Просмотр кода страницы Теорема Артина о задании группы кос

[[Файл:Artin generators of the braid group.svg|thumb|Стандартные [[диаграмма косы|диаграммы]] [[Образующая Артина|образующих Артина]] и обратных к ним (слева) и диаграмма, заданная некоторым [[Артиновское слово|артиновским словом]] (справа)|400px]]
'''Теорема Артина о задании группы кос''' — фундаментальная теорема [[теория кос|теории кос]], предоставляющая комбинаторно-алгебраическую кодировку [[коса (математика)|кос]].

На языке [[комбинаторная теория групп|комбинаторной теории групп]] можно сказать, что теорема Артина представляет собой [[задание группы|задание образующими и соотношениями]] для [[группа кос|группы кос]].

== Введение ==
В своей первопроходческой работе 1925 года [[Эмиль Артин]] дал геометрическое определение [[коса (математика)|косы]] и показал, что косы из фиксированного числа нитей образуют группу. Его определение основано на понятиях [[геометрическая коса|геометрической косы]] и [[Изотопия геометрических кос|изотопии]], которые с трудом поддаются анализу. В связи с этим Артин ввёл комбинаторную кодировку геометрических кос, заключающуюся в их представлении в виде произведения некоторых элементарных кос, которые называются образующими Артина. Изотопия геометрических кос порождает некоторые алгебраические соотношения между этими образующими, полное описание которых и предоставляет теорема Артина.

Значимость этой теоремы состоит в том, что она сводит геометрическое изучение кос к их алгебраическому изучению, заведомо более эффективному{{sfn|Сосинский|2005|p=38}}. Можно сказать, что теорема Артина предоставляет альтернативный эквивалентный подход к формализации понятия косы.

Данная теорема играет ту же основополагающую роль для теории кос, что и [[теорема Рейдемейстера]] для [[теория узлов|теории узлов]] или [[теорема Кёрби]] для [[трёхмерная топология|трёхмерной]] и [[четырёхмерная топология|четырёхмерной]] топологии. Например, она используется для определения практически всех [[Инвариант кос|инвариантов]] кос.

== Формулировка ==
Для <math>n \geq 2</math> пусть <math>\sigma_1,\sigma_2, \ldots, \sigma_{n-1}</math> и <math>\sigma_1^{-1},\sigma_2^{-1}, \ldots, \sigma_{n-1}^{-1}</math> — [[образующая Артина|образующие Артина]] и их обратные. Определим следующие преобразования [[артиновское слово|артиновских слов]], то есть слов в алфавите из данных <math>2(n-1)</math> символов:
# вставка в любое место артиновского слова фрагмента вида <math>\sigma_i\sigma_i^{-1}</math> или <math>\sigma_i^{-1}\sigma_i</math>, а также удаление такого фрагмента;
# замена фрагмента вида <math>\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i</math> на фрагмент <math>\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}</math> и наоборот;
# замена фрагмента вида <math>\sigma_i\sigma_j</math> на фрагмент <math>\sigma_j\sigma_i</math>, если индексы <math>i</math> и <math>j</math> не являются соседними, и наоборот.

Теорема Артина гласит, что образующие Артина [[порождающее множество группы|порождают]] группу кос <math>B_n</math>, то есть любая [[коса (математика)|коса]] из <math>n</math> нитей может быть представлена некоторым артиновским словом, и любые два слова, представляющих одну и ту же косу, связаны цепочкой преобразований трёх вышеуказанных типов{{sfn|Сосинский|2001|p=12}}{{sfn|Мантуров|2010|p=114}}{{sfn|Прасолов и Сосинский|1997|p=76}}{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=21}}.

Иными словами, множество <math>B_n</math> находится во [[Взаимно-однозначное соответствие|взаимно-однозначном соответствии]] с [[фактормножество]]м множества всех [[артиновское слово|артиновских слов]] по отношению эквивалентности, заданному такими преобразованиями. В данном соответствии:
* умножению кос отвечает [[конкатенация]] артиновских слов;
* [[тривиальная коса|тривиальной косе]] отвечает пустое слово;
* [[обратная коса|обращению косы]] отвечает операция замены букв слова на обратные и переписывания этого слова в обратном порядке:

: <math>x_{i_1}x_{i_2}\ldots x_{i_k} \mapsto x_{i_k}^{-1}x_{i_{k-1}}^{-1}\ldots x_{i_1}^{-1}</math>,

где символ <math>(\sigma_i^{-1})^{-1}</math> означает <math>\sigma_i</math>.

Иначе говоря, группа кос допускает следующее [[задание группы|копредставление]]:

: <math>B_n \cong \langle \sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_{n-1}  \mid  \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}</math> для <math>1\le i\le  n-2;\ \ \sigma_i \sigma_j=\sigma_j \sigma_i</math> для <math>|i-j|\ge 2\rangle</math>.

Данные соотношения называются '''''соотношениями Артина'''''. Некоторые авторы называют соотношениями Артина соотношения, соответствующие преобразованиям второго типа. Преобразования третьего типа обычно называются '''''дальней коммутативностью'''''. Ввиду того, что соотношения, соответствующие преобразованиям первого типа, выполняются в любой [[группа (математика)|группе]], их иногда называют '''''тривиальными'''''{{sfn|Сосинский|2005|p=38}}. Все эти преобразования произошли из теории узлов и иногда называются '''''движениями Рейдемейстера для кос'''''{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=21}}.

== Примеры ==
В случае <math>n=2</math> теорема Артина гласит, что любая двухниточная коса является целой [[возведение в степень|степенью]] первой образующей Артина <math>\sigma_1</math>, причем эта образующая подчиняется лишь тривиальному соотношению. Таким образом, все её степени различны: 

: <math>B_2 = \{\sigma_1^m \mid m \in \Z\}</math>.

Иными словами, группа кос из двух нитей является [[Циклическая группа|бесконечной циклической]]:

: <math>B_2 \cong \langle \sigma_1 \mid\varnothing \rangle \cong \Z</math>.

В случае <math>n=3</math> теорема Артина гласит, что любая трёхниточная коса представляется в виде произведения образующих <math>\sigma_1, \sigma_2</math> и их обратных, причем помимо тривиальных соотношений между данными образующими существует единственное определяющее соотношение:

: <math>B_3 \cong \langle \sigma_1,\sigma_2 \mid \sigma_1\sigma_2\sigma_1 = \sigma_2\sigma_1\sigma_2 \rangle</math>.

В образующих <math>a:=\sigma_1\sigma_2\sigma_1</math> и <math>b:=\sigma_1\sigma_2</math> данное копредставление имеет вид

: <math>B_3 \cong \langle a,b \mid a^2=b^3\rangle</math>.

Таким образом, группа кос из трёх нитей изоморфна [[Группа трилистника|группе трилистника]].

== См. также ==
* [[Группа кос]]
* [[Теория кос]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
 |автор         = {{автор|Сосинский, Алексей Брониславович|Сосинский, А. Б}}
 |часть         = 
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Узлы и косы
 |nodot         = 
 |оригинал      = 
 |язык          = ru
 |ссылка        = http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.10.pdf
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = [[МЦНМО]]
 |год           = 2001
 |том           = 
 |страницы      = 
 |столбцы       = 
 |страниц       = 24
 |серия         = Библиотека «Математическое просвещение»
 |isbn          = 5-900916-76-6
 |doi           = 
 |тираж         = 
 |ref           = Сосинский
 |archiveurl    = 
 |archivedate   = 
}}
* {{статья
 | автор         = {{автор|Мантуров, Василий Олегович|Мантуров, В. О}}
 | заглавие      = Экскурс в теорию кос
 | оригинал      = 
 | ссылка        = https://www.mathnet.ru/rus/mp/v14/s3/p107
 | язык          = 
 | ответственный = 
 | автор издания = 
 | издание       = Математическое просвещение
 | тип           = 
 | место         = {{М.}}
 | издательство  = [[МЦНМО]]
 | год           = 2010
 | месяц         = 
 | число         = 
 | том           = 3
 | выпуск        = 14
 | номер         = 
 | страницы      = 107–142
 | isbn          = 978-5-94057-597-9
 | issn          = 
 | doi           = 
 | bibcode       = 
 | arxiv         = 
 | pmid          = 
 | jstor         = 
 | ref           = Мантуров
 | archiveurl    = 
 | archivedate   = 
}}
* {{книга
 |автор         = {{автор|Сосинский, Алексей Брониславович|Сосинский, А. Б}}
 |часть         = 
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Узлы. Хронология одной математической теории
 |nodot         = 
 |оригинал      = 
 |язык          = ru
 |ссылка        = http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/d63008f4-a780-11dc-945c-d34917fee0be/71_sosinskij_uzli.pdf
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = [[МЦНМО]]
 |год           = 2005
 |том           = 
 |страницы      = 
 |столбцы       = 
 |страниц       = 112
 |серия         = 
 |isbn          = 5-94057-220-0
 |doi           = 
 |тираж         = 
 |ref           = Сосинский
 |archiveurl    = 
 |archivedate   = 
}}
* {{книга
 |автор         = {{автор|Кассель, Кристиан|Кассель, К}}, {{автор|Тураев, Владимир Георгиевич|Тураев, В. Г}}
 |часть         = 
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Группы кос
 |nodot         = 
 |оригинал      = Braid groups
 |язык          = ru
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = пер. с англ. С. Н. Малыгина
 |издание       = 
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = [[МЦНМО]]
 |год           = 2014
 |том           = 
 |страницы      = 
 |столбцы       = 
 |страниц       = 424
 |серия         = 
 |isbn          = 978-5-4439-0245-6
 |doi           = 
 |тираж         = 
 |ref           = Кассель и Тураев
 |archiveurl    = 
 |archivedate   = 
}}
* {{книга
 |автор         = {{автор|Прасолов, Виктор Васильевич|Прасолов, В. В}}, {{автор|Сосинский, Алексей Брониславович|Сосинский, А. Б}}
 |часть         = 
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия
 |nodot         = 
 |оригинал      = 
 |язык          = ru
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = [[МЦНМО]]
 |год           = 1997
 |том           = 
 |страницы      = 
 |столбцы       = 
 |страниц       = 352
 |серия         = 
 |isbn          = 5-900916-10-3
 |doi           = 
 |тираж         = 
 |ref           = Прасолов и Сосинский
 |archiveurl    = 
 |archivedate   = 
}}

[[Категория:Теория кос]]