Просмотр кода страницы Стоимость под риском

'''Стоимость под риском'''<ref>{{книга|автор=Халл, Д. К.|часть=Стоимость под риском|заглавие=Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты|издание=6|издательство=Издательский дом Вильямс|год=2008|страницы=597|страниц=1051|isbn=5845912059}}</ref> ({{lang-en|value at risk}}, ''VaR'') — стоимостная [[мера риска]]. Это выраженная в денежных единицах оценка величины, которую не превысят ожидаемые в течение данного периода времени потери с заданной [[вероятность]]ю.

VaR характеризуется тремя параметрами:
* '''Временной горизонт''', который зависит от рассматриваемой ситуации. По [[Базельский комитет по банковскому надзору|базельским документам]] — 10 дней, по методике [[RiskMetrics]] — 1 день. Чаще распространен расчет с временным горизонтом 1 день. 10 дней используется для расчета величины капитала, покрывающего возможные убытки.
* '''Доверительный уровень''' ({{lang-en2|confidence level}}) — уровень допустимого риска. По базельским документам используется величина 99 %, в системе RiskMetrics — 95 %.
* '''Базовая валюта''', в которой измеряется показатель.

VaR — это величина убытков, которая с вероятностью, равной уровню доверия (например, 99 %), не будет превышена. Следовательно, в 1 % случаев убыток составит величину, большую чем VaR.

Проще говоря, вычисление величины VaR проводится с целью заключения утверждения подобного типа: «Есть уверенность на X% (с вероятностью X/100), что потери не превысят Y долларов в течение следующих N дней». В данном предложении неизвестная величина Y является VaR.

== Общие свойства ==
VaR является относительно простой в интерпретации риск-метрикой, характеризующей в целом исследуемое распределение. Ей присущи два основных недостатка{{sfn|Gregory|2015}}{{rp|21-22}}:
* С помощью VaR невозможно оценить размер убытков вне доверительного уровня. Для этих целей применяется дополнительная метрика: ожидаемые потери ({{lang-en|Expected Shortfall}}).{{переход|Ожидаемые потери (Expected Shortfall)}}
* VaR в общем случае не является [[Когерентная риск-метрика|когерентной риск-метрикой]], поскольку не обладает свойством [[Полуаддитивность|полуаддитивности]]. Исключением является случай {{iw|Эллиптическое распределение|эллиптического распределения|en|Elliptical distribution}}<ref>{{книга|автор=McNeil A., Frey R., Embrechts P.|часть=Risk Measures for Linear Portfolios|заглавие=Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques and Tools|ссылка=https://archive.org/details/quantitativerisk0000mcne_i0g0/page/297|издательство=Princeton University Press|год=2015|серия=Princeton Series in Finance|pages=297|allpages=720|isbn=0691166277}}</ref><ref>{{публикация|статья|автор=Artzner P. et al.|заглавие=Coherent measures of risk|издание=Mathematical finance|год=1999|issue=9|volume=3|pages=203—228|язык=en|doi=10.1111/1467-9965.00068}}</ref>.

== Методы измерения ==
Способы оценки VaR:
* Исторический (непараметрический): распределение доходностей берётся из уже реализовавшегося временного ряда. То есть предполагается, что распределение доходностей в будущем будут аналогично историческому.{{переход|Непараметрические методы}}
* Параметрический: оценка выполняется в предположении, что известен вид распределения доходностей (чаще всего оно предполагается нормальным или логнормальным).{{переход|Параметрические методы}}
* [[Метод Монте-Карло]].{{переход|Метод Монте-Карло}}

=== Непараметрические методы ===
[[Файл:Returns histogram.svg|thumb|300px|Пример отсечения 5 % худших доходностей]]
Непараметрические подходы являются наименее ограничительными относительно принимаемых условий.

==== Исторический метод ====
Для выполнения исторической оценки достаточно проранжировать исторические значения доходностей от наибольшего к наименьшему. Первое значение, превышающее установленный доверительный уровень, и будет искомым значением VaR.

То есть для доверительного интервала <math>(1 - \alpha)</math> следует выбирать значение доходности с номером <math>(\alpha \times n) + 1</math>,

где:

* <math>n</math> — количество наблюдений доходности,
* <math>\alpha</math> — уровень значимости{{sfn|Dowd|2005}}{{rp|84-85}}.

==== Бутстрэппинг ====
[[Бутстрэп (статистика)|Бутстрэп]] — относительно простая методика, заключающаяся в перевыборке «с возвратом» из имеющейся популяции{{sfn|Dowd|2005}}{{rp|85-86}}.

==== Непараметрическая оценка плотности распределения ====
[[Файл:Surrogate density function.svg|thumb|200px|Пример построения непрерывной суррогатной функции плотности распределения методом интерполирования{{sfn|Dowd|2005}}{{rp|87}}]]
Недостаток исторического подхода — дискретность имеющихся наблюдений, что затрудняет оценку VaR для промежуточных значений. Непараметрическая оценка плотности распределения позволяет обойти это ограничение посредством ''интерполирования'' между имеющимися историческими значениями.

Одним из наиболее простых решений является интерполяция по медианным значениям между каждыми двумя соседними наблюдениями.

В результате интерполяции выполняется построение непрерывной суррогатной функции плотности распределения{{sfn|Dowd|2005}}{{rp|86-88}}.

==== Взвешенные исторические подходы ====
Взвешенные исторические подходы используются для обхода эффекта резкого отсечения значений за граничной точкой. Так, при невзвешенном подходе вес отсечённых значений принимается равным 0, а каждого из оставшихся — <math>n^{-1}</math>. Соответственно, рассчитываемое значение VaR будет искажено из-за чрезмерного значения весов оставшихся значений. Кроме того, невзвешенные подходы предполагают отсутствие зависимости наблюдений от внешних факторов и между собой, что не соответствует реальному рынку<ref>{{публикация|статья|автор=Shimko D., Humphreys B., Pant V.|заглавие=End-user's Guide Hysterical Simulation|издание=Risk|год=1998|том=11|pages=47—50|язык=en}}</ref>{{sfn|Dowd|2005}}{{rp|92-93}}.

===== Историческое моделирование, взвешенное по возрасту =====
Взвешивание по возрасту позволяет назначить более новым наблюдениям больший вес по сравнению с более старыми.

Один из методов — назначение весам параметра затухания <math>\lambda^i \in (0; 1)</math> со степенью <math>i</math>, прямо пропорциональной порядковому номеру наблюдения<ref>{{публикация|статья|автор=Boudoukh J., Richardson M., Whitelaw R.|заглавие=The best of both worlds|издание=Risk|год=1998|номер=5|том=11|pages=64—67|язык=en}}</ref>. То есть если принять вес наблюдения за предыдущий день, равный <math>w_1</math>, то веса наблюдений за предшествующие ему дни будут равны: <math>w_2 = \lambda w_1</math>, <math>w_3 = \lambda^2 w_1</math> и т. д. Параметр затухания <math>\lambda^i</math> позволяет задать экспоненциальную скорость затухания весов наблюдений; значения, близкие 1, соответствуют низкой скорости затухания, близкие 0 — высокой. При этом вес наблюдения за предыдущий день принимается равным:

: <math>w_i = \frac{\lambda^{i-1}(1-\lambda)}{1-\lambda^n}</math>,

где <math>n</math> — совокупное количество наблюдений.

Соответственно:

: <math>\sum_{i=1}^n w_i = 1</math>{{sfn|Dowd|2005}}{{rp|93}}.

===== Историческое моделирование, взвешенное по волатильности =====
Предложенное в 1998 году {{iw|Халл, Джон|Халлом|en|John C. Hull}} и {{iw|Уайт, Алан (экономист)|Уайтом|en|Alan White (economist)}} взвешивание по [[Волатильность|волатильности]] позволяет учесть эффект циклов пониженной и повышенной волатильности. Использование стабильных значений волатильности в периоды повышенной рыночной турбулентности приведёт к недооценке VaR. И наоборот, повышенная волатильность в расчётах в периоды стабильного рынка приведёт к завышению оценки VaR.

Корректировка по волатильности выполняется по прогнозным значениям, полученным моделями [[Авторегрессионная условная гетероскедастичность|GARCH]] или [[EWMA]]. Например, если прогноз выполняется для некоего будущего дня <math>T</math>, откалиброванное значение доходности получается следующим образом:

: <math>r^*_{t, i} = \frac{\sigma_{T, i}}{\sigma_{t, i}} r_{t, i}</math>,

где:
* <math>r_{t, i}</math> — доходность актива <math>i</math> за день <math>t</math>.
* <math>\sigma_{T, i}</math> — прогноз волатильности актива <math>i</math> за будущий день <math>T</math>.
* <math>\sigma_{t, i}</math> — волатильность актива <math>i</math> за день <math>t</math><ref>{{публикация|статья|автор=Hull J. C., White A.|заглавие=Incorporating volatility updating into the historical simulation method for value-at-risk|издание=Journal of risk|issue=1|volume=1|pages=5—19|язык=en}}</ref>{{sfn|Dowd|2005}}{{rp|94-95}}.

===== Историческое моделирование, взвешенное по корреляции =====
Взвешивание по корреляции позволяет выполнить калибровку на различия между текущими и историческими значениями корреляции между парами активов.

Подход подразумевает применение ковариационных матриц, скорректированных с учётом актуализированных значений волатильностей активов (диагональные элементы ковариационной матрицы)<ref>{{публикация|статья|автор=Duffie D., Pan J.|заглавие=An overview of value at risk|издание=Journal of derivatives|год=1997|issue=3|volume=4|pages=7—49|язык=en}}</ref>{{sfn|Dowd|2005}}{{rp|95-96}}.

===== Фильтрованное историческое моделирование =====
Фильтрованное историческое моделирование является наиболее продвинутым непараметрическим методом. Он сочетает в себе полу-параметрический бутстрэппинг с моделями условной волатильности (типа GARCH).

Метод чувствителен к рыночным показателям и может выдать результат вне диапазона исторических значений. Фильтрованное историческое моделирование относительно быстро отрабатывает даже для больших портфелей и обладает хорошей прогнозирующей способностью<ref>{{публикация|статья|автор=Barone‐Adesi G., Giannopoulos K.|заглавие=Non parametric var techniques. myths and realities|издание=Economic Note|год=2001|issue=2|volume=30|pages=167—181|язык=en}}</ref>.

Недостатком метода является недостаточный учёт экстремальных исторических значений<ref>{{публикация|статья|автор=Pritsker M.|заглавие=The hidden dangers of historical simulation|издание=Journal of Banking & Finance|год=2006|issue=2|volume=30|pages=561—582|язык=en}}</ref>{{sfn|Dowd|2005}}{{rp|96-98}}.

=== Параметрические методы ===

==== Параметрический метод для изолированного актива ====
В случае, если портфель состоит из одной позиции, значение VaR для нормального распределения принимается равным:

: <math>VaR_i  =  V_i (-\mu_i T +  z_{\alpha} \sigma_i \sqrt{T} ) </math>,

где:
* <math>V_i</math> — размер позиции,
* <math>\mu_i</math> — доходность позиции за единицу времени,
* <math>\sigma_i</math> — волатильность позиции в единицу времени,
* <math>T</math> — оцениваемый горизонт.

Соответственно, для логнормального распределения справедливо следующее соотношение{{sfn|Dowd|2005}}{{rp|161}}:

: <math>VaR_i  =  V_i (1 - e^{-\mu_i T +  z_{\alpha} \sigma_i \sqrt{T}}) </math>

==== Параметрический метод для многокомпонентного портфеля (вариационно-ковариационный) ====
Пусть имеется <math>n</math> активов, стоимость которых <math>V_i</math> может случайным образом изменяться. Темпы возможного прироста стоимости активов обозначим <math>r_i</math> и назовем их ''доходностями''. Обозначим <math>r=(r_1,r_2,...,r_n)</math> — вектор [[доходность|доходностей]] ([[Случайная величина|случайных величин]]) этих активов и <math>\Sigma=[\sigma_{ij}]</math> — [[ковариационная матрица|ковариационную матрицу]] (матрица [[ковариация|ковариаций]] <math>\sigma_{ij}</math>) доходностей. Все доходности вычисляются для выбранного периода.

Портфель активов характеризуется вектором структуры <math>d=(d_1,d_2,..., d_n)</math>, где <math>d_i=V_i/\sum^n_{j=1}V_j=V_i/V_p</math> — доля стоимости <math>i</math>-го актива в портфеле.

Тогда доходность портфеля выразится через доходности активов следующим образом:

: <math>r_p=d^Tr=\sum^n_{i=1}d_ir_i</math>

Тогда ожидаемая ([[математическое ожидание]]) доходность портфеля выражается через ожидаемые доходности активов следующим образом:

: <math>\mu_p=E(r_p)=d^TE(r)=\sum^n_{i=1}d_iE(r_i)=\sum^n_{i=1}d_i \mu_i</math>

а дисперсия портфеля будет равна

: <math>\sigma^2_p=V(r_p)=V(d^Tr)=d^T\Sigma d=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}\sigma_{ij}d_id_j</math>

Если предполагается нормальное распределение доходностей, то для заданной вероятности <math>\alpha</math> (например, 5 % или 1 %):

: <math>P(r_p< \mu_p -  z_{\alpha} \sigma_p)=\alpha</math>,

где <math>z_{\alpha}</math> — односторонняя <math>\alpha</math>-[[квантиль]] [[Нормальное распределение|стандартного нормального распределения]].

Следовательно, величина VaR оценивается как

: <math>VaR  =  V_p (-\mu_p T +  z_{\alpha} \sigma_p \sqrt{T}) </math>.

На практике истинное значение ковариаций, в том числе дисперсий «доходностей» неизвестны. Они оцениваются по выборочным данным за длительный период по соответствующим формулам. При этом предполагается [[стационарность]] «доходностей» активов.

==== VaR в теории экстремальных значений ====
Согласно {{iw|Теорема Фишера — Типпетта — Гнеденко|теореме Фишера — Типпетта — Гнеденко|en|Fisher–Tippett–Gnedenko theorem}} (1928), являющейся ключевой в {{iw|Теория экстремальных значений|теории экстремальных значений|en|Extreme value theory}} ({{lang-en|EVT}}), [[выборка]] экстремальных значений <math>M_n</math> размером <math>n</math> принимает вид {{iw|Обобщённое распределение экстремальных значений|обобщённого распределения экстремальных значений|en|Generalized extreme value distribution}} ({{lang-en|GEV}}):

: <math>F \left ( X |\xi, \mu, \sigma \right ) = \begin{cases}
e^{-\left ( 1 + \xi \times \frac{x - \mu}{\sigma} \right )^{- 1/\xi\,}} &, \xi \ne 0 \\
e^{-e^{\frac{x - \mu}{\sigma}}} &, \xi = 0 
\end{cases}</math>,

где:

* <math>\xi</math> — «хвостовой» индекс, определяющий форму распределения,
* <math>\mu</math> — параметр сдвига,
* <math>\sigma</math> — масштабирующий параметр.

При этом должно соблюдаться условие:

: <math>1 + \xi \times \frac{x - \mu}{\sigma} > 0</math>.

К распределению убытков выше некоторого установленного высокого порога применяется разновидность EVT под названием подхода превышений над порогом ({{lang-en|peaks-over-threshold}}; ''POT''). Распределение для порога со значением <math>u</math>, превышение которого не будет большим значения <math>x</math>, приобретает вид:

: <math>F_u(x) = P \left ( X - u \leqslant x | X > u \right ) = \frac{F(x + u) - F(u)}{1 - F(u)}</math>.

VaR и ES для подхода POT выражаются, соответственно, следующим образом:

: <math>VaR = u + \frac{\beta}{\xi} \left ( \frac{n}{N_u} \left (1 - \alpha \right )^{-\xi} - 1 \right ) </math>,
: <math>ES = \frac{VaR + \beta - \xi u}{1 - \xi}</math>,

где:
* <math>\beta</math> — масштабирующий параметр,
* <math>n</math> — количество наблюдений,
* <math>N_u</math> — количество превышений порога <math>u</math>,
* <math>\alpha</math> — уровень значимости VaR<ref>{{публикация|статья|автор=Embrechts P. ''et al.''|заглавие=Extreme value theory as a risk management tool|издание=North American Actuarial Journal|год=1999|issue=2|volume=3|pages=30—41|язык=en|doi=10.1080/10920277.1999.10595797}}</ref>{{sfn|Dowd|2005}}{{rp|189-203}}.

=== Метод Монте-Карло ===
В случае однофакторной модели изменение цены позиции описывается [[Геометрическое броуновское движение|геометрическим броуновским движением]]. Соответственно, генерируются значения дрифтов <math>\phi</math> ([[Винеровский процесс|винеровских процессов]]), определяемых нормальным распределением{{sfn|Dowd|2005}}{{rp|213-214}}:

: <math>\frac{\Delta S}{S} = \mu \Delta T + \phi \sigma \sqrt{\Delta T}</math>.

В случае же многофакторной модели матрица корреляций значений дрифтов разных позиций предварительно обрабатывается [[Разложение Холецкого|разложением Холецкого]] или другими, менее ограничительными, но более вычислительно затратными преобразованиями{{sfn|Dowd|2005}}{{rp|215-217}}.

Симуляции методом Монте-Карло широко применяются для прайсинга комплексных портфелей и нелинейных деривативов. Одной из основных препятствием в использовании метода являются высокие требования к вычислительным мощностям{{sfn|Dowd|2005}}{{rp|225}}.

== Ожидаемые потери (Expected Shortfall) ==
Одним из способов оценки портфельных рисков является оценка ожидаемых потерь ({{lang-en|Expected Shortfall}}, ''ES'') — взвешенное по вероятности математическое ожидание потерь в хвосте распределения за предельным значением VaR<ref>{{книга|автор=Jorion P.|часть=Tools for Measuring Risk|заглавие=Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk|издание=3|издательство=McGraw-Hill|год=2006|pages=91|allpages=596|isbn=9780071464956}}</ref>.

Если случайную величину возможных потерь обозначить <math>X</math>, то определение ES:

: <math>ES_{\alpha}=E(X|X>VaR_{\alpha})</math>

Таким образом, если <math>X \in L^p(\mathcal{F})</math> (где [[Lp (пространство)]]) — это потери портфеля в некотором будущем и <math>0 < \alpha < 1 </math>, тогда формула определения средних ожидаемых потерь:

: <math>ES_{\alpha}=\frac{1}{\alpha}\int_0^{\alpha} VaR_{\gamma}(X)d\gamma=\frac {1}{\alpha}\int^{-VaR_{\alpha}}_{- \infty} x p(x)dx</math>,

где <math>VaR_{\gamma}</math> — Value at Risk уровня <math>\gamma</math>, <math>p(x)</math> — плотность распределения потерь.

В отличие от базового VaR, такая мера позволяет уже не только выделить нетипичный уровень потерь, но и показывает, что, скорее всего, произойдет при их реализации. ES уровня <math>\alpha</math> определяет ожидаемый возврат по портфелю в <math>\alpha</math> худших случаях. CVaR оценивает значение (или риск) инвестиций консервативным образом, ориентируясь на менее прибыльные результаты. При больших значениях <math>\alpha</math> CVaR игнорирует самые прибыльные стратегии, у которых мала вероятность наступления, при малых значениях <math>\alpha</math> CVaR строится на самых плохих сценариях. Значение <math>q</math>, которое часто используется на практике, составляет <math>5\%</math>.

В случае нормального распределения ES будет равен:

: <math>ES_{\alpha}= \frac {1} {\alpha} \phi[\Phi^{-1}(\alpha)] \sigma_p</math>

где <math>\phi</math> — плотность, а <math>\Phi</math> — интегральная функция стандартного нормального распределения (<math>\Phi^{-1}(\alpha)</math> — это квантиль уровня <math>\alpha</math>).

== Маппинг VaR ==
[[Файл:Mapping Positions to Risk Factors.svg|420px|thumb|Пример маппинга (декомпозиции) по риск-факторам{{sfn|Jorion|2006}}{{rp|280}}]]
Суть маппинга VaR ({{lang-en|VaR mapping}}) сводится к замене позиций различных инструментов на соответствующие риск-факторы с дальнейшей их агрегацией{{sfn|Jorion|2006}}{{rp|278}}.

Риски портфеля могут быть разделены на два типа: [[Диверсификация|диверсифицируемый]] ({{lang-en|specific risk}}) и общий [[рыночный риск]] ({{lang-en|general market risk}}). Первый риск может быть снижен посредством использования более точных и вычислительно затратных моделей.

Если доходность инструментов в портфеле представлена в виде:

: <math>r_i = \alpha + \beta_i r_m + \epsilon_i</math>,

то [[Дисперсия случайной величины|дисперсия]] портфеля с <math>n</math> активов выражается следующим образом:

: <math>\sigma^2_p = \beta_p^2 \sigma^2_m + \sum_{i=1}^n \omega_i^2 \sigma_{\epsilon, i}^2</math>,

где первый член соответствует рыночному риску, второй — диверсифицируемому, связанному со специфическими риск-факторами{{sfn|Jorion|2006}}{{rp|281-282}}.

=== Инструменты с фиксированной доходностью ===
Следующим этапом после выбора специфических риск-факторов является маппинг VaR на эти факторы.

Для портфелей с фиксированной доходностью применяется один из трёх методов:
* '''маппинг по номинальной стоимости''' ({{lang-en|principal mapping}}) — самый простой метод: VaR рассчитывается для [[Дисконтная облигация|бескупонной облигации]], срок погашения которой совпадает со средним сроком обращения исследуемого портфеля. Использование метода приводит к завышенной оценке VaR ввиду игнорирования пересекающихся купонных платежей{{sfn|Jorion|2006}}{{rp|284}}.
* '''маппинг по дюрации''' ({{lang-en|duration mapping}}) — маппинг на бескупонную облигацию с [[Дюрация|дюрацией]], равной дюрации портфеля.
* '''маппинг по денежным потокам''' ({{lang-en|cash-flow mapping}}) — самый сложный метод: денежные потоки группируются по корзинам с различными сроками обращения ({{lang-en|maturity buckets}}){{sfn|Jorion|2006}}{{rp|283}}.

В последнем случае каждый поток приводится по [[Дисконтированная стоимость|дисконтированной стоимости]] по ставке [[Кривая доходности|кривой бескупонной доходности]]. Если соответствующие бескупонные облигации полностью скоррелированы между собой, то недиверсифицированная VaR представляется в виде:

: <math>VaR_p = \sum_{i=1}^n \left | x_i \right \vert VaR_i</math>,

где:
* <math>x_i</math> — дисконтированные значения потоков,
* <math>VaR_i</math> — индивидуальные значения VaR потоков (в %).

Если же бескупонные облигации не идеально скоррелированы, возникает эффект диверсификации, и VaR представляется в виде:

: <math>VaR_p = \alpha \sqrt{x' \Sigma x} =  \sqrt{(x \times V)'R(x \times V)}</math>,

где:
* <math>V = \alpha \sigma</math> — вектор значений VaR бескупонных облигаций,
* <math>R</math> — матрица корреляций{{sfn|Jorion|2006}}{{rp|284-285}}.

=== Форварды ===
[[Форвард (контракт)|Форварды]] являются простейшими линейными деривативами, которые могут быть представлены синтетическим портфелем из базовых риск-факторов. Например, длинный годовой контракт на покупку в будущем [[евро]] за [[Доллар США|доллары США]] аналогичен портфелю из трёх следующих позиций:
# Короткая позиция в [[Ценные бумаги Казначейства США|казначейских векселях]],
# Длинная позиция в годовых евровекселях,
# Длинная позиция в евро.

Для оценки VaR такого валютного форварда следует использовать значения индивидуальных VaR вышеуказанных позиций с последующим применением матрицы корреляций между ними{{sfn|Jorion|2006}}{{rp|289-292}}.

=== FRA ===
Суть декомпозиции [[Соглашение о будущей процентной ставке|FRA]] также сводится в представлении контракта в виде синтетического портфеля с дальнейшей оценкой компонентных VaR ({{lang-en|component VaR}}) базовых позиций. Например, длинный 6 x 12 FRA представим в виде портфеля из длинных 6-месячных казначейских облигаций и коротких 12-месячных казначейских облигаций{{sfn|Jorion|2006}}{{rp|294-295}}.

=== Процентные свопы ===
[[Процентный своп|Процентные свопы]] могут быть декомпозированы в соответствии с фиксированной и плавающей ногой, соответственно, на облигации с фиксированным и плавающим купоном{{sfn|Jorion|2006}}{{rp|296}}.

=== Опционы ===
Дельта-нормальный подход, описанный выше, предполагает линейную зависимость дериватива от базового актива. Этот метод может ограниченно применяться и для [[опцион]]ов, которые являются нелинейными инструментами. Так, следуя [[Модель Блэка — Шоулза|модели Блэка — Шоулза]], внутренняя стоимость европейского колл-опциона определяется соотношением:

: <math> c = SN(d_1) - Xe^{-rT}N(d_2)</math>,

где:

: <math> d_1 = \frac{\ln(\frac{S}{X}) + (r + \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}</math>,
: <math> d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}</math>.
Соответственно, внутренняя стоимость, продифференцированная по частным производным:

: <math> dc = \Delta dS + \frac{1}{2}\Gamma dS^2 + \dots</math>,

где:

: <math>\Delta = e^{-rT}N(d_1)</math>.

Дельта опцинов в целом не является постоянной величиной и монотонно возрастает в зависимости от спот-цены базового актива. Кроме того, для краткосрочных опционов эта зависимость проявляет значительный нелинейный характер. Соответственно, в контексте опционов дельта-нормальный подход применим только для долгосрочных договоров на коротких горизонтах, например, 1 день{{sfn|Jorion|2006}}{{rp|298-300}}.

== VaR в оценке риска ликвидности ==
[[Ликвидность]] на финансовых рынках подразделяется на (i) ''экзогенную'', определяющуюся бид — аск [[Спред (финансы)|спредом]], и (ii) ''эндогенную'', когда [[риск ликвидности]] в сделке определяется самой сделкой (то есть сделка настолько крупная, что двигает цены для всего своего рынка).

В предположении экзогенной ликвидности и постоянного спреда поправка VaR на риск ликвидности определяется соотношением:

: <math>LVaR = VaR + LC = V \left ( 1 - e^{\mu - z \sigma } + \frac{ask - bid}{ask + bid} \right )</math>,

где:

* <math>LC</math> — стоимость ликвидности,
* <math>V</math> — размер позиции,
* <math>ask</math> — цена продажи,
* <math>bid</math> — цена покупки.

В случае же эндогенной ликвидности вводится значение [[Эластичность спроса|эластичности спроса]] <math>\eta</math>:

: <math>\eta = \dfrac{\Delta P / P}{\Delta N / N} < 0; \Delta N / N > 0</math>,

где:

* <math>N</math> — размер рынка,
* <math>P</math> — рыночная цена.

Соответственно:

: <math>LVaR = VaR \left (1 - \frac{\Delta P}{P}  \right ) = VaR \left (1 - \eta \frac{\Delta N}{N}  \right )</math>.

Подходы для экзогенной и эндогенной ликвидности могут быть объединены{{sfn|Dowd|2005}}{{rp|309-315}}:

: <math>\frac{LVaR}{VaR} \Bigg|_{combined} = \frac{LVaR}{VaR} \Bigg|_{exogenous} \times \frac{LVaR}{VaR} \Bigg|_{endogenous}</math>.

== Ретроспективное тестирование ==
Ретроспективное тестирование (бэктестинг; {{lang-en|Backtesting}}) заключается в сравнении значений убытков, предсказанных моделью VaR, с реальными данными. Количество реальных убытков не должно превышать значение уровня значимости <math>\alpha</math>; например, для доверительного уровня 90 % количество исключений не должно быть больше 10{{sfn|Jorion|2006}}{{rp|139-142}}.

Бэктестинг используется для верификации моделей VaR и проводится по [[Схема Бернулли|схеме Бернулли]]:

: <math>z = \frac{x-pT}{\sqrt{p(1-p)T}}</math>,

где:

* <math>z</math> — z-оценка,
* <math>x</math> — количество исключений,
* <math>p</math> — уровень значимости,
* <math>T</math> — временной интервал.

Полученная z-оценка сравнивается с критическим значением <math>N</math>, соответствующим выбранному одностороннему доверительному уровню <math>(1-p)</math> нормального распределения. В случае если <math>z > N</math>, следует отвергнуть нулевую гипотезу о [[Несмещённая оценка|несмещённости]] VaR и провести калибровку модели (количество исключений превышает допустимый уровень){{sfn|Jorion|2006}}{{rp|143-144}}.

{{Hider|	 
title = Пример бэктестинга по схеме Бернулли|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
Например, требуется рассчитать максимально допустимое количество исключений для 10-дневной модели 99% VaR на горизонте 10 лет с точностью 95% при условии 250 торговых дней в году.

В таком случае z-оценка определяется квантилем для односторонней критической области нормального распределения с вероятностью 95%. Соответствующий квантиль равен приблизительно 1,96.

Таким образом:

: <math>\frac{x-pT}{\sqrt{p(1-p)T}} \leqslant z (\approx 1,96) \Rightarrow</math>

: <math>\frac{x-0,01 * 2500}{\sqrt{0,01(1-0,01)*2500}} \leqslant 1,96 \Rightarrow</math>

: <math>x \lesssim 34,75</math>.

То есть количество исключений для указанных вводных данных не должно превышать 34.

}}

При выборе допустимого количества исключений следует руководствоваться компромиссом между [[Ошибки первого и второго рода|ошибками первого и второго рода]] — то есть модель должна характеризоваться как ''низким'' количеством ошибок первого рода (неверное отвержение верной нулевой гипотезы), так и ''очень низким'' количеством ошибок второго рода (неверное принятие неверной нулевой гипотезы){{sfn|Jorion|2006}}{{rp|146}}.

=== Безусловная валидация ===
В случае, если не учитывается взаимная зависимость исключений или их временны́е характеристики, такая валидация модели VaR обозначается как безусловная ({{lang-en|Unconditional coverage}}).

[[Тест отношения правдоподобия]] (LR) выполняется следующим образом:

: <math>LR_{uc} = 2 ln \left ( \left (1- \frac {n}{N} \right )^{N-n} \left ( \frac {n}{N} \right )^n \right) -2 ln \left (p^n \left (1-p \right )^{N-n} \right ) = 2 ln \left (  \left (\frac{1- n/N\,}{1-p} \right )^{N-n} \left ( \frac {n/N\,}{p} \right)^n \right )</math>,

где:

* <math>n</math> — количество исключений,
* <math>N</math> — размер выборки,
* <math>p</math> — уровень вероятности.

Для уровня достоверности 95 % должно выполняться условие <math>LR_{uc} < 3,841</math>, в противном случае гипотеза о точности модели должна быть отвергнута<ref>{{публикация|статья|автор=Kupiec P. H.|заглавие=Techniques for Verifying the Accuracy of Risk Measurement Models|издание=The Journal of Derivatives|год=1995|месяц=1|issue=2|volume=3|pages=73—84|язык=en|doi=10.3905/jod.1995.407942}}</ref>{{sfn|Jorion|2006}}{{rp|146-147}}.

=== Условная валидация ===
Условная валидация дополняет безусловную предположением о переменной временно́й характеристике исследуемых данных и складывается из двух компонент:

: <math>LR_{cc} = LR_{uc} + LR_{ind}</math>,

где <math>LR_{ind}</math> — LR-тест на последовательную независимость исключительных событий{{sfn|Dowd|2005}}{{rp|329}}.

<math>LR_{uc}</math> и <math>LR_{ind}</math> представлены независимыми распределениями <math>\chi^2(1)</math>, а их сумма, соответственно, распределением <math>\chi^2(2)</math>. Соответственно, при уровне достоверности 95 % модель следует отклонить при значении <math>LR_{cc} > 5,99</math>{{sfn|Jorion|2006}}{{rp|152}}.

== Регуляторные требования ==

=== Базель I 1996a ===
В 1996 году Базельский комитет принял поправку к соглашению Базель I от 1988 года. В соответствии с ней в зависимости от количества исключений в однодневной модели VaR 99 % при ретроспективном тестировании по 250 прошедшим торговым дням к регуляторному капиталу следует применять тот или иной повышающий (штрафной) коэффициент — множитель.

Были установлены следующие зоны{{sfn|Jorion|2006}}{{rp|148}}:

{| class="wikitable"
|-
! Зона !! Количество<br>исключений !! Множитель
|-
| style="background:honeydew;" | Зелёная || style="background:honeydew;" | 0-4 || style="background:honeydew;" | 3,00
|-
| style="background:ivory;" rowspan="5" | Жёлтая || style="background:ivory;"| 5 || style="background:ivory;"| 3,40
|-
| style="background:ivory;"| 6 || style="background:ivory;"| 3,50
|-
| style="background:ivory;"| 7 || style="background:ivory;"| 3,65
|-
| style="background:ivory;"| 8 || style="background:ivory;"| 3,75
|-
| style="background:ivory;"| 9 || style="background:ivory;"| 3,85
|-
| style="background:seashell;"| Красная || style="background:seashell;" | >10 || style="background:seashell;" | 4,00
|}

В жёлтой зоне размер повышающего коэффициента устанавливается по усмотрению контролирующего органа в зависимости от причин исключения. К ним относятся:
* недостаточная базовая целостность модели,
* недостаточная точность модели,
* внутридневная торговля,
* невезение.

Первые две категории подразумевают обязательное применение штрафа, для третьей категории оно должно быть принято во внимание, для четвёртой наложение штрафных санкций не предполагается<ref>{{cw|url=https://www.bis.org/publ/bcbs22.pdf|title=Supervisory framework for the use of 'backtesting' in conjunction with the internal models approach to market risk capital requirements|publisher=[[Банк международных расчётов|Bank for International Settlements]]|lang=en|accessdate=2019-12-12|archive-date=2020-11-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20201104070515/https://www.bis.org/publ/bcbs22.pdf|deadlink=no}}</ref>{{sfn|Jorion|2006}}{{rp|149}}{{sfn|Hull|2018}}{{rp|358-359}}.

Согласно той же поправке, VaR для рыночного риска следовало рассчитывать для 10-дневного горизонта на уровне 99 % в соответствии с соотношением:

: <math>VaR_{MR} = max \left ( VaR_{t-1}, m_c \times VaR_{avg} \right ) + SRC</math>,

где:
* <math>VaR_{t-1}</math> — значение VaR для предыдущего дня,
* <math>VaR_{avg}</math> — мат. ожидание VaR за предыдущие 60 дней,
* <math>m_c</math> — множитель (<math>\geqslant 3</math>),
* <math>SRC</math> — надбавка за специфический риск ({{lang-en|Specific risk charge}}){{sfn|Hull|2018}}{{rp|357}}.

=== Базель II ===
В июне 1999 года было введено соглашение Базель II. Помимо прочего оно вводило продвинутый подход на основе внутренних рейтингов ({{lang-en|Advanced IRB Approach}}) для расчёта капитала на покрытие кредитного риска. По нему необходимо рассчитывать VaR 99,9 % на горизонте 1 года с применением однофакторной гауссовой [[Копула|копулы]]{{sfn|Hull|2018}}{{rp|360; 363-364}}.

=== Базель II.5 ===
Поправка к соглашению Базель II, введённая в действие в январе 2012 года, определяла требования к стресс-тестированию модели VaR:

: <math>VaR_{ST} = max \left ( VaR_{t-1}, m_c \times VaR_{avg} \right ) +  max \left ( sVaR_{t-1}, m_s \times sVaR_{avg} \right )</math>.

Новое требование привело к увеличению требований к уровню капитала на покрытие рыночного риска как минимум вдвое{{sfn|Hull|2018}}{{rp|378-379}}.

== VaR в портфельной оптимизации ==
При решении задачи [[Портфельная теория Марковица|построения оптимального портфеля]] часто используются различные меры рисков, такие как дисперсия, VaR, CVaR, DaR, CDaR. Существуют различные постановки задач оптимизации, где меры рисков используются как при построении целевых функций, так и для определения множества допустимых решений (ограничения)<ref>{{публикация|1=статья|автор=Lim C., Sherali H. D., Uryasev S.|заглавие=Portfolio optimization by minimizing conditional value-at-risk via nondifferentiable optimization|издание=Computational Optimization and Applications|год=2010|ссылка=https://www.ise.ufl.edu/uryasev/files/2011/11/portfolio_optimization_by_minimizing_conditional_value-at-risk.pdf|issue=3|volume=46|pages=391—415|doi=10.1007/s10589-008-9196-3|язык=en|архив дата=2020-02-21|архив=https://web.archive.org/web/20200221113606/https://www.ise.ufl.edu/uryasev/files/2011/11/portfolio_optimization_by_minimizing_conditional_value-at-risk.pdf}}</ref>. Для решения подобных задач на практике используются специализированные пакеты численной оптимизации, например, [[PSG]].

Для оценки компонентов портфелей, состоящих из различных активов, применяется '''маржинальная VaR''' (''MVaR''). Она выражается в чувствительности портфельной VaR к размеру <math>P_i</math> i-й компоненты портфеля{{sfn|Hull|2018}}{{rp|283}}:

: <math>MVaR_i = \frac{\partial VaR}{\partial P_i}</math>.

В свою очередь, '''инкрементальная VaR''' (''IVaR'') соответствует абсолютному значению изменения портфельной VaR при добавлении в портфель i-й компоненты{{sfn|Hull|2018}}{{rp|283}}:

: <math>IVaR_i = VaR_{P+i} - VaR_P</math>.

Также используется такое понятие, как '''компонентная VaR''' (''CVaR'') — альтернатива инкрементной VaR, выражающаяся в количестве риска, привносимого каждой отдельной компонентой. Для хорошо диверсифицированного портфеля CVaR выражается через MVaR{{sfn|Hull|2018}}{{rp|283-284}}:

: <math>CVaR_i = \frac{\partial VaR}{\partial P_i} P_i = MVaR_i \times P_i</math>.

== VaR в управлении рисками ==
Филипп Джорион писал<ref>{{публикация|1=статья|автор=Jorion P.|заглавие=In defense of VaR|издание=Derivatives Strategy|год=1997|номер=4|ссылка=https://merage.uci.edu/~jorion/oc/ntalib2.html|volume=2|pages=20–23|язык=en|архив дата=2021-11-25|архив=https://web.archive.org/web/20211125105220/https://merage.uci.edu/~jorion/oc/ntalib2.html}}</ref>:

{{начало цитаты}}
Наибольшая польза VAR заключается в наложении структурированной методологии для критического мышления о риске. Учреждения, которые проходят через процесс вычисления VAR, вынуждены встать перед фактом их подверженности финансовым рискам и создать надлежащие функции управления риском. Таким образом, процесс получения VAR может быть столь же важен, как и само число VAR.
{{oq|en|<…> the greatest benefit of VAR lies in the imposition of a structured methodology for critically thinking about risk. Institutions that go through the process of computing their VAR are forced to confront their exposure to financial risks and to set up a proper risk management function. Thus the process of getting to VAR may be as important as the number itself.}}
{{конец цитаты}}

Использование некорректной модели VaR стало в конце XX века одной из причин краха крупнейшего хедж-фонда [[Long-Term Capital Management|LTCM]]<ref>{{книга|автор=Crouhy M., Galai D., Mark R.|заглавие=The Essentials of Risk Management|ссылка=https://archive.org/details/essentialsofrisk0000crou_n6p4/page/551|издательство=McGraw-Hill|год=2014|pages=551|isbn=0071818510}}</ref>.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Allen L., Boudoukh J., Saunders A.|заглавие=Understanding Market, Credit, and Operational Risk: The Value at Risk Approach|ссылка=https://archive.org/details/understandingmar0000alle|издание=1|издательство=Wiley-Blackwell|год=2004|allpages=284|isbn=0631227091|язык=en|ref=Allen et al.}}
* {{книга|автор=Dowd K.|заглавие=Measuring Market Risk|издание=2|издательство=John Wiley & Sons Ltd|год=2005|allpages=390|isbn=9780470013038|язык=en|ref=Dowd}}
* {{книга|автор=Gregory J.|заглавие=The xVA Challenge: Counterparty Credit Risk, Funding, Collateral and Capital|издательство=John Wiley & Sons|год=2015|серия=The Wiley Finance Series|allpages=496|isbn=1119109418|язык=en|ref=Gregory}}
* {{книга|автор=Hull J. C.|заглавие=Risk Management and Financial Institutions|издательство=Wiley|год=2018|серия=Wiley Finance|allpages=800|isbn=1119448115|язык=en|ref=Hull}}
* {{книга|автор=Jorion P.|часть=VAR mapping|заглавие=Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk|издательство=McGraw-Hill|год=2006|allpages=602|isbn=9780071464956|язык=en|ref=Jorion}}

{{Рынок ценных бумаг}}
{{Финансовый риск}}

[[Категория:Кредитный риск]]
[[Категория:Портфельные инвестиции]]
[[Категория:Актуарные расчёты]]
[[Категория:Рыночный риск]]