Просмотр кода страницы Теорема Коши (теория групп)

{{Другие значения|Теорема Коши|других теоремах, названных в честь Огюстена Луи Коши}}
'''Теорема [[Коши, Огюстен Луи|Коши]]''' в [[теория групп|теории групп]] гласит:
{{рамка}}
Если [[порядок группы|порядок]] [[Конечная группа|конечной]] [[группа (математика)|группы]] <math>G</math> делится на [[простое число]] <math>p</math>, то <math>G</math> содержит элементы [[порядок элемента|порядка]] <math>p</math>.
{{конец рамки}}

Она тесно связана с [[Теорема Лагранжа (теория групп)|теоремой Лагранжа]], в силу которой порядок любой конечной группы {{Mvar|G}} делится на порядок любой её подгруппы. В силу теоремы Коши для любого простого делителя {{Mvar|p}} порядка группы {{Mvar|G}}, существует подгруппа, чей порядок равен {{Mvar|p}}. Ей является циклическая группа, порождённая элементом из теоремы Коши.

Обобщением теоремы Коши является [[Теоремы Силова|первая теорема Силова]], в соответствии с которой, если {{Mvar|p}}<sup>{{Mvar|n}}</sup> является максимальной степенью {{Mvar|p}}, на которую делится порядок группы {{Mvar|G}}, то {{Mvar|G}} имеет подгруппу именно такого порядка. Используя тот факт, что группа порядка {{Mvar|p}}<sup>{{Mvar|n}}</sup> [[Разрешимая группа|разрешима]], можно показать, что {{Mvar|G}} содержит подгруппы любого порядка {{Mvar|p}}<sup>{{Mvar|r}}</sup>, для которого <math>r\leq n.</math>

== Доказательство ==
Эту теорему часто доказывают с помощью индукции и применения [[класс сопряжённости|классов сопряжённости]], но для абелевых групп аналогичное утверждение доказать намного проще. В доказательстве также может применяться [[действие группы]].{{Sfn|McKay|1959}}

=== Вариант 1 ===

Сначала докажем эту теорему в частном случае, когда группа {{Mvar|G}} абелева, затем в общем случае. Оба раза теорема будет доказана индукцией по {{Mvar|n}}&nbsp;=&nbsp;|{{Mvar|G}}|, начиная с {{Mvar|n}}&nbsp;=&nbsp;{{Mvar|p}}. База тривиальна, так как любой нетождественный элемент имеет порядок  {{Mvar|p}}.

Если {{Mvar|G}} абелева, то рассмотрим любой нетождественный элемент {{Mvar|a}} и порождённую им циклическую подгруппу {{Mvar|H}}.  Если {{Mvar|p}} делит |{{Mvar|H}}|, то {{Mvar|a}}<sup>|{{Mvar|H}}|/{{Mvar|p}}</sup> является искомым элементом порядка {{Mvar|p}}. Иначе {{Mvar|p}} делит не порядок |{{Mvar|H}}|, а порядок [{{Mvar|G}}:{{Mvar|H}}] [[факторгруппа|факторгруппы]] {{Mvar|G}}/{{Mvar|H}}. Тогда по индуктивному предположению факторгруппа содержит элемент порядка {{Mvar|p}}. Им является один из классов {{Mvar|xH}}, где {{Mvar|x}} лежит в {{Mvar|G}}. Если он имеет порядок {{Mvar|m}} в группе {{Mvar|G}}, то <math>m\vdots p</math>: благодаря тому, что в группе {{Mvar|G}} {{Mvar|x}}<sup>{{Mvar|m}}</sup>&nbsp;=&nbsp;{{Mvar|e}}, ({{Mvar|xH}})<sup>{{Mvar|m}}</sup>&nbsp;=&nbsp;{{Mvar|eH}} в факторгруппе {{Mvar|G}}/{{Mvar|H}}. Поэтому {{Mvar|p}} делит {{Mvar|m}}; аналогично {{Mvar|x}}<sup>{{Mvar|m}}/{{Mvar|p}}</sup> окажется элементом порядка {{Mvar|p}} в группе {{Mvar|G}}, что заканчивает доказательство в абелевом случае.

В общем случае пусть группа {{Mvar|Z}} является [[центр группы|центром группы]] {{Mvar|G}}. Тогда {{Mvar|Z}} окажется абелевой. Если её порядок кратен {{Mvar|p}},то она, как мы уже видели, содержит элемент порядка {{Mvar|p}}. Значит, этот элемент имеет порядок {{Mvar|p}} и в группе {{Mvar|G}}. Иначе {{Mvar|p}} не делит {{Mvar|Z}}. Так как {{Mvar|p}} делит |{{Mvar|G}}|, а {{Mvar|G}} разбивается на {{Mvar|Z}} и остальные [[класс сопряжённости|классы сопряжённости]], один из этих классов содержит элемент {{Mvar|a}}, размер чьего класса не делится на {{Mvar|p}}. Но легко показать, что его размер равен [{{Mvar|G}} : {{Mvar|C}}<sub>{{Mvar|G}}</sub>({{Mvar|a}})] и не кратен {{Mvar|p}}. Поэтому {{Mvar|p}} делит порядок не совпадающего с группой {{Mvar|G}} [[централизатор]]а {{Mvar|C}}<sub>{{Mvar|G}}</sub>({{Mvar|a}}) элемента {{Mvar|a}} в группе {{Mvar|G}}. Но по индуктивному предположению в централизаторе лежит искомый элемент порядка {{Mvar|p}}, что и требовалось доказать.

=== Вариант 2 ===

В этом варианте мы воспользуемся тем фактом, что  [[действие группы|действие]] циклической группы простого порядка {{Mvar|p}} порождает только орбиты размеров 1 и {{Mvar|p}}, что сразу следует из теоремы о стабилизаторах орбит.<!-- См. [[en:orbit stabilizer theorem]]. -->

Подействуем нашей группой на множество решений уравнения
:<math> X = \{\,(x_1,\ldots,x_p) \in G^p : x_1x_2\cdots x_p = e\, \} </math>
т.е. на множество последовательностей из {{Mvar|p}} элементов группы {{Mvar|G}}, чьё произведение равно 1. Такая последовательность однозначно задаётся всеми элементами, кроме последнего, который обратен произведению остальных. Также понятно, что эти {{nobreak|{{Mvar|p}} − 1}} элементов можно выбирать произвольным способом, и в множестве {{Mvar|X}} имеется |{{Mvar|G}}|<sup>{{Mvar|p}}−1</sup> элементов, и их количество кратно {{Mvar|p}}.

Теперь заметим, что в группе {{Mvar|ab}} = {{Mvar|e}}, если и только если {{Mvar|ba}} = {{Mvar|e}}. Поэтому, если <math>x_1x_2\cdots x_p = e</math>, то <math>x_2\cdots x_px_1 = e</math>. Значит, циклические перестановки компонентов элемента множества {{Mvar|X}} снова породят элементы {{Mvar|X}}. Это позволяет задать действие циклической группы {{Mvar|C}}<sub>{{Mvar|p}} </sub> порядка {{Mvar|p}} на множестве {{Mvar|X}} с помощью перестановки компонентов. Иными словами, порождающий группу {{Mvar|C}}<sub>{{Mvar|p}}</sub> элемент переводит
:<math>(x_1,x_2,\ldots,x_p)\mapsto(x_2,\ldots,x_p,x_1)</math>.

Очевидно, при таком действии орбиты в {{Mvar|X}} имеют размеры 1 или {{Mvar|p}}. Орбита имеет размер 1, если и только если её единственный элемент имеет вид <math>(x,x,\ldots,x)</math> и <math>x^p=e</math>. Так как количество элементов {{Mvar|X}} равно сумме количеств элементов в орбитах, количество элементов <math>x</math>, для которых <math>x^p=e</math>, кратно {{Mvar|p}}. Так как одним из них является единичный элемент, всего существует хотя бы <math>p</math> элементов, хотя бы  {{nobreak|{{Mvar|p}} − 1}} из которых не равен единичному, а имеет порядок {{Mvar|p}}. Теорема доказана.

== Применения ==
Теорема Коши позволяет сразу установить то, какие группы могут быть конечными [[p-группа|р-группами]], где {{Mvar|p}} — простое число. Именно, конечная группа {{Mvar|G}} является {{Mvar|p}}-группой (т.е. порядки всех элементов — точные степени {{Mvar|p}}), если и только если порядок группы сам является степенью {{Mvar|p}}. Хотя абелев случай также можно применить, чтобы доказать по индукции первую теорему Силова, {{Sfn|Jacobson|2009|p=80}} так же, как в [[#Вариант 1|первом доказательстве]], существуют и доказательства, в которых этот случай разбирается отдельно.

<!-- === Example 1 ===
{{Unreliable sources|section|reason=Stack Exchange is not a reliable source|date=February 2021}}
Let {{mvar|G}} is a finite group where {{math|{{mvar|x}}<sup>2</sup> {{=}} {{mvar|e}}}} for all element {{mvar|x}} of {{mvar|G}}.  Then {{mvar|G}} has the order {{math|2<sup>{{mvar|n}}</sup>}} for some non negative integer {{mvar|n}}.  Let {{math|{{!}}{{mvar|G}}{{!}}}} is {{mvar|m}}. In the case of {{mvar|m}} is 1, then {{math|{{mvar|G}} {{=}} {{mset|{{mvar|e}}}}}}.  In the case of {{math|{{mvar|m}} ≥ 2}}, if {{mvar|m}} has the odd prime factor {{mvar|p}}, {{mvar|G}} has the element {{mvar|x}} where {{math|{{mvar|x<sup>p</sup>}} {{=}} {{mvar|e}}}} from Cauchy's theorem.  It conflicts with the assumption.  Therefore {{mvar|m}} must be {{math|2<sup>{{mvar|n}}</sup>}}.<ref>{{Citation|date=2015-09-23|title=Finite groups where {{math|{{mvar|x}}<sup>2</sup>{{=}}e}} has order {{mvar|2<sup>n</sup>}}|publisher=Stack Exchange|url=https://math.stackexchange.com/questions/1447505/finite-groups-where-x2-e-has-order-2n}}</ref> {{mvar|G|}} is an abelian group, and {{mvar|G|}} is called an [[Elementary abelian group|elementary abelian 2-group]] or [[Elementary abelian group|Boolean group]]. The well-known example is [[Klein four-group]]. Эти господа, вероятно, второпях, забыли, что такая группа должна быть абелевой. Абелева группа оказывается произведением циклических, т.е. группой сдвигов в n-мерном кубе. -->

=== Пример ===
{{Нет сносок|дата=2021-05-06}}
Абелева простая группа может быть только циклической простого порядка.  Действительно,  в любой такой группе {{mvar|G}} все её подгруппы нормальны. Значит, если она проста, то все её нормальные подгруппы — либо единичная, либо она сама.  если {{math|{{!}}{{mvar|G}}{{!}} {{=}} 1}}, то {{mvar|G}} сама является единичной.  Иначе в ней есть неединичный элемент {{math|''a'' ∈ ''G''}}, и циклическая группа  <math>\langle a \rangle</math> является неединичной  подгруппой {{mvar|G}}. Значит,  <math>G = \langle a \rangle.</math>  Пусть теперь порядок группы  <math>\langle a \rangle</math> равен {{mvar|n}}.  Если он бесконечен, то
:<math>G = \langle a \rangle \supsetneqq \langle a^2 \rangle \supsetneqq \{e\},</math> что невозможно.
Значит, {{mvar|n}} конечно.  Если  {{mvar|n}} составное, то оно кратно простому {{mvar|q}}, меньшему {{mvar|n}}.  Но тогда существует подгруппа {{mvar|H}} порядка {{mvar|q}}, что противоречит условию.  Значит, {{mvar|n}} просто.

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{Citation
|last=Cauchy
|first=Augustin-Louis
|author-link=Augustin-Louis Cauchy
|year=1845
|title=Mémoire sur les arrangements que l'on peut former avec des lettres données, et sur les permutations ou substitutions à l'aide desquelles on passe d'un arrangement à un autre
|journal=Exercises d'analyse et de physique mathématique
|location=Paris
|volume=3
|pages=151-252
|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96417945/f157.image
}}
* {{Citation
|last=Cauchy
|first=Augustin-Louis
|year=1932
|title=Oeuvres complètes
|publisher=Gauthier-Villars
|location=Paris
|edition=reprinted
|series=second series
|volume=13
|pages=171–282
|url=https://iris.univ-lille.fr/handle/1908/4035
|format=PDF
}}
* {{Citation
|last=Jacobson
|first=Nathan
|author-link=Nathan Jacobson
|orig-year=1985
|year=2009
|title=Basic Algebra
|publisher=[[Dover Publications]]
|edition=Second
|series=Dover Books on Mathematics
|volume=I
|pages=80
|isbn=978-0-486-47189-1
}}
* {{citation
|last1      = McKay
|first1     = James H.
|year       = 1959
|title      = Another proof of Cauchy's group theorem
|journal    = [[American Mathematical Monthly]]
|pages      = 119
|volume     = 66
|mr         = 0098777
|zbl        = 0082.02601
|doi        = 10.2307/2310010
}}

<!-- == Ссылки ==
* {{planetmath reference|id=1569|title=Cauchy's theorem}}
* {{planetmath reference|id=2186|title=Proof of Cauchy's theorem}} Автор не смог найти замену этим ссылкам при переводе из англовики. -->

{{Теория групп}}

[[Категория:Теория групп]]
[[Категория:Теоремы алгебры|Коши (теория групп)]]