Просмотр кода страницы Теорема Лиувилля о конформных отображениях

{{Значения|Теорема Лиувилля}}
[[Изображение:Mob3d-lox-arb-480.png|thumb|300px|Теорема Лиувилля утверждает, что конформные преобразования пространства являются мёбиусовыми — то есть переводят сферы и плоскости в сферы и плоскости]]

'''Теорема Лиувилля о конформных отображениях''' утверждает, что
{{рамка}}
всякое [[конформное отображение]] области [[евклидово пространство|евклидова пространства]] <math>\R^n</math> при <math>n \geqslant 3</math> можно представить в виде конечного числа суперпозиций [[Изометрия (математика)|изометрий]] и [[Инверсия (геометрия)|инверсий]].
{{конец рамки}}
Эта теорема выявляет бедность класса конформных отображений в пространстве, и с этой точки зрения она весьма важна в теории [[Аналитическая функция|аналитических функций]] многих комплексных переменных и в теории
[[квазиконформное отображение|квазиконформных отображений]]. Для сравнения, любые две связные односвязные области в <math>\R^2</math> с более чем одной точкой границы конформно эквивалентны (это [[теорема Римана об отображении]]).

Теорема была доказана [[Лиувилль, Жозеф|Лиувиллем]] в [[1850 год]]у. В [[1967 год]]у [[Решетняк, Юрий Григорьевич|Решетняк]] обобщил теорему на случай, когда отображение предполагается имеющим лишь обобщённые производные (лежащее в соболевском пространстве <math>W^1_n</math>).<ref>Ю. Г. Решетняк. “Теорема Лиувилля о конформных отображениях при минимальных предположениях регулярности”, [[Сибирский математический журнал|Сиб. матем. журн.]], 8:4 (1967), 835–840</ref>

== Набросок доказательства ==
В случае бесконечно дифференцируемых отображений доказательство следует из более общего утверждения дифференциальной геометрии.

{{рамка}}
Пусть <math>(X,g)</math> — риманово многообразие, и <math>S \subset X</math> — гладкая гиперповерхность в нём, <math>A \colon TS \to TS</math> — её [[вторая фундаментальная форма|оператор внешней кривизны]] (то есть оператор такой, что <math>g(Au,v) = \mathrm{I\!I}(u,v)</math> есть вторая фундаментальная форма), и <math>f</math> — положительная функция на <math>X</math>. Тогда оператор внешней кривизны метрики <math>g' = fg</math> выражается как <math>A'(u) = \frac{\sqrt{f}}2A(u) - \left(L_{\mathbf{n}_S}\sqrt{f}\right)u</math>, где <math>\mathbf{n}_S</math> — поле внешних нормалей к <math>S</math>, a <math>L</math> — [[производная Ли]].
{{конец рамки}}

Отсюда следует, что хотя сам оператор внешней кривизны не является конформным инвариантом (что очевидно для мёбиусовых преобразований <math>\R^3</math>, переводящий вполне геодезичные — то есть обладающие тождественно нулевой внешней кривизной — плоскости в круглые сферы), множество точек, в которых совпадают его собственные числа ([[главные кривизны]]), конформно инвариантно. Эти точки называются [[точка округления|точками округления]]. В частности, ''вполне умбиличные'' поверхности — то есть такие, все точки которых являются точками округления — переводятся конформными преобразованиями во вполне умбиличные. В <math>\R^n</math> таковые исчерпываются областями сфер и плоскостей, что завершает доказательство теоремы.

Кроме того, из этой формулы вытекает, что конформно инвариантными являются также и собственные вектора оператора внешней кривизны, а следовательно локальные интегральные линии соответствующих собственных векторных полей — так называемые ''линии кривизны''. Это утверждение замечено [[Схоутен, Ян Арнольдус|Схоутеном]] и [[Стройк, Дирк Ян|Стрёйком]].<ref>И. А. Схоутен и Д. Дж. Стройк. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. Пер. с немецкого [[Розенфельд, Борис Абрамович|Б. А. Розенфельда]] и [[Яглом, Исаак Моисеевич|И. М. Яглома]], 1948, М., Государственное издательство иностранной литературы. С. 228.</ref>

Заметим, что в этой теореме нет ограничения на размерность объемлющего многообразия. Однако следствие в данном случае является тавтологией, поскольку на кривой в плоскости у оператора внешней кривизны имеется лишь одно собственное значение, и потому всякая кривая вполне умбилична (что хорошо согласуется с тем, что все гладкие жордановы кривые переводятся друг в друга конформными отображениями ограничиваемых ими областей).

== Иные конформные инварианты ==
[[Изображение:Robert_Bryant_2012.jpg|thumb|left|228px|Роберт Брайант]]
Геометрия конформных отображений особенно богата для поверхностей в <math>S^3</math>. В данном случае инвариантом конформного преобразования являются не просто точки округления поверхности, но так называемoe '''подынтегральное выражение Вильмора,''' <math>(H^2-K)\omega_g</math>, где <math>H</math> есть её [[средняя кривизна]], <math>K</math> — [[гауссова кривизна]], а <math>\omega_g</math> — форма площади. Эта форма обнуляется в точности в точках округления поверхности. Интеграл <math>\int_S(H^2-K)\omega_g</math> называется '''функционалом Вильмора.'''

По аналогии с оператором внешней кривизны, собственные направления которого конформно инвариантны, хотя сам он при конформных преобразованиях меняется, [[Брайант, Роберт|Брайант]] ввёл ''конформное [[гауссово отображение]]''. Именно, хотя понятие касательной плоскости не конформно инвариантно, понятие касательной сферы, имеющей в точке касания ту же среднюю кривизну, что и поверхность, уже конформно инвариантно. Сферы в <math>S^3</math>, если реализовать <math>S^3</math> как множество изотропных лучей в [[пространство Минковского|пространстве Минковского]] <math>\R^{4,1}</math>, высекаются гиперплоскостями сигнатуры <math>\R^{3,1}</math> — а таковые определяются своей единичной нормалью, то есть точкой гиперболоида <math>Q = \{(v,v) = 1\} \subset \R^{4,1}</math>. Сопоставление точке поверхности в мёбиусовой <math>S^3</math> точки гиперболоида, соответствующей её касательной сфере, является эквивариантным под действием мёбиусовой группы <math>\mathrm{SO}(4,1)</math>; это и есть конформное гауссово отображение.<ref>Bryant, Robert L. A duality theorem for Willmore surfaces. [[Journal of Differential Geometry|J. Differential Geom.]] 20 (1984), no. 1, 23—53.</ref>

== Связь с комплексной геометрией ==
Было бы ошибкой заключать по контрасту между теоремой Лиувилля для <math>n>2</math> и теоремой Римана для <math>n=2</math>, будто конформные отображения пространств высшей размерности не имеют отношения к комплексному анализу и геометрии. Ровно наоборот, богатство структур многомерной комплексной геометрии препятствует существованию конформных преобразований евклидовых областей, отличных от мёбиусовых. Так, для трёхмерных многообразий их конформное отображение индуцирует КР-голоморфное отображение их [[Лебрюн,_Клод#КР-твисторы_трёхмерных_многообразий|твисторов Лебрюна]]; в случае евклидова пространства подъёмы круглых сфер в твисторы Лебрюна задают на них сетку голоморфных кривых, которые должны переводиться друг в друга под этими отображениями, что и определяет на них жёсткие условия, сводящиеся в конечном счёте к мёбиусовости.

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Теоремы комплексного анализа|Лиувилля о конформных отображениях]]