Просмотр кода страницы Спираль Феодора

[[Файл:Spiral of Theodorus.svg|thumb|right|400px|Первый виток спирали Феодора (до треугольника с гипотенузой {{radic|17}})]]

'''Спираль Феодора''' (также называемая '' спиралью корня квадратного из угла'', ''спиралью Эйнштейна'' или ''спиралью Пифагора'')<ref name=KAHN2>
{{cite arXiv
 |last=Hahn
 |first=Harry K.
 |title=The Ordered Distribution of Natural Numbers on the Square Root Spiral
 |eprint=0712.2184
}}</ref> — приближение к [[Архимедова спираль|архимедовой спирали]], состоящее из смежных прямоугольных треугольников, примыкающих друг к другу. Она названа в честь [[Феодор Киренский|Феодора Киренского]], древнегреческого ученого, известного как учитель [[Платон]]а, жившего в V веке до нашей эры на территории Ливии.

== Конструкция ==
Спираль начинается с [[Равнобедренный прямоугольный треугольник|равнобедренного прямоугольного треугольника]], каждый [[катет]] которого имеет единичную длину. Затем добавляется ещё один прямоугольный треугольник, чей катет является [[Гипотенуза|гипотенузой]] предыдущего треугольника (с длиной {{radic|2}}), а другой катет имеет длину 1; длина гипотенузы второго треугольника {{radic|3}}. Затем процесс повторяется; ''n''-й треугольник в последовательности представляет собой правый треугольник с катетами {{radic|''n''}} и 1 и с гипотенузой {{sqrt|''n'' + 1}}. Например, 16-й треугольник имеет стороны размером 4 (={{sqrt|16}}), 1 и гипотенузой {{sqrt|17}}.

== История и использование ==
Хотя все работы Феодора утеряны, [[Платон]] упомянул Феодора в своем диалоге ''[[Теэтет (Платон)|Теэтет]]'', который рассказывает о его работе. 
В частности там говорится, что Феодор доказал, что все [[Квадратный корень|квадратные корни]] неквадратных целых чисел от 3 до 17 являются [[Иррациональное число|иррациональными]] числами (Платон не приписывает Феодору доказательства иррациональности [[Квадратный корень из 2|квадратного корня из 2]], потому что она была хорошо известна до него). 
Впоследствии [[Теэтет Афинский]] классифицировал отрезки, производящие рациональные квадраты, на две категории: [[Рациональные числа|соизмеримые с единицей]] и [[Квадратичная иррациональность|иррациональные]]<ref>
{{citation
 |last=Plato
 |last2=Dyde
 |first2=Samuel Walters
 |title=The Theaetetus of Plato
 |publisher=J. Maclehose
 |pages=86–87.
 |url=https://books.google.com/books?id=wt29k-Jz8pIC&printsec=titlepage
 |year=1899
}}</ref><ref name=Waerden/>.

Есть разные гипотезы о том, как Феодор доказал это, и почему он остановился на {{radic|17}}. Одна из гипотез, принадлежащая немецкому любителю математики Андерхубу (Anderhub), заключается в том, что он это сделал с помощью ''спирали Феодора''<ref>{{статья |заглавие=The Spiral of Theodorus and Sums of Zeta-values at the Half-integers |jstor=10.4169/amer.math.monthly.119.09.779 |язык=en |издание=The American Mathematical Monthly |год=2012 |том=119 |выпуск=9 |страницы=779 |doi=10.4169/amer.math.monthly.119.09.779 |archivedate=2019-04-27 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20190427191551/https://www.jstor.org/stable/10.4169/amer.math.monthly.119.09.779 }}</ref>.
В этой спирали гипотенуза {{radic|17}} принадлежит последнему треугольнику, который не перекрывает фигуру образуемой спиралью, что объясняет почему Феодор дошел до {{radic|17}}<ref>
{{citation
 |last=Nahin
 |first=Paul J.
 |title=An Imaginary Tale: The Story of {{radic|−1}}
 |publisher=Princeton University Press
 |page=33
 |url=https://books.google.com/books?id=WvcfqBgZDWQC&printsec=frontcover
 |isbn=0-691-02795-1 
 |year=1998
}}</ref>.
Однако это не единственное возможное объяснение этого факта<ref name=Waerden>{{книга |автор=Ван дер Варден |ссылка=http://naturalhistory.narod.ru/Person/Modern/Waerden/Nauka_1/N_1_Ogl.htm |заглавие=Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции |место=М. |издательство=Наука |год=1959 |страниц=456 |страницы=199 |archive-date=2009-03-27 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090327145206/http://naturalhistory.narod.ru/Person/Modern/Waerden/Nauka_1/N_1_Ogl.htm }}</ref>.

== Продолжение спирали ==
[[Файл:Spiral of Theodorus extended.svg|thumb|Цветная удлиненная спираль Феодора с 110 треугольниками]]
В 1958 году Эрих Тойфель (Erich Teuffel) доказал, что никакие две гипотенузы треугольников, из которых строится спираль, не будут лежать на одном луче. Кроме того, если стороны единичной длины продолжить до прямой, они никогда не пройдут ни через одну из других вершин спирали<ref name=LONG>
{{cite web
 |last=Long
 |first=Kate
 |title=A Lesson on The Root Spiral
 |url=http://courses.wcupa.edu/jkerriga/Lessons/A%20Lesson%20on%20Spirals.html
 |accessdate=2008-04-30
 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130411230043/http://courses.wcupa.edu/jkerriga/Lessons/A%20Lesson%20on%20Spirals.html
 |archivedate=2013-04-11
}}</ref><ref>Erich Teuffel, Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke, ''Math.-Phys. Semesterber.'' 6 (1958), pp. 148—152.</ref>.

== Скорость роста ==

=== Угол ===
[[Файл:Spiral of Theodorus triangle.svg|thumb|Треугольник или одно звено (шаг) спирали]]
Если  <math>\varphi_n</math> — угол ''n''-го треугольника (или спирального сегмента), то:
: <math>\tan\left(\varphi_n\right)=\frac{1}{\sqrt{n}}.</math>
Таким образом, прирост угла <math>\varphi_n</math>  следующего за ''n''-ым треугольником есть:<ref name=KAHN2/>
: <math>\varphi_n=\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right).</math>

Сумма углов первых» k " треугольников, обозначается общим углом <math>\varphi(k)</math>  для ''k''- го треугольника. Она растет пропорционально квадратному корню из ''k'', являясь ограниченной функцией с поправочным членом ''c''<sub>2</sub>:<ref name=KAHN2/>
: <math>\varphi\left (k\right)=\sum_{n=1}^k\varphi_n = 2\sqrt{k}+c_2(k)</math>
где
: <math>\lim_{k \to \infty} c_2(k)= - 2.157782996659\ldots</math>

=== Радиус ===
Рост радиуса спирали при некотором треугольнике с номером ''n'' равен
: <math>\Delta r=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}.</math>

== Архимедова спираль ==
Спираль Феодора приближается к [[Спираль Архимеда|архимедовой спирали]].<ref name=KAHN2/>. Так как расстояние между двумя витками Архимедовой спирали равно постоянной [[Пи (число)|пи]]=3,14…, то когда количество оборотов ''спирали Теодора'' стремится к бесконечности, расстояние между двумя последовательными витками стремительно приближается к
π.<ref>
{{cite arXiv
 |last=Hahn |first=Harry K.
 |year=2008
 |title=The distribution of natural numbers divisible by 2, 3, 5, 7, 11, 13, and 17 on the Square Root Spiral
 |eprint=0801.4422
}}</ref>
Ниже приведена таблица, показывающая приближение витков спирали к пи:

{| class="wikitable"
!Виток No.:
!ширина=200px|Расчетное среднее расстояние между витками
!ширина=200px|Точность среднего расстояния намотки по сравнению с π
|-
|2
|3.1592037
|99.44255 %
|-
|3
|3.1443455
|99.91245 %
|-
|4
|3.14428
|99.91453 %
|-
|5
|3.142395
|99.97447 %
|-
|[[Предел последовательности|Предел]] функции при ''n''→ ∞
|→ π
|→ 100 %
|}
Как показано, после только пятого витка спираль улитки расстояние с точностью 99,97 % является точным приближением к π.

== В комплексной плоскости ==
В [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]] вершины спирали могут быть заданы следующим простым [[Рекуррентное соотношение|рекуррентным соотношением]]:
: <math>z_0 = 1</math>
: <math>z_n = \left(1+\frac{i}{\sqrt n}\right)z_{n-1}</math>, для <math>n=1, 2 \dots</math>
где <math>i</math> — [[мнимая единица]]{{sfn|Gronau|2004}}.

== Непрерывная кривая ==
[[File:Theodorus_for_Wiki.jpg|thumb|right|400px|Аналитическое продолжение спирали Феодора]]
<!-- Davis' analytic continuation of the Spiral of Theodorus, including extension in the opposite direction from the origin (negative nodes numbers) -->

Задача о том, как интерполировать дискретные точки спирали Феодора плавной кривой была предложена и решена в {{Harv|Davis|2001|loc = pp. 37–38 }} по аналогии с [[Гамма-функция#Определение по Эйлеру|формулой Эйлера]] для [[гамма-функция|гамма-функции]] в качестве аппроксимации для [[факториал]]а, {{iw|Дэвис, Филипп|Филиппом Дэвисом|en|Philip J. Davis}} найдена функция
: <math>T(x) = \prod_{k=1}^\infty \frac{1 + i/\sqrt{k}}{1 + i/\sqrt{x+k}} \qquad ( -1 < x < \infty )</math>
которая в дальнейшем была изучена его учеником {{iw|Лидер, Джеффри|Джеффри Лидером||Jeffery J. Leader}}<ref>Leader, J.J. The Generalized Theodorus Iteration (dissertation), 1990, Brown University</ref> и {{iw|Изерлес, Арье|Арье Изерлесом||Arieh Iserles}} (в приложении к {{Harv|Davis|2001}}). Аксиоматическая характеристика этой функции дается в {{Harv|Gronau|2004}}, как единственная функция, удовлетворяющая функциональному уравнению
: <math>f(x) = \left( 1 + \frac{i}{\sqrt{x} }\right) \cdot f(x-1),</math>
с начальным условием <math>f(0) = 1,</math> и монотонна как по [[Комплексное число#Аргумент|аргументу]], так и по [[Комплексное число#Модуль|модулю]]. Там также изучаются альтернативные условия и ослабления. Альтернативное доказательство приведено в {{Harv | Heuvers | Moak | Boursaw | 2000}}.
Аналитическое продолжение непрерывной функции Дэвиса для спирали Феодора, которая простирается в противоположном направлении от начала координат, дано в {{Harv|Waldvogel|2009}}.

На рисунке узлы оригинальной (дискретной) спирали Теодора отмечены маленькими зелёными кружками. Синие круги – те, что добавились при продолжении в отрицательную (по значению параметра, он же – полярный радиус)  ветвь.
Пронумерованы только узлы <math>n</math> с целым значением полярного радиуса <math>r_n=\pm\sqrt{|n|}.</math>
Оранжевая пунктирная окружность – круг кривизны спирали в начале координат <math>O</math>.

== См. также ==
* [[Спираль Ферма]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{Citation | title = Spirals from Theodorus to Chaos | first = P. J. | last = Davis | publisher = A K Peters/CRC Press | authorlink = Philip J. Davis |year = 2001 }}
* {{Citation | doi = 10.2307/4145130 | title = The Spiral of Theodorus | first = Detlef| last = Gronau | journal = [[The American Mathematical Monthly]] | volume = 111 |date=March 2004 | pages = 230–237 | issue = 3 | publisher = Mathematical Association of America | jstor = 4145130 }}
* {{Citation | first1 = J. | last1 = Heuvers | first2 = D. S. | last2 = Moak | first3 = B | last3 = Boursaw | chapter = The functional equation of the square root spiral | title = Functional Equations and Inequalities | editor = T. M. Rassias | year = 2000 | pages = 111–117 }}
* {{Citation | title = Analytic Continuation of the Theodorus Spiral | first = Jörg | last = Waldvogel | year = 2009 | url = http://www.math.ethz.ch/~waldvoge/Papers/theopaper.pdf }}

{{Кривые}}

[[Категория:Спирали|*]]