Просмотр кода страницы Статистика Бозе — Эйнштейна

{{Статистическая физика}}
'''Статистика Бо́зе — Эйнште́йна''' — квантовая статистика, применяемая к системам [[тождественные частицы|тождественных бозонов]] (частиц с нулевым или целочисленным [[спин]]ом), к которым относятся, например, [[фотон]]ы и атомы [[Гелий-4|гелия-4]]. Определяет среднее число бозонов <math>n_i</math> в состояниях с заданной энергией <math>\varepsilon_i</math> в системе, находящейся в [[Термодинамическое равновесие|термодинамическом равновесии]]: 
: <math>n_i=\frac{g_i}{\exp\left(\dfrac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)-1}</math>,
где <math>g_i</math> — [[кратность вырождения]] (количество состояний частицы с энергией <math>\varepsilon_i</math>), <math>\mu</math> — [[химический потенциал]], <math>k</math> — [[постоянная Больцмана]], <math>T</math> — абсолютная [[температура]]. Если <math>g_i=1</math>, то функция числа заполнения уровней частицами называется '''функцией Бозе — Эйнштейна''':
: <math>F(\varepsilon, T)=\frac{1}{\exp\left(\dfrac{\varepsilon-\mu}{kT}\right)-1}</math>.

Предложена в 1924 году [[Бозе, Шатьендранат|Шатьендранатом Бозе]] для описания фотонов<ref>{{Статья|ссылка=http://dx.doi.org/10.1007/bf03010400|автор=Satyendranath Bose|заглавие=Planck’s law and the light quantum hypothesis|год=1994-03|издание=Journal of Astrophysics and Astronomy|том=15|выпуск=1|страницы=3–7|issn=0250-6335|doi=10.1007/bf03010400}}</ref>. В 1924—1925 гг. [[Эйнштейн, Альберт|Альберт Эйнштейн]] обобщил её на системы атомов с целым спином. 

== Свойства статистики Бозе — Эйнштейна ==
[[File:Fermi-Dirac Bose-Einstein Maxwell-Boltzmann statistics.svg|thumb|300px|Сравнение значений <math>n_i</math> в статистике Бозе — Эйнштейна, Ферми — Дирака и Максвелла.]]
Функция Бозе — Эйнштейна обладает следующими свойствами:
* безразмерна;
* определена только для энергий <math>\varepsilon</math> превышающих <math>\mu</math>;
* принимает вещественные значения в диапазоне от 0 до <math>+\infty</math>;
* убывает с энергией;
* убывание становится более резким при понижении температуры;
* при высоких температурах и/или низких концентрациях частиц переходит в [[статистика Максвелла — Больцмана|статистику Максвелла — Больцмана]];
* в пределе <math>kT \gg \varepsilon-\mu</math> переходит в [[распределение Рэлея]] <math>F = kT/(\varepsilon-\mu)</math>.

== Сравнение со статистикой Ферми — Дирака ==
Функция Бозе — Эйнштейна имеет сходство с [[Статистика Ферми — Дирака|функцией Ферми — Дирака]], применяемой для описания системы тождественных [[фермион]]ов — частиц с полуцелым спином, подчиняющихся [[принцип Паули|принципу Паули]] (одно [[квантовое состояние]] не может быть занято более чем одной частицей). 

Различие состоит в вычитании единицы в знаменателе, в то время как в формуле Ферми-Дирака на этом месте стоит знак плюс. В результате вид <math>F(\varepsilon, T)</math> для двух статистик при энергиях около и ниже химического потенциала существенно неодинаков. При высоких же энергиях <math>\varepsilon</math> обе статистики близки и совпадают с классической максвелловской статистикой <math>F = \exp[(\mu-\varepsilon)/kT]</math>.

== Математический и физический смысл ==
Функцией Бозе — Эйнштейна <math>F(\varepsilon, T)</math> задаются числа заполнения ({{lang-en|occupancy factor}}) квантовых состояний. Она нередко называется «распределением», но с точки зрения аппарата [[Теория вероятностей|теории вероятностей]] не является ни [[Функция распределения|функцией распределения]], ни [[Плотность распределения|плотностью распределения]]. Также она не может трактоваться как некая вероятность.  

Давая информацию о заполненности состояний, функция <math>F(\varepsilon, T)</math> ничего не говорит о наличии этих состояний. Для систем с дискретными энергиями набор их возможных значений задаётся перечнем <math>\varepsilon_1</math>, <math>\varepsilon_2</math> и т.д., а для систем с непрерывным спектром энергий состояния характеризуются «[[Плотность состояний|плотностью состояний]]» <math>\rho(\varepsilon)</math> (Дж<sup>-1</sup> или Дж<sup>-1</sup>м<sup>-3</sup>). 

== Применение статистики Бозе — Эйнштейна ==
Статистикам Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна подчиняются системы тождественных частиц, в которых нельзя пренебречь квантовыми эффектами. Квантовые эффекты проявляются при значениях [[Концентрация частиц|концентрации частиц]] <math>(N/V) \ge n_q</math>, где <math>n_q</math> — так называемая ''квантовая концентрация'', при которой среднее расстояние между частицами равно средней [[Волны де Бройля|волне де Бройля]] для [[Идеальный газ|идеального газа]] при заданной температуре. При концентрации <math>n_q</math> [[Волновая функция|волновые функции]] [[элементарная частица|частиц]] «касаются» друг друга, но практически не перекрываются. 

Условиями применения статистики Бозе — Эйнштейна являются слабость межчастичного взаимодействия в системе (случай [[Идеальный газ#Квантовый идеальный газ|идеального квантового газа]]) и температура ниже [[Температура вырождения|температуры вырождения]]. 

Статистика Бозе — Эйнштейна (так же как и [[статистика Ферми — Дирака]]) связана с квантовомеханическим принципом неразличимости тождественных частиц. Однако статистике Ферми — Дирака подчиняются [[фермион]]ы (частицы, для которых справедлив [[Принцип Паули|принцип запрета Паули]]), а статистике Бозе — Эйнштейна — [[бозон]]ы. Поскольку ''квантовая концентрация'' растёт с увеличением температуры, большинство физических систем при высоких температурах подчиняется классической [[Статистика Максвелла — Больцмана|статистике Максвелла — Больцмана]]. Исключениями являются системы с очень высокой плотностью, например, [[Белый карлик|белые карлики]]. 

Бозоны, в отличие от фермионов, не подчиняются принципу запрета Паули — произвольное количество частиц может одновременно находиться в одном состоянии. Из-за этого их поведение сильно отличается от поведения фермионов при низких температурах. В случае бозонов при понижении температуры все частицы будут собираться в одном состоянии, обладающем наименьшей энергией, формируя так называемый [[конденсат Бозе — Эйнштейна]].

== Вывод и описание ==
[[Гамильтониан (квантовая механика)|Гамильтониан]] системы невзаимодействующих частиц равен сумме гамильтонианов отдельных частиц. Собственные функции гамильтониана системы представляются как произведение собственных функций гамильтонианов отдельных частиц. А собственные значения гамильтониана (энергия) системы равны сумме энергий (собственных значений гамильтонианов) отдельных частиц. Если на данном энергетическом уровне <math>\varepsilon_i</math> находится <math>n_i</math> частиц, то энергия системы есть взвешенная сумма
<math>E=\sum^{\infty}_{i=0}n_i \varepsilon_i</math>, а волновая функция системы есть произведение

: <math>\psi(r)=\psi(r_1,r_2,...,r_n)=\psi_{i_1}(r_1)\psi_{i_2}(r_2)...\psi_{i_n}(r_n)</math>,

где <math>\psi_{i_k}</math> — волновая функция для энергетического уровня <math>\varepsilon_{i_k}</math>.

Общая формула вероятности состояния системы с данным энергетическим уровнем определяется следующим образом ([[большой канонический ансамбль]]):

: <math>W(E)=e^{\frac {\Omega+\mu n-E}{\Theta}}g(E),</math>

где <math>g(E)</math> — кратность вырождения данного уровня энергии.

Для описанной выше волновой функции перестановка координат меняет волновую функцию, то есть перестановка координат создает новое микросостояние. То есть выбор такой волновой функции предполагает микроскопическую различимость частиц. Однако макроскопически они соответствуют одному и тому же состоянию. Поэтому для такой волновой функции при характеристике макросостояний необходимо вышеуказанную формулу разделить на <math>n!</math> для исключения многократного учета одного и того же макросостояния в статистической сумме.

Однако, необходимо учесть, что, как известно, произвольная линейная комбинация волновых функций тоже является решением уравнения Шредингера. В силу тождественности частиц, то есть их микроскопической неразличимости, необходимо выбрать такую линейную комбинацию, чтобы перестановка координат не меняла волновую функцию, то есть

: <math>\psi=\sum_P P\psi,</math>

где <math>P</math> — операция перестановки координат частиц. Кроме того, по теореме Паули для бозонов волновые функции симметричны, то есть умножение на минус единицу координат также не меняет волновую функцию. Такие волновые функции описывают невырожденные состояния, поэтому <math>g(E)=1</math>. Кроме того, отпадает вышеуказанная необходимость деления на <math>n!</math>, поскольку для выбранной волновой функции перестановки не приводят к новым микросостояниям. Таким образом, окончательно можно выразить вероятность данного состояния следующим образом через числа заполнения <math>n_l</math>:

: <math>W(n_0, n_1,...)=e^{\frac {\Omega+\sum^{\infty}_{l=0}  n_i(\mu-\varepsilon_i)}{\Theta}}.</math>

Отсюда можно показать, что

: <math>\Omega=\Theta \sum^{\infty}_{i=0}\ln(1-e^{(\mu-\varepsilon_i)/\Theta}).</math>

Среднее число частиц в заданном состоянии можно выразить через эту величину как частную производную (с противоположным знаком) по <math>\mu_i</math> условно полагая, что <math>\mu</math> различаются для каждого <math>i</math>. Тогда для среднего числа частиц в заданном состоянии согласно статистике Бозе — Эйнштейна, получаем

: <math> \overline {n}_i = \frac{1}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/kT}-1}, </math>

где <math>\varepsilon_i > \mu</math>, <math>n_i</math> — количество частиц в состоянии <math>i</math>, <math>\varepsilon_i</math> — энергия состояния <math>i</math>.

== Вариации и обобщение ==
* Если в [[отрицательное биномиальное распределение|отрицательном биномиальном распределении]] параметр <math>r</math> — целое число, последнее распределение становится обобщенным распределением Бозе-Эйнштейна <ref name = "schopper">Schopper H. (Ed.) // [https://www.twirpx.org/file/3458790/ Electron - Positron Interactions] {{Wayback|url=https://www.twirpx.org/file/3458790/ |date=20210510182648 }}. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 1992. P. 133</ref>.
* Если в [[отрицательное биномиальное распределение|отрицательном биномиальном распределении]] параметр <math>r=1</math>, то отрицательное биномиальное распределение становится [[геометрическое распределение|геометрическим распределением]]. Последнее распределение является распределением Бозе-Эйнштейна для одного источника (a single source)<ref name = "schopper"/>.

== См. также ==
* [[Статистика Ферми — Дирака]]
* [[Статистика Максвелла — Больцмана]]
* [[Распределение Гиббса]]
* [[Конденсат Бозе — Эйнштейна]]

== Литература ==
* {{БСЭ3|Бозе — Эйнштейна статистика|3}}
* {{БРЭ|2=3|3=674|автор=А. Г. Башкиров|статья=Бозе — Эйнштейна статистика|ссылка=https://old.bigenc.ru/physics/text/1869559|архив=https://web.archive.org/web/20240615214446/https://old.bigenc.ru/physics/text/1869559|архив дата=2024-06-15}}
* {{Из КНЭ|1|431|Бозе-Эйнштейна распределение}}

==Ссылки==
{{Reflist}}

{{КНЭ}}



{{Библиоинформация}} {{^v}}
{{нет ссылок|дата=19 июня 2018}}

[[Категория:Объекты, названные в честь Альберта Эйнштейна]]
[[Категория:Квантовая теория поля]]
[[Категория:Статистическая физика]]
[[Категория:Именные законы и правила|Бозе — Эйнштейна]]
[[Категория:Статистика Бозе — Эйнштейна| ]]