Просмотр кода страницы Сферическая геометрия

[[Файл:Spherical geometry (1392885057).jpg|thumb|250px|right|Сферическая геометрия]]
[[Файл:RechtwKugeldreieck.svg|thumb|250px|right|Сферический треугольник]]

'''Сферическая геометрия''' — [[геометрия]] на [[Сфера|сфере]]{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.2. Точки, большие окружности, малые окружности, с. 518}}. Раздел математики, изучающий [[Геометрический образ|геометрические образы]] на сфере в [[Трёхмерное пространство|трёхмерном пространстве]], аналогично тому как [[планиметрия]] изучает их на [[Двумерное пространство|двумерном пространстве]] [[Плоскость|плоскости]]{{sfn|''Битюцков В. И.'' Сферическая геометрия, 1985|loc=стб. 290}}{{sfn|''Сферическая геометрия'', 1976|loc=с. 116}}{{sfn|''Битюцков В. И.'' Сферическая геометрия, 1988}}.

Основные понятия этих геометрий{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.1. Происхождение сферической геометрии, с. 519}}:
* плоской — [[Точка (геометрия)|точка]] плоскости, [[прямая]] на плоскости и [[Движение (математика)|движение]] плоскости;
* сферической — точка сферы, [[большая окружность]] и движение сферы.

'''''Предмет сферической геометрии''''' — изучение таких [[Свойство|свойств]] [[Геометрическая фигура|фигур]], которые не изменяются при произвольных движениях сферы{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.4. Предмет сферической геометрии, с. 524}}.

Предмет сферической геометрии — это частный случай предмета [[Геометрия|геометрии]] вообще{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.4. Предмет сферической геометрии, с. 524}}.

'''''Предмет геометрии''''' — изучение таких свойств фигур, которые не изменяются при произвольных движениях фигуры{{sfn|''Яглом И. М., Атанасян Л. С.'' Геометрические преобразования, 1963|loc=6.1. Предмет геометрии, с. 99}}.

Сферическая геометрия возникла в древности в связи с потребностями [[астрономия|астрономии]] и развилась в связи с потребностями астрономии, [[География|географии]] и [[Мореплавание|мореплавания]]{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.1. Происхождение сферической геометрии, с. 518—519}}.

== Основные понятия сферической геометрии ==
=== Происхождение сферической геометрии ===
Разные разделы геометрии имеют разное происхождение{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.1. Происхождение сферической геометрии, с. 518}}:
* [[Плоская геометрия|геометрия на плоскости]] существенно «[[Земля|земного]]» происхождения и, как следует из самого слова «геометрия» (от {{lang-grc|[[wikt:γεωμετρία#Древнегреческий|γεωμετρία]]}} ← {{lang-grc2|[[wikt:γῆ#Древнегреческий|γῆ]]}} «[[земля]]» + {{lang-grc2|[[wikt:μετρέω#Древнегреческий|μετρέω]]}} «мерить; оценивать», буквально «землемерие»), возникла из измерения небольших участков земли, которые можно рассматривать как [[Плоскость|плоские]];
* '''сферическая геометрия''', то есть геометрия на сфере, напротив, «[[Небо|небесного]]» происхождения, с этой геометрией человечество впервые столкнулось при изучении видимой [[Небесная сфера|небесной сферы]] в [[Астрономия|астрономии]].

Сочинение [[Менелай Александрийский#Сферика|«Сферика»]] [[Менелай Александрийский|Менелая]] приходится на ранний этап возникновения и развития сферической геометрии в [[Древний мир|древности]]. Результаты, описанные в этой книге, были сразу применены [[Клавдий Птолемей|Клавдием Птолемеем]] в астрономии. В дальнейшем, с развитием [[Естественные науки|естественных наук]] ([[география]]) и [[транспорт]]а ([[мореплавание]]), сферическая геометрия стала востребована не только в астрономии, но и при изучении [[Географическая оболочка|поверхности земного шара]]{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.1. Происхождение сферической геометрии, с. 519}}.

В настоящее время плоская и сферическая геометрии задействованы в науке о Земле [[Геодезия|геодезии]]{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.1. Происхождение сферической геометрии, с. 519}}:
* плоская геометрия служит основой [[Низшая геодезия|низшей геодезии]], то есть геодезии небольших участков земли;
* сферическая геометрия служит основой [[Высшая геодезия|высшей геодезии]], то есть геодезии больших участков земли.

[[Файл:Line plane and vector.svg|right|thumb|400px|Плоскость и вектор]]
[[Файл:Sphere and vector.svg|right|thumb|300px|Сфера и касательный вектор]]

=== Общность сферической и плоской геометрий ===
Сферическая и плоская геометрия обладают многими общими чертами. Этот факт вытекает из того обстоятельства, что сфера «подвижна» таким же образом, как и плоскость, а именно{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.1. Происхождение сферической геометрии, с. 519}}:
* любая точка плоскости и выходящий из неё [[Вектор (геометрия)|вектор]] (то есть [[Направление вектора|направление]] на плоскости) соответствующее [[Движение (математика)|движение]] плоскости отображает на любую другую точку плоскости с выходящим из неё вектором (см. рисунок справа с плоскостью и направлением);
* любая точка сферы и выходящий из неё [[касательный вектор]] (то есть направление на сфере) соответствующее движение сферы отображает на любую другую точку сферы с выходящим из неё касательным вектором (см. рисунок справа со сферой и направлением).

Основные понятия этих геометрий{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.1. Происхождение сферической геометрии, с. 519}}:
* плоской — точка плоскости, [[прямая]] на плоскости и движение плоскости;
* сферической — точка сферы, [[большая окружность]] и движение сферы.
{{clear}}

=== Окружность на сфере ===
{{Основная статья|Окружность на сфере}}
[[Файл:Great circle hemispheres.png|thumb|200px|right|Большая окружность ([[большой круг]])]]
[[Файл:Small circle.svg|right|thumb|200px|Малая окружность ([[малый круг]])]]

'''Окру́жность на сфе́ре (круг на ша́ре{{sfn|''Степанов Н. Н.'' Сферическая тригонометрия, 1948|loc=§ 1. Круги на шаре, с. 7}})''' — [[Сечение (геометрия)|сечение]] [[сфера|сферы]] [[Плоскость (геометрия)|плоскостью]]{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.2. Точки, большие окружности, малые окружности, с. 519}}{{sfn|''Степанов Н. Н.'' Сферическая тригонометрия, 1948|loc=§ 1. Круги на шаре, с. 7}}{{sfn|''Битюцков В. И.'' Сферическая геометрия, 1985|loc=стб. 290}}{{sfn|''Сферическая геометрия'', 1976|loc=с. 116}}{{sfn|''Битюцков В. И.'' Сферическая геометрия, 1988}}.

Различают следующие два вида [[Окружность|окружностей]] на сфере, два вида сечений сферы плоскостью{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.2. Точки, большие окружности, малые окружности, с. 520}}.

[[Большой круг|Большая окружность (большой круг)]], или [[Геодезическая|геодезическая линия]]{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=2.4. Большая окружность как кратчайшая, с. 536; 3.2. Геодезическая кривизна малой окружности, с. 541}}, — окружность на сфере, плоскость сечения которой есть '''''диаметральная плоскость''''', то есть проходит через центр сферы{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.2. Точки, большие окружности, малые окружности, с. 520}}.

'''''Сферическое расстояние''''' между двумя точками сферы — длина дуги большой окружности, проходящей через эти две токи и не превосходящей полуокружности{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=2.3. Равенство сферических треугольников, с. 536}}.

'''''Малая окружность (малый круг{{sfn|''Степанов Н. Н.'' Сферическая тригонометрия, 1948|loc=§ 1. Круги на шаре, с. 7}})''''' — окружность на сфере, плоскость сечения которой отлична от диаметральной плоскости, то есть не проходит через центр сферы{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.2. Точки, большие окружности, малые окружности, с. 520; 3.1. Окружности и углы на сфере, с. 539}}, другими словами, это окружность на сфере, отличная от большой окружности{{sfn|''Степанов Н. Н.'' Сферическая тригонометрия, 1948|loc=§ 1. Круги на шаре, с. 7}}.

'''''Сферический центр''''' большой окружности на сфере — точка пересечения сферы с [[Ось окружности|осью окружности]], то есть диаметром сферы, перпендикулярным к плоскости сечения{{sfn|''Степанов Н. Н.'' Сферическая тригонометрия, 1948|loc=§ 1. Круги на шаре, с. 7}}.

Любая большая сферическая окружность имеет два диаметрально противоположных сферических центра{{sfn|''Степанов Н. Н.'' Сферическая тригонометрия, 1948|loc=§ 1. Круги на шаре, с. 7}}.

'''''Полюс''''' большой окружности — её сферический центр, при этом сама большая окружность называется '''''полярой''''' полюса{{sfn|''Степанов Н. Н.'' Сферическая тригонометрия, 1948|loc=§ 1. Круги на шаре, с. 7}}{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.2. Точки, большие окружности, малые окружности, с. 521—522}}.

=== Движение сферы ===
'''''Движение сферы''''' — преобразование сферы, сохраняющее расстояние между точками на сфере{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.3. Движение сферы, с. 522—523}}.

'''Предложение 1.''' ''Движение сферы переводит диаметрально противоположные точки в диаметрально противоположные{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.3. Движение сферы, с. 523}}.''

'''Доказательство.''' При движении сферы радиуса <math>r</math> расстояние между диаметрально противоположными точками на сфере, которое максимально и равно <math>2r</math>, сохраняется по определению, следовательно, диаметрально противоположные точки переходят в диаметрально противоположные{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.3. Движение сферы, с. 523}}.

'''Отсутствие плоской аналогии.''' В плоской геометрии отсутствует аналог этому свойству, поскольку на плоскости не существуют таких пары точек, для которых движение одной точки определяет движение другой{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.3. Движение сферы, с. 523}}.

[[Файл:Rotating sphere.svg|right|thumb|250px|Поворот сферы]]

В итоге движение на плоскости и сфере принципиально отличаются, поскольку{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.3. Движение сферы, с. 523}}:
* движение плоскости — это преобразование точек плоскости;
* движение сферы — это преобразование пар диаметрально противоположных точек сферы.

{{Якорь|Поворот сферы}}
'''''Поворот сферы''''' — поворот сферы вокруг её некоторого диаметра <math>CC'</math> на угол <math>\alpha</math>. При таком повороте любая окружность сферы с осью <math>CC'</math> поворачивается вдоль самой себя на угол <math>\alpha</math>. При этом все эти окружности поворачиваются на угол <math>\alpha</math> в одном направлении (см. рисунок справа с поворотом сферы){{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.3. Движение сферы, с. 523}}.

[[Файл:Spherical symmetry.svg|right|thumb|250px|Симметрия сферы]]

{{Якорь|Симметрия сферы}}
'''''Симметрия сферы''''' — [[Отражение (геометрия)|зеркальное отражение]] сферы относительно некоторой её диаметральной плоскости <math>\Pi</math>. При такой симметрии любая точка <math>A</math> отображается в такую точку <math>A'</math>, обладающую следующими свойствами (см. рисунок справа с симметрией сферы){{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.3. Движение сферы, с. 524}}:
* отрезок <math>AA'</math> перпендикулярен плоскости <math>\Pi</math>,
* середина отрезка <math>AA'</math> лежит на плоскости <math>\Pi</math>.

'''Предложение 2.''' ''Любое движение сферы есть{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.3. Движение сферы, с. 524}}:''
* ''либо поворот,''
* ''либо симметрия,''
* ''либо композиция поворота и симметрии.''

Поэтому в некотором смысле основные движения сферы — это поворот и симметрия{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.3. Движение сферы, с. 524}}.

'''Плоская аналогия.''' Любое движение [[Плоскость|плоскости]] есть{{sfn|''Яглом И. М., Атанасян Л. С.'' Геометрические преобразования, 1963|loc=4.3. Произведения движений; классификация движений, с. 89}}:
* либо [[параллельный перенос]],
* либо [[вращение]],
* либо [[скользящая симметрия]] (симметрия относительно прямой — частный случай скользящей симметрии).

=== Два подхода к предмету сферической геометрии ===

Существуют два подхода к определению предмета сферической геометрии{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.4. Предмет сферической геометрии, с. 524}}.

==== Обычный подход ====
{{Якорь|Предмет сферической геометрии}}
'''''Предмет сферической геометрии''''' — изучение таких [[Свойство|свойств]] [[Геометрическая фигура|фигур]], которые не изменяются при произвольных движениях сферы{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.4. Предмет сферической геометрии, с. 524}}.

Предмет сферической геометрии — это частный случай предмета [[Геометрия|геометрии]] вообще{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.4. Предмет сферической геометрии, с. 524}}.

'''''Предмет геометрии''''' — изучение таких свойств фигур, которые не изменяются при произвольных движениях фигуры{{sfn|''Яглом И. М., Атанасян Л. С.'' Геометрические преобразования, 1963|loc=6.1. Предмет геометрии, с. 99}}.

{{Якорь|Равные фигуры на сфере}}
'''''Равные фигуры''''' на сфере — фигуры на сфере, совмещающиеся некоторым движением сферы. Равные фигуры имеют одинаковые геометрические свойства{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.4. Предмет сферической геометрии, с. 524}}.

==== Предмет сферической геометрии без симметрии ====
[[Файл:Equal spherical shapes.svg|right|thumb|250px|Равные сферические треугольники]]

'''''Предмет сферической геометрии без симметрии''''' — изучение таких свойств фигур, которые не изменяются только при произвольных поворотах сферы{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.4. Предмет сферической геометрии, с. 524}}.

'''Художественная литература.''' Написан [[Научная фантастика|научно-фантастический]] роман о жизни плоских существ, которые не могут выйти за пределы сферы, на которой живут. Такой мир называется [[Флатландия#Сферландия|Сферландия]].

'''''Равные фигуры без симметрии''''' на сфере — фигуры на сфере, совмещающиеся только некоторым поворотом сферы (см. на рисунке справа равные фигуры){{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.4. Предмет сферической геометрии, с. 524}}.

[[Файл:Symmetrical spherical shapes.svg|right|thumb|250px|Симметричные сферические треугольники]]

{{Якорь|Симметричные фигуры на сфере}}
'''''Симметричные фигуры''''' на сфере — фигуры на сфере, совмещающиеся некоторым движением сферы, но которые нельзя совместить никаким поворотом сферы (см. на рисунке справа симметричные фигуры){{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.4. Предмет сферической геометрии, с. 524}}.

==== Плоская аналогия ====
Геометрия на плоскости также имет два подхода к определению своего предмета. При первом под движением плоскости понимается любое её движение ([[параллельный перенос]], [[поворот]], [[Отражение (геометрия)|симметрия относительно прямой]] и их композиции). При втором подходе движение плоскости — это только «движение первого рода» (параллельный перенос, поворот и их композиция){{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.4. Предмет сферической геометрии, с. 524—525}}.

Эти два подхода приводят к различным геометрическим системам планиметрии. При втором подходе имеются геометрические понятия, не имеющие смысла в обычное планиметрии{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.4. Предмет сферической геометрии, с. 526}}:
* [[направление обхода]],
* [[ориентированная площадь]],
* [[псевдоскалярное произведение]].

При втором подходе определение равенства фигур из первого подхода также распадается на два определения{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.4. Предмет сферической геометрии, с. 525}}.

'''''Равные фигуры без симметрии''''' на плоскости — фигуры. которые переходят друг в друга при «движении первого рода», то есть эти фигуры не просто «равны» в обычном понимании этого слова, но и имеют одинаковое направление обхода (по часовой стрелке или против){{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.4. Предмет сферической геометрии, с. 525}}.

'''''Симметричные фигуры''''' на плоскости — фигуры, которые «равны» в обычном смысле, но не равны при «движениях первого рода», то есть имеют противоположные направления обхода{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.4. Предмет сферической геометрии, с. 525}}.

==== Наложение равных сферических треугольников ====
[[Файл:Symmetrical spherical triangles.svg|right|thumb|400px|Невозможность наложения симметричных сферических треугольников]]

В плоской геометрии при первом подходе равные фигуры всегда можно наложить друг на друга, пусть и за счёт выхода из плоскости в трёхмерное пространство. В сферической геометрии раница между двумя подходами к её предмету может показаться более серьёзной, поскольку никаким «механическим» перемещением в трёхмерном пространстве нельзя совместить симметричные сферические треугольники. Даже если «вынуть» симметричный треугольник из сферы и попытаться приложить его к исходному симметричному треугольнику «другой стороной», то треугольники всё равно не совместятся из-за искривлённости сферы (см. рисунок справа с симметричными красными треугольниками, выгнутыми в разные стороны){{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.4. Предмет сферической геометрии, с. 526}}.

Однако это не принципиально, потому что, если сферу поместить в [[четырёхмерное пространство]], то тогда симметричные фигуры вполне совмещаются «механическим» перемещением, то есть при помощи «движения первого рода» в четырёхмерном пространстве{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.4. Предмет сферической геометрии, с. 526}}.

=== Принцип двойственности ===
'''Предложение 1.''' ''В сферической геометрии пара диаметрально противоположных точек есть геометрический объект{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.5. Принцип двойственности, с. 526}}.''

'''Доказательство.''' Произвольное движение сферы переводит пару диаметрально противоположных точек в пару диаметрально противоположных точек{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.5. Принцип двойственности, с. 526}}.

{{Якорь|Принцип двойственности сферической геометрии}}
'''''Принцип двойственности''''' сферической геометрии — любая [[теорема]] сферической геометрии имеет другую двойственную теорему этой геометрии, которая получается из исходной взаимной заменой слов{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.5. Принцип двойственности, с. 526—527}}:
* «пара диаметрально противоположных точек» и «большая окружность»;
* «лежит на» и «проходит через»;
* «соединяются» и «пересекаются».

[[Файл:2spereinxyzplanes.jpg|thumb|200px|right|Три пары полюсов и три поляры]]

'''Доказательство.''' Имеют место два [[Взаимно однозначное соответствие|взаимно однозначных соответствия]]:
* любая большая окружность и её пара полюсов;
* пара диаметрально противоположных точек и их поляра,
и, кроме того, когда пара диаметрально противоположных точек лежит на некоторой большой окружности, то поляра этой пары точек проходит через полюсы этой окружности{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.5. Принцип двойственности, с. 527}}.

{{Якорь|Двойственные теоремы сферической геометрии}}
'''''Двойственные теоремы''''' сферической геометрии — две теоремы, тексты которых получаются друг из друга заменами принципа двойственности{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.5. Принцип двойственности, с. 527}}.

'''Пример.''' Приведём следующий пример двойственных теорем{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.5. Принцип двойственности, с. 526}}:
{{столбцы}}
{{столбец}}
любые две большие окружности пересекаются в паре диаметрально противоположных точек,
{{столбец}}
любые две пары диаметрально противоположных точек соединяются большой окружностью.
{{столбцы/конец}}

Когда доказана одна из двойственных теорем, то доказательство остальной теоремы получается из доказательства первой заменой каждой большой окружности её полюсами, а каждой пары диаметрально противоположных точек — её полярой{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|loc=1.5. Принцип двойственности, с. 526}}.

== См. также ==
* [[Геометрия Римана]]
* [[Сферическая система координат]]
* [[Сферические функции]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Источники ==
* {{h|''Битюцков В. И.'' Сферическая геометрия, 1985|3=
''Битюцков В. И.'' Сферическая геометрия // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 290—291.
}}
* {{h|''Битюцков В. И.'' Сферическая геометрия, 1988|3=
''Битюцков В. И.'' Сферическая геометрия // ''[[Математический энциклопедический словарь]]'' / Гл. ред. [[Прохоров, Юрий Васильевич|Ю. В. Прохоров]]; Ред. Кол.: [[Адян, Сергей Иванович|С. И. Адян]], [[Бахвалов, Николай Сергеевич|Н. С. Бахвалов]], В. И. Битюцков, [[Ершов, Андрей Петрович|А. П. Ершов]], [[Кудрявцев, Лев Дмитриевич|Л. Д. Кудрявцев]], [[Онищик, Аркадий Львович|А. Л. Онищик]], [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевич]]. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1988. 847 с., ил. С. 571.
}}
* {{h|''Розенфельд Б. А.'' Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963|3=
''[[Розенфельд, Борис Абрамович|Розенфельд Б. А.]]'' Основные понятия сферической геометрии и [[Сферическая тригонометрия|тригонометрии]] // ''Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия'' / Гл. ред. [[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александров]], [[Маркушевич, Алексей Иванович|А. И. Маркушевич]], [[Хинчин, Александр Яковлевич|А. Я. Хинчин]]. Ред. книги 4: [[Болтянский, Владимир Григорьевич|В. Г. Болтянский]], И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 518—557.
}}
* {{h|''Степанов Н. Н.'' Сферическая тригонометрия, 1948|3=
''Степанов Н. Н.'' [[Сферическая тригонометрия]]. 2-е изд. М.—Л.: [[ОГИЗ]]. [[Государственное издательство технико-теоретической литературы]], 1948. 154 с., ил.
}}
* {{h|''Сферическая геометрия'', 1976|3=
''Сферическая геометрия'' // ''[[Большая советская энциклопедия]].'' (В 30 томах) Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]]. Изд. 3-е. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1976. Т. 25. Струнино — Тихорецк. 1976. 600 с. с илл., 27 л. илл., 3 л. карт. С. 116—117.
}}
* {{h|''Яглом И. М., Атанасян Л. С.'' Геометрические преобразования, 1963|3=
''[[Яглом, Исаак Моисеевич|Яглом И. М.]], [[Атанасян, Левон Сергеевич|Атанасян Л. С.]]'' Геометрические преобразования // ''Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия'' / Гл. ред. [[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александров]], [[Маркушевич, Алексей Иванович|А. И. Маркушевич]], [[Хинчин, Александр Яковлевич|А. Я. Хинчин]]. Ред. книги 4: [[Болтянский, Владимир Григорьевич|В. Г. Болтянский]], И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 49—158.
}}

== Литература ==
* ''[[Алексеевский, Дмитрий Владимирович|Алексеевский Д. В.]], [[Винберг, Эрнест Борисович|Винберг Э. Б.]], [[Солодовников, Александр Самуилович|Солодовников А. С.]]'' Геометрия пространств постоянной кривизны. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — {{М.}}: [[Всероссийский институт научной и технической информации РАН|ВИНИТИ]], 1988. — Т. 29. — С. 1—146.
* ''[[Берже, Марсель|Берже М.]]'' Геометрия. / Пер. с франц., в 2 т. — {{М.}}: [[Мир (издательство)|Мир]], 1984. — Т. II, ч. V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер.
* ''Степанов Н. Н.'' Сферическая тригонометрия. — {{Л.}}-{{М.}}, 1948.
* ''[[Шафаревич, Игорь Ростиславович|Шафаревич И. Р.]], [[Ремизов, Алексей Олегович|Ремизов А. О.]]'' Линейная алгебра и геометрия. — {{М.}}: [[Физматлит]], 2009.
* ''[[Александров, Александр Данилович|Александров А. Д.]], [[Нецветаев, Никита Юрьевич|Нецветаев Н. Ю.]]'' Геометрия. — {{М.}}: [[Наука (издательство)|Наука]], 1990.
* ''[[Александров, Павел Сергеевич|Александров П. С.]]'' Что такое неэвклидова геометрия. — {{М.}}: [[УРСС]], 2007.
{{вс}}

[[Категория:Сферическая геометрия| ]]