную сетку можно использовать как основу [[Эллиптическая система координат|эллиптической системы координат]].

== Софокусные параболы ==
[[File:Parab-konf-schar.svg|thumb|Пучок софокусных парабол]]
Параболы обладают только одним фокусом. Можно рассматривать параболу как предел пучка софокусных эллипсов или гипербол, у которых один фокус зафиксирован, а второй удаляется на бесконечность. Если подобное рассмотрение провести для софокусных эллипсов и гипербол, можно получить систему из двух пучков софокусных парабол.

Уравнение <math>y^2=2p(x+p/2)=2px+p^2</math> описывает параболу с началом координат в фокусе, при этом ось ''x'' является осью симметрии. Рассмотрим два пучка парабол:

* <math>y^2=2px+p^2\ ,\quad p>0\ ,</math> параболы, бесконечные в правую сторону,
: <math>y^2=-2qx+q^2\ ,\quad q>0\ ,</math> параболы, бесконечные в левую сторону,
: фокус <math>F=(0,0)</math> является общим.

Из уравнения параболы следует, что
* параболы, простирающиеся в одну сторону, не имеют общих точек.

Вычисления показывают, что
* любая парабола <math>y^2=2px+p^2</math>, простирающаяся направо, пересекает каждую параболу <math>y^2=-2qx+q^2</math>, простирающуюся налево, ортогонально. Точки пересечения имеют координаты  <math>(\tfrac{q-p}{2},\pm\sqrt{pq})\ </math>.

Векторы (<math>\vec n_1=\left(p,\mp \sqrt{pq}\right)^T,\ \vec n_2=\left(q,\pm \sqrt{pq}\right)^T)</math> являются векторами нормали в точках пересечения. [[Скалярное произведение]] данных векторов равно нулю.

По аналогии с софокусными эллипсами и гиперболами, плоскость можно покрыть ортогональной сеткой парабол.

== Теорема Грейвса о построении софокусных эллипсов ==
[[File:Ellipse-konf-fad.svg|thumb|Построение софокусных эллипсов]]
В 1850 году ирландский епископ Чарльз Грейвс доказал и опубликовал следующий метод построения софокусных эллипсов с помощью нити:<ref>Felix Klein: ''Vorlesungen über Höhere Geometrie'', Sringer-Verlag, Berlin, 1926, S.32.</ref>
* если окружить данный эллипс E  кольцом из нити, превышающей по длине контур данного эллипса,  нарисуем новый эллипс с помощью закреплённых в фокусах "иголок" (см. [[Эллипс#Построение эллипса|построение эллипса]]), при этом новый эллипс будет софокусным с E. Доказательство данного утверждения требует использования [[Эллиптический интеграл|эллиптических интегралов]]. Отто Штауде обобщил данный метод для построения софокусных эллипсоидов.

Если эллипс E представляет собой отрезок <math>F_1F_2</math>, то софокусные ему эллипсы будут обладать фокусами  <math>F_1,F_2</math>.

== Софокусные поверхности второго порядка ==
[[File:Quadriken-konfok.svg|300px|thumb|Софокусные квадрики: <br />
<math> a=1,b=0.8,c=0.6,\ </math> <br />
 <math>\lambda_1=</math><span style="color:red"> 0.1</span>, <math>\lambda_2=</math><span style="color:blue"> 0.5</span>, <math>\lambda_3=</math><span style="color:magenta"> 0.8</span>]]

Понятие софокусных поверхностей второго порядка является формальным обобщением понятия софокусных конических сечений на трёхмерное пространство.

Выберем три вещественных числа <math>a,b,c </math> при условии <math>a>b>c>0</math>.
Уравнение
* <math>\frac{x^2}{a^2-\lambda}+\frac{y^2}{b^2-\lambda}+\frac{z^2}{c^2-\lambda}=1</math> описывает
: ''[[эллипсоид]]'' при <math>\lambda<c^2</math> ,
: ''однополостный [[гиперболоид]]'' при <math>c^2<\lambda<b^2</math> (синяя поверхность на рисунке),
: ''двуполостный гиперболоид'' при <math>b^2<\lambda<a^2</math> .
: При <math>a^2<\lambda</math> решений не существует
(В данном контексте параметр <math>c</math> не является фокальным расстоянием эллипсоида).

Аналогично случаю софокусных эллипсов/гипербол имеем свойства:
* любая точка <math>(x_0, y_0, z_0)\in \R^3</math>  при <math>x_0 \ne 0,\; y_0 \ne 0,\; z_0 \ne 0</math> лежит только на одной поверхности каждого из трёх видов софокусных квадрик;
: три поверхности второго порядка, проходящие через точку <math>(x_0, y_0, z_0)</math>, пересекаются ортогонально

[[File:Konf-quad-flambda.svg|thumb|Пример функции <math>f(\lambda)</math>]]
'''Доказательство''' ''существования и единственности'' трёх квадрик, проходящих через данную точку:
для точки <math>(x_0,y_0,z_0)</math> при <math>x_0\ne 0, y_0\ne 0,z_0\ne 0</math> рассмотрим функцию
:<math>f(\lambda)=\frac{x_0^2}{a^2-\lambda}+\frac{y_0^2}{b^2-\lambda}+\frac{z_0^2}{c^2-\lambda}-1</math>.

Данная функция имеет три вертикальные асимптоты <math>c^2<b^2<a^2</math> и является непрерывной и монотонно возрастающей во всех интервалах <math>(-\infty,c^2),\;(c^2,b^2),\;(b^2,a^2),\;(a^2,\infty)</math>.
Анализ поведения функции вблизи вертикальных асимптот и при <math>\lambda \to \pm \infty</math> приводит к выводу о том, что  <math>f</math>  имеет три корня <math>\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3</math> при <math>{\color{red}\lambda_1}<c^2<{\color{red}\lambda_2}<b^2<{\color{red}\lambda_3}<a^2\ .</math>

'''Доказательство'''  ''ортогональности'' поверхностей: рассмотрим пучки функций 
<math>F_\lambda(x,y,z)=\frac{x^2}{a^2-\lambda}+\frac{y^2}{b^2-\lambda}+\frac{z^2}{c^2-\lambda}</math>
с параметром <math>\lambda</math>. Софокусные квадрики можно описать соотношением <math>F_\lambda(x,y,z)=1</math>. 
Для любых двух пересекающихся квадрик при <math>F_{\lambda_i}(x,y,z)=1,\; F_{\lambda_k}(x,y,z)=1</math> в общей точке  <math>(x,y,z)</math> выполняется равенство
:<math>0=F_{\lambda_i}(x,y,z) - F_{\lambda_k}(x,y,z)= \dotsb
=(\lambda_i-\lambda_k)\left(\frac{x^2}{(a^2-\lambda_i)(a^2-\lambda_k)}+\frac{y^2}{(b^2-\lambda_i)(b^2-\lambda_k)}+\frac{z^2}{(c^2-\lambda_i)(c^2-\lambda_k)}\right)\ .</math>
Отсюда скалярное произведение градиентов в общей точке
: <math>\operatorname{grad} F_{\lambda_i}\cdot \operatorname{grad} F_{\lambda_k}=4\;\left(\frac{x^2}{(a^2-\lambda_i)(a^2-\lambda_k)}+\frac{y^2}{(b^2-\lambda_i)(b^2-\lambda_k)}+\frac{z^2}{(c^2-\lambda_i)(c^2-\lambda_k)}\right)=0\ ,</math>
что доказывает ортогональность.

[[File:Ellipsoid-kl.svg|thumb|Эллипсоид с линиями кривизны как линиями пересечения с софокусными гиперболоидами <br />
<math>a=1, \; b=0.8, \; c=0.6</math>]]
'''Приложения.'''<br />
По теореме [[Дюпен, Пьер-Шарль-Франсуа|Ш. Дюпена]] об ортогональных системах поверхностей следующие утверждения является справедливым:
* линия пересечения любых двух софокусных поверхностей второго порядка является линией [[Кривизна|кривизны]];
* по аналогии с [[Эллиптическая система координат|эллиптическими координатами]] можно ввести [[эллипсоидальные координаты]].
В физике софокусные эллипсоиды являются эквипотенциальными поверхностями:
* эквипотенциальные поверхности заряженного эллипсоида являются софокусными к данному эллипсоидами.<ref>D. Fuchs, S. Tabachnikov: ''Ein Schaubild der Mathematik.'' Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2011, {{ISBN|978-3-642-12959-9}}, p. 480.</ref>

== Теорема Айвори ==
[[File:Ell-hyp-konf-ivory.svg|thumb|300px|Теорема Айвори]]
'''Теорема Айвори''', названная по имени шотландского математика [[Айвори, Джеймс (математик)|Джеймса Айвори]] (1765–1842), представляет собой утверждение о диагоналях четырёхугольника, образованного ортогональными кривыми. 
* В любом четырёхугольнике, образованном двумя софокусными эллипсами и двумя софокусными гиперболами с теми же фокусами, диагонали имеют равные длины.

'''Точки пересечения эллипса и софокусной гиперболы'''<br />
Пусть <math>E(a)</math> — эллипс с фокусами <math>F_1=(c,0),\; F_2=(-c,0)</math>, задаваемый уравнением 
: <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1 \ , \quad a>c>0, \ </math>
а <math>H(u)</math> — софокусная гипербола с уравнением
: <math>\frac{x^2}{u^2}+\frac{y^2}{u^2-c^2}=1 \ , \quad c>u \ .</math>
Вычисление точек пересечения <math>E(a)</math> и <math>H(u)</math> даёт координаты четырёх точек
* <math>\left(\pm \frac{au}c,\; \pm \frac{\sqrt{(a^2-c^2)(c^2-u^2)}}c\right).</math>

'''Диагонали четырёхугольника'''<br />
Для упрощения вычислений предположим, что
* <math>c=1</math>, что не является существенным ограничением, поскольку возможно изменение масштаба;
* при выборе знака <math>\pm</math> (см. пункт о точках пересечения) будем рассматривать только <math>+</math>. Несложно показать, что выбор другого знака приведёт к тому же результату.

Пусть <math>E(a_1), E(a_2)</math> являются софокусными эллипсами, а <math>H(u_1), H(u_2)</math> являются софокусными гиперболами с теми же фокусами. Диагонали четырёхугольника, образованного точками пересечения с координатами
: <math>P_{11}=\left(a_1u_1,\; \sqrt{(a_1^2-1)(1-u_1^2)}\right)\ ,\quad
P_{22}=\left(a_2u_2,\; \sqrt{(a_2^2-1)(1-u_2^2)}\right)\ ,</math>
: <math>P_{12}=\left(a_1u_2,\; \sqrt{(a_1^2-1)(1-u_2^2)}\right)\ ,\quad
P_{21}=\left(a_2u_1,\;\sqrt{(a_2^2-1)(1-u_1^2)}\right)</math>
имеют длины
: <math>\begin{align}
|P_{11}P_{22}|^2 &= (a_2u_2-a_1u_1)^2+\left(\sqrt{(a_2^2-1)(1-u_2^2)}-\sqrt{(a_1^2-1)(1-u_1^2)}\right)^2 = \dotsb \\
                 &= a_1^2+a_2^2+u_1^2+u_2^2-2\, \left(1+a_1a_2u_1u_2+\sqrt{(a_1^2-1)(a_2^2-1)(1-u_1^2)(1-u_2^2)}\right)
\end{align}</math>
Последнее выражение является инвариантом по отношению к замене 
<math>u_1\leftrightarrow u_2</math>. Подобная замена приводит к выражению для длины <math>|P_{1\color{red}2}P_{2\color{red}1}|^2</math>. Следовательно, имеет место равенство
*: <math>|P_{11}P_{22}|=|P_{12}P_{21}|</math>

Доказательство утверждения для софокусных парабол представляет собой несложные расчёты.

Айвори также доказал теорему для трёхмерного случая: 
* у трёхмерного прямоугольного параллелепипеда, образованного софокусными квадриками, диагонали, соединяющие противоположные точки, имеют равные длины.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* [[Бляшке, Вильгельм|W. Blaschke]]: ''Analytische Geometrie.'' Springer, Basel 1954,{{ISBN|978-3-0348-6813-6}}, p.&nbsp;111.
*G. Glaeser,H. Stachel,B. Odehnal: ''The Universe of Conics: From the ancient Greeks to 21st century developments'', Springer Spektrum, {{ISBN|978-3-662-45449-7}}, p.&nbsp;457.
* {{citation| title = Geometry and Imagination | author = David Hilbert |author2=Stephan Cohn-Vossen|authorlink2=Stephan Cohn-Vossen| year = 1999 | publisher = American Mathematical Society | isbn = 0-8218-1998-4}}
* Ernesto Pascal: ''Repertorium der höheren Mathematik.'' Teubner, Leipzig/Berlin 1910, p.&nbsp;257.
*A. Robson: ''An Introduction to Analytical Geometry'' Vo. I, Cambridge, University Press, 1940, p.&nbsp;157.
*D.M.Y. Sommerville: ''Analytical Geometry of Three Dimensions'', Cambridge, University Press, 1959, p.&nbsp;235.

== Ссылки ==
* T. Hofmann: [https://www-m10.ma.tum.de/foswiki/pub/Lehre/DifferentialGeometrieWS0607/VL01-19_dg1_06.pdf''Miniskript Differentialgeometrie I, p. 48]
* B. Springborn: [ftp://ftp.math.tu-berlin.de/pub/Lehre/Diffgeo1/SS06/miniskript-kuf-SS06.pdf  ''Kurven und Flächen'', 12. Vorlesung: Konfokale Quadriken] (S.&nbsp;22&nbsp;f.).
* H. Walser: ''[http://e-collection.library.ethz.ch/eserv/eth:25629/eth-25629-08.pdf Konforme Abbildungen.]'' p.&nbsp;8.

[[Категория:Конические сечения]]