Просмотр кода страницы Структурная теорема для конечнопорождённых модулей над областями главных идеалов

'''Структурная теорема для конечнопорождённых модулей над областями главных идеалов''' является обобщением теоремы о [[конечнопорождённая абелева группа|классификации конечнопорождённых абелевых групп]]. Эта теорема предоставляет общий способ понимания некоторых результатов о канонических формах матриц.

== Теорема ==
Если векторное пространство над полем ''k'' имеет конечное порождающее множество, из него всегда можно выбрать [[базис (математика)|базис]], так что векторное пространство будет изоморфно ''k<sup>n</sup>''. Для [[конечнопорождённый модуль|конечнопорождённых модулей]] это уже неверно (контрпример — <math>\mathbb Z_2</math>, который порождается одним элементом как '''Z'''-модуль), однако такой модуль можно представить как фактормодуль вида ''R<sup>n</sup>/A'' (чтобы увидеть это, достаточно отобразить базис ''R<sup>n</sup>'' в порождающее множество и воспользоваться [[теоремы об изоморфизме#Модули, абелевы группы и линейные пространства|теоремой о гомоморфизме]]). Изменяя выбор базиса в ''R<sup>n</sup>'' и порождающего множества в модуле, можно привести этот фактор к простому виду, и это даёт структурную теорему.

Формулировка структурной теоремы обычно приводится в двух различных видах.

=== Разложение на инвариантные факторы ===
Каждый конечнопорождённый модуль ''M'' над [[область главных идеалов|областью главных идеалов]] ''R'' изоморфен единственному модулю вида
: <math>\bigoplus_i R/(d_i) = R/(d_1)\oplus R/(d_2)\oplus\cdots\oplus R/(d_n),</math>
где <math>(d_i) \neq R</math> и <math>d_i \vert d_{i+1}</math> (то есть <math>d_{i+1}</math> делится на <math>d_i</math>). Порядок ненулевых <math>(d_i)</math> определён однозначно, как и число <math>(d_i)=0</math>.

Таким образом, для указания конечнопорождённого модуля ''M'' достаточно указать ненулевые <math>(d_i)</math> (удовлетворяющие двум условиям) и число равных нулю <math>(d_i)</math>. Элементы <math>d_i</math> определены однозначно с точностью до умножения на обратимые элементы кольца и называются инвариантными факторами.

=== Разложение на примарные факторы ===
Каждый конечнопорождённый модуль ''M'' над [[область главных идеалов|областью главных идеалов]] ''R'' изоморфен единственному модулю вида
: <math>\bigoplus_i R/(q_i),</math>
где <math>(q_i) \neq R</math> и все <math>(q_i)</math> — [[примарный идеал|примарные идеалы]]. При этом сами <math>q_i</math> определены однозначно (с точностью до умножения на обратимые элементы).

В случае, когда кольцо ''R'' является [[евклидово кольцо|евклидовым]], все примарные идеалы — это степени [[простой идеал|простых]], то есть <math>(q_i)=(p_i^{r_i})</math>.

=== Набросок доказательства для евклидовых колец ===
Многие области главных идеалов являются также [[евклидово кольцо|евклидовыми кольцами]]. К тому же, доказательство для евклидовых колец несколько проще; здесь приводятся его основные шаги.

''Лемма.'' Пусть ''A'' — евклидово кольцо, ''M'' — [[свободный модуль|свободный]] ''A''-модуль, а ''N'' — его подмодуль. Тогда ''N'' также свободен, его [[свободный модуль|ранг]] не превосходит ранга ''M'', причём существует такой базис {e<sub>1</sub>, e<sub>2</sub>, … e<sub>m</sub>} модуля ''M'' и такие ненулевые элементы {u<sub>1</sub>, … u<sub>k</sub>} кольца ''A'', что {u<sub>1</sub>e<sub>1</sub>, … u<sub>k</sub>e<sub>k</sub>} — базис ''N'' и u<sub>i+1</sub> делится на u<sub>i</sub>.
: Доказательство того, что ''N'' свободен, проводится индукцией по ''m''. База ''m'' = 0 очевидна, докажем шаг индукции. Пусть ''M''<sub>1</sub> порождён элементами {e<sub>1</sub>, … e<sub>m-1</sub>}, ''N''<sub>1</sub> — пересечение ''M''<sub>1</sub> и ''N'' — по предположению индукции свободен. Последние координаты элементов ''N'' в базисе {e<sub>1</sub>, … e<sub>m</sub>} образуют подмодуль кольца ''A'' (то есть идеал), ''A'' — кольцо главных идеалов, поэтому этот идеал порождён одним элементом; если идеал нулевой — ''N'' совпадает с ''N''<sub>1</sub>, если же он порождён элементом ''k'', достаточно добавить в базис ''N''<sub>1</sub> один вектор, последняя координата которого равна ''k''.
: Теперь мы можем написать матрицу с элементами из ''A'', соответствующую вложению ''N'' в ''M'': в столбцах матрицы запишем координаты базисных бекторов ''N'' в некотором базисе ''M''. Опишем алгоритм приведения этой матрицы к диагональному виду [[элементарные преобразования матрицы|элементарными преобразованиями]]. Меняя местами строки и столбцы, переместим в верхний левый угол ненулевой элемент ''a'' с наименьшей [[евклидово кольцо|нормой]]. Если все элементы матрицы на него делятся — вычитаем первую строку из остальных с таким коэффициентом, чтобы все элементы первого столбца (кроме первого элемента) стали нулевыми; затем аналогичным образом вычитаем первый столбец и переходим к преобразованиям оставшегося в правом нижнем углу квадрата, размерность которого на единицу меньше. Если же есть элемент ''b'', не делящийся на ''a'' — мы можем уменьшить минимум нормы по ненулевым элементам матрицы, применив к паре (''a'', ''b'') алгоритм Евклида (элементарные преобразования позволяют это сделать). Поскольку норма — натуральное число, мы рано или поздно придём к ситуации, когда все элементы матрицы делятся на ''a''. По окончании работы этого алгоритма базисы ''M'' и ''N'' удовлетворяют всем условиям леммы.

''Окончание доказательства.'' Рассмотрим конечнопорождённый модуль ''T'' с системой порождающих {e<sub>1</sub>, … e<sub>m</sub>}. Существует гомоморфизм из свободного модуля <math>A^m</math> в этот модуль, отображающий базис <math> A^m</math> в систему порождающих. Применив к этому отображению [[теоремы об изоморфизме|теорему о гомоморфизме]], получим, что ''T'' изоморфен фактору <math>A^m / \text{ker}f</math>. Приведём базисы <math>A^m</math> и <math>\text{ker}f</math> к виду базисов в лемме. Легко видеть, что
: <math> A^m / (u_1e_1, u_2e_2, \ldots u_ke_k) \cong  A/(u_1) \oplus \ldots \oplus  A/(u_k) \oplus A^{n-k}</math>

Каждое конечное слагаемое здесь можно разложить в произведение примарных, так как кольцо ''A'' факториально (см. статью [[Китайская теорема об остатках#Вариации и обобщения|Китайская теорема об остатках]]). Чтобы доказать единственность этого разложения, нужно рассмотреть [[подмодуль кручения]] (тогда размерность свободной части описывается в инвариантных терминах как размерность фактора по кручению), а также подмодуль ''p''-кручения для каждого простого элемента ''p'' кольца ''A''. Число слагаемых вида <math>A/(p^n)</math> (для всех ''n'') инвариантно описывается как размерность подмодуля элементов, аннулируемых умножением на ''p'', как векторного пространства над полем <math>A/(p)</math>.

== Следствия ==
Случай <math>R=\mathbb{Z}</math> даёт [[конечнопорождённая абелева группа|классификацию конечнопорождённых абелевых групп]].

Пусть ''T'' — линейный оператор на конечномерном векторном пространстве ''V'' над полем ''K''. ''V'' можно рассматривать как модуль над <math>K[T]</math> (действительно, его элементы можно умножать на скаляры и на ''T''), из конечномерности следует конечнопорождённость и отсутствие свободной части. Последний инвариантный фактор — [[минимальный многочлен матрицы|минимальный многочлен]], а произведение всех инвариантных факторов — [[характеристический многочлен матрицы|характеристический многочлен]]. Выбрав стандартную форму матрицы оператора ''T'', действующего на пространстве <math>K[T]/p(T)</math>, получаем следующие формы матрицы ''T'' на пространстве ''V'':
* инвариантные факторы + [[сопровождающая матрица]] даёт [[фробениусова нормальная форма|фробениусову нормальную форму]]
* примарные факторы + [[жорданова матрица|жорданова клетка]] даёт [[жорданова нормальная форма|жорданову нормальную форму]] (в случае, когда поле ''K'' [[алгебраически замкнутое поле|алгебраически замкнуто]]).

== См. также ==
* [[Нормальная форма Смита]]

== Примечания ==
* ''Бурбаки Н.'' Алгебра. Часть 3. Модули, кольца, формы. — М.: Наука, 1966. Глава VII.
* ''Винберг Э. Б.'', Курс алгебры. — М.: Изд-во´Факториал Пресс, 2001.
* ''P. Aluffi.'' Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-82184-781-3.
* {{Citation | last=Hungerford | first1=Thomas W. | title=Algebra | publisher=Springer | location=New York | isbn=978-0-387-90518-1 | year=1980 | pages=218–226, Section IV.6: Modules over a Principal Ideal Domain }}

[[Категория:Модули над кольцами]]